辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三

2017-2018学年度上学期十二月考试高三试题数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}240,A x x x x Z =-≤∈，{}2,B y y m m A ==∈，则A B ⋂=( )A ．{0,1,4}B ． 0,1{,6}C ．{0,2,4} D ． 0,4{,16} 2.设复数121,2,()z i z bi b R =+=+∈，若12z z ⋅为实数，则b 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -23．已知数列{}n a 是递增的等比数列，13521a a a ++=，36a =，则579a a a ++=（ ） A.214 B.212C. 42D. 84 4. 函数234x y x =-+的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35．若圆C 与y 轴相切于点(0,1)P ,与x 轴的正半轴交于,A B 两点，且2AB =，则圆C 的标准方程为（ ）A. 22((1)2x y ++=B. 22(1)(2x y ++=C. 22((1)2x y +-=D. 22(1)(2x y -+= 6.设n S 是等差数列的前n 项和，若3613S S =，则612SS =（ ） A.310 B. 13 C. 18 D. 197.在ABC ∆中，90C ∠=︒且3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 68.已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A.34k ≥或4k ≤- B.344k -≤≤ C.15k <- D.344k -≤≤9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 96B.80+C.961)π+D.961)π+ 10．若函数()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则关于()f x 的描述中正确的是（ ）A.()f x 在51212ππ-（，）上是减函数 B.()f x 在5(,)36ππ上是减函数 C.()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数 D.()f x 在5(,)36ππ上是增函数 11.已知三棱锥O ABC -的顶点,,A B C 都在半径为3的球面上，O 是球心，56AOB π∠=,则三棱锥O ABC -体积的最大值为（ ）C.92D.9412.已知函数21()2ln ,()f x x x e e=≤≤，()2g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A.224[,]3e -- B.2[,2]e e - C.24[,2]e e - D.24[,]e-+∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则321z x y =++的最小值为 ．14．若0,0a b >>，且ln()0a b +=，则11a b+的最小值是 ． 15．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程^^^y b x a =⋅+的^b 约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为 ．16．设数列{}n a 中，11222,,||11n n n n n a a a b a a ++===+-，n N *∈，则数列{}n b 的通项公式为 ． 三、解答题17.已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222()sin cos a b c C C +-.（1）求角C ；（2）若c =2b a -的取值范围.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22,(1,2,3n n S a n =-=），数列{}n b 中，1n b =.点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式n a 和n b ；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求167n T <的最大整数n .19.网络购物已经被大多数人接受，随着时间的推移，网络购物的人越来越多，然而也有部分人对网络购物的质量和信誉产生怀疑。

对此，某新闻媒体进行了调查，在所有参与调查的人中，持“支持”和“不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取m 个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了9人，求m 的值；（2）是否有99.9%的把握认为支持网络购物与年龄有关？ 参考数据：22()())()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（，其中n a b c d =+++，20.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，EF AC ∥ ，2AD =,EA ED EF ==（1）求证：AD BE ⊥；（2）若BE =F BCD -的体积.21.已知函数21()ln 12a f x a x x +=++. （1）当12a =-时，求()f x 在区间1[,]e e上的最值；（2）讨论函数()f x 的单调性； （3）当10a -<<时，有()1ln()2af x a >+-恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，且直线3:4x m tl y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于不同的两点,A B .（1）求实数m 的取值范围；（2）设点(,0)M m ，若1MA MB ⋅=，求实数m 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数2()log (512)f x x x =-+--的定义域为D . （1）求集合D ；（2）设,a b D ∈，证明：3|3aba b +<+|. 试卷答案一、选择题1-5: ADDCC 6-10: AAACC 11、12：DB 二、填空题13． 3 14． 4 15． 57 16． 12n + 三、解答题17．（1）由余弦定理，可得2222cos a b c ab C +-=，∵222()sin cos a b c C C +-=，∴2cos sin cos ab C C C =，∴sin C =， 又02C π<<，∴3C π=．（2）由正弦定理2sin sin sin a b cA B C====， ∴22sin 4sin b a B A -=-22sin()4sin 3A A π=--3sin A A =-2)3b a A π-=+∵ABC 是锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62A ππ<<，∴5236A πππ<+<，cos()(3A π+∈ ∴2b a -的取值范围是()3,0-．18．解：（1）22n n S a =-，1122n n S a --=-，又1n n n S S a --=，（*2,n n N ≥∈）∴122n n n a a a -=-，∵0n a ≠，∴12nn a a -=，（*2,n n N ≥∈），即数列{}n a 是等比数列． ∵11a S =，∴1122a a =-，即12a =，∴2nn a =∵点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上，∴12n n b b +=+∴12n n b b +-=，即数列{}n b 是等差数列，又11b =，∴21n b n =- （2）∵()212nn c n =-，∴1122n n n T a b a b a b =+++=()23123252212n n ⨯+⨯+⨯++-，∴2321232n T =⨯+⨯++()()1232212n n n n +-+-因此：2312(222222)n n T -=⨯+⨯+⨯++⨯1(21)2n n +--即：34112(222)n n T +-=⨯++++1(21)2n n +--∴()12326n n T n +=-+∵167n T <，即：()12326167n n +-+<，于是()1232161n n +-<又由于当4n =时，()()152322432160n n +-=⨯-=，当5n =时，()()162322532448n n +-=⨯-=，故满足条件167n T <的最大正整数n 为4．19．试题解析：（1）由题意，得8009008002001003009m++++=，所以14m = （2）根据题意得22⨯列联表如下：所以21400(800300100200)376.44410.8289005001000400k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为是否支持网络购物与年龄有关20．解法一：（Ⅰ）如图，取AD 中点O ，连接,EO BO ．∵EA ED =，∴EO AD ⊥． 四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =， 又60DAB ∠=︒，∴ABD ∆为等边三角形， ∴BA BD =，∴BO AD ⊥．∵BO EO O ⋂=，BO ⊂平面BEO ，EO ⊂平面BEO ，∴AD ⊥平面BEO ， ∵BE ⊂平面BEO ，∴AD BE ⊥．（Ⅱ）在EAD ∆中，2EA ED AD ===，∴EO =，∵ABD ∆为等边三角形，∴2AB BD AD ===，∴BO =．又BE =222EO OB BE +=，∴EO OB ⊥，∵AD OB O ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ．又11222ABD S AD OB ∆=⋅⋅=⨯= ∴BCD ABD S S ∆∆==又：∵EF AC ∥， ∴13F BCD E BCD BCD V V S EO --∆==⋅133==21．（1） 当12a =-时，21()ln 124x f x x =-++，所以211()222x x f x x x-'=-+=． 因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以由()0f x '=得1x =．所以()f x 在区间1[,]e e 上的最值只可能在(1),f 1()f e，()f e 取到，而5(1)4f =，2131()24f e e =+，21()24e f e =+，所以()()2max124e f x f e ==+，()()min 514f x f ==．整理得()ln 11a +>-，所以11a e>-． 又因为10a -<<，所以a 的取值范围为1(1,0)e-． （2）()()21a x a f x x++'=，()0,x ∈+∞． ①当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞单调递减； ②当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞单调递增；③当10a -<<时，由()0f x '>得21ax a ->+，所以x >x <．故()f x 在)+∞上单调递增，在上单调递减； 综上，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞单调递增；当10a -<<时，()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减； 当1a ≤-时，()f x 在()0,+∞上单调递减．（3）由（2）知，当10a -<<时，min ()f x f >，即原不等式等价于()1ln 2af a >+-．即121a aa a +-+⋅+()11ln 2a a +>+-．22．解：（1）∵直线3:4x m t l y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），∴消去参数t ，得直线l 的普通方程为：()43y x m =-， ∵曲线C 的极坐标为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，圆心()1,0，半径1r =，根据题意知圆心到直线l的距离4|(1)|1m d -=<，计算得出19(,)44m ∈-． （2）直线3:4x m t l y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆22:2C x y x +=， 得()22256620t m t m m +-+-=，设方程的两根为12,t t ，则126625m t t -+=，2122,25m mt t -=，∵||||1MA MB ⋅=，∴2|2|1m m -=，计算得出1m =或1+1． 综上，实数m 的值为1．23．（1）解：|1||2|5x x ++-<，当2x ≥时，|1||2|215x x x ++-=-<，计算得出23x ≤<， 当12x -<<时，|1||2|35x x ++-=<恒成立， 当1x ≤-时，125x x ---+<，计算得出21x -<≤-， 综上，定义域{|23}D x x =-<<． （2）证明：原不等式3|||9|a b ab ⇔+<+229189a ab b ⇔++228118a b ab <++22(9)(9)0a b ⇔-->，由,a b D ∈，得229,9a b <<，原不等式得证。