2016年高考数学理(全国卷1)试题及解析

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2016年高考真题——理科数学(新课标Ⅰ卷) 含解析

2016年高考真题——理科数学(新课标Ⅰ卷) 含解析

绝密★启封并使用完毕前试题类型:A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页,24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合2{|430}A x xx =-+<,{|230}B x x =->,则AB =(A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3(,3)2【答案】D考点:集合运算(2)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +(A)1 (B)2 (C 3 (D)2【答案】B 【解析】试题分析:因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B.考点:复数运算(3)已知等差数列{}na 前9项的和为27,10=8a,则100=a(A )100 (B )99 (C )98 (D)97 【答案】C 【解析】试题分析:由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点:等差数列及其运算(4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A)错误! (B )错误! (C )错误!(D )错误! 【答案】B考点:几何概型(5)已知方程错误!–错误!=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )(–1,3) (B )(–1,错误!) (C )(0,3) (D)(0,错误!)【答案】A【解析】由题意知:双曲线的焦点在x 轴上,所以2234mn m n ++-=,解得:21m =,因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线,所以1030n n +>⎧⎨->⎩,解得13n n >-⎧⎨<⎩,所以n 的取值范围是()1,3-,故选A .考点:双曲线的性质(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是错误!,则它的表面积是(A)17π (B )18π (C )20π (D )28π【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知:该几何体是78个球,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=,故选A .考点:三视图及球的表面积与体积(7)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为(A ) (B )(C ) (D )【答案】D考点:函数图像与性质(8)若101a b c >><<,,则 (A )cc ab <(B )cc abba <(C )log log ba a cbc <(D )loglog ab c c <【答案】C考点:指数函数与对数函数的性质(9)执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足(A )2y x =(B )3y x =(C )4y x =(D )5y x =【答案】C 【解析】试题分析:当0,1,1x y n ===时,110,1112x y -=+=⨯=,不满足2236x y +≥;2112,0,21222n x y -==+==⨯=,不满足2236x y +≥;13133,,236222n x y -==+==⨯=,满足2236xy +≥;输出3,62x y ==,则输出的,x y 的值满足4y x =,故选C 。

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B . [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C .[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题. 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位:小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D . [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目.〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C .[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题. 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C .[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交.又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A .[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题. 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B .[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档.〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B .[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题.〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-;当11x -≤≤时,()()f x f x -=-;当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =.又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--.于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D .[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题. 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数;函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数.都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A .[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档.第II 卷〔共100分〕二、填空题:本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为. [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立;i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立;i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立;所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答. 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =.[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-.[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型.〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为.[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==.[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ,,,的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为. [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=. [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是.[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根;又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤;故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞,. [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题.三、解答题:本大题共6题,共75分.〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+. 〔1〕证明:2a b c +=; 〔2〕求cos C 的最小值.解:〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=.〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭.所以cos C 的最小值为12. [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质.〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线.〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证://GH 平面ABC ;〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值.解:〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ;又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ;所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC .〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系.123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅.二面角F BC A --的余弦值为77. [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+.〔1〕求数列{}n b 的通项公式;〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .解:〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+.又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+.当1n =时,1211b d =-;当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+. 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以2,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅.[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题.〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分;如果只有一人猜对,则"星队〞得1分;如果两人都没猜对,则"星队〞得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.假设"星队〞参加两轮活动,求: 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率;〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX . 解:〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞.设"至少猜对3个成语〞为事件A ;"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=;33221()44334P C =⋅⋅⋅=.所以512()()()1243P A P B P C =+=+=.〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=;112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==;1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=;123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==; 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==;3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==; XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题.〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈.〔1〕讨论()f x 的单调性; 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立.解:〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=---23(1)(2x ax x =--),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减;②当a =2时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >2时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减.〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+--,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+--)2--, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++-2---(--23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+), 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =;又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增;02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减;又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =.所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=))-. 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立. [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题.〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.〔1〕求椭圆C 的方程;〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . 〔i 〕求证:点M 在定直线上;〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标.解:〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=.〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=.于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-. 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以点M 在定直线14y =-上.〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=;再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+.令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94.此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭.所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭. [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题.。

2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)

(D) 37 2 33 4
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由题意, uuur uuur DA DB
DA
uuur DB
DB uuur DC
DC ,所以 D
uuur DC

uuur DA

2

到uuurA,uBuu,rC 三uuu点r 的uuu距r 离uu相ur 等u,uurD DA DB DB DC DB DA
纵坐标不变,得 y sin(ωx φ) 的图象,另一种是把 y sin x 的图象横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不 ω
变,得 y sin ωx 的图象,向左平移 φ 个单位得 y sin(ωx φ) 的图象. ω
(4)【2016 年四川,理 4,5 分】用数字 1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
uuuur uuuur
uuuur 2
DA DB DB DC DC DA 2 ,动点 P , M 满足 AP =1 , PM MC ,则 BM 的最大值是( )
(A) 43 4
(B) 49 4
(C) 37 6 3 4
(C) 2 2
(D)1
【答案】C
【解析】如图,由题可知
F

p 2
,
0

,设
P
点坐标为
y02 2p
, y0
,显然,当
y0
0 时, kOM
0;
y0 0
时, kOM 0 ,要求 kOM 最大值,不妨设 y0 0 .

2016高考理科数学全国1卷-含答案

2016高考理科数学全国1卷-含答案

2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合{}0342<+-=x x x A ,{}032>-=x x B ,则=B A(A )(3-,23-) (B )(3-,23) (C )(1,23) (D )(23-,3)(2) 设yi x i +=+1)1(,其中x ,y 是实数,则=+yi x(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(3) 已知等差数列{}n a 前9项的和为27,810=a ,则=100a(A )100 (B )99 (C )98 (D )97(4) 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )31(B )21 (C )32 (D )43 (5) 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是 (A )(1-,3) (B )(1-,3) (C )(0,3) (D )(0,3)(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π(7) 函数xe x y -=22在[]22,-的图象大致为(A ) (B ) (C ) (D )(8) 若1>>b a ,10<<c ,则(A )c c b a < (B )c c ba ab < (C )c b c a a b log log < (D )c c b a log log <(9) 执行右图的程序框图,如果输入的0=x ,1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足(A )x y 2= (B )x y 3= (C )x y 4= (D )y (10) 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 点.已知24=AB ,52=DE ,则C (A )2 (B )4 (C )6 (D )8(11) 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α∥平面11D CB ,α∩平面m ABCD =,α∩平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A )23 (B )22 (C )33 (D )31(12) 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>,4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴,且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)

2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区:山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分. 考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3. 考试结束,监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2430={|}A x x x -+<,3{}0|2x B x ->=,则A B =( ) A .3(3,)2--B .3(3,)2-C .3(1,)2D .3(,3)22.设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则|i |x y +=( )A .1 BCD .23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =( )A .100B .99C .98D .974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .13 B .12 C .23D .345.已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A .(1,3)-B.(1-C .(0,3)D.6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 ( )A .17πB .18πC .20πD .28π7.函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为( )ABC D 8. 若0a b >>,01c <<,则( )A .cca b <B .ccab ba > C .alog log b a c b c <D .log log a b c c<9.执行右面的程序框图,如果输入的0x =,1y =,1n =,则输出x ,y 的值满足( )A .2y x =B .3y x =C .4y x =D .5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点,已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .811.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,//α平面11CB D ,α平面=ABCD m ,α平面11=ABB A n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A B CD .1312.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5(,)1836ππ单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a (,1)m =,b (1,2)=,且|a +b ||2=a ||2+b 2|,则m = . 14.5(2x 的展开式中,3x 的系数是 (用数字填写答案).15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则12n a a a …的最大值为 . 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. (Ⅰ)求C ;(Ⅱ)若c =ABC △,求ABC △的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60. (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率,记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数,n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19与n =20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ,直线l 过点(10)B ,且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ)证明||||EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)设1x ,2x 是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲如图,OAB △是等腰三角形,120AOB ∠=.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与⊙O 相切;(Ⅱ)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB CD ∥.23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. (Ⅰ)说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .24.(本小题满分10分),选修45-:不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. (Ⅰ)在图中画出()y f x =的图象; (Ⅱ)求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<,{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭,故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+,x xi 1yi ∴+=+,即x 1x y =⎧⎨=,解得x 1y 1=⎧⎨=,即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列,又10a 8=,【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双,方【解析】f (x)y =时,y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4.【提示】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【考点】圆与圆锥曲线的综合,抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图,α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA,11CB D △60,则m 32.【提示】画出图形,判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=,即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数,f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调,πππ361812-=时,11π4-+π2ϕ≤,9π4-+ϕ,π2ϕ≤,ω【答案】2-222a b a b +=+,可得a b 0=,向量a (m,1)=,b (1,2)=,n123n (q++++-…6264==.【提示】设A ,B 两种产品分别是标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可.【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】(Ⅰ)在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2,(a ∴的周长为5+(Ⅰ)A BEF 为正方形,AFD 90∠=,A F DF ∴⊥,DF EF F =,AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF (Ⅱ)由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠.A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ,EB (0,2a,0)∴=,a BC ,⎛= ,AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=,则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩,则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩,则,取n (0,3,4)=的大小为θ,m n |m ||n |31316==++【提示】(Ⅰ)证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ;(Ⅱ)证明四边形EFDC 为等腰梯形,4040=1EX EX <解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时,S 取得最小值12,又10>,可得3S 24833<=【提示】(Ⅰ)求得圆A EB ED =,再由圆的定义和椭圆的定义,b ,c ,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l :x my =+0)1x ,2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时,e 1,OA OB =120,OK ∴30,1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切;D 四点所在圆的圆心,设四点所在圆的圆心,OA OB =的中垂线,∴AB 中点,连结30,1OK OAsin30OA 2=曲线如图:(Ⅱ)由f (x)1>,可得,当3当x ≥时,4x 1->,解得x 5>或x 3<,即有x 3≤<或x 5>.(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f (x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所。

2016年高考理科数学全国1卷,附答案

2016年高考理科数学全国1卷,附答案

2016 年高考数学全国 1 卷(理科)一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,每小题只有一项是符合题目要求的.9.执行如图的程序框图,如果输入的x=0, y=1,n=1,则输出x ,y 的值满足()2﹣4x+3<0} ,B={x|2x ﹣3>0} ,则 A ∩B=()1.设集合 A={x| x A .(﹣3,﹣)B .(﹣3, ) C.(1, )D .( ,3)2.设( 1+i )x=1+yi ,其中 x ,y 是实数,则 |x+yi|= ( ) A .1B.C.D. 23.已知等差数列 {a n } 前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a100=( )A .100B.99C.98D. 97 4.某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A .y=2xB .y=3xC . y=4xD.y=5x A .B.C .D .10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点,交 C 的准线于 D 、 E 两点.已知 |AB|=4,|DE|=2 ,则 C 的焦 点到准线的距离为( ) 5.已知方程﹣=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( )A .2B.4C.6D.8A .(﹣1, 3) B .(﹣1, )C .( 0,3)D.( 0,)11.平面 α过正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ,α ∥平面 CB 1D 1,α ∩平面 ABCD=,m α ∩平面 ABB 1A 1=n ,则 m 、n所成角的 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,正弦值为( ) 则它的表面积是()A .B.C.D .12.已知函数 f (x )=sin ( ωx+φ)(ω>0,| φ| ≤ ), x=﹣为 f ( x )的零点, x= 为 y=f (x )图象的对称轴, 且 f ( x )在(, )上单调,则 ω 的最大值为() A .17πB . 18πC .20πD .28πA .11B.9C.7D. 57.函数y=2x2﹣e |x|在[﹣2,2] 的图象大致为()二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分 .13.设向量=(m , 1), =(1,2),且 |+ | 2=| | 2+| | 2,则m= .14.(2x+)5 的展开式中, x 3 的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列 {a n } 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2⋯ a n 的最大值为.A .B .C .D .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg ,乙材料 1kg ,用 5 8.若 a >b >1,0<c <1,则()个工时;生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg ,乙材料 0.3kg ,用 3 个工时,生产一件产品A 的利润为 2100 元,生产一件 A .ac <b c B .ab c <ba c C .alogc <b c B .ab c <ba c C .alogb c <blog a c D .log a c <log b c产品B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg ,乙材料 90kg ,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.第 1页共 9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理三、解答题:本大题共 5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或步骤.19.(12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器演算外时,可以额17.(12 分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,整理集并(Ⅰ)求C;应同时购买几个易损零件,为此搜状图:得如图柱以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示 2 台机器三年内共需更为,求△ABC的周长.(Ⅱ)若c= ,△ABC的面积换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5 ,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19 与n=20 之中选其一,应选用哪个?18.(12 分)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DE与二面角C﹣B E﹣F都是60°.A F﹣﹣(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;A的余弦值.B C﹣(Ⅱ)求二面角E﹣第2页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师20.(12 分)设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆 A 于C,D两点,过 B 作2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D两点,过 B 作21.(12 分)已知函数 f (x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)x+a(x﹣1)2 有两个零点.AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)求 a 的取值范围;(Ⅰ)证明|EA|+|EB| 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(Ⅱ)设x1,x2 是f (x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l 交C1 于M,N两点,过 B 且与l 垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.第 3 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. [ 选修4-5 :不等式选讲]24.已知函数 f (x)=|x+1| ﹣|2x ﹣3| .[ 选修4-1 :几何证明选讲] (Ⅰ)在图中画出y=f (x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x)| >1 的解集.22.(10 分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[ 选修4-4 :坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1 的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1 是哪种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足tan α0=2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,求a.第 4 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理2016 年高考数学全国 1 卷(理科)参考答案与试题解析7.【解答】 解:∵ f (x )=y=2x 2﹣e |x| ,∴ f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |x| ,∴ f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |﹣x | =2x 2﹣e |x| ,故函数为偶函数, 一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2 2 x当 x=±2 时, y=8﹣e ∈( 0,1),故排除 A ,B ; 当 x ∈[0 , 2] 时, f (x ) =y=2x ﹣e ,1.【解答】 解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}= (1,3),B={x|2x ﹣3>0}= ( ,+∞),∴ f ′( x )=4x ﹣e x =0 有解,故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ,2] 不是单调的,故排除 C ,x =0 有解,故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ,2] 不是单调的,故排除 C ,故选: D∴A ∩B=( ,3),故选: D8.【解答】 解:∵ a >b >1,0< c <1,2.【解答】 解:∵( 1+i ) x=1+yi ,∴ x+xi=1+yi ,即,解得,即 |x+yi|=|1+i|=,∴函数 f (x) =x c 在( 0,+∞)上为增函数,故 a c >b c ,故 A 错误;c 在( 0,+∞)上为增函数,故 a c >b c ,故 A 错误; 故选: B .函数 f (x )=x c ﹣1 在( 0,+∞)上为减函数,故 a c ﹣1<b c ﹣1,故 ba c <ab c,即 ab c >ba c ;故 B 错误; c ﹣1 在( 0,+∞)上为减函数,故 a c ﹣1<b c ﹣1,故 ba c <ab c ,即 ab c >ba c ;故 B 错误;log a c <0,且 log b c <0,log a b < 1,即= <1,即 log a c >log b c .故 D 错误;3.【解答】 解:∵等差数列 {a n }前 9 项的和为 27,S 9===9a 5 .0<﹣l og a c <﹣l og b c ,故﹣b log a c <﹣a log b c ,即 blog a c >alog b c ,即 alog b c <blog a c ,故 C 正确;∴9a 5=27,a 5 =3,又∵ a 10=8,∴ d=1,∴ a 100=a 5+95d=98,故选: C故选: C4. 【解答】 解:设小明到达时间为y ,当 y 在 7: 50 至 8:00,或 8:20 至 8:30 时,9.【解答】 解:输入x =0,y=1,n=1,则x =0,y=1,不满足x2+y 2≥ 36,故 n=2,2+y 2≥ 36,故 n=2,小明等车时间不超过10 分钟,故 P= = ,故选: B则x= ,y=2,不满足x 2+y 2≥ 36,故 n=3,则x = ,y=6,满足x 2+y 2≥ 36,故 y=4x ,2+y 2≥ 36,故 n=3,则x = ,y=6,满足x 2+y 2≥ 36,故 y=4x , 故选: C5.【解答】 解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴ c=2,当焦点在 x 轴上时,可得: 4=(m2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m2=1, 22∵方程﹣=1 表示双曲线,∴( m +n )(3m ﹣n )> 0,可得:(n+1)(3﹣n )> 0,210.【解答】 解:设抛物线为 y =2px ,如图: |AB|=4,|AM|=2 ,|DE|=2 ,|DN|= ,|ON|= ,解得:﹣1<n <3,即 n 的取值范围是: (﹣1,3).当焦点在 y 轴上时,可得:﹣4=(m 2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m 2=﹣1, 2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m 2=﹣1, x A = = , |OD|=|OA| ,=+5,解得: p=4.C 的焦点到准线的距离为:4.无解.故选: A .故选: B .6.【解答】 解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图: 可得:=,R=2.它的表面积是:×4π?2 2+=17π.故选:A.共9 页第5页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师11.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=,mα∩平面ABA1B1=n,15.【解答】解:等比数列{a n} 满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q= .a1+q1=10,解得a1=8.2a2a可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1 是正三角形.m、n 所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n 所成角的正弦值为:.故选:A.则a1a2⋯a n=a1n?q1+2+3+⋯+(n﹣1)=8n? = = ,当n=3 或4时,表达式取得最大值:=26=64.n?q1+2+3+⋯+(n﹣1)=8n? = = ,当n=3 或4 时,表达式取得最大值:=26=64.故答案为:64.16.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x 件和y 件,获利为z 元.由题意,得,z=2100x+900y .不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y .经过 A 时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.12.【解答】解:∵x=﹣为f (x)的零点,x= 为y=f (x)图象的对称轴,故答案为:216000.∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f (x)在(,)上单调,则﹣= ≤,即T= ≥,解得:ω≤12,当ω=11 时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵| φ| ≤,∴φ=﹣,此时 f (x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9 时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵| φ| ≤,∴φ= ,此时 f (x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选: B二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共25 分.13.【解答】解:| + | 2=||2+||2,可得? =0.向量=(m,1),=(1,2),三、解答题:本大题共 5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案为:﹣2.17.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC ≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA )=sinC ,整理得:2cosCsin (A+B)=sinC ,14.【解答】解:(2x+ )r+1= =25 的展开式中,通项公式为:T5﹣r ,5 的展开式中,通项公式为:T5﹣r ,即2cosCsin (π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC ∴cosC= ,∴C= ;令5﹣=3,解得r=4 ∴x 3 的系数 2 =10.故答案为:10.3 的系数 2 =10.故答案为:10.(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab? ,∴(a+b)2+b2﹣2ab? ,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S= absinC= ab= ,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+ .第6页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理18.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,19.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF? 平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;P(X=16)=()2= ,(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D﹣A F﹣E的平面角;由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,P(X=17)= ,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C﹣B E﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB?平面EFDC,EF? 平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=C,D AB? 平面ABCD,P(X=18)=()2+2()2= ,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,P(X=19)= = ,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),P(X=20)= = = ,∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)P(X=21)= = ,P(X=22)= ,设平面BEC的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).∴X的分布列为:X 16 17 18 19 20 21 22设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).P(Ⅱ)由(Ⅰ)知:设二面角E﹣B C﹣A的大小为θ,则cosθ= = =﹣,P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)= = .则二面角E﹣B C﹣A的余弦值为﹣.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)= + = .∴P(X≤n)≥0.5 中,n 的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)= + = .买19 个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20 个所需费用期望:EX2= +(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19 个更合适.第7页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,21.【解答】解:(Ⅰ)∵函数 f (x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,∴f ′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),x+a(x﹣1)2,∴f ′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),另一部分为备件不足时额外购买的费用,x①若a=0,那么 f (x)=0? (x﹣2)e =0? x=2,函数 f (x)只有唯一的零点2,不合题意;当n=19 时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000 ×0.08+1500 ×0.04=4040 ,②若a>0,那么e x+2a>0 恒成立,当x<1 时,f ′(x)<0,此时函数为减函数;x+2a>0 恒成立,当x<1 时,f ′(x)<0,此时函数为减函数;当n=20 时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000 ×0.4=4080 ,∴买19 个更合适.当x>1 时,f ′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1 时,函数 f (x)取极小值﹣e,x由f (2)=a>0,可得:函数 f (x)在x>1 存在一个零点;当x<1 时,e <e,x﹣2<﹣1<0,20.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0 即为(x+1)2+y2+2x﹣15=0 即为(x+1)2+y2 =16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,∴f (x)=(x﹣2)e >(x﹣2)e+a(x﹣1)x+a(x﹣1) 2x+a(x﹣1) 22=a(x﹣1)2 +e(x﹣1)﹣e,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0 的两根为t2+e(x﹣1)﹣e=0 的两根为t 1,t 2,且t 1 <t 2,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4 ,故 E 的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,则当x<t 1,或x>t 2 时,f (x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数 f (x)在x<1 存在一个零点;即函数 f (x)在R是存在两个零点,满足题意;且有2a=4,即a=2,c=1,b= = ,则点 E 的轨迹方程为+ =1(y≠0);③若﹣<a<0,则ln (﹣2a)<lne=1 ,当x<ln (﹣2a)时,x﹣1<ln (﹣2a)﹣1<lne ﹣1=0,(Ⅱ)椭圆C1:+ =1,设直线l :x=my+1,由PQ⊥l ,设PQ:y=﹣m(x﹣1),e x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即 f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即 f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,当ln (﹣2a)<x<1 时,x﹣1<0,ex +2a>e ln (﹣2a)+2a=0,由可得(3m 1,y1),N(x2,y2 ),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x 即f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故当x=ln (﹣2a)时,函数取极大值,则|MN|= ?|y 1﹣y2|= ? = ? =12? ,由f (ln (﹣2a))=[ln (﹣2a)﹣2] (﹣2a)+a[ln (﹣2a)﹣1] 2=a{[ln (﹣2a)﹣2] 2+1} <0 得:函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;A到PQ的距离为d= = ,|PQ|=2 =2 = ,④若a=﹣,则ln (﹣2a)=1,当x<1=ln (﹣2a)时,x﹣1<0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,则四边形MPNQ面积为S= |PQ| ?|MN|= ? ?12 ?即f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故函数 f (x)在R上单调递增,x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故函数 f (x)在R上单调递增,函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;=24? =24 ,当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24? =8 ,⑤若a<﹣,则ln (﹣2a)>lne=1 ,当x<1 时,x﹣1<0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12 ,8 ).当1<x<ln (﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>ln (﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故当x=1 时,函数取极大值,由f (1)=﹣e<0 得:函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述, a 的取值范围为(0,+∞)第8 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理证明:(Ⅱ)∵x1,x2 是f (x)的两个零点,∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a3 ,2=0,即为 C2=0,即为 C∴f (x1)=f (x2)=0,且x1≠1,且x2≠1, 2∴1﹣a =0,∴a=1(a>0).∴﹣a= = ,令g(x)= ,则g(x1)=g(x2)=﹣a,[ 选修4-5 :不等式选讲]24.∵g′(x)= ,∴当x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减;【解答】解:(Ⅰ)f (x)= ,当x>1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)= ﹣= ,由分段函数的图象画法,可得 f (x)的图象,如右:设h(m)= ,m>0,(Ⅱ)由|f (x)| >1,可得当x≤﹣1 时,|x ﹣4| >1,解得x>5 或x<3,即有x≤﹣1;则h′(m)= >0 恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,当﹣1<x<时,|3x ﹣2| >1,解得x>1 或x<,即有﹣1<x<或1<x<;h(m)>h(0)=0 恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,当x≥时,|4 ﹣x| >1,解得x>5 或x<3,即有x>5 或≤x<3.令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)? g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)? 2﹣x1>x2,综上可得,x<或1<x<3 或x>5.则|f (x)| >1 的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).即x1+x2<2.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[ 选修4-1 :几何证明选讲]【解答】证明:(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA=O,B∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°= OA,∴直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA=O,B TA=TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.[ 选修4-4 :坐标系与参数方程]【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2+(y﹣1)2=a2.∴C1 为以(0,1)为圆心,以 a 为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2+y2=ρ2,y=ρsin θ,得ρ2﹣2ρsin θ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cos θ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0 满足t an α0=2,得y=2x,∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,第9页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理。

2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)

2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
(1)设集合 , ,则
(A) (B) (C) (D)
(2)设 ,其中 是实数,则
(A) (B) (C) (D)
(3)已知等差数列 前 项的和为 , ,则
(A) (B) (C) (D)
(4)某公司的班车在 , , 发车,小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车,且到达发车站的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(21)(本小题满分12分)
已知函数 有两个零点.
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)设 是 的两个零点,证明: .
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图, 是等腰三角形, .以 为圆心,
为半径作圆.
(Ⅰ)证明:直线 与⊙ 相切;
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。晖军頷损铖榄煬种撵摈賠宽櫬皱鳏趨飩黌埡蕭弳龉鶘鈉縝飆徠賻繭蓟閏贐錳寿袄帐鲍農亏厩壙届线鱿舊赞龅诨銨续呓恽习餓圇权匭姍鋇顓员贺頻轨稅個燜够镍鏽鐘闔鹌兹約侣蜆况脹鍔飯裝饱匮繼谗贱馍党漸啭锴泺媯黄繞橫钫。
(11)平面 过正方体 的顶点 , 平面 , 平面
, 平面 ,则 所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函数 , 为 的零点, 为
图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为
(A)11(B)9(C)7(D)5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。懾圇贄疗锈鎳沒蚀棧屨惭綻釗滄脓玑鲚窑濘盡湊鏇鷥錠閾胆竞繪锖缨肾糁勱萤哝鹩灤詎資纪緱赢诽麩讥鹰鋪鏑竖囂饨斷壇钶钟睾嬷韫薈殮禄阏铈鉻質铪稱悫惨茔俦牵鈣頃赢痙悫鹤担隱遞訟兴踬讽栈涣瀏锣辫闡綢務盜儉謁骄隊。

2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2016年全国Ⅰ,理1,5分】设集合{}2|430A x x x =-+<,{}|230B x x =->,则AB =( )(A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(D )3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<,3{|}2B x x =>,3{|3}2A B x x ∴=<<,故选D .【点评】考察集合运算和简单不等式解法,属于必考题型,难易程度:易. (2)【2016年全国Ⅰ,理2】设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 【答案】B【解析】由题意知:1x y ==,i =1i 2x y ∴++=,故选B .【点评】察复数相等条件和复数的模,属于必考题型,难易程度:易. (3)【2016年全国Ⅰ,理3,5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =( )(A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C【解析】解法一:199599272a a S a +===,53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=,选C . 解法二:91989272S a d ⨯=+=,即143a d +=,又10198a a d =+=,解得11,1a d =-=,()1001100119998a a d ∴=+-=-+=,故选C . 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式,属于必考题型,难易程度:易. (4)【2016年全国Ⅰ,理4,5分】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )(A )13(B )12 (C )23 (D )34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟,可以等到车的时长为20分钟,则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==,故选B .【点评】考察几何概型的概率计算,第一次考察,难易程度:易.(5)【2016年全国Ⅰ,理5,5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )(A )()1,3- (B )()1,3- (C )()0,3 (D )()0,3 【答案】A【解析】由题意知:2234m n m n ++-=,解得21m =,1030n n +>⎧∴⎨->⎩,解得13n -<<,故选A .【点评】考察双曲线的简单几何性质,属于了解层次,必考题,难易程度:易. (6)【2016年全国Ⅰ,理6,5分】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是( )(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A【解析】该几何体为球体,从球心挖掉整个球的18(如右图所示),故34728383r ππ=解得2r =,2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=,故选A .【点评】考察三视图还原,球的体积表面积计算,经常考察,难易程度:中等. (7)【2016年全国Ⅰ,理7,5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为( )(A )(B )(C ) (D )【答案】D【解析】解法1(排除法):2()2xf x x e =-为偶函数,且2(2)887.40.6f e =-≈-=,故选D .解法2:2()2xf x x e =-为偶函数,当0x >时,'()4x f x x e =-,作4y x =与x y e =(如图),故存在实数0(0,1)x ∈,使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时,'0()0f x <,0(,2)x x ∈时, '0()0f x >,()f x ∴在0(0,)x 上递减,在0(,2)x 上递增,故选D .【点评】本题结合导数利用函数奇偶性,综合考察函数解析式与函数图像之间的关系,常规题型,属于必考题,难易程度:中等.这类题型的最佳解法应为结合函数的性质,选取特殊点进行排除.(8)【2016年全国Ⅰ,理8,5分】若101a b c >><<,,则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c <【答案】C【解析】解法1(特殊值法):令14,22a b c ===,,易知C 正确.解法2:当0α>时,幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增,故A 选项错误;当1a >时,a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴,当01c <<时,log log a b c c >,故D 选项错误;c c ab ba <可化为()c a ab b<,由指数函数知,当1a >时,()x f x a =在(0,)+∞上递增,故B 选项错误;log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <,1111abbb b a <<<,故选C .【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质,属于常考题型,难易程度:中等. 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的,最好采用特殊值法验证排除.(9)【2016年全国Ⅰ,理9,5分】执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足( )(A )2y x = (B )3y x = (C )4y x = (D )5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===,,时,框图运行如下: 1、012x y n ===,,;2、1232x y n ===,,;3、3632x y n ===,,,故选C .【点评】考察算法中的循环结构,必考题型,难易程度:易. (10)【2016年全国Ⅰ,理10,5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C的标准线于D 、E 两点.已知42AB =,25DE =,则C 的焦点到准线的距离为( ) (A )2 (B )4 (C )6 (D )8【答案】B【解析】解法1排除法:当4p =时,不妨令抛物线方程为28y x =,当y =1x =,即A 点坐标为(,所以圆的半径为3r =,此时D 点坐标为(-,符合题意,故B 选项正确.解法2:不妨令抛物线方程为22y px =,D 点坐标为2P ⎛- ⎝,则圆的半径为r =,22834p r -=-,即A 点坐标为⎭,所以22=,解得4p =,故选B . 【点评】考察抛物线和圆的简单性质,必考题型,难易程度:中等. (11)【2016年全国Ⅰ,理11,5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,//a 平面11CB D ,a 平面ABCD m =,a 平面11ABA B n =,则m 、n 所成角的正弦值为( )(A (B )2 (C (D )13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合,则11m B D =,1n CD =,故直线m 、n 所成角为60o ,,故选A . 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算,必考题型,难易程度:中等.(12)【2016年全国Ⅰ,理12,5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭,,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为( )(A )11 (B )9 (C )7 (D )5 【答案】B【解析】解法1(特殊值验证法)令9ω=,则周期29T π=,区间[]44ππ-,刚为94T ,且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上递减,恰好符合题意,故选B .解法2:由题意知152()24369T πππ≥-=,所以29Tπω=≤,故选B .【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质,属于必考题型,难易程度:偏难.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)【2016年全国Ⅰ,理13,5分】设向量(),1m =a ,()1,2=b ,且222+=+a b a b ,则m = . 【答案】2-【解析】解法一(几何法)由向量加法的几何意义知a b ⊥,故20a b m ⋅=+=,所以2m =-;解法二(代数法)22(1)9114m m ++=+++,解得2m =-.【点评】考察向量运算,必考题型,难易程度:易.(14)【2016年全国Ⅰ,理14,5分】(52x +的展开式中,3x 的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==,令532r-=,解得4r =,454525210C -∴=⨯=. 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题,必考题型,难易程度:中等.(15)【2016年全国Ⅰ,理15,5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 【答案】64【解析】由1310a a +=,245a a +=解得118,2a q ==,14118()()22n n n a --∴==,27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==,所以当3n =或4时,12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64.【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题,必考题型,难易程度:中等. (16)【2016年全国Ⅰ,理16,5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2016年数学全国高考1卷试题及答案

2016年数学全国高考1卷试题及答案

2016年数学全国高考1卷试题及答案注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效().4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【答案】D【答案】B【解析】【答案】C【解析】【答案】B【解析】试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每30分钟发出一辆,小明到达时间总长度为40,等车不超过10分钟,符合题意的是是7:50-8:00,和8:20-8:30,故所求概率为,选B.(5)已知方程x2m2+n –y23m2–n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3) 【答案】A(6)如图,某几何体的三视图是三个半径()相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π【答案】A(7)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为(A )(B )(C)(D)【答案】C【解析】12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点学.科网,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为(A )11 (B )9 (C )7 (D )5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =.(14)5(2x +的展开式中,x 3的系数是.(用数字填写答案)(15)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为。

全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)(1)

全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)(1)

全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.C.D.23.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.974.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.811.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;4O:定义法;5J:集合.【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故选:D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.C.D.2【考点】A8:复数的模.【专题】34:方程思想;4O:定义法;5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,即,解得,即|x+yi|=|1+i|=,故选:B.【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x,y的值是解决本题的关键.3.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【考点】83:等差数列的性质.【专题】11:计算题;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.【解答】解:∵等差数列{a n}前9项的和为27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故选:C.【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.4.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【专题】5I:概率与统计.【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【解答】解:设小明到达时间为y,当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,小明等车时间不超过10分钟,故P==,故选:B.【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)【考点】KB:双曲线的标准方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n的取值范围.【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,当焦点在x轴上时,可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,∵方程﹣=1表示双曲线,∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).当焦点在y轴上时,可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,无解.故选:A.【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离.【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图:可得:=,R=2.它的表面积是:×4π•22+=17π.故选:A.【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力.7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】27:图表型;48:分析法;51:函数的性质及应用.【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答案.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣e x,∴f′(x)=4x﹣e x=0有解,故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选:D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用排除法解答.8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c【考点】R3:不等式的基本性质.【专题】33:函数思想;35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.【分析】根据已知中a>b>1,0<c<1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函数f(x)=x c在(0,+∞)上为增函数,故a c>b c,故A错误;函数f(x)=x c﹣1在(0,+∞)上为减函数,故a c﹣1<b c﹣1,故ba c<ab c,即ab c>ba c;故B错误;log a c<0,且log b c<0,log a b<1,即=<1,即log a c>log b c.故D错误;0<﹣log a c<﹣log b c,故﹣blog a c<﹣alog b c,即blog a c>alog b c,即alog b c<blog a c,故C正确;故选:C.【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性,是解答的关键.9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;28:操作型;5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:输入x=0,y=1,n=1,则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2,则x=,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3,则x=,y=6,满足x2+y2≥36,故y=4x,故选:C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【考点】K8:抛物线的性质;KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,|DE|=2,|DN|=,|ON|=,x A==,|OD|=|OA|,=+5,解得:p=4.C的焦点到准线的距离为:4.故选:B.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力.转化思想的应用.11.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5G:空间角.【分析】画出图形,判断出m、n所成角,求解即可.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n所成角的正弦值为:.故选:A.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5【考点】H6:正弦函数的奇偶性和对称性.【专题】35:转化思想;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质.【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f (x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω的最大值.【解答】解:∵x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则﹣=≤,即T=≥,解得:ω≤12,当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难度较大.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=﹣2.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;5A:平面向量及应用.【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【解答】解:|+|2=||2+||2,可得•=0.向量=(m,1),=(1,2),可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是10.(用数字填写答案)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5P:二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求出展开式中x3的系数.【解答】解:(2x+)5的展开式中,通项公式为:T r==25﹣r,+1令5﹣=3,解得r=4∴x3的系数2=10.故答案为:10.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为64.【考点】87:等比数列的性质;8I:数列与函数的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…a n,然后求解最值.【解答】解:等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q=.a1+q2a1=10,解得a1=8.则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•==,当n=3或4时,表达式取得最大值:=26=64.故答案为:64.【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用,考查计算能力.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;33:函数思想;35:转化思想.【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可;【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【考点】HU:解三角形.【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b的值,即可求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=ab=,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5H:空间向量及应用;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角;由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)设平面BEC的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ,则cosθ===﹣,则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(Ⅱ)由X的分布列求出P(X≤18)=,P(X≤19)=.由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n的最小值.(Ⅲ)法一:由X的分布列得P(X≤19)=.求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2,由此能求出买19个更合适.法二:解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n=19时,费用的期望和当n=20时,费用的期望,从而得到买19个更合适.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X=16)=()2=,P(X=17)=,P(X=18)=()2+2()2=,P(X=19)==,P(X=20)===,P(X=21)==,P(X=22)=,∴X的分布列为:X16171819202122P(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)==.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.买19个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20个所需费用期望:EX2=+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19个更合适.解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n=19时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,当n=20时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.04=4080,∴买19个更合适.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【考点】J2:圆的一般方程;KL:直线与椭圆的综合.【专题】34:方程思想;48:分析法;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)求得圆A的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB=ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l:x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得|MN|,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0即为(x+1)2+y2=16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且有2a=4,即a=2,c=1,b==,则点E的轨迹方程为+=1(y≠0);(Ⅱ)椭圆C1:+=1,设直线l:x=my+1,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•,A到PQ的距离为d==,|PQ|=2=2=,则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24,当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24•=8,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2可得:f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),对a进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案.(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,则﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,分析g(x)的单调性,令m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=,设h(m)=,m>0,利用导数法可得h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,可得结论.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)e x=0⇔x=2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a>0,那么e x+2a>0恒成立,当x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1时,函数f(x)取极小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函数f(x)在x>1存在一个零点;当x<1时,e x<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的两根为t1,t2,且t1<t2,则当x<t1,或x>t2时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数f(x)在x<1存在一个零点;即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意;③若﹣<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(﹣2a)<x<1时,x﹣1<0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;④若a=﹣,则ln(﹣2a)=1,当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;⑤若a<﹣,则ln(﹣2a)>lne=1,当x<1时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=1时,函数取极大值,由f(1)=﹣e<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a的取值范围为(0,+∞)证明:(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴当x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,设h(m)=,m>0,则h′(m)=>0恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,即x1+x2<2.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类讨论思想,难度较大.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,则AB是圆O的切线.(Ⅱ)设圆心为T,证明OT为AB的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论.【解答】证明:(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,∴直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA=OB,TA=TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力.解答此题时,充分利用了等腰三角形“三合一”的性质.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QE:参数方程的概念.【专题】11:计算题;35:转化思想;4A:数学模型法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2+y2=ρ2,y=ρsinθ化为极坐标方程;(Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,把C1与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0,则a 值可求.【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2.∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 ,∴1﹣a2=0,∴a=1(a>0).【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.【考点】&2:带绝对值的函数;3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想;48:分析法;59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f(x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象;(Ⅱ)分别讨论当x≤﹣1时,当﹣1<x<时,当x≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,即有﹣1<x<或1<x<;当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.综上可得,x<或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.。

2016年河北省高考数学试卷及答案解析(理科)(全国新课标ⅰ)

2016年河北省高考数学试卷及答案解析(理科)(全国新课标ⅰ)

2016年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1 B.C.D.23.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.974.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c9.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.811.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故选:D2.(5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1 B.C.D.2【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,即,解得,即|x+yi|=|1+i|=,故选:B.3.(5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.97【解答】解:∵等差数列{a n}前9项的和为27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故选:C4.(5分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.【解答】解:设小明到达时间为y,当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,小明等车时间不超过10分钟,故P==,故选:B5.(5分)已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,当焦点在x轴上时,可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,∵方程﹣=1表示双曲线,∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).当焦点在y轴上时,可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,无解.故选:A.6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图:可得:=,R=2.它的表面积是:×4π•22+=17π.故选:A.7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣e x,∴f′(x)=4x﹣e x=0有解,故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选:D8.(5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函数f(x)=x c在(0,+∞)上为增函数,故a c>b c,故A错误;函数f(x)=x c﹣1在(0,+∞)上为减函数,故a c﹣1<b c﹣1,故ba c<ab c,即ab c >ba c;故B错误;log a c<0,且log b c<0,log a b<1,即=<1,即log a c>log b c.故D错误;0<﹣log a c<﹣log b c,故﹣blog a c<﹣alog b c,即blog a c>alog b c,即alog b c<blog a c,故C正确;故选:C9.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x【解答】解:输入x=0,y=1,n=1,则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2,则x=,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3,则x=,y=6,满足x2+y2≥36,故y=4x,故选:C10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,|DE|=2,|DN|=,|ON|=,x A==,|OD|=|OA|,=+5,解得:p=4.C的焦点到准线的距离为:4.故选:B.11.(5分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n所成角的正弦值为:.故选:A.12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【解答】解:∵x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则﹣=≤,即T=≥,解得:ω≤12,当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分.13.(5分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=﹣2.【解答】解:|+|2=||2+||2,可得•=0.向量=(m,1),=(1,2),可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案为:﹣2.14.(5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是10.(用数字填写答案)==25﹣【解答】解:(2x+)5的展开式中,通项公式为:T r+1r,令5﹣=3,解得r=4∴x3的系数2=10.故答案为:10.15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为64.【解答】解:等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q=.a1+q2a1=10,解得a1=8.则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•==,当n=3或4时,表达式取得最大值:=26=64.故答案为:64.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=ab=,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角;由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)设平面BEC的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ,则cosθ===﹣,则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X=16)=()2=,P(X=17)=,P(X=18)=()2+2()2=,P(X=19)==,P(X=20)===,P(X=21)==,P(X=22)=,∴X的分布列为:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)==.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.买19个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20个所需费用期望:EX2=+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19个更合适.解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n=19时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,当n=20时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.4=4080,∴买19个更合适.20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0即为(x+1)2+y2=16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且有2a=4,即a=2,c=1,b==,则点E的轨迹方程为+=1(y≠0);(Ⅱ)椭圆C1:+=1,设直线l:x=my+1,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•,A到PQ的距离为d==,|PQ|=2=2=,则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24,当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24•=8,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)e x=0⇔x=2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a>0,那么e x+2a>0恒成立,当x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1时,函数f(x)取极小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函数f(x)在x>1存在一个零点;当x<1时,e x<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的两根为t1,t2,且t1<t2,则当x<t1,或x>t2时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数f(x)在x<1存在一个零点;即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意;③若﹣<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(﹣2a)<x<1时,x﹣1<0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;④若a=﹣,则ln(﹣2a)=1,当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;⑤若a<﹣,则ln(﹣2a)>lne=1,当x<1时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=1时,函数取极大值,由f(1)=﹣e<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a的取值范围为(0,+∞)证明:(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴当x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,设h(m)=,m>0,则h′(m)=>0恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,即x1+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.【解答】证明:(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,∴直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA=OB,TA=TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2.∴C 1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 ,∴1﹣a2=0,∴a=1(a>0).[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,即有﹣1<x<或1<x<;当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.综上可得,x<或1<x<3或x>5.则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型:图形特征:运用举例:1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.2.如图,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,对角线AC ⊥BD 于P ,设⊙O 的半径是2。

2016年数学全国高考1卷试题及答案

2016年数学全国高考1卷试题及答案
设圆 的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明 为定值,并写出点E的轨迹方程;
( )设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求 的分布列;
( )若要求 ,确定 的最小值;
( )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用哪个?
20.(本小题满分12分)
(II)直线C3的极坐标方程为,学.科网其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.
(I)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;
(II)求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
2016数学高考卷1解析
(I)证明:直线AB与O相切;
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0)
。在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=cosθ.
(I)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围;
(II)设x1,x2是的两个零点,证明:+x2<2.

2016全国统一高考数学真题及解析(文、理科)新课标Ⅰ卷(题解分离)

2016全国统一高考数学真题及解析(文、理科)新课标Ⅰ卷(题解分离)

2016年普通高等学校招生全国统一考试文、理科数学(新课标卷Ⅰ)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【理】设集合2{|430}A x x x =-+< ,{|230}B x x =->,则A B =(A )3(3,)2-- (B )3(3,)2- (C )3(1,)2(D )3(,3)2 【文】设集合{1,3,5,7}A =,{|25}B x x =≤≤,则A B =(A ){1,3} (B ){3,5} (C ){5,7} (D ){1,7}2.【理】设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +(A )1 (B )2 (C )3 (D )2【文】设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=(A )−3 (B )−2 (C )2 (D )33.【理】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a(A )100 (B )99 (C )98 (D )97【文】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A )13 (B )12 (C )23 (D )564.【理】某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A )13 (B )12 (C )23 (D )34【文】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =,2cos 3A =,则b= (A )2(B )3(C )2(D )35.【理】已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3)【文】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(A )13 (B )12 (C )23 (D )346.【理】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π【文】将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为(A )y =2sin(2x +π4) (B )y =2sin(2x +π3) (C )y =2sin(2x –π4) (D )y =2sin(2x –π3)7.【理】函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为(A ) (B ) (C) (D)【文】同【理】68.【理】若101a b c >><<,,则 (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c < 【文】若a>b>0,0<c<1,则(A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c <b c (D )c a >c b9.【理】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足(A )2y x = (B )3y x = (C )4y x = (D )5y x = 【文】同【理】710.【理】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A )2 (B )4 (C )6 (D )8 【文】同【理】911.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面ABB 1 A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为(A )32 (B )22 (C )33(D )1312.【理】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ,ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836,单调,则ω的最大值为(A )11 (B )9 (C )7 (D )5 【文】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是(A )[]1,1-(B )11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C )11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D )11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.【理】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【文】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 14.【理】5(2)x x +的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案)【文】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 15.【理】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【文】设直线y=x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C 的面积为 .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【理】(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若7,c ABC △=的面积为332,求ABC △的周长. 【文】已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1,,.(I )求{}n a 的通项公式; (II )求{}n b 的前n 项和. 18.【理】(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60. (I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.【文】如图,已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面P AB 内的正投影为点E ,连结PE 并延长交AB 于点G . (I )证明:G 是AB 的中点;(II )在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积. 19.【理】(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (I )求X 的分布列;(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个?【文】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:161718192021频数更换的易损零件数610162024记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (I )若n =19,求y 与x 的函数解析式;(II )若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值;(III )假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.【理】(本小题满分12分)PABD CGE设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【文】在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . (I )求OH ON;(II )除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.21.【理】(本小题满分12分) 已知函数有两个零点.(I )求a 的取值范围; (II )设x 1,x 2是的两个零点,证明:+x 2<2.【文】已知函数. (I)讨论的单调性;(II)若有两个零点,求a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

范围是
(A) 1,3 (B) 1, 3 (C) 0,3 (D) 0, 3
【答案】A
考点:双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
(1)设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
(A)
3,
3 2
【答案】D
(B)
3,
3 2
(C)
1,
3 2
(D)
3 2
,
3
考点:集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
(8)若 a b 1,0 c 1,则 (A) ac bc (B) abc bac (C) a logb c b loga c (D) loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析:用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学(理科)试卷(全国 1 卷)
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 1 卷)
数学(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

2016年高考理科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案

2016年高考理科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区:山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分. 考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3. 考试结束,监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2430={|}A x x x -+<,3{}0|2x B x ->=,则A B =( )A .3(3,)2--B .3(3,)2- C .3(1,)2 D .3(,3)22.设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则|i |x y += ( )A .1BCD .23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =( )A .100B .99C .98D .974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( )A .13B .12C .23D .345.已知方程222213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A .(1,3)- B.(- C .(0,3)D.6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π7.函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为( )姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------ABC D 8. 若0a b >>,01c <<,则( )A .c ca b <B .c cab ba >C .alog log b a c b c <D .log log a b c c <9.执行右面的程序框图,如果输入的0x =,1y =,1n =,则输出x ,y 的值满足( )A .2y x =B .3y x =C .4y x =D .5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E两点,已知||AB =,||DE =C 的焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .6D .811.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,//α平面11CB D ,α平面=ABCD m ,α平面11=ABB A n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A.B.2C.D .1312.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5(,)1836ππ单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5第II 卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a (,1)m =,b (1,2)=,且|a +b ||2=a ||2+b 2|,则m = .14.5(2x 的展开式中,3x 的系数是 (用数字填写答案).15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则12n a a a …的最大值为 .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(Ⅰ)求C ;(Ⅱ)若c =ABC △的面积为,求ABC △的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60.(Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率,记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数,n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19与n =20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ,直线l 过点(10)B ,且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ)证明||||EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)设1x ,2x 是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲如图,OAB △是等腰三角形,120AOB ∠=.以O 为圆心,12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB 与⊙O 相切;(Ⅱ)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB CD ∥.23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. (Ⅰ)说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .24.(本小题满分10分),选修45-:不等式选讲ABCDE已知函数()|1||23| f x x x=+--.(Ⅰ)在图中画出()y f x=的图象;(Ⅱ)求不等式|()|1f x>的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】{}{}2A x x4x30x1x3=-+<=<<,{}3B x2x30x x2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭,故3A B x x32⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.【提示】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【考点】交集及其运算2.【答案】B【解析】(1i)x1yi+=+,x xi1yi∴+=+,即x1x y=⎧⎨=⎩,解得x1y1=⎧⎨=⎩,即x y i12+=+【提示】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【考点】复数求模3.【答案】C【解析】等差数列{an}前9项的和为27,195959(a a)92aS9a22+⨯===,59a27∴=,5a3=,又10a8=,d1∴=,10010a a90d98∴=+=.【提示】根据已知可得5a3=,进而求出公差,可得答案.【考点】等差数列的性质4.【答案】B【解析】设小明到达时间为y,当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,小明等车时间不超过10分钟,故201P402==.【提示】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【考点】几何概型5.【答案】A 【解析】双曲线两焦点间的距离为4,c 2∴=,当焦点在x 轴上时,可得224(m n)(3m n)=++-,解得2m 1=,方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,22(m n)(3m n)0∴+->,可得(n 1)(3n)0+->,解得1n 3-<<,即n 的取值范围是(1,3)-,当焦点在y 轴上时,可得224(m n)(3m n)-=++-,解得2m 1=-,无解.【提示】由已知可得c 2=,利用224(m n)(3m n)=++-,解得2m 1=,又22(m n)(3m n)0+->,从而可求n 的取值范围.【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体,如图:可得37428ππR 833⨯=,R 2=,它的表面积是22714π2+3π2=17π84⨯⨯⨯⨯. 【提示】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【考点】由三视图求面积、体积 7.【答案】D【解析】2x ||f (x)y 2x e ==-,2x 2x ||||f (x)2(x)e 2x e -∴-=--=-,故函数为偶函数,当x 2=±时,2y 8e (0,1)=-∈,故排除A ,B ;当x []0,2∈时,2xf (x)y 2x e ==-,x f (x)4x e 0∴'=-=有解,故函数2x ||y 2x e =-在[0,2]不是单调的,故排除C .【提示】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答. 【考点】函数的图象8.【答案】C【解析】a b 1>>,0c 1<<,∴函数cy x =在(0,)+∞上为增函数,故c c a b >,故A错误;函数c 1y x-=在(1,)+∞上为减函数,故c 1c 1a b --<,故c c ba ab <,故B 错误;a log c 0<,且b logc 0<,a log b 1<,即c a a b log b log c1log a log c<=,即a b log c log c >,故D 错误;a b 0log c log c <-<-,故a b blog c alog c -<-,即a b blog c alog c >,即b a alogc blog c <,故C 正确.【提示】根据已知中a b 1>≥,0c 1<<,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【考点】不等式比较大小,对数值大小的比较 9.【答案】C【解析】输入x 0=,y 1=,n 1=,则x 0=,y 1=,不满足22x y 36+≥,故n 2=,则1x 2=,y 2=,不满足22x y 36+≥,故n 3=,则3x 2=,y 6=,满足22x y 36+≥,故y 4x =.【提示】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x ,y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【考点】程序框图 10.【答案】B【解析】设抛物线为2y 2px =,如图:AB =,AM =,DE =,DN =pON 2=,A x 4p ==,OD OA =,2216p 85p 4+=+,解得p 4=,C 的焦点到准线的距离为4.【提示】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【考点】圆与圆锥曲线的综合,抛物线的简单性质 11.【答案】A【解析】如图,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABA B n =,可知:1n CD ∥,11m B D ∥,11CB D △是正三角形,m 、n 所成角就是11CD B 60∠=,则m 、n.【提示】画出图形,判断出m 、n 所成角,求解即可. 【考点】异面直线及其所成的角 12.【答案】B【解析】πx 4=-为f (x)的零点,πx 4=为y f (x)=图象的对称轴,2n 1πT 42+∴=,即2n 12ππ(n )N 42+=∈ω,即2n 1)N (n ω=+∈,即ω为正奇数,f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则5πππT 3618122∴-=≤,即2ππT 6=≥ω,解得12ω≤,当11ω=时,11πk π4-+ϕ=,k ∈Z ,π2ϕ≤,π4∴ϕ=-,此时f (x)在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调,不满足题意;当9ω=时,9πk π4-+ϕ=,k ∈Z ,π2ϕ≤,π4∴ϕ=,此时f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调,满足题意;故ω的最大值为9. 【提示】根据已知可得ω为正奇数,且12ω≤,结合πx 4=-为f (x)的零点,πx 4=为y f (x)=图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调,可得ω的最大值. 【考点】正弦函数的对称性第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2-【解析】222a b a b +=+,可得a b 0=,向量a (m,1)=,b (1,2)=,m 20+=,解得m 2=-.【提示】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【考点】平面向量数量积的运算 14.【答案】10 【解析】5(2x )的展开式中,通项公式为r25r 5r r r 5r r 155T C (2x)C 2x ---+==,令r 532-=,解得r 4=,3x ∴的系数452C 10=. 【提示】利用二项展开式的通项公式求出第r 1+项,令x 的指数为3,求出r ,即可求出展开式中3x 的系数. 【考点】二项式定理的应用 15.【答案】64【解析】等比数列n {a }满足13a a 10+=,24a a 5+=,可得13q(a a )5+=,解得1q 2=,211a q a 10+=,解得1a 8=,则22n 1n n 23n 1n 17n n 32n n ()2211n(n 1)222a a a q 82a ++++----⎛⎫== ⎪⎝⎭==……,当n 3=或4时,表达式取得最大值12622264==.【提示】求出数列的等比与首项,化简12n a a a …,然后求解最值. 【考点】数列与函数的综合,等比数列的性质 16.【答案】216000元【解析】设A ,B 两种产品分别是x 件和y 件,获利为z 元,由题意得x N,y N1.5x 0.5y 150x 0.3y 905x 3y 600∈∈⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,z 2100x 900y =+,不等式组表示的可行域如图,由题意可得x 0.3y 905x 3y 600+=⎧⎨+=⎩,解得x 60y 100=⎧⎨=⎩,A(600,100),目标函数z 2100x 900y =+经过A 时,直线的截距最大,目标函数取得最大值210060900100216000⨯+⨯=元.【提示】设A ,B 两种产品分别是x 件和y 件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可.【考点】简单线性规划的应用 三、解答题17.【答案】(Ⅰ)在ABC △中,0C π<<,sinC 0∴≠,已知等式利用正弦定理化简得2cosC(sin AcosB sin BcosA)sinC +=,整理得2cosCsin(A B)sinC +=,即[]2c o s C s i n π(A B )s i n C -+=,2cosCsinC sinC =, 1cosC 2∴=,πC 3∴=;(Ⅱ)由余弦定理得2217a b 2ab2=+-,2(a b)3ab 7∴+-=,,ab 6∴=,2(a b)187∴+-=,a b 5∴+=,ABC ∴△的周长为5【提示】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC 不为0求出cosC 的值,即可确定出出C 的度数; (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a b +的值,即可求ABC △的周长. 【考点】解三角形18.【答案】(Ⅰ)ABEF 为正方形,AF EF ∴⊥,AFD 90∠=,AF DF ∴⊥,DF EF F =,AF ∴⊥平面EFDC , AF ⊂平面ABEF ,∴平面ABEF ⊥平面EFDC ;(Ⅱ)由A F D F ⊥,AF EF ⊥,可得DFE ∠为二面角D AF E --的平面角,由ABEF 为正方形,AF ⊥平面EFDC , BE EF ⊥,BE ∴⊥平面EFDC ,即有CE BE ⊥,可得CEF ∠为二面角C BE F --的平面角,可得DFE CEF 60∠=∠=.A B EF ∥,AB ⊄平面EFDC ,EF ⊂平面EFDC , AB ∴∥平面EFDC ,平面EFDC平面ABCD CD =,AB ⊂平面ABCD ,AB CD ∴∥, CD EF ∴∥,∴四边形EFDC 为等腰梯形,以E 为原点,建立如图所示的坐标系,设FD a =,则E(0,0,0),B(0,2a,0),a C 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,A(2a,2a,0),EB (0,2a,0)∴=,a BC ,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,AB (2a,0,0)=-, 设平面BEC 的法向量为111m (x ,y ,z )=,则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩,则11112ay 0a x 2ay 022=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取m (3,0,1)=-,设平面ABC 的法向量为222n (x ,y ,z )=,则n BC=0n A B 0⎧⎪⎨=⎪⎩,则,取n (0,3,4)=,设二面角E-BC-A 的大小为θ,则m n cos |m ||n|31316θ===++,则二面角E-BC-A 的余弦值为.【提示】(Ⅰ)证明AF ⊥平面EFDC ,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF ⊥平面EFDC ;(Ⅱ)证明四边形EFDC 为等腰梯形,以E 为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC 、平面ABC 的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E BC A --的余弦值.【考点】与二面角有关的立体几何19.【答案】(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,2201P(X 16)10025⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 20404P(X 17)210010025==⨯⨯=,22P 40206(X 18)210010025⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 24020206P(X 19)2210010010025⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭, 220402051P(X 20)2100100100255⎛⎫==+⨯⨯== ⎪⎝⎭, 2202P(X 21)210025⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭, 2201P(X 22)10025⎛⎫===⎪⎝⎭, X ∴(Ⅱ)由(Ⅰ)知:4611P(X 18)P(X 16)P(X 17)P(X 18)25252525≤==+=+==++=, 146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=(), P(x n)0.5∴≤≥中,n 的最小值为19;(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=(), 买19个所需费用期望:117521EX 20019(20019500)(200195002)(200195003)404025252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=,买20个所需费用期望:22221EX 20020(20020500)(200205002)4080252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=,12EX EX <,∴买19个更合适;解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n 19=时,费用的期望为:192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=,当n 20=时,费用的期望为:202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=,∴买19个更合适.【提示】(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列; (Ⅱ)由X 的分布列求出11P(X 18)25≤=,17P(X 19)25≤=,由此能确定满足P(x n)0.5≤≥中n 的最小值;(Ⅲ)方法一:由X 的分布列得17P(X 19)25≤=,求出买19个所需费用期望1EX 和买20个所需费用期望2EX ,由此能求出买19个更合适;方法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n 19=时,费用的期望和当n 20=时,费用的期望,从而得到买19个更合适. 【考点】离散型随机变量及其分布列20.【答案】(Ⅰ)圆22x y 2x 150++-=即为22(x 1)y 16++=,可得圆心A(1,0)-,半径r 4=,由BEAC ∥,可得C EBD ∠=∠,由AC AD =,可得D C ∠=∠,即为D EBD ∠=∠,即有EB ED =,则EA EB EA ED AD 4+=+==,故E 的轨迹为以A ,B 为焦点的椭圆,且有2a 4=,即a 2=,c 1=,b =点E 的轨迹方程为22x y 143+=,(y 0)≠,(Ⅱ)椭圆221x y C :143+=,设直线l :x my 1=+,由PQ ⊥l ,设PQ:y m(x 1)=--,由22x my 1x y 143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(3m 4)y 6my 90++-=,设11M(x ,y ),22N(x ,y ),可得1226m y y 3m 4+=-+,1229y y=-, 则2M N212(m 1)|MN |y y |3m 4+=-==+,A 到PQ 的距离为d == 则四边形MPNQ 面积为2222221143m 41m 1mS |PQ ||MN |1224223m 41m3m 4+++====+++当m 0=时,S 取得最小值12,又2101m >+,可得3S 2483<= 即有四边形MPNQ 面积的取值范围是⎡⎣.【提示】(Ⅰ)求得圆A 的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB ED =,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E 的轨迹为以A ,B 为焦点的椭圆,求得a ,b ,c ,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l :x my 1=+,代入椭圆方程,运x 10-<用韦达定理和弦长公式,可得|MN |,由PQ ⊥l ,设PQ:y m(x 1)=--,求得A 到PQ 的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ |,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【考点】直线与椭圆的位置关系,圆的一般方程 21.【答案】(Ⅰ)函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-,x x f (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)∴'=-+-=-+,①若a 0=,那么xf (x)0(x 2)e 0x 2=⇔-=⇔=,函数f (x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a 0>,那么x e 2a 0+>恒成立,当x 1<时,f (x)0'<,此时函数为减函数; 当x 1>时,f (x)0'>,此时函数为增函数;此时当x 1=时,函数f (x)取极小值e -,由f (2)a 0=>,可得:函数f (x)在x 1>存在一个零点; 当x 1<时,x e e <,x 210-<-<,x 222f (x)(x 2)e a(x 1)(x 2)e a(x 1)a(x 1)e(x 1)e∴=-+->-+-=-+--,令2a (x 1)e (x 1)e 0-+--=的两根为1t ,2t ,且12t t <,则当1x t <,2x t >时,2f (x )a (x 1)e(x 1)e 0>-+-->,故函数f (x)在x 1<存在一个零点; 即函数f (x)在R 是存在两个零点,满足题意;③若ea 02-<<,则ln (2a )l n e 1-<=,当x l n (2a )<-时,x 1ln(2a)1lne 10-<--<-=,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=,即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+>恒成立,故f (x)单调递增,当ln(2a)x 1-<<时,,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=,即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+<恒成立,故f (x)单调递减,当x 1>时,x 10->,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=,即xf '(x )(x1)(e 2a )0=-+>恒成立,故f (x)单调递增,故当x ln(2a)=-时,函数取极大值,由[][][][]{}22f ln(2a)2a ln(2a)2a ln(2a)1a ln(2a)210-=---+--=--+<得:函数f (x)在R 上至多存在一个零点,不合题意; ④若ea 2=-,则l n (2a)1-=,当x 1l n (2a)<=-时,x 10-<,x ln(2a)e2a e 2a 0-+<+=,即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立,故f (x)单调递增,当x 1>时,x 10->,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=,即x f (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立,故f (x)单调递增,故函数f (x)在R 上单调递增,函数f (x)在R 上至多存在一个零点,不合题意;⑤若ea 2<-,则ln(2a)lne 1->=,当x 1<时,x 10-<,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=,即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立,故f (x)单调递增,当1x ln(2a)<<-时,x 10->,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=,即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+<恒成立,故f (x)单调递减,当x ln(2a)>-时,x 10->,x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=,即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立, 故f (x)单调递增,故当x 1=时,函数取极大值,由f (1)e 0=-<得:函数f (x)在R 上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a 的取值范围为(0,)+∞; (Ⅱ)1x ,2x 是f (x)的两个零点,12f (x )f (x )0∴==,且1x 1≠,2x 1≠,12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)--∴-==--,令x2(x 2)eg (x )(x 1)-=-,则12g(x )g(x )a ==-,2x3[(x 2)1]eg (x)(x 1)-+'=-,∴当x 1<时,g (x)0'<,g(x)单调递减;当x 1>时,g (x)0'>,g(x)单调递增;设,则1m 1m 1m 2m 222m 1m 1m 1m 1g (1m )g (1m )e e e e 1m mm m 1+-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭,设2mm 1h(m)e 1m 1-=++,m 0>,则22m 22m h '(m)e 0(m 1)=>+恒成立,即h(m)在(0,)+∞上为增函数,h(m)h(0)0>=恒成立, 即g(1m)g(1m)+>-恒成立,令1m 1x 0=->,则1111212g(11x )g(11x )g(2x )g(x )g(x )2x x +->+-⇔->=⇔->,即12x x 2+<. 【提示】(Ⅰ)由函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-可得xxf (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)'=-+-=-+,对a 进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案;(Ⅱ)设1x ,2x 是f (x)的两个零点,则12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)---==--,令x2(x 2)e g (x )(x 1)-=-, 则12g(x )g(x )a==-,分析g(x)的单调性,令m 0>,则1m 2m2m 1m 1g (1m )g (1m )ee 1m m 1-+-⎛⎫+--=+ ⎪+⎝⎭, 设2mm 1h(m)e 1m 1-=++,m 0>,利用导数法可得h(m)h(0)0>=恒成立,即g(1m)g(1m)+>-恒成立,令1m 1x 0=->,可得结论.【考点】利用导数研究函数的极值,函数的零点22.【答案】(Ⅰ)设K 为AB 中点,连结OK ,OA OB =,AOB 120∠=,OK AB ∴⊥,A 30∠=,1OK OAsin30OA 2==,∴直线AB 与O 相切;(Ⅱ)因为OA 2OD =,所以O 不是A ,B ,C ,D 四点所在圆的圆心,设T 是A ,B ,C ,D 四点所在圆的圆心,OA OB =,TA TB =,OT ∴为AB 的中垂线,同理,OC OD =,TC TD =,OT ∴为CD 的中垂线,AB CD ∴∥.【提示】(Ⅰ)设K 为AB 中点,连结OK ,根据等腰三角形AOB 的性质知OK AB ⊥,A 30∠=,1OK OAsin30OA 2==,则AB 是圆O 的切线;m 0>(Ⅱ)设圆心为T ,证明OT 为AB 的中垂线,OT 为CD 的中垂线,即可证明结论. 【考点】圆的切线的判定定理的证明23.【答案】(Ⅰ)由x a cos t y 1a sin t =⎧⎨=+⎩,得x aco st y 1as i n t =⎧⎨-=⎩,两式平方相加得,22x (y 1)a +-=,1C ∴为以(0,1)为圆心,以a 为半径的圆,化为一般式222x y 2y 1a 0+-+-=①,由222x y +=ρ,y sin =ρθ, 得222sin 1a 0ρ-ρθ+-=;(Ⅱ)2C 4cos ρ=θ:,两边同时乘ρ得24cos ρ=ρθ,22x y 4x ∴+=②, 即22(x 2)y 4-+=,由30C θ=α:,其中0α满足0tan 2α=,得y 2x =,曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,y 2x ∴=为圆1C 与2C 的公共弦所在直线方程,数学试卷 第21页(共56页) 数学试卷 第22页(共56页)①-②得:24x 2y 1a 0-+-=,即为3C ,21a 0∴-=,a 1(a 0)∴=>.【提示】(Ⅰ)把曲线1C 的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线1C 是圆,化为一般式,结合222x y +=ρ,y sin =ρθ化为极坐标方程;(Ⅱ)化曲线2C 、3C 的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y 2x =为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程,把1C 与2C 的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y 2x =可得21a 0-=,则a 值可求.【考点】简单曲线的极坐标方程,参数方程的概念24.【答案】(Ⅰ)x 4x 13f (x)3x 21x 234x x 2⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩,,,,由分段函数的图象画法,可得f (x)的图象,如图:(Ⅱ)由f (x)1>,可得,当x 1≤-时,x 41->,解得x 5>或x 3<,即有x 1≤-;当31x 2-<<时,3x 21->,解得x 1>或1x 3<,即有11x 3-<<或31x 2<<;当3x 2≥时,4x 1->,解得x 5>或x 3<,即有3x 32≤<或x 5>.综上可得,1x 3<或1x 3<<或x 5>.则f (x)1>的解集为1,(1,3)(5,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【提示】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f (x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象;(Ⅱ)分别讨论当x 1≤-时,当31x 2-<<时,当3x 2≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集. 【考点】带绝对值的函数,函数图象的作法绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)iz m m=++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(3,1)-B.(1,3)-C.(1,)+∞D.(,3)∞--2.已知集合{1,2,3}A=,则{|(1)(2)0,}=+-<∈B x x x x Z,则A B =( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3.已知向量a(1,)m=,b(3,2)-=,且(a+b)⊥b,则m=( )A.—8B.—6C.6D.84.圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1,则a= ( )A.43-B.34-CD.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效数学试卷第23页(共56页)数学试卷第24页(共56页)数学试卷 第25页(共56页) 数学试卷 第26页(共56页)7.若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A .()26k x k Z ππ=-∈ B .()26k x k Z ππ=+∈ C .()212k x k Z ππ=-∈D .()212k x k Z ππ=+∈8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2x =,2n =,依次输入的a 为2,2,5,则输出的=s( )A .7B .12C .17D .34 9.若3cos()45πα-=,则sin2α=( ) A .725B .15C .15-D .725-10.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A .4n mB .2n mC .4m nD .2m n11.已知1F ,2F 是双曲线E:22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为( ) A.B .32C .3D .212.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑( ) A .0B .mC .2mD .4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = .14.α,β是两个平面,,m n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥那么αβ⊥;②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥; ③如果αβ∥,m α⊂,那么m β∥;④如果mn ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号).15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .16.若直线y k x b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且1=1a ,728S=.记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,. (Ⅰ)求1b ,11b ,101b;数学试卷 第27页(共56页) 数学试卷 第28页(共56页)(Ⅱ)求数列{}n b 的前1 000项和.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BC 交于点O ,5=AB ,6=AC ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,54AE CF ==,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△'D EF 的位置,OD '=(Ⅰ)证明:D H '⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角B D A C '--的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥.(Ⅰ)当4=t ,||||=AM AN 时,求AMN △的面积;(Ⅱ)当2||=||AM AN 时,求k 的取值范围.21.(本小题满分12分)(Ⅰ)讨论函数2()2-=+xx f x x e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>; (Ⅱ)证明:当[0,1)a ∈时,函数2=(0)()-->x e ax ag x x x 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上(不与端点重合),且DE DG =,过D 点作DF CE ⊥,垂足为F .(Ⅰ)证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;(Ⅱ)若1AB =,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin ,,αα=⎧⎨=⎩x t y t (t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,||AB =求l 的斜率.数学试卷 第29页(共56页) 数学试卷 第30页(共56页)24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当,a b M ∈时,|||1|a b ab +<+.【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值.a (4,m ,b(3,2)-,ab (4,m ∴+=-(a b)b +⊥,,解得m 【提示】求出向量a b +的坐标,根据向量垂直的充要条件,构造关于m 的方程,解得【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】输入的:πcos4⎛-⎝πcos4⎛-⎝9712525-=.22π1n1,π∴=c a b=+,可得2e e20--=,e1>,解得e2=.1数学试卷第31页(共56页)数学试卷第32页(共56页)数学试卷第33页(共56页)数学试卷第34页(共56页)数学试卷 第35页(共56页) 数学试卷 第36页(共56页)(Ⅰ)某保险的基本保费为(Ⅰ)ABCD 是菱形,ABCD 是菱形,得AC 6=,AO ∴=AEOD 1AO=,则DH D =2OD OH '=OH EF H =,建立如图所示空间直角坐标系,AB 5=,6,B(5,0,0)∴,AB (4,3,0)=,AD (1,3,3)'=-,AC (0,6,0)=的一个法向量为n (x,y,z)=,由11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩,得3y 03y 3z +=++1n (3,4,5)∴=-同理可求得平面AD C '的一个法向量2n (3,0=,,设二面角B-D '122n n 9255210n n +==,∴二面角数学试卷 第37页(共56页) 数学试卷 第38页(共56页)(Ⅱ)以H 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,得到AB 、AD '、AC 的坐标,的一个法向量n 、n ,求.221234k +,由2212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭,由AM 22212121k434k 3k k=+++, 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=,由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称,由MA ⊥226t 3tk +,26t t 3k k+,AN ,可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++, 整理得26k 3kt -=,由椭圆的焦点在x 轴上,当2)(2,)-+∞2)和(2,-+∞x2e f (0)=2>数学试卷 第39页(共56页) 数学试卷 第40页(共56页)x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e 2-=的值域为t2e a 2=-,t2e 02≤恒成立,可得2t 2-<≤,由时,g (x)0'<g (x)0'>tt 2e e 2t 2=+,,e k (t )'=Rt DFC Rt EDC ∴△∽△,DF CFED CD∴=, DE DG =,CD BC =, DF CFDG BC∴=,又GDF DEF BCF ∠=∠=∠, GDF BCF ∴△∽△,CFB DFG ∴∠=∠,GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=, GFB GCB 180∴∠+∠=, B ∴,C ,G ,F 四点共圆;(Ⅱ)E 为AD 中点,AB 1=,1DG CG DE 2∴===,∴在Rt DFC △中,1GF CD GC 2==,连接GB ,Rt BCG Rt BFG △≌△,BCGBCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形.【提示】(Ⅰ)证明B ,C ,G ,F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补,由已知条件可知BCD 90∠=,因此问题可转化为证明GFB 90∠=; (Ⅱ)在Rt DFC △中,1G F C D G C 2==,因此可得B C G B F G △≌△,则S 2S =,据此解答. )圆22x ρ=+(Ⅱ)直线l xx α, l ,半径r =数学试卷 第41页(共56页) 数学试卷 第42页(共56页)24.【答案】(Ⅰ)当1x 2<-时,不等式f (x)2<可化为:11x x 222---<,解得x 1>-,11x 2∴-<<-,当11x 22-≤≤时,不等式f (x)2<可化为:11x x 1222-+-=<,此时不等式恒成立,11x 22∴-≤≤,当1x 2>时,不等式f (x)2<可化为:11x x 222++-<,解得x 1<,1x 12∴<<,综上可得M (1,1)=-; (Ⅱ)当a ,b M ∈时,22(a 1)(b 1)0-->,即222a b 1a b +>+,即222a b 2a b 1a 2a b b +++>++, 即22(ab 1)(a b)+>+,即a b ab 1+<+. 【提示】(Ⅰ)分当1x 2<-时,当11x 22-≤≤时,当1x 2>时三种情况,分别求解不等式,综合可得答案;(Ⅱ)当a ,b M ∈时,22(a 1)(b 1)0-->,即2222a b 1a b +>+,配方后,可证得结论. 【考点】绝对值不等式的解法数学试卷 第43页(共56页) 数学试卷 第44页(共56页)绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷3)理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共6页.2.答题前,考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码,请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3.答第Ⅰ卷时,选出每题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4.答第Ⅱ卷时,请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题,请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥,{}0T x x =>,则ST =( )A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2.若12i z =+,则4i1zz =-( )A. 1B. 1-C. iD. i -3.已知向量1331()()22BA BC ==,,,,则ABC ∠=( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 5. 若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=( )A.6425B. 4825C. 1D. 16256. 已知432a =,254b =,1325c =,则( ) A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图,如果输入的4a =,6b =,那么输出的n =( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效---。

2016年安徽省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)

2016年安徽省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
(1)证明 为定值,并写出点 的轨迹方程;
(2)设点 的轨迹为曲线 ,直线 交 于 , 两点,过 且与 垂直的直线与圆 交于 , 两点,求四边形 面积的取值范围.
21.已知函数 有两个零点.
(1)求 的取值范围;
(2)设 , 是 的两个零点,证明: .
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图, 是等腰三角形, .以 为圆心, 为半径作圆.
(1)证明:直线 与 相切;
(2)点 , 在 上,且 , , , 四点共圆,证明: .
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在直线坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数, .在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 .
说明 是哪一种曲线,并将 的方程化为极坐标方程;
小明等车时间不超过 分钟,
故 .
故选: .
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
由已知可得 ,利用 ,解得 ,又 ,从而可求 的取值范围.
【解答】
解:∵双曲线两焦点间的距离为 ,
∴ ,可得: ,解得: ,
∵方程 表示双曲线,
∴ ,可得: ,
解得: ,即 的取值范围是: .
故选 .
6.
【答案】
A
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.
【解答】
解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体,如图:
可得: , .
它的表面积是: .
故选: .
7.
【答案】
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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合2{|430}A x x x=-+<,{|230}B x x=->,则A B =(A)3(3,)2--(B )3(3,)2-(C)3(1,)2(D)3(,3)2(2)设(1i)1ix y+=+,其中x,y是实数,则i=x y+(A)1(B)2(C)3(D)2(3)已知等差数列{}na前9项的和为27,10=8a,则100=a(A)100(B)99(C)98(D)97(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)(B)(C)(D)(5)已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)(–1,3) (B)(–1,3) (C)(0,3) (D)(0,3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π(7)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为(A)(B)(C )(D )(8)若101a b c >><<,,则(A )c c a b <(B )c c ab ba <(C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <(9)执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足(A )2y x =(B )3y x =(C )4y x =(D )5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=42|DE|=25则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a //平面CB 1D 1,a ⋂平面ABCD =m ,a ⋂平面ABA 1B 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 3(B )22 3 (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =. (14)5(2)x x +的展开式中,x 3的系数是.(用数字填写答案)(15)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为。

(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分为12分)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ; (II )若7,c ABC =的面积为332,求ABC 的周长. (18)(本题满分为12分)如图,在已A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60.(I )证明平面ABEF ⊥EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值. (19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (I )求X 的分布列;(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个? 20. (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. (21)(本小题满分12分) 已知函数有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是的两个零点,证明:+x 2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以⊙O 为圆心,OA 为半径作圆. (I)证明:直线AB 与O 相切;(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD .(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0)。

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=cosθ.(I)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。

(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.(I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像;(II)求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。

参考版解析1. {}{}243013A x x x x x =-+<=<<,{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭. 故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.故选D .2. 由()11i x yi +=+可知:1x xi yi +=+,故1x x y =⎧⎨=⎩,解得:11x y =⎧⎨=⎩.所以,x yi += 故选B .3. 由等差数列性质可知:()1959599292722a a a S a +⨯====,故53a =, 而108a =,因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=. 故选C .4. 如图所示,画出时间轴:8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型,所求概率10101402P +==. 故选B .5. 222213x y m n m n-=+-表示双曲线,则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距∴焦距2224c m =⋅=,解得1m = ∴13n -<< 故选A .6. 原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 故选A .7. ()22288 2.80f e =->->,排除A()22288 2.71f e =-<-<,排除B0x >时,()22x f x x e =-()4x f x x e '=-,当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,排除C故选D .8. 对A : 由于01c <<,∴函数c y x =在R 上单调递增,因此1c c a b a b >>⇔>,A 错误对B : 由于110c -<-<,∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减,∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<,B 错误对C : 要比较log b a c 和log a b c ,只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ,只需比较ln ln c b b 和ln ln c a a ,只需ln b b 和ln a a 构造函数()()ln 1f x x x x =>,则()'ln 110f x x =+>>,()f x 在()1,+∞上单调递增,因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <,∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<,C 正确对D : 要比较log a c 和log b c ,只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增,故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <,∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>,D 错误故选C .9. 如下表:循环节运行次数 12n x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()y y ny =判断2236x y +≥是否输出 ()1n n n =+运行前 01/ / 1第一次 0 1 否 否 2第二次 12 2否 否 3第三次 326是是输出32x =,6y =,满足4y x = 故选C .10. 以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >,设圆的方程为222x y r +=,题目条件翻译如图:F设(0A x,2p D ⎛- ⎝,点(0A x 在抛物线22ypx =上,∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上,∴2208x r +=……③ 联立①②③解得:4p =,焦点到准线的距离为4p =.故选B .11. 如图所示:111∵11CB D α∥平面,∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =,则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ,结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥,故11B D m ∥ 同理可得:1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等,即11CD B ∠的大小. 而1111B C B D CD ==(均为面对交线),因此113CD B π∠=,即11sin CD B ∠. 故选A .12. 由题意知:12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则21k ω=+,其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调,5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-,此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增,在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减,不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调 若π9,4ωϕ==,此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减故选B .13. 由已知得:()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++,解得2m=-.14. 设展开式的第1k +项为1k T +,{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k kkkkkk T x x---+==.当532k -=时,4k =,即454543255C 210T x x --== 故答案为10.15.由于{}n a 是等比数列,设11n n a a q -=,其中1a 是首项,q 是公比.∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时,21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-,此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62.所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64.16. 设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则约束为**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥ 目标函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在(60,100)处取得最大值,210060900100216000z =⨯+⨯=17.⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、, ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1cos 2C = ∵()0πC ∈, ∴π3C =⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1333sin 242S ab C ab =⋅==∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为57a b c ++=+18.⑴ ∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点,如图建立坐标系,设FD a =()()000020E B a ,,,,()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,,()020EB a =,,,22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,()200AB a =-,, 设面BEC 法向量为()m x y z =,,. 00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩11101x y z ===-,()301m =-,,设面ABC 法向量为()222n x y z =,, =00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 22204x y z ===,()034n =,设二面角E BC A --的大小为θ. cos 3m n m nθ⋅===+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======,()()220.4P A P B ==设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ,则X 的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令()0.5P x n ≤≥,0.040.160.240.5++<,0.040.160.240.240.5+++≥则n 的最小值为19⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时,费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时,费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =D C =∠,EBD D ∴=∠∠,则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为22143x y +=,(0y ≠);⑵ 221:143x y C +=;设:1l x my =+,因为PQ l ⊥,设():1PQ y m x =--,联立1l C 与椭圆221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=;()2212134m m +=+;圆心A 到PQ 距离|11|m d ---==所以||PQ =,()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+21.⑴ 由已知得:()()()()()'12112x x f x x e a x x ea =-+-=-+① 若0a =,那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=,()f x 只有唯一的零点2x =,不合题意; ② 若0a >,那么20x x e a e +>>,所以当1x >时,()'0f x >,()f x 单调递增 当1x <时,()'0f x <,()f x 单调递减 即:故()f x 在()1,+∞上至多一个零点,在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>,()10f e =-<,则()()210f f <, 根据零点存在性定理,()f x 在()1,2上有且仅有一个零点. 而当1x <时,x e e <,210x -<-<,故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =+,21t =, 12t t <,因为0a >,故当1x t <或2x t >时,()()2110a x e x e -+--> 因此,当1x <且1x t <时,()0f x >又()10f e =-<,根据零点存在性定理,()f x 在(),1-∞有且只有一个零点. 此时,()f x 在R 上有且只有两个零点,满足题意.③ 若02ea -<<,则()ln 2ln 1a e -<=,当()ln 2x a <-时,()1ln 210x a -<--<,()ln 2220a x e a e a -+<+=,即()()()'120x f x x e a =-+>,()f x 单调递增; 当()ln 21a x -<<时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()()'120x f x x e a =-+<,()f x 单调递减;当1x >时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()'0f x >,()f x 单调递增.即:而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时,()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦,那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立,即()0f x =无解而当1x >时,()f x 单调递增,至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点,不合题意.④ 若2ea =-,那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时,10x -<,()ln 2220a x e a ea -+<+=,即()'0f x >,()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时,10x ->,()ln 2220a x e a ea -+>+=,即()'0f x >,()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义,故()f x 在R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.⑤ 若2ea <-,则()ln 21a ->当1x <时,10x -<,()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=,即()'0f x >,()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时,10x ->,()ln 2220a x e a ea -+<+=,即()'0f x <,()f x 单调递减当()ln 2x a >-时,()1ln 210x a ->-->,()ln 2220a x e a ea -+>+=,即()'0f x >,()f x 单调递增 即:故当()ln 2x a -≤时,()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-,那么()0f x e -<≤恒成立,即()0f x =无解当()ln 2x a >-时,()f x 单调递增,至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点,不合题意.综上所述,当且仅当0a >时符合题意,即a 的取值范围为()0,+∞.⑵ 由已知得:()()120f x f x ==,不难发现11x ≠,21x ≠,故可整理得:()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--设()()()221x x e g x x -=-,则()()12g x g x = 那么()()()2321'1x x g x e x -+=-,当1x <时,()'0g x <,()g x 单调递减;当1x >时,()'0g x >,()g x 单调递增.设0m >,构造代数式:()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111mm h m e m -=++,0m > 则()()2222'01m m h m e m =>+,故()h m 单调递增,有()()00h m h >=.因此,对于任意的0m >,()()11g m g m +>-.由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上,不妨设12x x <,则必有121x x << 令110m x =->,则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->,21x >,()g x 在()1,+∞上单调递增,因此:()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得:122x x +<.22.⑴ 设圆的半径为r ,作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒,∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==,, ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一:假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-② 由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二:因为,,,A B C D 四点共圆,不妨设圆心为T ,因为,OA OB TA TB ==,所以,O T 为AB 的中垂线上,同理,OC OD TC TD ==,所以OT CD 为的中垂线,所以AB CD ∥.23.⑴ cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ (t 均为参数)∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆.方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==, ∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=:两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=,224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得:24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -= ∴1a =24.⑴ 如图所示:⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥()1f x >当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x <113x -<<∴或312x <<当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <21 332x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,,,。

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