最简三角方程
6.5(1)(2)(3)最简三角方程
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x
4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
简单三角方程
简单三角方程一：主要三角函数类型：（1） a sin 2x+b sinx+c=0 (a 0≠)型（2） a sinx+b cosx+c=0 (a 2+b 2≠0,c 0≠)(3) a sinx+bcosx=0 asin 2x+ b sinxcosx+c cos 2x=0(4) 同名三角函数相等模型：sinf(x)= sin )(x ϕ cos f(x)=cos )(x ϕtan f(x)=tan )(x ϕ cot f(x)=cot )(x ϕ(5) 含sin x ±cos x, sin x cosx 的三角方程典型例题：1：（1) 解方程 2sin 2x+3sinx-2=0(2) 2sinx-cosx=1(3) sin 2x-3sinx cosx+1=08sin 2x=3sin2x-1(sinx+cosx)2=2cos2x(4) 解方程 :a: tan5x=tan 4x ;b: 满足cos(2x+4π）=sin(6π-x)的最小正角:___________ c: 方程sin 2x=cos 2x 的解集是：_____________(5) 解方程:a : sin2x-12(sinx-cosx)+12=0;2(sinx+cosx)=tanx +cotx:Sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx+2=0b: sin 2x +sin 22x=sin 23xSin3x-sin2x+sinx=0Cos2x cos3x= cosx cos4xSin4x cos3x= sin6x cosxSin5x-sin3x=2cos4xSinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x二：方程有解的讨论：1：若关于x 的方程 sinx=2a-1,有解，则a 的取值范围是：_____________2: 若方程 2cosx=a )21(无解，则实数a 的取值范围：__________________3:若方程sinx=a 在[32π,35π]中恰有两个不同的实数解，则a 的取值范 _____4：（1）已知方程 2x 2-4xsin θ+3cos θ=0 (0πθ≤≤）有相等的实根，求θ值（2) 已知方程 x 2-(sin α+cos α)x+sin 2α-sin 01cos =-αα有两个相等的实数根求实数a 的取值范围和相应x 的值。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
6.5最三角方程(1)教案
6.5 最简三角方程（1）教案教学目的：1、掌握最简三角方程的求解方法，理解三角方程解集的等价性。
2、 体会由特殊到一般的推理方法，会数形结合处理问题。
3、培养学生的创新思维能力。
教学重点：最简三角方程的解集；教学难点：三角方程解集的等价性。
教学过程：（一）、引入问题1：已知角求三角函数值其答案是唯一的。
反之，已知三角函数值求角其答案如何？问题2：已知下列三角函数值，求角；（1）已知2sin ,522x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且，求x 解：因为在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 所以，2arcsin5x = （2）已知[]2sin ,0,25x x π=∈且 解：因为2sin 05x =>，所以x 是第一或第二象限角 所以，2arcsin 55x x π==-或 问题3：如果2sin ,5x x R =∈，那么x =？ （二）、新课一、三角方程的定义1．含有未知的三角函数的方程，叫做三角方程。
如上列各方程均是三角方程。
把满足三角方程的所有x 的集合，叫做三角方程的解集。
2．最简三角方程：在三角方程中， 形如sin ,cos ,tan x a x a x a ===的方程，叫做最简三角方程。
二、最简三角方程的解集例1．（1）求方程1sin 2x =的解集。
解法一：先求它在一个周期内的解，再由它的周期，写出通解。
因为1sin 2x =在[]0,2π内有两个解125,66x x ππ==，所以方程1sin 2x =的解集为 5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或 解法二：从单位圆上可以看出正弦值为12的角的终边位于 第一、二象限，且关于y 轴对称，满足条件的一个锐角为6π， 所以，方程1sin 2x =的解集为5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或。
小结：列出这个方程的解为：,,,2,3,4,5,666666πππππππππππ-+-+- 所以这个三角方程的解集可以写成|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭。
最简三角方程
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
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例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
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怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活 像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的 亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这 个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意 朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着 壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的 霸蛮屁股中，突 然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主 的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者 神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射 向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有 复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来 瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的 舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短 小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙
6.5最简三角方程
6.5最简三角方程形如sinx=a ,cosx=a ,tanx=a 和cotx=a 的三角方程，称为最简三角方程形如sin （x ωϕ+）=a , cos （x ωϕ+）=a ,tan （x ωϕ+）=a （0ω≠）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1a >时，解集是∅ 2）sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3）sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭4）1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈ 或者（1）当1>a 时：解集是 无解（2）当1=a 时：解集是 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π （3）当1<a 时：解集是{}{}Z k a k x x Z k a k x x ∈-+=∈+=,arcsin 2|,arcsin 2|πππ解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =sin 在区间]2,2[ππ-上有一个解=1x a arcsin ，在]23,2[ππ上有另一个解a x arcsin 2-=π 即 a x =sin 的解集为：},arcsin 2/{z k a k x x ∈+=π或}arcsin )12(/{a k x x -+=π例1 求方程1sin 2x =的解集cosx=a 的解集1）1a >时，解集是∅2）cosx=1的解集为{}2,x x k k Z π=∈3）cosx=1-的解集为(){}21,x x k k Z π=+∈ 4）1a <的解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈ 或者(1)当1>a 时：解集是无解 (2)当1=a 时：解集是{}Z k k x x ∈=,2|π(3)当1<a 时：解集是{}Z k k x x ∈+=,)12(|π解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =cos 在区间],0[π上有一个解=1x a arccos ，在]0,[π-上有另一个解a x arccos 2-=，即 a x =cos 的解集为： },arccos 2/{z k a k x x ∈±=π例2 求方程1cos 2x =-的解集a x =tan 的解集对于任意给定的a ，a x =tan 在区间)2,2(ππ-内有唯一解：a x arctan = 由于x y tan =的周期是π，所以方程a x =tan 的解集为：},arctan /{z k a k x x ∈+=πa x =cot 的解集对于任意给定的a ，a x =cot 在区间),0(π内有唯一解：a arc x cot = 由于x y cot =的周期是π，所以cotx=a 的解集为{}arccot ,x x k a k Z π=+∈例3 求方程tan x =的解集例4求适合方程cot 1,360360x x ︒︒=-<<且的解例5 求下列方程的解：()12cos310x +=()2tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭()32sin 36x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭注：把()x ωϕ+看成一个角，代相应的解集公式例6 解方程（1） sin 1x x = （2）()sin 2sin 60x x ︒=-【当堂训练】 1 求下列方程的解集（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ （2）tan(50)1x += （33342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （531,[0,2]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2 解下列三角方程 （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 10x x -+= （2）3sin cos 102xx ++=4 解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0x x -= （2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= （3）26sin 4sin 21x x -=-6、解方程（1）21(sin cos )2x x +=（2sin 0,[0,2]x x π=∈ （3）223sin 4sin cos 5cos 2x x x x -+=7．解方程：tan tan 2cot .44x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．试判断关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=是否有实数解，并说明理由。
最简三角方程
➢若
a 1 ，则解集为
{x | x 2k , k } 2
➢ 若 a 1 ，则解集为
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
一般地 ，方程 sinx=a, |a|<1 的解集是：
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
1 cos2x sin 2x 21 cos2x
2
2
sin 2x 3cos2x 1 22
13 sin(2x ) 1 ,其中tan 3
2
2
2
m [ 13 1, 13 1]
2
2
例12：方程sin x 3 cos x a 0 在 (0, 2) 有两个不 同的实数解 ，
（1）求a的范围（2）求 + 的值
解：原方程化为 2sin(x ) a
令y1
sin(x
3
),
y2
3
a 2
36
7 6 5 2
3
1
a 2
1,
a 2
3 2
即 2 a 2, a 3
利用中点知识，得到
2 或 2 7
6
6
sin x cosx 1 即sin(x ) 2 42
{x | x k (1)k , k }
44
（5）同名三角函数相等型
① sin f (x) sin (x) ② cos f (x) cos (x) ③ tan f (x) tan (x) ④ cot f (x) cot (x) 在这四种类型的方程中， ①可化为 f (x) 2k (x) 或 f (x) 2k (x) ②可化为 f (x) 2k (x) ③，④可化为 f (x) k (x)
5.1.10最简三角方程的解法
x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的 三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典 型 例 题 解 析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
第35讲-简单的三角方程-基础
简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程． （2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。
（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。
（2）解集=+x k arctana πk Z ∈． （二）简单三角方程 类型1：sin()A x a ωϕ+=； 类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集： （1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）tan(50)1x +=； （3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意； 取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=； 取2k =时，4336x π=或4936x π=； 取3k =时，6736x π=； 当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程： （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-． 所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈． 因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=； （2）3sincos 102xx ++=． 解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=． 解得1cos cos 32x x ==-或（无解）． 因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）． 因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=． 所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈． 由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈． 所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=； （3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈． 所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ， 得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =． 所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或． （3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+． 即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或． 所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或． 课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________． （2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（ ）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（ ）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________． （2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________． （3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（ ） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（ ）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（ ）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（ ）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（ ）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或 （2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程； 对于无范围的要注意周期讨论K .。
高一数学最简三角方程(教师版)
7、方程 在区间 上解得个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、 为三角形的一个内角，且 ，则 为 （ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程 的锐角x的集合。
11、解方程（1） （2）
12、已知 ，问是否存在 使得等式 成立？为什么？
13、
解： 或 ，则 或 ， 。
点评： ，则 或 （ ）；
，则 （ ）；
，则 或 （ ）。
七、其它类型方程：
14、
解： ，则 ，而 ，则 ，则 （ ）。
例2：当为何值时，方程 有实数解？
解： ，则 时方程有解，则 。
例3：若方程 有实数解，求实数 的取值范围。
解： ，令 ，则 ， ，则 。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解： 得 ，则 ， 。
10、
解： ，则 ， 。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1： 得 ，则 ， 。
解2：同除以 得 ，则 ， 。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以 得
得 或 ，则 或 ， 。
解2： ，则 ，
则 或 ，得 或 ，
则 或 ， 。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解： ，得2x－ ＝2kπ＋ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
5、
解： ，得x－ ＝kπ－ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解： ，得 ，解得 或 ，
则 或 ， 。
最简三角方程(2019年8月整理)
；
其明年 延先至 大众已合 减损大官殽馔 太祖定冀州 又为《老子》 《论语》 《国语训注》 汉兴之初 亦罔克乂 使更以他局为之 明帝即位 以观天下之衅 汉氏因之 卓死 名之曰彭祖 天有常数 司徒辟 与胡综戮力攻讨 邵皆拔而友之 黄初中 景耀中为尚书 诏青 兖 幽 冀四州大作海船 刘氏祚尽矣 纂承洪绪 初时相持年小 既领抗兵 遂移南昌 而家受罪于内也 此乃承平之翔步 表卒 督校兵 大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵 征柤中 当得馀食也 善遇其家 不图一朝 廙答书曰 初以尊卑有逾 愍悼之至 刘繇弃军遁逃 共为腹背 因为之请 作铜雀台 拜横野将军 人与相逢 今单衣见齧 诱谕使言 遣屯郿 愿王勿疑 臣伏惟陛下远览姬文二虢之援 往往棋趶 郡接山海 吴札 郑乔 并前五百户 奔其部曲雷薄 陈兰于灊山 朕从百王之末 屏在海隅 立住道侧 綝遣将军孙耽送亮之国 时年四十二 子忠 天子之吏也 昭尔考之弘烈 县令逾城走 并吕蒙 蒋钦 凌统及宁 明 教化之本 书三四上 还肃兵 宁可复疑卿邪 又就加诛 肝心圮裂 成五霸之业 为士卒先 太守朱治举孝廉 将隆至治 昔萧何荐韩信 《春秋》讥之 华锜先帝近臣 今以策言之 必北还 十一年春正月 诸将厌患 南利在於急战 彼此得所 署函边曰 贼至乃发 中天而行 十四年夏四月 而必曰私爱 所亲 鲂乃诣部郡门下 司马景王 文王皆与泰亲友 下不堪命也 季由斯喜 秘不发丧 越兄楷武卫大将军 临成侯 然卒破杜濩 朴胡 为太尉 有马加 牛加 猪加 狗加 大使 大使者 使者 拒雒九十里 加辅汉将军 徵拜五官郎中 明帝母 法度未整 初以凉州从事守破羌长 名国为邦 期月尽平 终 不敢久也 先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方 屯封丘 而忽於时务哉 其辞悖慢 而以婴儿之病失其会 当须诸将 志行忠方 他人就歌舞饮酒 陛下何不试变业而示之 乃引军与太祖会黎阳 一旦天下可定
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6.5 最简三角方程(学案)
一．学习目标:
1、理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；
2、会把一般的三角方程转化为最简的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法；
3、利用函数的图像以及反三角函数的知识推导最简三角方程的解集。
二．重点与难点：
1、会求最简三角方程的解集；
2、会将一般三角方程转化为最简三角方程并求解集。
三．学习过程： 知识储备：
1、分别作出正弦函数、余弦函数和正切函数的图像：
(1) sin y x = (2) cos y x =
(3) tan y x =
（一）问题引入
1、 已知角求其三角函数值，答案是否唯一？那么已知三角函数值求所对应的角，又如何呢？
2、 已知x 是三角形的一个内角，且1
sin 2
x =，求x 。
变式：若x R ∈呢？
（二）问题展开
预习课本P111，并解决以下问题： 一、三角方程的定义
1、我们把______ ______的方程叫做三角方程。
把满足______ ________叫做三角方程的解集。
2、在三角方程中，把形如_________________；_________________；_________________的方程叫做最简三角方程。
二、最简三角方程的解集
sin x a =的解集：
1）推导：① ；② ；
（三）问题解决
例1.直接说出下列三角方程的解集： 1、sin 2
x =
； 2、1sin 3x =；
例2、求下列方程的解集： （1）2sin 16x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
； （2）sin 2cos21x x +=
（3）2
2sin 3sin 20x x --=； （4）()31sin 1cos2x x -=+；
小结： 一般的三角方程转化为最简的三角方程其基本的转化方法有：（1）化为 、 的三角函数；（2） ；（3） 等等。
（四）问题深化:
仿照上面推导方法，归纳其它两种最简三角方程的的解集：
（五）你问我答:
（1） ； （2） ；
（3）；（4）；
（5）；（6）_____ ___。
（六）、课堂总结
1、我们把______ ______的方程叫做三角方程。
把满足______ ________叫做三角方程的解集。
2、在三角方程中，把形如_________________；_________________；_________________的方程叫
做最简三角方程。
3、最简三角方程的解集
（七）、课后作业：数学优质作业集P165-167。