1 定积分的概念

§1.定积分的概念

※ 学习目标

1．理解定积分产生的背景；

2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：

导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用

导数在解决数学最值问题上的方法步骤

二、研读课本 课本问题1

图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.

新知总结

积分问题的基本思路及步骤 1、分割：

将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0

2、近似代替：

在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；

3、求和：

S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2

)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…

+ f(ξ

1-n )·△x 1-n + f(

ξn )·△x n =∑=∆ξn

i i i x f 1

)(

4、取极限：

分割的细度n →∞，则S=∞

→n lim

∑=∆

ξn

i i

i

f 1

)(

课本问题二

想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：

v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).

请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.

例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）

⎰

1

2dx （2）⎰21

xdx （3）⎰--1

1

21dx x

小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.

知识点： 定积分有如下性质：

性质1

⎰b

a dx 1=

性质2 ⎰b a dx x kf )(=

性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=

性质4 ⎰b a

x f )(=⎰c

a

x f )(+⎰b

c

x f )(

三 动手试试 练1. 面积问题：

设S 表示由曲线y=x ，

直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.

(1）画出该平面图形；

（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.

练2. 做功问题

一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所

示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.

估计这一过程中拉力所做的功W.

练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰

21

ln xdx （3）⎰

-11dx e x

※ 总结提升 学习小结

1. 积分问题的基本思路及步骤：

1、分割；

2、近似代替；

3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）

1．利用定积分的几何意义求下列定积分

（1）

⎰2

12xdx （2）⎰

-

2

24dx x

（3）⎰

-1

1

dx x

2．已知⎰10dx e x

=e ，⎰

10

2dx x ，求下列定积分：

（1）⎰

+1

2)(dx x e x

（2）

⎰

-1

2)2(dx x e x

3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.

4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=

x

11

,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.