1 定积分的概念
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
定积分的概念和性质
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定 积分的和(差)。即
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a
b
b
a
f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
a
b
• 证
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = lim ∑ [ f (ξ ) ± g (ξ )]∆x λ
a →0 i =1 n i i
y y=f(x)
0
a=x0 x1 x2 x3 xi −1
xi
xn −1 x = b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第 i个小曲边梯形的底 [ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i x i −1 ≤ ξ ≤ x i ), （ 它所对应的函数值是 f (ξ i ).用相应的宽为 ∆x i , 长为 f (ξ i )的小矩形 面积来近似代替这个小 曲边梯形的面积，即 ∆Ai ≈ f (ξ i ) ∆x i
• 证
b
a
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
b
（k为常数）
∫
b
a
kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi
λ →0
i =1 n b
n
= k lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x)dx
λ →0
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
f (ξ i ) ∆ x i .
f(ξ) ｉ
0
a=x0 x1
x2 xi −1ξｉxi
xn −1 x = b n
x
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的概念性质
o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
xo
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
(1) 已知 矩形面积＝高×底
将[a, b]分成 n 个小区间,
y
y = f ( x)
称为子区间.
记分点为 a x0 x1 x2 xn1 xn b 长度 过每个分点作平行于y 轴 的直线段, 把曲边梯形分
1 2
令xi xi xi 1是[ xi 1 , xi ]的 x0 a x1
0
xi 1 xi
i
xn 1 b xn
n
1 i n
于是:
S lim V ( i ) ti
0
i 1
n
二、定积分定义
1. 定义: 设函数f (x)在[a, b]上有界, 将[a, b]任意分成 n个子区间, 分点为
a x0 x1 x2 xn1 xn b
在每个子区间[xi-1, xi ]上任取一点i, i [xi-1, xi ],
T1 t0 t1 t 2 t n 1 t n T2
[T1, T2]分成 n 个小段 [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ]
每小段时间长 ti ti ti 1
(2)在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点i
由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为Si
x
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
第一节定积分的概念和性质
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
解
原极限
lim
n
n i 1
i n
cos
i n
1 n
易见，若取
xi
i n
,
O
1 n
2 n
...
i n
...
n 1 n
1
x
则
xi
1 n
,
i
i n
[
xi
1
,
xi
],
n
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
由此可见，被积函数应取为 f ( x) x cos x,
例2 利用定积分表示以下极限.
lim
n
n
1 n
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
n
解
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
i
i n
(i 1, 2,, n)
故
1 0
x 2dx
lim
n
1 n3
(12
22
Hale Waihona Puke 32 n2 )
详解定积分的定义
详解定积分的定义
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算在某一区间上函数的面积、体积、平均值等问题。
定积分的定义是通过分割求和来逼近曲线下的面积。
具体的定义如下：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]区间分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(ba)/n。
在每个小区间上任意选择一个点xi，构成一个小矩形，其高度为f(xi)。
则每个小矩形的面积为f(xi)Δx。
将所有小矩形的面积相加，得到一个近似的总面积：
S=f(x1)Δx+f(x2)Δx+...+f(xn)Δx
当n趋向于无穷大时，将上面的和记作∑f(xi)Δx。
定义定积分：
若当n趋向于无穷大时，∑f(xi)Δx的极限存在，并且与f(x)的选取和分割方式无关，那么我们称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
可以看出，定积分是通过将区间分割成无穷小的小矩形，再将每个小矩形的面积相加求得的。
当分割的越细致，得到的近似值越精确，最终得到的极限值就是定积分的准确值。
定积分的几何意义是曲线和坐标轴之间的有界区域的面积。
定积分还可以表示为反映函数f(x)在区间[a,b]上平均值的量，即∫[a,b]f(x)dx/(ba)。
§1 定积分的概念
b
的定积分，记作 af(x)dx，即_∫__baf_(_x_)d__x_＝__A_，其中∫叫作 积分号 ，
a 叫作 积分的下限 ，b 叫作积分的上限，f(x)叫作 被积函数 ．
2．定积分的几何意义
(1)当 f(x)≥0 时，∫baf(x)dx 表示的是 x＝a 与 x＝b ， y＝0 和 y＝f(x) 所围成曲边梯形的面积．
三、综合迁移·深化思维
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)02x2dx＝1.
b
(2)af(x)dx 的值一定是一个正数．
b
b
b
(3)a(x2＋2x)dx＝ax2dx＋a2xdx.
(√ ) ( ×) ( √)
2
2．已知 f(x)dx＝8，则 0
∫
1 0
[f(x)－g(x)]dx＝－5，则
∫
1 0
f(x)dx＝________.
(2)若∫ba2f(x)dx＝5，则13∫ba[2－f(x)]dx＝____________.
[解] (1)依题意知
1f(x)dx＋1g(x)dx＝3，
0
0
1f(x)dx－1g(x)dx＝－5，
0
解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的 左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平 面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.
s＝ 12×12＋12×1.22＋12×
1.42＋12×1.62＋12×1.82 ×0.2＝
1.02，S＝ 12×1.22＋12×1.42＋12× 1.62＋12×1.82＋12×22 ×0.2 ＝1.32，估计误差不会超过S－s＝1.32－1.02＝0.3.
定积分的概念
04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面 积，如矩形、圆形、三角形等。通过 选取适当的积分变量和积分区间，可 以将面积表示为定积分的形式，进而 求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的 图形，也可以利用定积分计算其面积。 通过消去参数，将参数方程转化为直 角坐标方程或极坐标方程，再利用定 积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函 数拆分成两个或多个函数的乘积，利用 乘积法则进行分部积分，从而简化计算 过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被 积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然 后利用乘积法则进行分部积分。这种方法 需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式 ，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分 问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小 的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化 计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需 要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非 常有用，特别是当我们需要找到一个 特定的点，使得函数在该点的值等于 整个区间的定积分时。
定积分的定义和性质
定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。
在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。
它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。
选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。
3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。
这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。
三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。
下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。
例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。
2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。
这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。
定积分的概念和性质
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念
f ( x) 在 [a, b] 上的平均值．
例如曲边梯形的平均高度、变速直线运动物体的平均速度等．
例1 解
设函数 f ( x) = x 2 在区间 [0, 1] 上可积，求 ∫ x 2 dx 的值．
0
1
将区间 [0, 1] 等分为 n 份，分点为 = xk
k = (k 0,1, , n) ． n
2
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数 − A （见图1），
即
∫
y
a
b a
f ( x)dx = − A ．
y
b
x
O
y = f ( x)
a
A
O
A2
A1
b
y = f ( x)
A3
A3
x
图1
图2
若 y = f ( x) 在 [ a, b] 上连续，且既取正值又取负值时（见图2），此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A ，即
∫
b a
f ( x ) dx = A ．
若 y = f ( x) 在 [a, b] 上连续且非正，即 f ( x) ≤ 0 ，此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
S = ∫ v(t )dt ．
a
b
变力做的功是 F ( x) 在区间 [a, b] 上的定积 物体在变力 F ( x) 的作用下从点 a 运动到点 b ， 分，即
W = ∫ F ( x)dx ．
a b
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分（Definite Integral）是一种积分形式，它可以用来求解一部分定义域上函数的积分。
它的定义域一般以闭区间[a,b]表示，其中a和b都是定义域内的定点，也就是说，它是定义在 [a,b] 上的函数f(x)的积分。
定积分的计算公式是：
∫a b f (x)dx=F(b)-F(a)
其中F(x)是以f(x)为基础的任何可求得的积分函数，a和b分别是定义域的两个端点。
定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以用来求解函数在某一定义域上的导数。
举例来说，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分计算公式就可以写为：
∫1 2 2x dx=F(2)-F(1)=F(2)-5
于是得出定积分值：
∫1 2 2x dx=F(2)-5=7
定积分也可以用来求解函数的导数，例如，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分的偏导数可以写为：
∫1 2 d/dx(2x)dx=F'(2)-F'(1)=f(2)-f(1)=4-2=2
同样也可以得出偏导数：
d/dx(2x)=2
因此，定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以
用来求解函数在某一定义域上的导数。
定积分的定义和计算
定积分的定义和计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体积等物理量。
本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定积分的定义定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间的长度为Δx。
选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的函数值f(xi)。
将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。
当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐接近定积分的准确值。
定积分的定义可以表示如下：∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。
二、定积分的计算方法定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。
1. 基本积分公式定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。
例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。
（1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立：∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx（2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立：∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx（3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教案(含解析)2数学教案
1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形． 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S 1或S 2，即为曲边梯形面积S 的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 1．定积分的概念给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记Δx i 为第i 个小区间[x i －1，x i ]的长度，ξi 为这个小区间上一点，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋ f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，就称A 是函数y ＝f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝A ，其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是x ＝a 与x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成曲边梯形的面积．(2)当f (x )(f (x )≥0)表示速度关于时间x 的函数时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所经过的路程．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x ；(3)⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； (4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .1．由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．过剩估计值和不足估计值的应用[例1] )＝－t 2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：S ＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s ＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．1．把区间[0,1]n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n 等分，所以每个小区间的长度为1n.2．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝12x 2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s 和过剩估计值S .s ＝⎝ ⎛ 12×12＋12×1.22＋12×⎭⎪⎫1.42＋12×1.62＋12×1.82×0.2＝1.02， S ＝⎝ ⎛12×1.22＋12×1.42＋12×⎭⎪⎫1.62＋12×1.82＋12×22×0.2＝1.32， 估计误差不会超过S －s ＝1.32－1.02＝0.3.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1) ⎠⎛－1 14－x 2d x ；(2)⎰522ππ(1＋sin x )d x .[思路点拨] 定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．[精解详析] (1)由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为π3的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，⎰522ππ(1＋sin x )d x 表示阴影部分的面积，由图像的对称性可知：⎰522ππ(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：(1) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ； (2) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x .解析：(1)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAP 的面积，⎠⎛01x 2d x 表示阴影部分的面积，显然⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x .(2)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAB 的面积，∫21x d x 表示梯形ABDC 的面积，故⎠⎛01x d x <∫21x d x .答案：(1)> (2)<4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1) ⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的面积．由S 圆＝π，得⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 利用定积分的性质求定积分[例3] (1)若⎠⎛01[f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01[f (x )－g (x )]d x ＝－5，则∫10f (x )d x ＝________.(2)若⎠⎛a b 2f (x )d x ＝5，则13⎠⎛a b[2－f (x )]d x ＝____________.[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． [精解详析] (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2， 故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵⎠⎛a b 2f (x )d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＝5，∴⎠⎛abf (x )d x ＝52. 于是13⎠⎛a b [2－f (x )]d x ＝13⎣⎡⎦⎤⎠⎛ab2d x －⎠⎛a bf x d x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.[答案] (1)－1 (2)23b －23a －56[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：56．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎠⎛12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52. (1)定积分⎠⎛a bf (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f (x )所表示的图形以及积分上、下限．1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563， 求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
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§1.定积分的概念
※ 学习目标
1．理解定积分产生的背景；
2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：
导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用
导数在解决数学最值问题上的方法步骤
二、研读课本 课本问题1
图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.
新知总结
积分问题的基本思路及步骤 1、分割：
将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0<x 1<x 2<…<x 1-i <x i <…<x 2-n <x 1-n <x n =b ，则将区间分成了[a ，x 1]，[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，…，[x 1-i ，x i ]，…，[x 2-n ，x 1-n ]，[x 1-n ，b]n 个区间，记第i 个区间[x 1-i ，x i ]长度为△x i （i=1，2，3，…，n ），过每个分点x i 作x 轴的垂线段，则将曲边梯形分割成了n 个小的曲边梯形；
2、近似代替：
在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；
3、求和：
S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2
)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…
+ f(ξ
1-n )·△x 1-n + f(
ξn )·△x n =∑=∆ξn
i i i x f 1
)(
4、取极限：
分割的细度n →∞，则S=∞
→n lim
∑=∆
ξn
i i
i
f 1
)(
课本问题二
想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：
v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）
⎰
1
2dx （2）⎰21
xdx （3）⎰--1
1
21dx x
小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.
知识点： 定积分有如下性质：
性质1
⎰b
a dx 1=
性质2 ⎰b a dx x kf )(=
性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=
性质4 ⎰b a
x f )(=⎰c
a
x f )(+⎰b
c
x f )(
三 动手试试 练1. 面积问题：
设S 表示由曲线y=x ，
直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.
(1）画出该平面图形；
（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.
练2. 做功问题
一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所
示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.
估计这一过程中拉力所做的功W.
练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰
21
ln xdx （3）⎰
-11dx e x
※ 总结提升 学习小结
1. 积分问题的基本思路及步骤：
1、分割；
2、近似代替；
3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）
1．利用定积分的几何意义求下列定积分
（1）
⎰2
12xdx （2）⎰
-
2
24dx x
（3）⎰
-1
1
dx x
2．已知⎰10dx e x
=e ，⎰
10
2dx x ，求下列定积分：
（1）⎰
+1
2)(dx x e x
（2）
⎰
-1
2)2(dx x e x
3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.
4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=
x
11
,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.。