概率论与数理统计知识点总结超
概率论与数理统计超全公式总结
Cov(aX , bY ) = abCo若v(UX~,Yχ)2(n1),
F 分布 正态总体条件下 样本均值的分布：
V ~ χ 2 (n2 ),
则 U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
σ2 X ~ N(µ, )
n
X − µ ~ N (0,1) σ/ n
样本方差的分布：
(n −1)S 2 σ2
k =1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} 联合密度与边缘密度
+∞
∫ fX (x) = −∞ f (x, y)dy
+∞
∫ fY (y) = −∞ f (x, y)dx
P(X =k)=Cnkpk(1−p)n−k，(k=0,1,...n, )
泊松分布——X~P(λ)
P( X = k) = λk e−λ， (k = 0,1,...) k!
概率密度函数
+∞
∫ f (x)dx = 1 −∞
怎样计算概率 P(a ≤ X ≤ b)
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫a f (x)dx
均匀分布 X~U(a,b)
1
f (x) =
(a ≤ x ≤ b)
b−a
n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
⎜⎛ x ± zα / 2 ⎝
σ ⎟⎞ n⎠
(3) H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验
小样本、正态总体、标 准差σ已知
（大样本情形σ未知时用SZ代=替X）− µ 0 σ/ n
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)80669
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A Y ΛY Y =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21ΛΛ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论1.随机试验和样本空间：随机试验是具有不确定性的试验，其结果有多个可能的取值。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2.事件及其运算：事件是样本空间中满足一定条件的结果的集合。
事件之间可以进行并、交、补等运算。
3.概率的定义和性质：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率具有非负性、规范性和可列可加性等性质。
4.条件概率和独立性：条件概率是在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
事件独立表示两个事件之间的发生没有相互关系。
5.全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是一种计算事件概率的方法，将事件分解成互斥的多个事件的概率之和。
贝叶斯公式是一种用于更新事件概率的方法。
6.随机变量和分布函数：随机变量是样本空间到实数集的映射，用来描述试验结果的数值特征。
分布函数是随机变量取值在一点及其左侧的概率。
7.常用概率分布：常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。
8.数学期望和方差：数学期望是随机变量的平均值，用于描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量离均值的平均距离，用于描述随机变量的分散程度。
二、数理统计1.统计量和抽样分布：统计量是对样本数据进行总结和分析的函数。
抽样分布是统计量的概率分布，用于推断总体参数。
2.估计和点估计：估计是利用样本数据对总体参数进行推断。
点估计是利用样本数据得到总体参数的一个具体数值。
3.估计量的性质和评估方法：估计量的性质包括无偏性、有效性和一致性等。
评估方法包括最大似然估计、矩估计等。
4.区间估计：区间估计是对总体参数进行估计的区间范围。
置信区间是对总体参数真值的一个区间估计。
5.假设检验和检验方法：假设检验是在已知总体参数的条件下，对总体分布做出的统计推断。
检验方法包括参数检验和非参数检验。
6.正态总体的推断：当总体近似服从正态分布时，可以利用正态分布的性质进行推断。
7.方差分析和回归分析：方差分析用于比较两个或多个总体均值是否相等。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。
随机事件的关系包括包含、相等、互斥（互不相容）和对立等。
2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的古典定义是：如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
概率的统计定义是：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p，就把 p 称为事件 A 的概率。
3、概率的性质概率具有非负性（0 ≤ P(A) ≤ 1）、规范性（P(Ω) ＝ 1，其中Ω 表示样本空间）和可加性（对于互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) ＝ P(A) ＋P(B)）。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。
2、乘法公式乘法公式有两种形式：P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 和 P(AB) ＝P(B|A)P(A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁，B₂，，Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），则对于任意事件 A，有 P(A) ＝Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。
2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)（i ＝ 1, 2,，n），则对于任意事件 Bᵢ（i ＝ 1, 2,， n），有 P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)／Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
p k q nk
其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) .
当 n 1时， P(X k) pk q1k ， k 0.1，这就是（0—1）分布，
所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊 松 设随机变量 X 的分布律为
1
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
A—B,也可表示为 A—AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事
件.
A、B 同时发生：A B,或者 AB。A B=Ø ，则表示 A 与 B 不可能 同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是
互不相容的.
—A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件，记为 A .它表 示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
P(A）= (1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（6）几 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均
1
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
何概型 匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域 来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) .
对于离散型随机变量， F(x) pk ; xk x x
对于连续型随机变量, F(x) f (x)dx .
概型 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用
1概率论与数理统计知识点总结(超详细)
NO.1 概率论基本概念一、随机试验1.确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。
2.随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.3.随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.4.随机试验：为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E .随机试验具有下列特点:（1）可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;（2）可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;（3）随机性(不确定性): 每次试验出现的结果事先不能准确预知. ，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.二、样本空间、随机事件1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点,记作ω.2.样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为∧.(或S )．即∧={ω1 ,ω2 ,!,ωn ,!}3.随机事件：我们称试验E 的样本空间∧的子集为E 的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.一般用A, B, C,，…等大写字母表示事件．设A 为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点ω∈A 时，称事件 A 在该次试验中发生．注: 要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道．（1）基本事件：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.（2）必然事件：样本空间∧本身也是∧的子集，它包含∧的所有样本点，在每次试验中∧必然发生，称为必然事件．即必然发生的事件.（3）不可能事件：．空集Φ也是∧的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件．不可能发生的事件是不包含任何样本点的.三、事件间的关系与运算记号概率论集合论∧ 样本空间,必然事件全集∅ 不可能事件空集ω 基本事件元素A 事件子集A A的对立事件A的余集A ⊂B 事件A发生导致B发生A是B的子集A =B 事件A与事件B相等A与B的相等A ! B事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB 事件A与事件B同时发生A与B的交集A -B 事件A发生而事件B不发生A与B的差集AB =∅ 事件A和事件B互不相容A与B没有相同的元素1.子事件、包含关系A ⊂B事件A是事件B的子事件含义：事件A发生必然导致事件B发生, ∅⊂A ⊂∧2.相等事件A =B :若事件Ａ发生必然导致事件B 发生，且若事件B 发生必然导致事件A 发生，即B ⊃A且A ⊃B ⇔A=B注：事件 A 与事件 B 含有相同的样本点3.和事件或并事件A !B = { x x ∈A或x∈B }，事件A ! B是事件A和事件B的和事件事件A ! B 发生⇔ 事件A 发生或事件B 发生⇔ 事件A 与B 至少有一个发生n称" A k 为n 个事件A 1，A 2，!，A n 的和事件k =1∞称" A k 为可列个事件A 1 , A 2 ,!, A n ,!的和事件k =14. 积事件或交事件A !B = {x x ∈ A 且x ∈ B }， 事件A ! B 是事件A 与事件B 的积事件事件A ! B 发生⇔ 事件A 与事件B 同时发生积事件A ! B 可简记为ABn称" A k 为n 个事件A 1，A 2，!，A n 的积事件k =1∞称" A k 为可列个事件A 1 , A 2 ,!, A n ,!的积事件.k =15. 事件的差A -B = {x x ∈ A 且x ∉ B }， 事件A - B 称为事件A 与事件B 的差事件事件A - B 发生⇔ 事件A 发生而事件B 不发生.注： A - B = A - AB6. 互斥或互不相容A !B = Φ 则称事件A 与事件B 是互不相容的，或互斥的.A !B = Φ ⇔事件 A 和随机 B 不能同时发生.注： 任一个随机试验E 的基本事件都是两两互不相容的.推广：设事件 A 1，A 2，!，A n 满足 A i A jA 1，A 2，!，A n 是两两互不相容的. 7. 对立事件或互逆事件= Φ (i , j = 1, 2,!, n , i ≠ j ) 称事件若事件 A 和事件 B 中有且仅有一个发生，即 A ! B = ∧, AB = Φ则事件 A 和事件 B 为互逆事件或对立事件。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
例1 设甲、乙、丙三 人的命中率分别为0.3，
P(Ai)—— 先验概率
0.2，0.1。现三人独立地 向目标各射击一次，结果
A1
A2 ........ An
有两次命中目标，试求丙
P(B/Ai)
P(Ai /B ) 后验概率
没有命中目标的概率。
B P(B )
解 记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D 为
P(ABC ) P(D )
0.30.20.90.587 0.092
法二 用Bayes公式：
0.1
0.9
P (C) = 0.1, P(C)0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D/C)0.3*0.2.
C 0.3*0.8+0.7*0.2
C
0.3*0.2
于是有
D
P (C /D )
第二、三章 随机变量及其分布
1.常用分布 B(n,p)，P( )，U[a,b]，E( )，N(, 2 )；
二维均匀、二维正态
2.联合分布和边缘分布
pi• pij,fX(x)f(x,y)dy
j
3.概率的计算 (一维或二维C.R.V.：一重或二重积分)
4.随机变量函数的分布 作图、定限再计算、验证
5 随机变量的独立性
•正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性)
若Xi ~ N( i，i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任
何实数a1, a2, …, an, 有
n
n
n
a X 1 b~ N (a? 1 b,,a 2? 12 ),
aiXi ~N(
a?i i ,,
?a i2
① 分布函数法(C.R.V.)：
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义：概率是描述事件发生可能性的数字，表示为一个介于0和1之间的数。
2.事件与样本空间：事件是可能发生的结果的集合，样本空间是所有可能结果的集合。
3.事件的运算：事件的运算包括并、交、差等，分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。
4.概率的性质：概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。
二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义：随机变量是一个变量，它的值由随机事件决定。
2.离散随机变量：离散随机变量只能取有限或可数个值，其概率表示为离散概率分布函数。
3.连续随机变量：连续随机变量可以取任意实数值，其概率表示为概率密度函数。
4.分布函数：分布函数描述随机变量的概率分布情况，包括累积分布函数和概率质量函数。
三、常见概率分布1.离散分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.连续分布：包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。
3.其他分布：包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。
四、抽样与统计推断1.抽样：抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法，常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
2.统计推断：通过从样本中获得的数据，对总体做出有关参数的推断。
包括点估计和区间估计两种方法。
3.假设检验：通过对样本数据的统计量进行计算，判断总体参数是否满足其中一种假设。
包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。
五、回归分析与相关分析1.回归分析：研究两个或多个变量之间关系的统计方法，包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。
2.相关分析：研究两个变量之间相关性的统计方法，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理：根据先验概率和条件概率，计算后验概率的统计方法。
2.贝叶斯推断：根据贝叶斯定理以及样本数据，推断参数的后验分布。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
概率论与数理统计超全公式总结
~
χ 2 (n −1)
X − µ ~ t(n −1) s/ n
两个正态总体的方差之比
S12
σ
2 1
/ S22
/
σ
2 2
~F (n1 −1,n2 −1)第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计
n
Π Π n
L = f (xi ;θ )
i =1
L = p(xi ;θ )
i =1
似然函数
均值的区间估计——大样本结果
⎛ ⎜
x
±
zα
/2
⎝
σ⎞ ⎟
n⎠
x — 样本均值 σ — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
( ) ⎛
⎜ ⎜
S 2 — 样本方差
χ2 α /2
— 卡方分布的分位点
Z=
p − p0
p0 — —总体比例
p0 (1− p0 ) / n p — —样本比例
单正态总体均值的 t 检验
t = X − µ0 S/ n
单正态总体方差的卡方检验
χ 2 = (n −1)S 2
σ
2 0
拒绝域
双边检验
χ2
≥
χα2 / 2或χ 2
k
∑∑ E(X)= xipij
ij
E( X ) = ∫ ∫ xf (x, y)dxdy
不相关不一定独立 第四章
正态分布 X ~ N (µ,σ 2 )
∑∑ E(XY) = xi yj pij
ij
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版) 题目：概率论与数理统计知识点总结摘要本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，涉及概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验、多元分析等。
对这些知识点的理解和了解可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。
关键词：概率论，数理统计，概率分布，参数估计，假设检验，卡方检验，多元分析正文1.概率论概率论是数理统计中一门重要科学，它是一门数学研究现实世界事件发生的规律性、可预测性及不确定性的学科。
在概率论中，我们引入了诸如概率、期望和方差等概念，用来描述和推断某种随机现象的发生。
2.概率分布概率分布是在给定的实际情况下随机变量取值的概率分布。
典型的概率分布包括正态分布、泊松分布和二项分布。
此外，也有一些联合分布，例如协方差、共轭先验、贝叶斯估计等。
3.参数估计参数估计是根据样本数据估计总体参数的统计方法。
它涉及到将总体参数估计为样本参数的过程，通常使用最大似然估计、贝叶斯估计和假定测试等方法。
4.假设检验假设检验是基于统计学原理，用来评估某一假设是否真实存在的方法。
其中包括t检验、F检验、Z检验等，它们之间的区别在于所使用的抽样分布不同。
5.卡方检验卡方检验是一种统计检验，用于直接检验某个抽样值是否遵循某种理论分布。
卡方检验可以根据观察到的抽样数据和理论分布之间的差异来衡量分布概率值的有效性。
6.多元分析多元分析是一种分析不同变量之间交互影响的统计方法。
它包括多元回归分析、多元判别分析、因子分析等，能够帮助我们了解多个变量之间的关系。
结论本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，包括概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验和多元分析等。
了解这些知识点可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。
概率论和数理统计方面的知识点在实际应用中有着重要作用。
概率论可以帮助研究人员对随机现象进行建模、分析和推断，其中包括使用概率分布建立统计模型和估计参数，并使用假设检验和卡方检验来检验假设，以及用多元分析来推断不同变量之间的关系。
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设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为 ，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为 ，若对于固定的y， 〉0，则称 为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为 =
§4相互独立的随机变量
定义设 及 ， 分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有 ，即 ，则称随机变量X和Y是相互独立的。
概率论与数理统计知识点总结超
《概率论与数理统计》
第一章概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生
称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件 发生
称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件 发生
称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件 发生
称为X的分布函数
分布函数 ，具有以下性质(1) 是一个不减函数（2） （3）
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数 ，使对于任意函数x有 则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度
1概率密度 具有以下性质，满足（1） ；
（2）条件概率符合概率定义中的三个条件
1。非负性：对于某一事件B，有
2。规范性：对于必然事件S，
3可列可加性：设 是两两互不相容的事件，则有
（3）乘法定理设 ，则有 称为乘法公式
（4）全概率公式：
贝叶斯公式：
§6．独立性
定义设A，B是两事件，如果满足等式 ，则称事件A,B相互独立
定理一设A，B是两事件，且 ，若A，B相互独立，则
弱大数定理（辛欣大数定理）设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望 .作前n个变量的算术平均 ，则对于任意 ，有
定义设 是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数 ，有 ，则称序列 依概率收敛于a，记为
伯努利大数定理设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 〉0，有 或
§2边缘分布
二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数 .而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为 ，依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。
分别称 为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
分别称 ， 为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。
§3条件分布
定义设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若
对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数
§5两个随机变量的函数的分布
1，Z=X+Y的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 .则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为 或
又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为 则 和 这两个公式称为 的卷积公式
（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为 ，k=1,2，…若 绝对收敛则有
（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为 ，若 绝对收敛则有
数学期望的几个重要性质
1设C是常数，则有
2设X是随机变量，C是常数，则有
3设X,Y是两个随机变量，则有 ；
4设X，Y是相互独立的随机变量，则有
§2方差
定义设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差，记为D（x）即D（x）= ，在应用上还引入量 ，记为 ，称为标准差或均方差。
特别，当 时称随机变量X服从标准正态分布
§5随机变量的函数的分布
定理设随机变量X具有概率密度 又设函数 处处可导且恒有 ，则Y= 是连续型随机变量，其概率密度为
第三章多维随机变量
§1二维随机变量
定义设E是一个随机试验，它的样本空间是 和 是定义在S上的随机变量，称 为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量
§2中心极限定理
定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差 （k=1,2，…），则随机变量之和 ， ，
定理二（李雅普诺夫定理）设随机变量 …相互独立，它们具有数学期望和方差 记
定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量 ）的二项分布，则对任意 ，有
，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件
2．运算规则交换律
结合律
分配律
徳摩根律
§3．频率与概率
定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数 称为事件A发生的频数，比值 称为事件A发生的频率
定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与
第二章随机变量及其分布
§1随机变量
定义设随机试验的样本空间为 是定义在样本空间S上的实值单值函数，称 为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量
满足如下两个条件（1） ，（2） =1
2．三种重要的离散型随机变量
（1） 分布
设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是 ，则称X服从以p为参数的 分布或两点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果：A与 ，则称E为伯努利实验.设 ，此时 .将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
的分布函数为
第四章随机变量的数字特征
§1．数学期望
定义设离散型随机变量X的分布律为 ，k=1,2，…若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为 ，即
设连续型随机变量X的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学期望，记为 ，即
定理设Y是随机变量X的函数Y= (g是连续函数)
（iii）设A，B是两个事件若 ，则 ，
（iv）对于任意事件A，
（v） （逆事件的概率）
（vi）对于任意事件A，B有
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
若事件A包含k个基本事件，即 ，里
§5．条件概率
（1）定义：设A,B是两个事件，且 ，称 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
（3） ；（4）若 在点x处连续，则有
2,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
若连续性随机变量X具有概率密度 ，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为
(2)指数分布
若连续性随机变量X的概率密度为 其中 为常数，则称X服从参数为 的指数分布。
（3）正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为 的正态分布或高斯分布，记为
概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率
1．概率 满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A
（2）规范性：对于必然事件S
（3）可列可加性：设 是两两互不相容的事件，有 （ 可以取 ）
2．概率的一些重要性质：
（i）
（ii）若 是两两互不相容的事件，则有 （ 可以取 ）
满足条件（1） ，（2） =1注意到 是二项式 的展开式中出现 的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。
（3）泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为 其中 是常数，则称X服从参数为 的泊松分布记为
§3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数
如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。
我们称 为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。
对于二维随机变量（X，Y）的分布函数 ，如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有 则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
2，
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 ，则
仍为连续性随机变量其概率密度分别为 又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为 则可化为
3
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 由于 不大于z等价于X和Y都不大于z故有 又由于X和Y相互独立，得到 的分布函数为
而 称为随机变量X和Y的相关系数
对于任意两个随机变量X和Y，
协方差具有下述性质
1
2
定理1
2 的充要条件是，存在常数a,b使
当 0时，称X和Y不相关
附：几种常用的概率分布表
分布
参数
分布律或概率密度
数学期望
方差
两点分布
，
二项式分布
，
泊松分布
几何分布
均匀分布
，
指数分布
正态分布
第五章大数定律与中心极限定理
§1．大数定律
方差的几个重要性质
1设C是常数，则有
2设X是随机变量，C是常数，则有 ，
3设X,Y是两个随机变量，则有 特别，若X,Y相互独立，则有
4 的充要条件是X以概率1取常数 ，即
切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望 ，则对于任意正数 ，不等式 成立
§3协方差及相关系数
定义量 称为随机变量X与Y的协方差为 ，即