两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件

两点间距离公式： P1P2= (x1x2)2(y1y2)2.
接下来，我们继续考虑如何运用两点间
的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用
α、β的三角函数来表示的问题.
如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, P3 并作出角α、β和–β， 各点坐标： P1(1, 0), P2(cosα, sinα),
这∴里，c等os号α 两=s边in的(π2角–的α)和，为π2 ，
这就是说，诱导公式
cos(
π 2
–α)
=sinα，
sin(π2 –α)＝ cosα,
当α为任意角时仍然成立.
cos(
π 2
–α)
=sinα， sin(π2 –α)＝
cosα,
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、
余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之
间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式
都叫作和角公式.
tan α+tanβ
tan (α+β)= 1–tan αtanβ .
∵ tan (–β)=
sin(–β) cos(–β)
（T（α+β）） = –tanβ，
∴ tan (α–β)=
cos(α –β) ＝cosα cosβ +sinα sinβ.
cos(
π 2
–α)
（C（α–β））
＝cos
π 2
cosα
+
sin
π 2
sinα =sinα，
即
cos(
π 2
–α)
=sinα，
这里，等号两边的角的和为π2 ，
∴ cosα =sin(π2 –α)，
即
cos(
π 2
–α)
=sinα，
或 sin15°=sin( 45°–30°) =sin45°cos30°–cos45°sin30°
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. cos15°=sin75° 6 2 ; 4
或 cos75°=cos(45°–30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,
当 cos(α+β)≠0 时，有 （S（α–β））
tan (α+β)=
sin (α+β) cos (α+β)
sinαcosβ+cos cos αcosβ–sin
αα,ssiinnββ
若 cos αcosβ≠0，得 tan (α+β)=
tan α+tanβ 1–tan αtanβ
2 3
，α∈(
π,2π)，
cosβ= –
3 4
,
β∈(π，
3),π2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
sin(α+β)
=sinαcosβ +cosαsinβ
2 ( 3 ) ( 5)( 7) 6 35 ,
34
34
12
∴
tan (α+β)=
sin6(α+β3)5 3cos5(α+2β)7
新课标人教版课件系列
《数学》 必修4
3.1.2《两角和与差的 正弦、余弦、正切》
审校：王伟
教学目标
▪ 理解以两角差的余弦公式为基础，推导 两角和、差正弦和正切公式的方法，体 会三角恒等变换特点的过程，理解推导 过程，掌握其应用.
▪ 二、教学重、难点
▪ 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公 式的推导过程及运用；
（C（α+β））
sin(α+β) =QM =NE+QF
yQ
=ONsinα+QNcosα
α
= sinαcosβ + cosαsinβ; cos(α+β)
=OM =OE–FN
P
∟
F
β
N
α
∟
∟
=ONcosα– QNsinα O M E 1 x
= cosαcosβ – sinαsinβ.
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
.
tan α+tanβ
tan (α+β)= 1–tan αtanβ .
∵ tan (–β)=
s–isnin(–ββ) ccooss(β–β)
=
（T（α+β）） –tanβ，
∴ tan (α–β)=
tan α–tanβ 1+tan αtanβ
.
（T（α–β））
公式S（α+β）、 C（α+β）、 T（α+β）给出
例2、已知 sinα=
2 3
，α∈(
π,2π)，
cosβ= –
3 4
,
β∈(π，
3),π2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
解：∵ sinα=
2 3
，α∈(
π, π)， 2
∴ cosα= 1sin2α 1 ( 2)2 5 ;
3
3
∵ cosβ= –
3 4
,
β∈(π，
3),π2
∵ tan(A+B)= tanAtanB , 1tanAtanB
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)
=tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
cos[α +(–β)]
（C（α+β））
＝cosα cos(–β) – sinα sin(–β)，
cos(α –β) ＝cosα cosβ +sinα sinβ.
例如 cos(113°–27°) （C（α–β）） ＝cos113°cos27°+ sin113°sin27°; cos(113°+27°) ＝cos113°cos27°+ sin113°sin27°;
例如 cos(62°+59°) ＝cos62°cos59°– sin62°sin59°;
cos(113°+27°) ＝cos113°cos27°– sin113°sin27°;
cos[α +(–β)] ＝cosα cos(–β) – sinα sin(–β)，
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ， 等号右边“±”的记忆方式：（C（α–β）） 在锐角范围内，正弦函数是增函数，
余弦函数是减函数，
∴
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
（S（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
记忆方式：
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)
y
=[cos(–β)–cosα]2
P3
P2
+[sin(–β)–sinα]2,
β α+β α
O –β P1 x
P4
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)
=[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2,
cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α
∴ sinβ= 1sin2β 1( 3)2 7 ;
4
4
例2、已知 sinα=
2 3
，α∈(
π,2π)，
cosβ= –
3 4
,
β∈(π，
3),π2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
∴ sin(α–β)
=sinαcosβ +cosαsinβ
2 ( 3 ) ( 5)( 7) 6 35 ;
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
34
34
12
例2、已知 sinα=
2 3
，α∈(
π,2π)，
cosβ= –
3 4
,
β∈(π，
3),π2
求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).
cos(α+β)
=cosαcosβ –sinαsinβ
( 5)( 3) 2 ( 7 ) 3 5 2 7 ;
3 43 4
12
例2、已知 sinα=
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，
∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
（C（α+β）） 这个公式对于任意角α、β都成立.
32
527 17
7.
例3、利用和角公式求 1 tan15 的值. 1 tan15
解：1 tan15 tan45ta1n5 1 tan15 1tan45ta1n5
=tan(45°+15°) =tan60° 3.
例3′、△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
来自百度文库
P1(x1, y1) N1(0, y1)
P3(cos(α+β), sin(α+β)),
P4(cos(–β), sin(–β)),
y
P2 β α+β
α O –β P1 x
P4
各点坐标：P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)),
P4(cos(–β), sin(–β)),
由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
运用上述公式，得
sin(α+β)= cos[π2 –(α+β)]
=cos[(
π 2
–α)–β]
=cos(
π 2
–α)cosβ
+sin(π2 –α)sinβ
=sinαcosβ +cosαsinβ,
即 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, 在上式中用–β代替β，得 （S（α+β））
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
余弦和正切的值.
tan75°= scions7755°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan75°=tan(45°+30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、 余弦和正切的值. sin15°=cos75° 6 2 ; 4
余弦和正切的值.
解： sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30°
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
cos75°=cos(45°+30°)
=cos45°cos30°–sin45°sin30°
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
▪ 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和 正切公式的灵活运用.
在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角α、β的三角函数值， 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起。
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
tan α–tanβ 1+tan αtanβ
.
（T（α–β））
类似地，公式S（α–β）、 C（α–β）、
T（α–β）都叫作差角公式.
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β））
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, （S（α–β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β））