勾股定理练习题含答案
(完整版)勾股定理练习题(含答案)
希望教育 勾股定理练习题1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2.2. Rt△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3. 如果Rt△的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+14. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( )A .42B .32C .42 或 32D .37 或 337.※直角三角形的面积为,斜边上的中线长为,则这个三角形周长为( )S d (A(B(C ) (D)2dd 2d +d+8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( )A :3B :4C :5D :79.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足则三角形的形状是( 2(6)100a -+=)A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为14.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形.15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是__. 16. 在Rt△ABC 中,斜边AB=4,则AB 2+BC 2+AC 2=_____.17.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BBC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .18.若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 .19. 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 .20.如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.21、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗? 22.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,cm 25,这个三角形最长边上的高是多少?23.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m ,棚宽a=4m ,棚的长为12m ,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?24.如图,有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m ,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远?这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?25.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ,这辆小汽车超速了吗?AE答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长.答案:C .4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解.答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=.答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角.8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π.答案:10.125π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5.答案:cm 5.二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x .答案:12cm 13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m 2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m ,也就是两树树梢之间的距离是13m ,两再利用时间关系式求解.答案:6.5s .15.解析:本题和14题相似,可以求出BC 的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s ,可得速度是20m/s=72km/h >70km/h .答案:这辆小汽车超速了.A 观测点。
勾股定理练习题(答案)
勾股定理练习题(答案)勾股定理练题1.基础达标:下列说法正确的是:A。
若a、b、c是△ABC的三边,则a²+b²=c²;B。
若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a²+b²=c²;C。
若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则a²+b²=c²;D。
若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90°,则a²+b²=c².2.Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c,则下列各式成立的是:A。
a+b=cB。
a+b>cC。
a+b<cD。
a²+b²=c²3.如果Rt△的两直角边长分别为k²-1,2k(k>1),那么它的斜边长是:A。
2kB。
k+1C。
k²-1D。
k²+14.已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a²-b²)(a²+b²-c²)=0,则它的形状为:A。
直角三角形B。
等腰三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形5.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为:A。
121B。
120C。
90D。
不能确定6.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为:A。
42B。
32C。
42或32D。
37或337.※直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为:A。
d²+S+2dB。
d²-S-dC。
2d²+S+2dD。
2d²+S+d8.在平面直角坐标系中,已知点P的坐标是(3,4),则OP 的长为:A。
3B。
4C。
5D。
79.若△ABC中,AB=25cm,AC=26cm,高AD=24,则BC的长为:A。
17B。
3C。
17或3D。
以上都不对10.已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a-6)²+b-8+c-10=0,则三角形的形状是:A。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理测试题一、选择(30分)1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2. 2. 在下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )A 、a=32 b=42 c=52B 、C 、a=9 b=40 c=41D 、a:b:c=1:1:2 3如图,正方形A 的面积是( )A :3600 B :1640 C :400 D :60 4. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定 6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 33 7. 在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =15,AC =17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为( )A .16πB .12πC 10πD .8π 8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(9,12),则OP 的长为( )A :3 B :4 C :5 D :15 9.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形 二.填空(27分)11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 14.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形. 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=5,则AB 2+BC 2+AC 2=_____. 17.在△ABC 中,AB=12cm , BC=16cm , AC=20cm , 则△ABC 的面积是_____. 18.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .19如图:有一圆柱,它的高等于cm 8,底面直径等于cm4(3=π)在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程大约( )A 、10cmB 、12cmC 、19mD 、20cm三、综合发展:1.(8分)如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米?(先画出示意图,然后再求解)。
勾股定理专题(含答案)
C DAB CFDE1、在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长。
2、如图,公路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄, DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在公路AB上建一车站E,(1)使得C,D两村到E站的距离相等,E站建在离A站多少km处?(2)DE与CE的位置关系3、如图,△ABC中,D是AB的中点,AC=12,BC=5,CD=132。
求证:△ABC为直角三角形4、如图,直角三角形三条边的比是3:4:5.求这个三角形三条边上的高的比.5、如图,P是等边△ABC内一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.6、已知,△ABC中,AB中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明:△ABC是等腰三角形。
7、已知:如图正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在DC上且DF=14DC,判断BE和EF的位置关系?并说明你的理由。
4cm5cm1、已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长是 ;2、左边是一个正方形,则此正方形的面积是 ( )A. 1cm 2B. 3cm 2C. 6cm 2D. 9cm 23、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 . 4、在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,∠C=90°, 且c 2=2b 2,则这个三角形有一个锐角为 ;5、如图,已知AB⊥CD,△ABD,△BCE 都是等腰三角形,CD=8,BE=3,则AC 的长等于 ;6、直角三角形两直角边长为6cm 和8cm,7、旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,把绳子的下端拉开绳子下端刚好接触地面,旗杆的高度为 。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练(1)的值是()1.在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2+眈2€AC2A.2B.4C.6D.82•有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD〃BC,斜腰DC的长为10cm,Z D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).3.__________________________________________________ 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为•4•一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m?5•如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.第5题图6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.第7题图8.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。
求CD的长.第8题图9.如图,在四边形ABCD中,ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.n第9题图10.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家•他要完成这件事情所走的最短路程是多少?11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?5m12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?、选择题1•下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是(2•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()C.三边之比为訂:2:驀D.三个内角比为1:2:33•已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为()A 迈B.^10C.4-込或2颅D.以上都不对4. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()CD25,则三角形的最大内角的度数是.其面积为. 7•已知三角形ABC 的三边长为a ,b ,c 满足.「,c=8,则此三角形为三角形.a +b 二10,ab=188. 在三角形ABC 中,AB=12cm ,AC=5cm ,BC=13cm ,则BC 边上的高为AD=cm . 三、解答题9. 如图,已知四边形ABCD 中,Z B =90°,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13,求四边形ABCD 的面积.第9题图勾股定理的逆定理(2)A.9,12,15B.C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9A.三个内角比为1:2:1B.三边之比为1:2:A B二、填空题5.△ABC 的三边分别是7、24、6•三边为9、12、15的三角(A)(B)(C)25 (D)110.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=4BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问A AEF是什么三角形?请说明理由.11.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.12.如图,为修通铁路凿通隧道AC,量出ZA=40°ZB=50°,AB=5公里,BC=4公里,若每天凿隧道0.3公里,问几天才能把隧道AB凿通?勾股定理的逆定理(3)一、基础•巩固1•满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:5二、综合•应用9.如图18—2—9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论12.已知:如图18—2—10,四边形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形ABCD勾股定理的应用(4)2.求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量ZA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天,问学校需要投入多少资金买草皮?3..(12分)如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。
勾股定理练习(含答案)
勾股定理练习一、单选题(共12题;共24分)1.如图,长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm 至D点,则橡皮筋被拉长了()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=5,BC=3,那么AC等于()A. B. 3 C. 4 D. 53.在下列的线段中,能组成直角三角形的是( )A. 1,2,3B. 2,3,4C. 3,4,5D. 4,5,64.如果梯子的底端离建筑物5 米,13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是()A. 12 米B. 13 米C. 14 米D. 15 米5.一直角三角形两边分别为3和5,则第三边为()A. 4B.C. 4或D. 26.在△ABC中,∠C=90°,若AC=3,BC=4,则AB=()A. B. 5 C. D. 77.如图,一个梯子AB长2.5 米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了()A. 0.9米B. 1.3米C. 1.5米D. 2米8.若直角三角形的三边长分别为2、4、x,则x的可能值有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A. 25海里B. 30海里C. 40海里D. 50海里10.一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为()A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm11.如图所示:某商场有一段楼梯,高BC=6m,斜边AC是10米,如果在楼梯上铺上地毯,那么需要地毯的长度是()A. 8mB. 10mC. 14mD. 24m12.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为()A. 米B. 米C. (米D. 3 米二、填空题(共8题;共8分)13.在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则△ABC的面积为________cm2.14.若直角三角形两直角边长分别为6和8,则它的斜边长为________.15.直角三角形两直角边长分别为,,则斜边长为________.16.如图,作一个长方形,以数轴的原点为中心,长方形对角线为半径,交数轴于点A,则点A表示的数是________.17.如图,小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,此时绳子末端距离地面2m,则绳子的总长度为________ m.18.已知一个直角三角形的两条直角边的差为2,两条直角边的平方和为8,则这个直角三角形的面积是________19.已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积等于________ cm2.20.学校有一块长方形的花圃如右图所示,有少数的同学为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步(假设1米=2步),却踩伤了花草,所谓“花草无辜,踩之何忍”!三、作图题(共1题;共5分)21.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点,①在图1中画出边长分别为:3,2 ,的三角形(不写画法);②在图2中画出边长分别为,4,,4的平行四边形(不写画法).四、计算题(共1题;共5分)22.已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,BC=6,AC=8,求AB与CD的长.23.有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行多什么米?24.如图,梯形ABCD是由三个直角三角形拼成的,各直角边的长度如图所示。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2. 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+1 4. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( )A .42B .32C .42 或 32D .37 或 337.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )(A2d (Bd (C)2d (D)d +8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( )A :3B :4C :5D :79.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为14.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形.15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是__.16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2+BC 2+AC 2=_____.17.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .18.若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm1,最长边长为cm2,则这个三角形三个角度数分别是,另外一边的平方是.19.一长方形的一边长为cm3,面积为212cm,那么它的一条对角线长是.20.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.21、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?22.一个三角形三条边的长分别为cm15,cm20,cm25,这个三角形最长边上的高是多少?23.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m,棚宽a=4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?24.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远?这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?25.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?A小汽车小汽车B C观测点AECD1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长.答案:C .4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解.答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=.答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角.8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π.答案:10.125π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5.答案:cm 5.二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x .答案:12cm 13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m 2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m ,也就是两树树梢之间的距离是13m ,两再利用时间关系式求解.答案:6.5s .15.解析:本题和14题相似,可以求出BC 的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s ,可得速度是20m/s=72km/h >70km/h .答案:这辆小汽车超速了.。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题(含答案)一、基础达标:1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2. 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定 4.△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 33 5.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .6.假如有一个三角形是直角三角形,那么三边a 、b 、c 之间应满足 ,其中 边是直角所对的边;如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+,那么这个三角形是 三角形,其中b 边是 边,b 边所对的角是 . 7.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形.8. 若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 .9.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .10. 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 .二、综合发展:11.如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.ACB3m4m20m12.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,cm 25,这个三角形最长边上的高是多少?13.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m ,高3m ,长20m ,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.14.如图,有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m ,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ,这辆小汽车超速了吗?A小汽车 小汽车B C观测点答案: 一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长. 答案:C . 4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解. 答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=. 答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角.8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π. 答案:10.125π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5.答案:cm 5. 二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴ 12=x (cm ).答案:12=x (cm ).13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m,也就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解.答案:6.5s.15.解析:本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h>70km/h.答案:这辆小汽车超速了.。
勾股定理练习题含答案
一、选择题1.如图,点A 的坐标是(2)2,,若点P 在x 轴上,且APO △是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是( )A .(2,0)B .(4,0)C .(-22,0)D .(3,0)2.如图,OP =1,过点P 作PP 1⊥OP ,且PP 1=1,得OP 1=2;再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1,得OP 2=3;又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1,得OP 3=2……依此法继续作下去,得OP 2018的值为( )A .2016B .2017C .2018D .2019 3.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒,若AD =4,CD =2,则BD 的长为( )A .6B .27C .5D .254.如图,在ABC 中,13AB =,10BC =,BC 边上的中线12AD =,请试着判定ABC 的形状是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .以上都不对 5.以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是( )A .3,4,5B .1,12C.8,12,13 D.2、3、56.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中:“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?”意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)()A.3 B.5 C.4.2 D.47.将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中,设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm,则 h 的取值范围是()A.h≤15cm B.h≥8cm C.8cm≤h≤17cm D.7cm≤h≤16cm 8.已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,25三角形的三边长,能构成直角三角形的是()A.②B.①②C.①③D.②③9.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边长是()A.5 B.4 C34D.43410.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:3:2C.a=2,b=3,c=4 D.(b+c)(b-c)=a²二、填空题11.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是_________.12.如图,RT ABC ,90ACB ∠=︒,6AC =,8BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则B FC '△的面积为______.13.如图,这是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为 1S ,2S ,3S ,若123144S S S ++=,则2S 的值是__________.14.如图,等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,1AB DC ==,BD 平分ABC ∠,BD CD ⊥,则AD BC +等于_________.15.如图,△ABC 是一个边长为1的等边三角形,BB 1是△ABC 的高,B 1B 2是△ABB 1的高,B 2B 3是△AB 1B 2的高,……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高,则B 4B 5的长是________,猜想B n-1B n 的长是________.16.若ABC ∆为直角三角形,90B ∠=︒,6AB =,8BC =,点D 在斜边AC 上,且2AC BD =,则AD 的长为__________.17.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AC 的垂直平分线交 BC 于 F ,交 AC 于 E ,交 BA 的延长线于 G ,若 EG =3,则 BF 的长是______.18.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________19.如图,30AOB ∠=︒,点,M N 分别在,OA OB 上,且6,8OM ON ==,点,P Q 分别在,OB OA 上运动,则PM PQ QN ++的最小值为______.20.已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD 中,∠ABC =70°,∠BAC =40°,∠ACD =∠ADC =80°,求证:四边形ABCD 是邻和四边形.(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A 、B 、C 三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D .,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形.(3)如图3,△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3D ,使四边形ABCD 是邻和四边形,求邻和四边形ABCD 的面积.22.定义:如图1,平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ,对于平面内任意一点M ,点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ,则称有序实数对(p ,q )是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”为(0,0)的点有1个,即点O .(1)“距离坐标”为(1,0)的点有 个;(2)如图2,若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时,点M 的“距离坐标”为(p ,q ),且∠BOD = 150︒,请写出p 、q 的关系式并证明;(3)如图3,点M 的“距离坐标”为(1,3),且∠DOB = 30︒,求OM 的长.23.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD =90°,点D 在边AB 上,点E 在边AC 的左侧,连接AE .(1)求证:AE =BD ;(2)试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系;(3)过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ,若BD :AF =1:2,CD 36,求线段AB 的长.24.已知ABC ∆中,AB AC =.(1)如图1,在ADE ∆中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:BD CE =(2)如图2,在ADE ∆中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;(3)如图3,在BCD ∆中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求AD AB的值.25.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?(2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,①如图1,若90ACB ∠=︒,b a ≥,6b =,求a 的值.②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=︒,4BC =,求ABC 的面积.26.在ABC ∆中,AB AC =,CD 是AB 边上的高,若10,45AB BC ==.(1)求CD 的长.(2)动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动,速度为1个单位/秒;动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动,速度为v 个单位秒()v>1,设运动的时间为()0t t >,当点Q 到点C 时,两个点都停止运动.①若当2v =时,CP BQ =,求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻,使CP BQ =成立,求v 关于t 的函数表达式,并写出自变量t 的取值范围.27.定义:在△ABC 中,若BC =a ,AC =b ,AB =c ,若a ,b ,c 满足ac +a 2=b 2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题(填“真”或“假”);(2)如图1,若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”,其中AB =BC ,AC >AB ,请求∠A 的度数;(3)如图2,在△ABC 中,∠B =2∠A ,且∠C >∠A .①当∠A =32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由; ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”.28.如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ,且点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°,CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).29.如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,ABC ∆,ADE ∆,AFO ∆均为等边三角形,A 在y 轴正半轴上,点0()6,B -,点(6,0)C ,点D 在ABC ∆内部,点E 在ABC ∆的外部,32=AD 30DOE ∠=︒,OF 与AB 交于点G ,连接DF ,DG ,DO ,OE .(1)求点A 的坐标;(2)判断DF 与OE 的数量关系,并说明理由;(3)直接写出ADG ∆的周长.30.如图1,点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点,以DE 为边作正方形DEFG ,连接BF ,点M 是线段BF 中点,射线EM 与BC 交于点H ,连接CM .(1)请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系.(2)把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒,此时点F 恰好落在线段CD 上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由.(3)把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒,此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上,连接CE ,如图3,其他条件不变,若2DG =,6AB =,直接写出CM 的长度.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【详解】解:(1)当点P 在x 轴正半轴上,①以OA 为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,OA=22,∴P的坐标是(4,0)或(22,0);②以OA为底边时,∵点A的坐标是(2,2),∴当点P的坐标为:(2,0)时,OP=AP;(2)当点P在x轴负半轴上,③以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是(-220).故选D.2.D解析:D【解析】【分析】由勾股定理求出各边,再观察结果的规律.【详解】∵OP=1,OP12OP23OP34=2,∴OP45…,OP20182019故选D【点睛】本题考查了勾股定理,读懂题目信息,理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键.3.A解析:A【解析】【分析】作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接C D′,DD′,根据等式的性质,可得∠BAD 与∠CAD′的关系,根据SAS ,可得△BAD 与△CAD′的关系,根据全等三角形的性质,可得BD 与CD′的关系,根据勾股定理,可得答案.【详解】作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD′,则有∠AD′D=∠D′AD=45︒,∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD 与△CAD′中,''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAD ≌△CAD′(SAS ),∴BD=CD′,∠DAD′=90°,由勾股定理得DD′=22'AD AD +=42,∠D′DA+∠ADC=90°,由勾股定理得CD′=22DC DD +'=()22422+=6,故选 A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,勾股定理,添加辅助线作出全等图形是解题关键.4.C解析:C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ,可得出AB=AC ,即可判断.【详解】解:由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形,90ADB ∠=︒,90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+= 2251213AC ∴=+=13AB AC ∴==故ABC 是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理,熟练掌握定理是解题关键.5.C解析:C【分析】根据勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断.【详解】A. 32+42=52,能构成直角三角形,故不符合题意;B. 12+12=(2)2,能构成直角三角形,故不符合题意;C. 82+122≠132,不能构成直角三角形,故符合题意;D.(2)2+(3)2=(5)2,能构成直角三角形,故不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.6.C解析:C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺,折断处离竹梢AB 是(10-x )尺,结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度.【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺,则折断处离竹梢AB 是(10-x )尺,由勾股定理可得:222=OA OB AB +即:()2224=10x x +-,解得:x =4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺.故答案选:C .本题主要考查直角三角形勾股定理的应用,解题的关键是熟练运用勾股定理.7.C解析:C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度,最长距离如下图,是筷子斜卧于杯中时,利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时,筷子浸没水中距离最短,为杯高=8cmAD 是筷子,AB 长是杯子直径,BC 是杯子高,当筷子如下图斜卧于杯中时,浸没在水中的距离最长由题意得:AB=15cm ,BC=8cm ,△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中,根据勾股定理,AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选:C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用,解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型,然后再利用相关知识求解.8.D解析:D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形 ,所以将数据分别代入,符合即为能构成直角三角形.【详解】由题意得:①2222+3=134≠ ;②2223+4=25=5 ;③2221+2=5=5 , 所以能构成直角三角形的是②③.故选D .【点睛】考查直角三角形的构成,学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键,利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形.解析:D【详解】解:∵一个直角三角形的两边长分别为3和5,∴①当5是此直角三角形的斜边时,设另一直角边为x,则由勾股定理得到:x;②当5是此直角三角形的直角边时,设另一直角边为x,则由勾股定理得到:x故选:D10.C解析:C【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可.【详解】A、∠A+∠B=∠C,可得∠C=90°,是直角三角形,错误;B、∠A:∠B:∠C=1:3:2,可得∠B=90°,是直角三角形,错误;C、∵22+32≠42,故不能判定是直角三角形,正确;D、∵(b+c)(b﹣c)=a2,∴b2﹣c2=a2,即a2+c2=b2,故是直角三角形,错误;故选C.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.二、填空题11.103.【解析】试题解析:将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=10,∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,x+4y=103,所以S2=x+4y=103.考点:勾股定理的证明.12.96 25【分析】将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积,由折叠的性质可得CD=AC=6,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B´CF,CE⊥AB,可证得△ECF是等腰直角三角形,EF=CE,∠EFC=45°,由等面积法可求CE的长,由勾股定理可求AE的长,进而求得BF的长,即可求解.【详解】根据折叠的性质可知,CD=AC=6,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B´CF,CE⊥AB,∴∠DCE+∠B´CF=∠ACE+∠BCF,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,且CE⊥AB,∴△ECF是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠EFC=45°,∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CE,∴AC•BC=AB•CE,∵根据勾股定理求得AB=10,∴CE=245,∴EF=245,∵AE 185,∴BF=AB−AE−EF=10-185-245=85,∴S△CBF=12×BF×CE=12×85×245=9625,∴S△CB´F=96 25,故填:96 25.【点睛】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等知识,根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键.13.48【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边,然后根据勾股定理列出正方形面积的式子,求出2S的面积.【详解】解:本图是由八个全等的直角三角形拼成的,设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ,较短的长度为b ,即图中的AE a =,AH b =,则()221S AB a b ==+,2222S HE a b ==+,()223S TM a b ==-, ∵123144S S S ++=,∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=,∴248S =.故答案是:48.【点睛】本题考查勾股定理,解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用.14.3【分析】由//AD BC ,BD 平分ABC ∠,易证得ABD ∆是等腰三角形,即可求得1AD AB ==,又由四边形ABCD 是等腰梯形,易证得2C DBC ∠=∠,然后由BD CD ⊥,根据直角三角形的两锐角互余,即可求得30DBC ∠=︒,则可求得BC 的值,继而求得AD BC +的值.【详解】解:∵//AD BC ,AB DC =,∴C ABC ∠=∠,ADB DBC ∠=∠,∵BD 平分ABC ∠,∴2ABC DBC ∠=∠,ABD DBC ∠=∠,∴ABD ADB ∠=∠,∴1AD AB ==,∴2C DBC ∠=∠,∵BD CD ⊥,∴90BDC ∠=︒,∵三角形内角和为180°,∴90DBC C ∠+∠=︒,∴260C DBC ∠=∠=︒,∴2212BC CD ==⨯=,∴123AD BC +=+=.故答案为:3.【点睛】本题主要考查对勾股定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.15 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1=CB 1=12,∠AB 1B =∠BB 1C =90°,由勾股定理求出BB 1=ABC 113ABB BCB S S ==B 1B 2,由勾股定理求出BB 2,根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=,B 3B 4=B 4B 5=,推出B n ﹣1B n =2n . 【详解】解:∵△ABC 是等边三角形,∴BA =AC ,∵BB 1是△ABC 的高,∴AB 1=CB 1=12,∠AB 1B =∠BB 1C =90°,由勾股定理得:BB 1=;∴△ABC 的面积是12×1=;∴1112ABB BCB SS ==⨯,12=×1×B 1B 2,B 1B 2,由勾股定理得:BB 234=, ∵11221ABB BB B AB B S S S =+,2313112422B B =⨯⨯⨯,B 2B 3,B 3B 4=16,B 4B 5=332, …, B n ﹣1B n =32n .故答案为:332,32n . 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识点的应用,关键是能根据计算结果得出规律.16.5【分析】 在直角ABC 中,依据勾股定理求出AC 的长度,再算出BD ,过点B 作BE AC ⊥于点E ,通过等面积法求出BE ,得到两个直角三角形,分别运用勾股定理算出AE ED 、,两者相加即为AD 的长.【详解】解:如图,过点B 作BE AC ⊥于点E ,则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中,90B ∠=︒,6AB =,8BC =,∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅,2AC BD =∴6810BE ⨯=,5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为:5.【点睛】本题考查了勾股定理,通过作直角三角形斜边上的高,既构造了两个直角三角形求位置线段,又通过等面积法求出了一条直角边的长度,为运用勾股定理求线段创造了条件;故在求线段长时,可以考虑构造直角三角形.17.4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,求出∠B=∠C=∠G=30°,根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF,即可求出FG,再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG,∴AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,∵∠BAC=120°,∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=30°,∴∠B=∠G,∴BF=FG,∵在Rt△AEG中,∠G=30°,EG=3,∴AG=2AE,即(2AE)2=AE2+32,∴AE=3(负值舍去)即CE=3,同理在Rt△CEF中,∠C=30°,CF=2EF,(2EF)2=EF2+(3)2,∴EF=1(负值舍去),∴BF=GF=EF+CE=1+3=4,故答案为4.【点睛】本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.18.【解析】【分析】延长BC,AD交于E点,在直角三角形ABE和直角三角形CDE中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图,延长AD、BC相交于E,∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB,CE=2CD∵AB=3,AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x,DE=x即x=2x=即CD=故答案为:【点睛】本题考查了勾股定理的运用,含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质,本题中构建直角△ABE和直角△CDE,是解题的关键.19.10【分析】首先作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN 的最小值,易得△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∠N′OM′=90°,继而可以求得答案.【详解】作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,OM′=OM=6,ON′=ON=8,∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∴∠N′OM′=90°.在Rt△M′ON′中,M′N′=22+=10.OM ON''故答案为10.【点睛】本题考查了最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到直角三角形是解题的关键.20.522,32++【分析】过B作BF⊥CA于F,构造直角三角形,分两种情况讨论,利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质,即可得到AC的长.【详解】分两种情况:①当∠C为锐角时,如图所示,过B作BF⊥AC于F,由折叠可得,折痕PE垂直平分AB,∴AP=BP=4,∴∠BPC=2∠A=45°,∴△BFP是等腰直角三角形,∴BF=DF=22,又∵BC=3,∴Rt△BFC中,CF=221-=,BC BF∴AC=AP+PF+CF=5+22;②当∠ACB为钝角时,如图所示,过B作BF⊥AC于F,同理可得,△BFP是等腰直角三角形,∴BF=FP=22又∵BC=3,∴Rt△BCF中,221-=,BC BF∴AC=AF-CF=3+22故答案为:5+223+22【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用,解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解.解题时注意:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.三、解答题21.(1)见解析;(2)见解析;(3)363【分析】(1)先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数,从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2)以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与网格的交点,以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求.(3)先根据勾股定理求得AC 的长,再分类计算即可:①当DA=DC=AC 时;②当CD=CB=BD 时;③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时.【详解】(1)∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°,∴∠ACB =∠ABC ,∴AB =AC .∵∠ACD =∠ADC ,∴AC =AD ,∴AB =AC =AD .∴四边形ABCD 是邻和四边形;(2)如图,格点D 、D'、D''即为所求作的点;(3)∵在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23,∴AC =()22222234AB BC +=+=,显然AB ,BC ,AC 互不相等.分两种情况讨论:①当DA =DC =AC=4时,如图所示:∴△ADC 为等边三角形,过D 作DG ⊥AC 于G ,则∠ADG =160302⨯︒=︒, ∴122AG AD ==,22224223DG AD AG =-=-=,∴S △ADC =1423432⨯⨯=,S △ABC =12AB×BC =23, ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63;②当CD =CB =BD =23时,如图所示:∴△BDC 为等边三角形,过D 作DE ⊥BC 于E ,则∠BDE =160302⨯︒=︒, ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=, ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F , ∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒,∴DF=123 S △ADB =12332⨯=, ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3;③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时,邻和四边形ABCD 不存在.∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题,考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点,数形结合并读懂定义是解题的关键.22.(1)2;(2)32q p =;(3)27OM =【分析】(1)根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可;(2)过M 作MN ⊥CD 于N ,根据已知得出MN q =,OM p =,求出∠MON =60°,根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题; (3)分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ,连接EF 、OE 、OF ,连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点,首先证明OM OE OF EF ===,求出2MF =,23ME =,然后过F 作FG QM ⊥,交QM 延长线于G ,根据含30度直角三角形的性质求出1FG =,3MG =,再利用勾股定理求出EF 即可.【详解】解:(1)由题意可知,在直线CD 上,且在点O 的两侧各有一个,共2个,故答案为:2;(2)过M 作MN CD ⊥于N ,∵直线l AB ⊥于O ,150BOD ∠=︒,∴60MON ∠=︒,∵MN q =,OM p =,∴1122NO MO p ==, ∴223MN MO NO p =-=, ∴32q p =; (3)分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ,连接EF 、OE 、OF ,连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点.∴OFP OMP △≌△,OEQ OMQ △≌△,∴FOP MOP ∠=∠,EOQ MOQ ∠=∠,OM OE OF ==,∴260EOF BOD ∠=∠=︒,∴△OEF 是等边三角形,∴OM OE OF EF ===,∵1MP =,3MQ =∴2MF =,23ME =, ∵30BOD ∠=︒,∴150PMQ ∠=︒,过F 作FG QM ⊥,交QM 延长线于G ,∴30FMG ∠=︒, 在Rt FMG △中,112FG MF ==,则3MG =,在Rt EGF 中,1FG =,33EG ME MG =+=,∴22(33)127EF =+=,∴27OM =.【点睛】本题考查了轴对称的应用,含30度直角三角形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质等,正确理解题目中的新定义是解答本题的关键.23.(1)见解析;(2)BD 2+AD 2=2CD 2;(3)AB =2+4.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论;(2)利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论;(3)连接EF ,设BD =x ,利用(1)、(2)求出EF=3x ,再利用勾股定理求出x ,即可得到答案.【详解】(1)证明:∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC =BC ,EC =DC ,∠ACB =∠ECD =90°∴∠ACB ﹣∠ACD =∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE =∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS ),∴AE =BD .(2)解:由(1)得△ACE ≌△BCD ,∴∠CAE =∠CBD ,又∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠CAB =∠CBA =∠CAE =45°,∴∠EAD =90°,在Rt △ADE 中,AE 2+AD 2=ED 2,且AE =BD ,∴BD 2+AD 2=ED 2,∵ED =2CD ,∴BD 2+AD 2=2CD 2,(3)解:连接EF ,设BD =x ,∵BD :AF =1:2AF =2x ,∵△ECD 都是等腰直角三角形,CF ⊥DE ,∴DF =EF ,由 (1)、(2)可得,在Rt △FAE 中,EF 22AF AE +22(22)x x +3x , ∵AE 2+AD 2=2CD 2,∴222(223)2(36)x x x ++=,解得x =1,∴AB =2+4.【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理.24.(1)详见解析;(241;(33【分析】 (1)证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得;(2)连接BD ,证1302FEA AED ∠=∠=,证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5,利用勾股定理求解;(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=,利用勾股定理得AE 2AB =,3AB ,根据(1)思路得3AB .【详解】(1) 证明:∵∠DAE=∠BAC ,∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ,即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中,AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△ABD(SAS),∴BD CE =;(2)连接BD因为AD AE =, 60DAE BAC ∠=∠=,所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS),所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25.(1)该命题是真命题,理由见解析;(2)①a 的值为92;②k 的取值范围为13k ≤<;(3)ABC ∆203123. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断;(2)①先利用勾股定理求出c 的值,再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式,然后求解即可;②类似①分三种情况分析,再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系,然后根据优比的定义求解即可;(3)如图(见解析),设BD x =,先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式,再类似(2),根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式,然后解出x 的值,即可得出ABC ∆的面积.【详解】(1)该命题是真命题,理由如下:设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ,恰好是第三边a 的2倍,满足优三角形的定义,即等边三角形为优三角形又因该两条边相等,则这两条边的比为1,即其优比为1故该命题是真命题;(2)①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义,分以下三种情况:当2a b c +=时,26236a a +=+,整理得24360a a -+=,此方程没有实数根 当2a c b +=时,23612a a +=,解得92a = 当2bc a +=时,26362a a +=,解得86a =>,不符题意,舍去综上,a 的值为92; ②由题意得:,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义,分以下三种情况:(c b a ≥≥)当2a b c +=时,则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+,解得3b a <,即3b k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时,则1c k a =≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+,解得3c a <,即3c k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时,则1c k b =≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+,解得3c b <,即3c k b=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<综上,k 的取值范围为13k ≤<;(3)如图,过点A 作AD BC ⊥,则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =22,AB BD x AD ∴====AC ===11422ABC S BC AD ∆=⋅=⨯= ABC ∆是优三角形,分以下三种情况:当2AC BC AB +=时,即44x =,解得103x =则103ABC S ∆===当2AC AB BC +=时,即28x =,解得65x =则655ABC S ∆===当2BC AB AC +=时,即242424x x x +=++,整理得234120x x ++=,此方程没有实数根综上,ABC ∆的面积为2033或1235.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点,理解题中的新定义,正确分多种情况讨论是解题关键.26.(1)CD=8;(2)t=4;(3)12-=t v t (26t ≤<) 【分析】(1)作AE ⊥BC 于E ,根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ,然后利用勾股定理求出AE ,再用等面积法可求出CD 的长;(2)①过B 作BF ⊥AC 于F ,易得BF=CD ,分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时,根据△BQF ≌△CPD ,得到PD=QF ,建立方程即可求出t 的值;(3)同(2)建立等式关系即可得出关系式,再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解:(1)如图,作AE ⊥BC 于E ,∵AB=AC ,∴BE=12BC=25在Rt △ABE 中,()2222AE=AB BE =1025=45--∵△ABC 的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯(2)过B作BQ⊥AC,当Q在AF之间时,如图所示,∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅,AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ,CD=BF,∴Rt△CPD≌Rt△BQF(HL)∴PD=QF在Rt△ACD中,CD=8,AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t,QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t,解得t=0,∵t>0,∴此种情况不符合题意,舍去;当Q点在FC之间时,如图所示,此时PD=6-t,QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6,解得t=4,综上得t的值为4.(3)同(2)可知v>1时,Q在AF之间不存在CP=BQ,Q在FC之间存在CP=BQ,Q在F点时,显然CP ≠BQ ,∵运动时间为t ,则AP=t ,AQ=vt ,∴PD=6-t ,QF=vt-6,由PD=QF 得6-t=vt-6, 整理得12-=t v t, ∵Q 在FC 之间,即AF <AQ ≤AC∴610<≤vt ,代入12-=t v t得 61210<-≤t ,解得26t ≤<所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题,熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高,利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.27.(1)假;(2)∠A =45°;(3)①不能,理由见解析,②见解析【分析】(1)先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2,再由勾股定理得a 2+b 2=c 2,即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形;(2)由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形,即可得出结论; (3)①分三种情况,利用等腰三角形的性质即可得出结论;②先求出CD=CB=a ,AD=CD=a ,DB=AB-AD=c-a ,DG=BG=12(c-a ),AG=12(a+c ),两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论.【详解】解:(1)如图1,假设Rt △ABC 是类勾股三角形,∴ab +a 2=c 2,在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据勾股定理得,a 2+b 2=c 2,∴ab +b 2=a 2+b 2,∴ab =a 2,∴a =b ,∴△ABC 是等腰直角三角形,∴等腰直角三角形是类勾股三角形,即:原命题是假命题,故答案为:假;(2)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c,∵△ABC是类勾股三角形,∴ac+a2=b2,∴c2+a2=b2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°,(3)①在△ABC中,∠ABC=2∠BAC,∠BAC=32°,∴∠ABC=64°,根据三角形的内角和定理得,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=84°,∵把这个三角形分成两个等腰三角形,∴(Ⅰ)、当∠BCD=∠BDC时,∵∠ABC=64°,∴∠BCD=∠BDC=58°,∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=84°﹣58°=26°,∠ADC=∠ABC+∠BCD=122°∴△ACD不是等腰三角形,此种情况不成立;(Ⅱ)、当∠BCD=∠ABC=64°时,∴∠BDC=52°,∴∠ACD=20°,∠ADC=128°,∴△ACD是等腰三角形,此种情况不成立;(Ⅲ)、当∠BDC=∠ABC=64°时,∴∠BCD=52°,∴∠ACD=∠ACB﹣BCD=32°=∠BAC,∴△ACD是等腰三角形,即:分割线和顶角标注如图2所示,Ⅱ、分∠ABC,同(Ⅰ)的方法,判断此种情况不成立;Ⅲ、分∠BAC,同(Ⅱ)的方法,判断此种情况不成立;②如图3,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练(1)1.在直角三角形ABC 中,斜边AB=1,则AB 222AC BC ++的值是()A.2B.4C.6D.82.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10cm ,∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是______cm (结果不取近似值).3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.4.一根旗杆于离地面12m 处断裂,犹如装有铰链那样倒向地6.飞机在空中水平飞行上方4000米处,过了209.如图,在四边形CD=3,求AB 的长10.如图,一个牧童在小河的南的小屋B 的西8km 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗? 第一课时答案:1.A ,提示:根据勾股定理得122=+AC BC ,所以AB222AC BC ++=1+1=2;2.4,提示:由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2m ,所以他们少走了4步.3.1360,提示:设斜边的高为x ,根据勾股定理求斜边为1316951222==+,再利用面积法得,136011米,由勾所以飞机飞行的速度为CE=60.2⨯,由勾股定理,得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解:在直角三角形ABC 中,根据勾股定理,得在直角三角形CBD 中,根据勾股定理,得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169,所以CD=13. 9.解:延长BC 、AD 交于点E.(如图所示)第5题图第8题∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°又∵CD=3,∴CE=6,∴BE=8, 设AB=x ,则AE=2x ,由勾股定理。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题一、基础达标:1。
下列说法正确的是( )A 。
若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2; B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C 。
若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D 。
若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2.2。
Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+B 。
c b a >+C 。
c b a <+D 。
222c b a =+ 3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k(k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+14。
已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A 。
直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D 。
等腰三角形或直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 337.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )(A 2d d(C )2d (D )d8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( )A :3 B :4C:5 D :79.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17B 。
3 C.17或3 D 。
以上都不对10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形 C:钝角三角形 D :直角三角形11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 . 12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2.2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+1 4. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 33 6、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( )A :3B :4C :5D :77.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 8.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形 9.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .10. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__. 11. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为12.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形. 13. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.14. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2+BC 2+AC 2=_____. 15.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .二:应用提升1.如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗?3.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,cm 25,这个三角形最长边上的高是多少?ABAEB4.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m ,棚宽a=4m ,棚的长为12m ,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?5.如图,有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m ,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远?这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ,这辆小汽车超速了吗?小汽车小汽车观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长. 答案:C .4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解. 答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=.答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角. 8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π.答案:10.125π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5. 答案:cm 5. 二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x .答案:12cm13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m 2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m ,也就是两树树梢之间的距离是13m ,两再利用时间关系式求解. 答案:6.5s . 15.解析:本题和14题相似,可以求出BC 的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s ,可得速度是20m/s=72km/h >70km/h . 答案:这辆小汽车超速了.。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练(1)1. 在直角三角形ABC 中,斜边AB=1,则AB 222AC BC ++的值是( )A.2B.4C.6D.82.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是______ cm (结果不取近似值).3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.4.一根旗杆于离地面12m 处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m ,旗杆在断裂之前高多少m ?5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是 米.6.,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm ,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm ,AB=4cm ,BD=12cm 。
求CD 的长.9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长.4km 的A 处牧马,而他正位于北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮 5m,长13m ,宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗? 第一课时答案:1.A ,提示:根据勾股定理得122=+AC BC ,所以AB222AC BC ++=1+1=2;2.4,提示:由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2m ,所以他们少走了4步.3.1360,提示:设斜边的高为x ,根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ,再利用面积法得,1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ;4. 解:依题意,AB=16m,AC=12m ,,由勾股定理,2222201216=+=,m ), 32m 高. 6. ,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时)7. 解:将曲线沿AB 展开,如图所示,过点C 作在R 90=,EF=18-1-1=16(cm ), CE=)(3060.21cm =⨯,由勾股定理,得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+ABC 中,根据勾股定理,得 在直角三角形CBD 中,根据勾股定理,得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169,所以CD=13. 9. 解:延长BC 、AD 交于点E.(如图所示) ∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°又∵CD=3,∴CE=6,∴BE=8,设AB=x ,则AE=2x ,由勾股定理。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2; B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2; C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2.2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+14. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 337.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )(A2d (Bd (C)2d (D)d + 8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( ) A :3 B :4 C :5 D :79.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 或3 D.以上都不对10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形 11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 . 12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 14.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形.15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是__. 16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2+BC 2+AC 2=_____.17.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .18.若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 .19. 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 .ACB20.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.21、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗22.一个三角形三条边的长分别为cm15,cm20,cm25,这个三角形最长边上的高是多少23.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m,棚宽a=4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜24.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起25.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.小汽车小汽车B C观测点AECD2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长. 答案:C .4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解. 答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=.答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角.8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为π.答案:π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5.答案:cm 5. 二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x .答案:12cm 13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m 2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m,也就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解.答案:.15.解析:本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h>70km/h.答案:这辆小汽车超速了.。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是( )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2;C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2;D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2.2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( )A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( )A 、2kB 、k+1C 、k 2-1D 、k 2+14. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( )A .42B .32C .42 或 32D .37 或 337.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )(A 2d (B d(C )2d (D )d8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( )A :3B :4C :5D :79.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( )A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10.已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是( )A :底与边不相等的等腰三角形B :等边三角形C :钝角三角形D :直角三角形11.斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 .12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为14.一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形.15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2+BC 2+AC 2=_____.17.若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 .18.如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .19. 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 .二、综合发展:1.如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗3.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,,这个三角形最长边上的高是多少 4.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m ,棚宽5.如图,有一只小鸟在一棵高13m 高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ,这辆小汽车超速了吗A BA E答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案: D.2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案:B.3. 解析:设另一条直角边为x ,则斜边为(x+1)利用勾股定理可得方程,可以求出x .然后再求它的周长.答案:C .4.解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解.答案:C.5. 解析: 勾股定理得到:22215817=-,另一条直角边是15, 所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=.答案: 260cm .6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立.答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角.7. 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形.答案:直角.8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:︒30、︒60、︒90,3.9. 解析:由勾股定理知道:22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π.答案:10.125π.10. 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5.答案:cm 5.二、综合发展11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案:5m .12解析:因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x .答案:12cm13.解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是:5×20=100(m 2) .14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m ,也就是两树树梢之间的距离是13m ,两再利用时间关系式求解. A观测点答案:6.5s.15.解析:本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h>70km/h.答案:这辆小汽车超速了.。
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勾股定理练习题
一、基础达标:
1.下列说法正确的是()
A.若a、b、c是厶ABC的三边,贝U a2+ b2= c2;
B.若a、b、c 是Rt△ ABC的三边,贝U a2+ b2= c2;
C.若a、b、c是Rt△ ABC的三边,.A=90:,贝U a2+ b2= c2;
2 2 2
D.若a、b、c 是Rt△ ABC的三边,./c =90 打贝U a + b= c .
2.Rt △ ABC的三条边长分别是a
、b、
c
,则下列各式成立的是()
A. a b =c
B. a b c
C. a b :: c
D. a2b2二 c2
3.如果Rt△的两直角边长分别为k2—1,2k(k >1),那么它的斜边长是()
A 2k
B k+1 C、k2—1 D k2+1
4.已知a,b,c ABC三边,且满足(a2—b2)(a 2+b2—c2)= 0,则它的形状为
()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周
长为()
A. 121 B . 120 C . 90 D.不能确定
6.△ ABC中, A吐15, AO 13,高AD= 12,则厶ABC勺周长为()
A . 42
B . 32
C . 42 或32
D . 37 或33
7.※直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为()
(A、d2 S 2d (B).d2 -S-d
(C)2 d2 S 2d (D)2.d2 S d
8.在平面直角坐标系中,已知点P的坐标是(3,4),则OP的长为()A: 3
B: 4 C : 5 D : -J
9 .若△ ABC中, AB=25cm AC=26cm高AD=24贝9 BC的长为()
A. 17
B.3
C.17 或3
D. 以上都不对
10.已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a-6)2+V^8+|c-10 | = 0则三角形
的形状是()
A:底与边不相等的等腰三角形 B :等边三角形
C:钝角三角形 D :直角三角形
11 •斜边的边长为17cm, —条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 _________ .
12.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为—.
13.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 _________
14. ___________________________________________ 一个三角形三边之比是
10:8:6,则按角分类它是_______________________________ 三角形.
15.一个三角形的三边之比为5:12:13,它的周长为60,则它的面积是_______ .
16.在Rt△ ABC中,斜边AB=4 则AB+ B C+A C=____ .
17. __________________________ 若三角形的三个内角的比是1:2:3,最短边长为
1cm,最长边长为2cm,则这个三角形三个角度数分别是___________ ,另外一边的平方是 ______________________________ .
18.如图,已知• ABC 中,• C =90 , BA=15 , B
AC =12,以直角边BC为直径作半圆,则这个半
圆的面积是_____ .
19.一长方形的一边长为3cm,面积为12cm2, 那C 么它的一条对角线长是.
二、综合发展:
1.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的
长.
2.有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/ CAB 的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗
3.一个三角形三条边的长分别为15cm
,
20cm
,
25cm
,这个三角形最长边上的高是多
少
4.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m棚宽a=4m棚的长为现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜
5.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫申,/它的伙伴在离该树1恳A 高
8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,
它最短要飞多远这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起
15. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不
得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行
好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处,过了2s后
测仪间距离为50m这辆小汽车超速了吗______________
右■■■ 圭■争.■■■■
12m
A
答案: 一、基础达标
1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.
答案:D.
2. 解析:本题考察三角形的三边关系和勾股定理.
答案:B.
3. 解析:设另一条直角边为 x ,则斜边为(x+1 )利用勾股定理可得方程,可 以
求出x •然后再求它的周长. 答案:C.
4. 解析:解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部
还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解• 答案:C.
2 2 2
5.解析:勾股定理得到:
17
-
8 =15
,另一条直角边是15,
1 2
15 8 = 60 cm
2
所求直角三角形面积为2
.答案:
60cm
.
6. 解析:本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边
,反过来也是成
立.
答案:a 2
+b 2
=c
2,c ,直角,斜,直角.
7. 解析:本题由边长之比是10:8:6可知满足勾股定理,即是直角三角形.答 案:直角.
8. 解析:由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形.答案:
30、60、90,
3
9. 解析:由勾股定理知道:BC 2
=AB 2
- AC 2
= 152
-122
=92
,所以以直角边
BC =9
为直径的半圆面积为10.125 n.答案:10.125 n.
10. 解析:长方形面积长X 宽,即12长X3,长二4,所以一条对角线长为5. 答案:
5cm .
二、综合发展
11. 解析:木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.
答案:5m .
12解析:因为152
20^ 252
,所以这三角形是直角三角形,设最长边(斜边)
上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得-15 20」25 x ,二x =12 .答
2 2
案:12cm
13. 解析:透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少, 可
以借助勾股定理求出•
答案:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为 5m,
观测点
A
所以矩形塑料薄膜的面积是:5X 20=100(卅).
14.解析:本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m也
就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解.
答案:6.5s .
15•解析:本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h> 70km/h. 答案:这辆小汽车超速了.。