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高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =【答案】【解析】由已知得，【考点】等差数列性质，余弦定理2.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）平方海里；（2）海里【解析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD.试题解析：（1）如图所示,在中由正弦定理可得，， 4分则的面积（平方海里） 8分（2），12分在中，由余弦定理得，即（海里）答：的面积为平方海里，，间的距离为海里. 16分考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；运算求解能力3.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.4.已知是的三条边的长，对任意实数，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为的三边长，判别式，又三角形中两边之和大于第三边，，又，关于x的方程与x轴没有交点，二次项系数，故恒成立【考点】根的判别式，三角形三边的关系5.在分别是角A、B、C的对边，，且．(1)．求角B的大小；(2)．求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）B=；（2）．【解析】（1）由，可得，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得，进一步变形化简可得，∴B；（2）由（1）可得，即，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即，从而可以得到sinA+sinC取值范围是．（1）由，得由正弦定理得：，又又又；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故sin A＋sin C的取值范围是．【考点】1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．6.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，且中必有一角为钝角，由正弦定理得，代入得，化简得，当时，，所以，当时，，所以，综合选D.【考点】解三角形与不等式的综合运用.7.已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则的面积为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】根据题意，由于A（1，3），B（3，1 ），C（-1，0）那么可知该三角形的AB=，AC=，BC=结合三边的长度可知，该三角形的一个角A, ,结合正弦面积公式可知得到，的面积为5，故答案为A.【考点】三角形的面积点评：主要是考查了解三角形的面积公式的运用，属于基础题。
高一数学暑假作业：必修五第一部分解三角形 解三角形(1) Word版含答案
必修五第一部分解三角形解三角形（1）一、知识点1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=二、练习1.在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）A ．a ＞sin b A B. a =sin b A C. a ＜sin b A D. a ≥sin b A2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,13A a b π===，则c 等于（ ）13.在△ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B 等于（ ）A ． B.± C. D.4.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形 B.等边直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形5.在锐角△ABC 中，若C=2B ，则cb 的范围是（ ）A ．()0,2B.)2C.D.(6.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =7在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（ ）.3A -.3B.C -D 8.在△ABC 中，cos .cos AC B AB C =（1）求证 B C =；（2）若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.3.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，所以由正弦定理得，，故选B。
【考点】正弦定理的应用点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。
4.有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于在中角所对的边长分别为，已知角，，，那么根据正弦定理可知，,由于b<a，则可知角A有两个解，舍去，对于A中，同理可知不成立，对于C，可知A=B,不成立，故选D.【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，属于基础题5.如图，在中，，，(1)求；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．【答案】（1）（2）AD【解析】解：（1）由，C是三解形内角，得2分4分---5分（2）在中，由正弦定理 -7分，又在中，，由余弦定理得， 910分本题也可利用向量法。
注意。
【考点】解三角形点评：主要是考查了三角函数的恒等变换以及解三角形的运用属于基础题。
6.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由正弦定理得……5分（2）由余弦定理 7分8分所以 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。
(完整word版)高一下学期解三角形数列综合测试题.docx
一、选择题1.在ABC中，已知 a 6，b 4， C120 ,则 c的值为A.76B. 76C.28 D . 282.观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55的规律， x应等于A.11B.12C.13D.143.在 ABC 中，已知 a6， C60 , c 3，则 A的值为A.45B.135C.45 或135D.60 或1204..已知等差数列{ a n }中， a5a11 16， a41，则 a12的值为A.15B.30C.31D.645.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 的方向航行 90海里后，看见灯塔在正西方向，这时船与灯塔的距离为A.302海里B.30 3海里C.453海里D.452海里已知等差数列{ a n }中，a1a3，a8，则的值为6.. 4 a420a15A.26B.30C.28D.367..已知 { a n } 为等差数列， S n是其前 n项和 , 且S1122，则 tan a6的值为3A. 3B.3 C .3 D .33在 ABC中，已知 a， B2,当 ABC的面积等于 23时，sin C等于8.43A.7B.14C.14 D .2114147149.在ABC 中，若a7, b3, c8, 则面积为（）A 12B 21 C.28 D .6 32等差数列 an }的前n项和为 S ，若 a5,a a14,则使S 取最小值的 n为10..{n1410nA.3B.4C.5D.6在ABC中，已知a，，13,则最大角正弦值等于11.7 b8 cosC14A.3B. 2 3C .3 3D .4 37777112．等比数列{ a n}前n项乘积记为M n,若M1020, M 2010,则 M 30（）A． 1000B． 40251 C．D．4813．某人朝正方向走x km 后，向右 150°，然后朝新方向走3km ，果他离出点恰好 3 km，那么x的（）A .3B . 2 3 C. 2 3或3 D. 314．在等差数列｛ a n｝中，前 n 和 S n，若 S16— S5 =165，a8a9 a16的是（）A．90B．90C． 45D．4515．数列{ a n}的前 n 和S n，令T n S1S2 L S n，称 T n数列 a1， a2，⋯⋯，na n的“理想数” ，已知数列 a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” 2004 ，那么数列2，a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” （）A． 2002B．2004C． 2006D． 2008二、填空设为等差数列a n 的前n项和若S33, S624,则S916. S n.在等比数列中，是方程2的两个根，则17.a n a5 , a97 x18x7 0a7 ___在ABC 中，B60，＝，ABC外接圆半径R73 ，则18.S ABC1033ABC 的周长为19 已知ABC 的三边分别为 a, b, c; 且 3a 23b 2 - 3c22ab0,则 sin C20．已知△ ABC的三分是a, b， c ，且面 S ＝a2b2 c 2，角 C ＝_____4a c21．若 a、 b、 c 成等比数列， a、x、 b 成等差数列， b、y、c 成等差数列，x y 三. 解答在ABC 中，若sin22B sin2，b2, c求及a.22. A sin C sinBsinC 4. A23.在 ABC 中，若tan A2c b ,求A的值. tan B b224．（ 12 分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？【答案】点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大【解析】在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S＝S△AOB ＋S△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.试题解析：设∠AOB＝α， .1分在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα， .4分于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB ＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2 6分＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)＝sinα－cosα＋＝2sin＋. .10分因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大12分 12分【考点】1.解三角形;2.三角函数的性质.2.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.3.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故∴y＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．max【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．4.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为，测得塔基的俯角为，那么塔的高度是（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，＝，故选A．【考点】解斜三角形的实际应用．5.给出下列四个命题，其中错误的命题是（）①若，则是等边三角形②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】①中三者乘积为1,则其中一个应当大于1,另外两个乘积小于1,显然后者可以成立,但是前者不成立,故前者只能取到1,所以剩余两个乘积为1,同理只能都为1,因为,所以,正确;②当时, ,三角形是等边三角形,错误;③三角形中,当内角是钝角时,余弦值为负数,所以三个内角中必有一个是钝角,两个是锐角,三角形必然是钝角三角形,正确;④当时,有所以,三角形为等腰三角形或是直角三角形,错误.【考点】利用角判断三角形的形状.6.在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 .【答案】【解析】根据三角形面积公式.【考点】三角形面积.7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
(完整word版)三角形、平行四边形、梯形的面积综合练习题
梯形的面积练习题：一、求下面梯形的面积：上底2米下底3米高5米上底4分米下底5分米高2分米上底48米，下底56米,高35米. 上底124米，下底76米，高82米。
上底80米，下底50米,高60米. 上底15分米，下底9分米,高比下底长1分米.下底24厘米，上底是下底的一半，高1分米。
上底5厘米，下底8厘米,高6厘米上底2。
4分米，下底7.6分米，高8分米二、填空：1、两个完全一样的梯形可以拼成一个（ )形，这个拼成的图形的底等于梯形的( )与（）的和，高等于梯形的（），每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的( ）.2、梯形的上底是a，下底是b,高是c，则它的面积＝（）3、一个梯形上底与下底的和是15米，高是4米，面积是（）平方米。
4、一个梯形的面积是8平方厘米,如果它的上底、下底和高各扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。
5、用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的面积是24平方分米，拼成的平行四边形的面积是多少平方分米？三、判断:1、梯形的面积等于平行四边形的面积的一半。
（）2、两个完全相同的直角梯形,可以拼成一个长方形. （ )3、一个上底是5厘米,下底是8厘米，高是3厘米的梯形，它的面积是12平方厘米。
（）4、一个梯形的上底是３分米,下底是５分米，高是４分米，面积就是32平方分米.（）四、应用题1、一座小型拦河坝，横截面的上底5米,下底131米，高21米。
这座拦河坝的横截面积是多少？2、一块梯形稻田，上底长8米，下底比上底长1。
2米，高是上底的2倍。
这块稻田的面积是多少平方米?3、一块梯形草坪的面积是90平方米，上底是6米，下底是12米，高是多少米？4、一块梯形的果园，它的上底是160米，下底是120米，高30米。
如果每棵果树占地10平方米，这个果园共有树多少棵？5、用65米长的篱笆沿墙边围一个直角梯形的鸡舍，梯形的直角边是15米,你能计算出围成的鸡舍的面积吗？6、一块三角形地，底长38米,高是27米,如果每平方米收小麦0。
(完整word)高一数学解三角形综合练习题
必修五 解三角形一、选择题1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.22．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为ο60，则底边长= （ ）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135<<x B ．13＜x ＜5 C ．2＜x ＜5 D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=o，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A= （ ）A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 8．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = （ ）A ．B ．90米C ．D ．10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三 辆车的距离2d 之间的关系为 （ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知23a =，2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = ；12．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = ； 13．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝____ __； 14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60o，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 ；15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？ 【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45o，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.（0，2） C.()2,22 D.()2,2【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45o<2<x , 即222,x << 故选C.【解法2】,sin sin a b AB=sin sin 452sin .24a B x x Ab ===o△ABC 有两解，b sin A <a <b , 222,4x x ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”） 16.在中，若，则的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形三、解答题：（共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高一数学解三角形单元测试及答案
解三角形本章测试一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6a b B π===，则A =（ ）.A4π .B 3π.C 34π .D 344ππ或2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）.A 030 .B 045 .C 0120 .D 01503. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:44. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）.A62海里/时 .B 346/时 .C 1722海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）.A 2 .B 4 .C3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 69. 在ABC ∆中，已知222222sin sin a A b Ba cb bc a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形；B.等腰三角形；C.等腰或直角三角形；D.等边三角形10. ABC ∆中，060A ∠=,若332ABC S ∆=,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围是（ ）.A 3,6（）.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2511cos cos cos 2442C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）.A65 .B 75.C 9625 .D 11225二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)
高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
高一数学解三角形综合练习题
高一数学解三角形综合练习题TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】必修五 解三角形一、选择题 1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A= （）A ．090B ．060C ．0120D ．01508．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的 仰角为60︒，则塔高AB = （ ）A ．B ．90米C ．D ． 10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的关系为 （ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = ；12．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = ；13．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝____ __；14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 ；15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.（0，2）C.()2,22D.()2,2 【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45<2<x , 即222,x << 故选C.【解法2】,sin sin abA B = sin sin 452sin .24a Bx x A b===△ABC 有两解，b sin A <a <b , 222,4xx ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”）16.在中，若，则的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形三、解答题：（共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高一数学解三角形知识点总结及习题练习
解三角形一、基础知识梳理1正弦定理：A a sin =B bsin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径），了解正弦定理以下变形：CB A cb a Cc B b A a C B A c b a RcC R b B R a A CR c B R b A R a sin sin sin sin sin sin sin :sin :sin ::2sin ,2sin ,2sin sin 2,sin 2,sin 2++++==========最常用三角形面积公式：A bc B ac C ab ah SaABCsin 21sin 21sin 2121====∆ 2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解）2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一） 了解：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:3．余弦定理 ：A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abcb a C 2cos 222-+=4．余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解 可能不唯一）2[课前热身]1．(教材习题改编)已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°2．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积是( ) A.334 B.1532 C.1534 D.15384．(2010年高考广东卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________. 5．5．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝2，a ＝6，则△ABC 的形状是________． 3[考点突破]考点一 正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．例1、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． (2)满足A ＝45°，a ＝2，c ＝6的△ABC 的个数为________．考点二 余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．例2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．考点三 三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．互动探究1 若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．方法感悟:方法技巧解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asin A＝bsin B＝csin C，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asin A＝csin C，求出c，而通过asin A＝bsin B求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：失误防范1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，sin A2＝cosB＋C2，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．五、规范解答(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD 的长． 【解】 由cos ∠ADC ＝35>0知∠B <π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，4分从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365.9分 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD ，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.12分【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题． 名师预测1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223C ．－63D.632．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，那么角C ＝________.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2b －c )·cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得，(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， 即sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 由余弦定理得，(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即bc sin π3＝332，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．课后作业1 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形2 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A. 090 B. 0120 C. 0135 D. 01503 在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________. 4 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________.5 已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量)0,2()cos 1,(sin =-=n B B m 与向量 夹角的余弦角为.21（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.6 △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .（Ⅰ）若bc a c b 21222=-+，求cosA 的值； （Ⅱ）若A ∈[2π，23π]，求A C B 2cos 2sin 2++的取值范围.7 在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=-8 在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++.。
高一数学解三角形(含答案)
解三角形 1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===.高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km) C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).A BD Cαβ1、在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c3、在ABC△中,,a b c分别为,,A B C∠∠∠的对边，若2s i n (c o s c o s )3(s i n s A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
高中数学 第九章 解三角形测评 新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题
第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则2sin A-sin Asin2A=()A.37B.57C.97D.107解析由题意2sin A-sin Asin2A =2sin A-sin A2sin A cos A=2A-A2A cos A,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cos C=(16+9-4)A22×4×3A2=78,则2sin A-sin Asin2A=(8-3)A4×78A=107.故选D.2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50√3米C.50(√3+1)米D.50√2米AB=h,△ABC中,∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=AA+100=√33,解得h=50(√3+1)米.故选C.3.若sin AA =cos AA=cos AA,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D .有一内角是30°的等腰三角形 解析因为sin AA=cos AA,所以a cos B=b sin A ,所以由正弦定理得2R sin A cos B=2R sin B sin A ,2R sin A ≠0.所以cos B=sin B ,所以B=45°.同理C=45°,故A=90°.4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD ,则cos ∠DAC=() A.2√55B.√55C.3√1010D.√1010,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为点D.易知四边形BCDE 是正方形,则BE=CD=1, 所以AE=AB-BE=1.在Rt △ADE 中,AD=√AA 2+AA 2=√2,同理可得AC=√AA 2+AA 2=√5, 在△ACD 中,由余弦定理得 cos ∠DAC=AC 2+AA 2-AA 22AA ·AA=22×√5×√2=3√1010.故选C .5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为()海里/小时. A.2√6B.4√6C.8√6D.16√6PM=64,∠MPN=120°,在△PMN中,由正弦定理得AAsin∠AAA =AAsin∠AAA,即64sin45°=AAsin120°,得MN=32√6,所以船的航行速度为AA14-10=8√6(海里/小时).故选C.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin 2A+√2a sin B=0,b=√2c,则AA的值为()A.1B.√33C.√55D.√77b sin2A+√2a sin B=0,所以由正弦定理可得sin B sin2A+√2sin A sin B=0, 即2sin B sin A cos A+√2sin A sin B=0.由于sin B sin A≠0,所以cos A=-√22,因为0<A<π,所以A=3π4,又b=√2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2b cos A=2c2+c2+2c2=5c2,所以AA =√55.故选C.7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔B与寺庙C的距离为()A.2 kmB.√3 kmC.√2 kmD.1 km,先求出AC,AB的长,然后在△ABC中利用余弦定理可求解.在△ABD中,AD=1,可得AB=√3.在△ACD中,AD=1,∠ADC=105°,∠DCA=30°,所以由正弦定理得AA sin∠AAA =AAsin∠AAA , 所以AC=AA ·sin∠AAA sin∠AAA=√6+√22. 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos45°=8+4√34+3-2×√6+√22·√3·√22=2,所以BC=√2.故选C .8.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15°,地面某处A 的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ 为()A.100 mB.200 mC.300 mD.100 m,可得Rt △ABC 中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC=AAsin60°=√32=200√3;在△ACQ 中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得AAsin45°=AAsin60°,解得AQ=200√3×√22√32=200√2,在Rt △APQ 中,PQ=AQ sin45°=200√2×√22=200m .故选B .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在△ABC 中,a ,b 分别是角A ,B 的对边,a=1,b=√2,A=30°,则角B 为() A .45°B.90°C .135°D .60°或135°,可得sin B=A sin AA =√2sin30°=√22,又由a<b,且B∈(0°,180°),所以B=45°或135°.故选AC.10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°B满足c sin60°<b<c,选项C满足b sin45°<a<b,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,三角形有一解;对于选项D,由sin B=A·sin AA,且b<a,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是()A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin CABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc cos A,故A正确;在B中,由正弦定理得:Asin A =Asin A,∴a sin B=b sin A,故B正确;在C中,∵a=b cos C+c cos B,∴由余弦定理得:a=b×A2+A2-A22AA +c×A2+A2-A22AA,整理,得2a2=2a2,故C正确;在D中,由余弦定理得a cos B+b cos A=a×A2+A2-A22AA +b×A2+A2-A22AA=c≠sin C,故D错误.故选ABC.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A ∶sin B ∶sin C=4∶5∶6 B .△ABC 是钝角三角形C .△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D .若c=6,则△ABC 外接圆半径为8√77a+b )∶(a+c )∶(b+c )=9∶10∶11,可设a+b=9t ,a+c=10t ,b+c=11t ,解得a=4t ,b=5t ,c=6t ,t>0,可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=4∶5∶6,故A 正确;由c 为最大边,可得cos C=A 2+A 2-A 22AA=16A 2+25A 2-36A 22·4A ·5A=18>0,即C 为锐角,故B 错误;由cos A=A 2+A 2-A 22AA=25A 2+36A 2-16A 22·5A ·6A=34,cos2A=2cos 2A-1=2×916-1=18=cos C ,由2A ,C ∈(0,π),可得2A=C ,故C 正确;若c=6,可得2R=Asin A =√1-64=√7,△ABC外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边的长分别为a ,b ,c ,已知a=1,sin A=√210,sin C=35,则c=.解析由正弦定理Asin A=Asin A ,得c=A sin A sin A=1×35√210=35×√2=3√2.√214.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值是.cos A=A 2+A 2-A 22AA,所以bc cos A=12(b 2+c 2-a 2).同理,ac cos B=12(a 2+c 2-b 2),ab cos C=12(a 2+b 2-c 2).所以bc cos A+ac cos B+ab cos C=12(a 2+b 2+c 2)=612.15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a 2-2ab cos C+b 2=c 2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x ,y ,z ,满足x 2+xy+y 2=9,y 2+yz+z 2=16,z 2+zx+x 2=25,则xy+yz+zx=.ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,利用余弦定理得出△ABC 的三边长,由此计算出△ABC 的面积,再利用S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 可得出xy+yz+zx 的值.设△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,由余弦定理得c 2=x 2-2xy ·cos ∠AOB+y 2=x 2+xy+y 2=9,∴c=3. 同理可得a=4,b=5,∴a 2+c 2=b 2,则∠ABC=90°, △ABC 的面积为S △ABC =12ac=6, 另一方面S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC=12xy sin2A 3+12yz sin2A 3+12zx sin2A 3=√34(xy+yz+zx )=6,解得xy+yz+zx=8√3.√316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ,B ,灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°,与A 相距3√2海里的D 处;乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向,与B 相距5海里的C 处,此时乙船与灯塔A 之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.ABC 为等边三角形,所以AC=5.∠DAC=180°-75°-60°=45°,在△ADC 中,根据余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos ∠DAC =18+25-2×3√2×5×(√22)=13,解得CD=√13.√13四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin B+1=b sin A+2cos C. (1)求角C 的大小;(2)若a=2,a 2+b 2=2c 2,求△ABC 的面积.因为由正弦定理得Asin A =Asin A ,所以a sin B=b sin A ,∴2cos C=1,cos C=12.又0<C<π,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,∴4+b 2=2(4+b 2-2b ),解得b=2. ∴S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin π3=√3.18.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin B sin C. (1)求角A 的大小;(2)若cos B=13,a=3,求c 的值.由正弦定理可得b 2+c 2=a 2+bc ,则cos A=A 2+A 2-A 22AA=12,因为A ∈(0,π),所以A=π3.(2)由(1)可知,sin A=√32,因为cos B=13,B为三角形的内角,所以sin B=2√23,故sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√32×13+12×2√23=√3+2√26,由正弦定理Asin A =Asin A,得c=A sin Asin A=√32×√3+2√26=1+2√63.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距200 m的C,D两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A,B两点之间的距离.ACD中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.由正弦定理得AAsin45°=AAsin30°,且CD=200,所以AD=100√2.同理,在△BCD中,可得∠CBD=45°,由正弦定理得AAsin120°=AAsin45°,所以BD=100√6.在△ABD中,∠BDA=105°-15°=90°,由勾股定理得AB=√AA2+AA2=200√2,即A,B两点间的距离为200√2.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B=4a sin C.(1)求cos B的值;(2)求sin (2A +π4)的值.由正弦定理A sin A =Asin A ,则3cb=4ac ,所以b=43a.而b+c=2a ,则c=23a. 故由余弦定理得cos B=A 2+A 2-A 22AA=A 2+49A 2-169A 22A ·23A =-14.(2)因为cos B=-14, 所以sin B=√154. 所以sin2B=2sin B cos B=-√158, cos2B=2cos 2B-1=-78. 所以sin (2A +π4)=√22(sin2B+cos2B ) =√22×(-√158-78)=-7√2+√3016.21.(12分)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距4(3+√3)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距16√3海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时. (1)求BD 的长;(2)该救援船到达D 点所需的时间.由题意可知:在△ADB 中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=105°.由正弦定理AAsin∠AAA =AA sin∠AAA ,得4(3+√3)sin105°=AA sin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√6+√24,代入上式得DB=8√3.(2)在△BCD 中,BC=16√3,DB=8√3,∠CBD=60°, 由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos60° =(16√3)2+(8√3)2-2×16√3×8√3×12=242,∴CD=24,∴t=A A =2424=1.即该救援船到达D 点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC 中,C=π4,角B 的平分线BD 交AC 于点D ,设∠CBD=θ,其中tanθ=12.(1)求sin A ;(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =28,求AB 的长.由∠CBD=θ,且tan θ=12,∵θ∈(0,π2),∴sin θ=12cos θ,sin 2θ+cos 2θ=14cos 2θ+cos 2θ =54cos 2θ=1,∴cos θ=√5,sin θ=√5.则sin ∠ABC=sin2θ=2sin θcos θ=2×√5×√5=45,∴cos ∠ABC=2cos 2θ-1=2×45-1=35, sin A=sin [π-(π4+2A )]=sin (π4+2A ) =√22sin2θ+√22cos2θ=√22×(35+45)=7√210. (2)由正弦定理,得AA sin A =AA sin∠AAA ,即7√210=AA 45, 所以BC=7√28AC.又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28√2, 由上两式解得AC=4√2,又由AA sin A =AA sin∠AAA ,得√22=AA 45,解得AB=5.。
(完整word)高一必修五解三角形复习题及答案
解三角形广州市第四中学 文U 运科、选择题•本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.△ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为a,b, c ，若c 、、2, b ..6，B 120o ，则a等于【】C .3C . .3 1A . 135oB . 90oC . 45°D . 30°4. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3, BC 7,贝U BAC 的大小为【 】253A .B .C .D .—3 64 3 5. △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c ,若a b c 成等比数列，且c 2a ,则 cosB【】132A.4B .4C .4D . 36. △ ABC 中, 已知 tan A 1,tan B 1 则角C 等于【】32 'A.135oB . 120oC . 45oD . 30(一 uuu umr7.在 ABC 中，AB=3, AC=2 , BC= . 10，则 AB AC 【】3 2 2 3A . -B . —C .D .-2 3 3 28.若厶ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 a cosA bcosB ,则【A.疋疋锐角—角形B.可能是钝角三角形C.D.可能是直角三角形疋是寺腰三角形10.△ ABC 的面积为 S2a2A(b c)，则tan =【】1111 A .— B .—C .—D .-23 46A . △ ABC 为等腰三角形C . △ABC 为等腰直角三角形9.若 tanAtanB> 1，则△ ABC 【】2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C的对边分别为a 、b 、c ,已知A —, a 3b 1，则 c3. 已知△ ABC 中，a 2 , b 3 , B 60o ，那么角A 等于【B . △ ABC 为直角三角形D . △ABC 为等腰三角形或直角三角形 】二、填空题：本大题共4小题.11.在厶ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a 3,b 4,c 6,则bccosA cacosB abcosC 的值为 ________________ .112•在△ ABC 中，若tan A - , C 150o, BC 1，则AB .313. 在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若,3b c cos A acosC ,贝H cosA _____________ 。
湖北省松滋一中高一数学 单元训练(32)第一章解三角形(综合训练b组) 必修5.doc
湖北省松滋一中高一单元训练32数学5必修第一章：解三角形[综合训练B 组]一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =， 则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ， 则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++ 则A = ( )A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ， 则最大角的余弦是（ ）A ．51-B ．61- C ．71- D ．81-7．在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。
4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。
高一解三角形试题及答案
高一解三角形试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，若sinA=3/5，cosB=4/5，则sinC的值为（）。
A. 3/5B. 4/5C. 3/5 或 4/5D. 无解答案：A解析：根据正弦定理，sinA/a = sinB/b = sinC/c，已知sinA=3/5，cosB=4/5，可以求得sinB=√(1-cos²B)=3/5。
由于三角形内角和为180°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(3/5)(4/5)+(4/5)(3/5)=24/25。
因此，sinC=3/5，答案为A。
2. 在三角形ABC中，若a=7，b=14，A=30°，则B的度数为（）。
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°答案：B解析：根据正弦定理，a/sinA = b/sinB，已知a=7，b=14，A=30°，代入公式得sinB=(14sin30°)/7=1。
由于B为三角形内角，所以B=90°，答案为C。
3. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积为（）。
A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 9√3答案：B解析：根据海伦公式，S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2=6。
代入公式得S=√[6(6-3)(6-4)(6-5)]=√[6×3×2×1]=6√3。
因此，三角形ABC的面积为6√3，答案为C。
二、填空题4. 在三角形ABC中，若A=60°，a=√3，b=1，则c的值为______。
答案：2解析：根据余弦定理，a²=b²+c²-2bc*cosA，代入已知条件得3=1+c²-2c*cos60°，即c²-c-2=0。
解得c=2或c=-1（舍去负值），所以c=2。
高一数学解三角形正余弦定理基础练习题(含答案)
高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高第I卷（选择题）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,求a+2b+csinA+2sinB+sinC=()A. √3B. 4√33C. 2 D. 2√3932.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足c=2acosB，则ΔABC的形状是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若的面积为a2+b2−c24，则C=()A. π2B. π3C. π4D. π64.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形()A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定5.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB−bcosA=c，则△ABC是()A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=√52b，A=2B，则cos B等于()A. √53B. √54C. √55D. √56二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）7.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8，b<4，c=7，且满足(2a−b)cosC=c⋅cosB，则下列结论正确的有()A. C=60∘B. ▵ABC的面积为6√3C. b=2D. ▵ABC为锐角三角形8.已知角A,B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()A. sin(B+C)=sinAB. cos(A+B)=cosCC. 若A>B，则sinA>sinBD. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=．10.在△ABC中，若(a−c)(a+c)=b(b+c)，则A=．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）12.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且2csinC=(2b−a)sinB+(2a−b)sinA．(1)求角C；(2)若c=2√3，求△ABC的周长l的取值范围．13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足R2+2accos B=a2+c2．(1)求B的大小；(2)若b=2，C=5π，求△ABC的面积．1214.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sinA，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cosA的值；(2)求cos(2A−π3)的值．15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求B的大小；(2)若b=√13,a+c=4，求△ABC的面积．16.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且asinB−√3bcosA=0．(1)求角A；(2)若a=√13，b=3，求△ABC的面积．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图所示，在四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(1)求cos∠CAD 的值；(2)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC−sinBsinC=1．2(1)求A；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．先由三角形面积公式求出c，由余弦定理求出a，再由正弦定理可得．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,∴√3=12bcsinA，即√3=12c×√32，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，∴a2=1+16−4=13，即a=√13，∴由正弦定理得，asinA =bsinB=csinC=2R，∴2R=2√393，∴a+2b+csin A+2sin B+sin C =2R=2√393．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查应用解三角形判定三角形的形状，基础题型．解题关键是将已知的等式进行化简，这里用到了余弦定理，化简后得到a=b，从而得到答案．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a·a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选D.【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．由S△ABC=12absinC=a2+b2−c24得sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦定理解三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正弦定理解三角形的计算，利用正弦定理得sinB=2√23，又a<b，可得三角形解的个数．【解答】解：因为asinA =bsinB，所以sinB=ba ·sinA=2418×sin45°=2√23．又因为a<b，所以B有两解，∴三角形有两解．故选C．【解析】【分析】本题考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，属于基础题．利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，得到A为直角，可得出三角形ABC为直角三角形．【解答】解：利用正弦定理，化简已知的等式得：即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴2cosAsinB=0，∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=0，∵0<A<π，，所以△ABC是直角三角形，故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和二倍角公式的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，通过正弦定理、二倍角公式得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中{a=√52bA=2B，∴根据正弦定理及二倍角公式得{sinA=√52 sinBsinA=sin2B=2sinBcosB，在△ABC中，，∴cosB=√54，故选B．7.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．利用定理逐项验证，即可求出结果．【解答】解：∵(2a−b)cosC=c⋅cosB，∴2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=12，∵C∈(0°,180°)，∴C=60°，故A正确；由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosC，即49=64+b2−8b，且b<4，解得b=3，故C错误；∴S△ABC=12absinC=12×8×3×√32=6√3，故B正确；∵b2+c2−a2=49+9−64=−6<0，∴角C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故D错误．故选AB．8.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，属于基础题也是易错题．由题意利用诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，故A正确；对于B，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴cos(A+B)=−cosC，故B错；对于C，因为A>B，所以a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，C正确；对于D，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，此三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错．故选AC．9.【答案】2936【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6.再利用余弦定理即可得出．【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6．由余弦定理可得：cosB=32+62−422×3×6=2936．故答案为：2936．10.【答案】120°【解析】【分析】本题考查余弦定理，属于基础题．把已知等式整理后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：因为(a−c)(a+c)=b(b+c)，即b2+c2−a2=−bc，所以根据余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，又A为三角形的内角，则A=120°．故答案为120°．11.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc得到a=√7b，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc中，得：a2−b2=6b2，即a=√7b．由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32．∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°．12.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2c2=(2b−a)b+(2a−b)a，即c2=b2+a2−ab，则cos C=b2+a2−c22ab =12，因为0<C<π2，所以C=π3．(2)因为c=2√3，C=π3，所以由正弦定理得asinA =bsinB=csinC=4，则a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π3−A)，△ABC的周长=4sinA+4sin (2π3−A)+2√3=4√3sin (A+π6)+2√3，在锐角三角形ABC中，{0<A<π2,0<2π3−A<π2,得π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3,所以√32<sin(A+π6)≤1，所以6+2√3<4√3sin(A+π6)+2√3≤6√3，所以△ABC的周长l∈(6+2√3,6√3]．【解析】【试题解析】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理的应用及正弦型三角函数的性质，属于中档题．(1)由条件，利用正弦定理，得到c2=b2+a2−ab，结合余弦定理，得到C=π3；(2)利用正弦定理，得到a=4sin A,b=4sin B=4sin (2π3−A)，表示出三角形的周长，利用角的范围，根据正弦型三角函数的性质得到结果．13.【答案】解：，，，，又B为锐角，∴B=π6．(2)∵b=2，C=5π12，∴A=π−(π6+5π12)=5π12，∴a=c，由余弦定理，得，∴a2=4(2+√3)，．【解析】本题主要考查了三角形面积公式、正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由知B=π6．(2)由余弦定理，得求得a2=4(2+√3)，即可求得三角形的面积．14.【答案】解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．【解析】(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】解：(1)由cosBcosC =−b2a+c及正弦定理得，即2sinAcosB+cosBsinC=−sinBcosC，∴2sinAcosB=−(cosBsinC+sinBcosC)=−sin(B+C)=−sinA，∵A为三角形的内角，sinA≠0，，∵B为三角形的内角，；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，得b2=(a+c)2−2ac−2accosB，∵b=√13，a+c=4，B=23π，∴13=16−2ac×(1−12)，∴ac=3，．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由正弦定理得，cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，可得，结合B的范围即可求出结果；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，可得13=16−2ac×(1−12)，解得ac=3，利用三角形面积公式即可求出答案．16.【答案】解：，∴由正弦定理可得：，∵sinB≠0，，即tanA=√3，∵A∈(0,π)，；(2)∵a=√13，b=3，，∴由余弦定理，可得：，，∴解得：，(负值舍去)，．【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的综合运用，三角形面积公式运用，考查了学生对基本公式的运用能力和变形能力，属于基础题．(1)已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出tanA的值，即可确定出角A的大小；(2)由cosA，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．17.【答案】解：(1)∵bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，又sinA≠0，∴tanB=√3．∵B是△ABC的内角，∴B=π．3(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，，得9=a2+4a2−2a⋅2acosπ3解得a=√3(负根舍去)，∴c=2a=2√3．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由bsinA =√3acosB 可得sinBsinA =√3sinAcosB ，化简整理即可得出；(2)由sinC =2sinA ，可得c =2a ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，代入计算即可得出．18.【答案】解：AD =1，CD =2，AC =√7，(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理， 得cos∠CAD =AC 2+AD 2−CD 22AC⋅AD=(√7)2+12−222×√7×1=2√77； (Ⅱ)设∠BAC =α，则α=∠BAD −∠CAD ，，且都为三角形内角， ，∴sinα=sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD =3√2114×2√77+√714×√217=√32， 在△ABC 中，由正弦定理，BCsinα=ACsin∠CBA ， 解得：BC =3． 即BC 的长为3．【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理直接求解可得cos∠CAD 的值．(Ⅱ)由cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC 的长．19.【答案】解：(1)∵cosBcosC−sinBsinC=cos(B+C)=−cosA=12．∴cosA=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)∵a=2√3，A=2π3，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=16−bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×4×√32=√3．【解析】(1)由已知利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知及余弦定理可求bc=4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。
2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练04 解三角形(解析版)
必考点04 解三角形题型一 利用正余弦定理解三角形例题1[在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解析】(1)由题意得，b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，所以a＝3或a ＝－2(舍去)．所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°.即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314.即AB 边上的高CD ＝15314.例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[【解析】(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 【解题技巧提炼】1．已知△ABC 中的某些条件(a ，b ，c 和A ，B ，C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．已知△ABC 的外接圆半径R 及角，可用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . [提醒] 已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．1．已知△ABC 中某些条件求角时，可用以下公式sin A ＝a sin Bb ，sin B ＝b sin Aa，sin C ＝c sin Aa ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 2．已知△ABC 的外接圆半径R 及边，可用公式sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. [提醒] (1)注意三角形内角和定理(A ＋B ＋C ＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．题型二 判断三角形形状例题1设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．例题2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． 【解题技巧提炼】[解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型三 三角形面积问题例题1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°， 故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．题型四 解三角形的实际应用例题1如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m. 【答案】900【解析】由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，所以∠AQB ＝30°，所以AB ＝BQ . 又PB 为公共边，所以△P AB ≌△PQB ，所以PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， 所以P ，Q 两点间的距离为900 m.例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [【答案】6002[【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝6006(m)．在△ACD 中，因为tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，所以DC ＝6006×33＝6002(m)． 例题3游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________． [【答案】513[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.【解题技巧提炼】测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．测量高度问题的基本思路高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用例题1如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 【解析】设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 【解题技巧提炼】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．题型六 解三角形与三角函数的综合问题例题1已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．【解析】(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.【解题技巧提炼】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤题型一 利用正余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．【解析】(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.题型二 判断三角形形状1．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．2．[在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 且还满足①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程． 【解析】由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 及正弦定理得a ＋c b ＝b ＋ca ，即ac ＋a 2＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0， ∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b . 若选①△ABC 为等边三角形．由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形． 若选②△ABC 为等腰直角三角形，因b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形.题型三 三角形面积问题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.题型四 解三角形的实际应用1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【答案】103【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 3．为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 的同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝________ m. 【答案】202＋1【解析】如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝20 2. 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 【答案】66【解析】设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC中，BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，在平面四边形ABCD 中，∠BCD ∈(0，π)，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58. 题型六 解三角形与三角函数的综合问题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．【解析】(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．()2021-千米 B ．()4021-千米C ．)201D ．)401【答案】D【解析】在ABC 中，135AOB ∠=︒， 设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα==︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2．某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径100OA =米.若要在弧AB 上找一点C ，沿线段AC 和BC 铺设一条观光道路，则四边形OACB 面积的最大值为（ ）A ．2500平方米B ．25003平方米C ．5000平方米D ．50003平方米【答案】C【解析】连接OC ，2211sin sin 22OAC OCB OACB OA S S AOC OA CS BO =⋅∠+∠+⋅=四边形△△2π1sin sin 23OA AOC AOC ⎡⎤⎛⎫=∠+-∠ ⎪⎢⎝⎭⎣⋅⎥⎦15000(sin )322cos AOC AOC +=∠∠π5000sin 50003AOC ⎛⎫=∠+≤ ⎪⎝⎭，当π6AOC ∠=时，等号成立. 所以四边形OACB 面积的最大值为5000.故选：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，1c =，则B C +=（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】因为a =2b =，1c =， 所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯，由0180A <<︒︒，则120A =︒,18060B C A ∴+=︒-=︒故选：C4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于19，则该圆锥的表面积等于（ ） A ．4π B ．6π C ．10π D ．203π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则()2221233162339r -⨯=+⨯⨯=，解得2r =，故该圆锥的表面积等于12234102πππ⨯⨯⨯+=.故选：C.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为cos cA b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <， 又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A. 二、多选题6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是（ ） A ．sin sin sin 234A B C =：：：： B ．ABC 是锐角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC 内切圆半径为12 【答案】BCD 【解析】A 选项，∵sin sin sin a b cA B C==，2a =、3b =、4c =，∵sin sin sin 234A B C =：：：：，对，B 选项，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，∵222222234cos 02223a b c C ab +-+-==<⨯⨯，∵2C π>，∵ABC 是钝角三角形，错，C 选项，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =， 即sin sin22sin cos C A A A ==⋅，又sin sin 12A C =：：，即sin 2sin cos 12A A A ⋅=：：，cos 1A =，不符合题意，错，D 选项，∵22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，∵sin B ==，∵11sin 2422ABCSac B =⋅=⨯⨯设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABCS a b c r r =++⋅=⨯++⨯=∵r =故选：BCD.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=（ ） A ．若π3A =，1c =，则1a =B ．若π3A =，1c =，则ABC 的面积为πC ．若2b =，则A 的最大值为π3D ．若2b =，则ABC 周长的取值范围为()4,12【答案】ACD【解析】因为sin sin 2sin B C A +=，所以2b c a +=. 对于A ，B ，若1c =，则21b a =-，22223421cos 2422b c a a a A bc a +--+===-，解得1a =，ABC 的面积1sin 2S bc A ==，A 正确，B 错误. 对于C ，若2b =，则22c a =-，222238831cos 12128881b c a a a A a bc a a +--+⎛⎫===-++- ⎪--⎝⎭312182⎡⎤≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2a =时，等号成立，所以A 的最大值为π3，C 正确.对于D ，若2b =，则根据三边关系可得,,a c b a b c +>⎧⎨+>⎩即222,222,a a a a +->⎧⎨+>-⎩解得443a <<，则4312a <<，ABC 的周长为3a b c a ++=，故ABC 周长的取值范围为()4,12，D 正确.故选：ACD 三、填空题8．在ABC 中，D 为BC 的中点，若4AB =，2AC =，AD =BC =______．【答案】【解析】法一：设BD x =，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理，得22222222BD AD AB DC AD AC BD AD DC AD+-+-+=⋅⋅220=，所以x BC =法二：由D 为BC 的中点，得()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+，即()1816242cos 44BAC =+⨯⨯∠+，所以3cos 4BAC ∠=，所以22232cos 16424284BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC =故答案为：9．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .【答案】20【解析】设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ，故答案为：20 四、解答题10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长． 【解析】(1)521>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得cos B =又(0,)B π∈，34B π∴=，故sin B(2)AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+，2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B a =+.(1)求角B 的值；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上中线AD 的长.【解析】(1)sin sin cos sin B A A B A =+，()0,πA ∈，sin 0A ≠cos 1B B =+，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，π3B ∴=；(2)1sin 2S ac B ==8c =，10a ∴=，由余弦定理22212cos 6425404922a AD c ac B ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，得249AD =，7AD ∴=，12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理及()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-， 得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，可得3A π=.(2)由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为222b c bc +≥， 所以22a bc bc ≥-，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，∵11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△ABC13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量()7,1m =，()cos ,1n C =，(),2cos p b B =，且0m n ⋅=.(1)求sin C 的值；(2)若8c =，//m p ，求B 的大小.【解析】(1)因为()7,1m =，()cos ,1n C =，且0m n ⋅=，所以7cos 10C +=，即1cos 7C =-，因为0C π<<，所以sin C ==. (2)因为()7,1m =，(),2cos p b B =，//m p ，所以14cos b B =， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin c Bb C=，又8c =，sin C =b B ，14cos B B =，即tan B =0B π<<，所以3B π=.14．已知向量()2sin ,2cos 1m x x =-，()2cos ,1n x =，()f x m n =⋅.(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =ABC 的面积的最大值.【解析】(1)()22sin cos 2cos 1f x m n x x x =⋅=+-，sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==； (2)由()214f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0,A π∈，所以4A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥，所以2bc ≤=b c =时取等号，所以ABC 的面积21sin 244S bc π==≤，15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． (1)求B ；(2)若点M 在AC 上，且满足BM 为ABC ∠的平分线，2,cos BM C ==BC 的长． 【解析】(1)在ABC 中，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+.由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为()cos 0,C C π=∈，所以sin C = 因为3B π=，BM 为ABC ∠的平分线，所以6MBC π∠=.所以[]sin sin BMC MBC C π∠=-∠-∠()sin MBC C =∠+∠sin cos cos sin MBC C MBC C =∠∠+∠∠12==.在MBC △中，由正弦定理得：sin sin MB BC C BMC =∠=BC = 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且)cos b c aC C +=+． (1)求角A ；(2)若2a =，ABCb c +的值.【解析】(1)由)cos b c a C C +=+及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A C A C +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=，又sin 0C ≠cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<，则5666A πππ-<-<，所以，66A ππ-=，因此，3A π=. (2) 解：由余弦定理，得2222cos 3a b c bc π=+-，即()234b c bc +-=，又1sin 2ABC bc S A ==4bc =，所以4b c +=．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 02A A A ++=.(1)求A ；(2)若cos cos 2b C c B +=，求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且2sin 2sin 2cos 2sin cos sin cos 102AA A A A A A ++=+++=，2(sin cos )(sin cos )0A A A A ∴+++=， 即(sin cos )(sin cos 1)0A A A A +++=， sin cos 1A A +>-，sin cos 0A A ∴+=，所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，34A π∴=； (2)ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，sin b B ∴==⋅，同理可得，sin c C =⋅，cos cos 2b C c B +=，∴sin cos sin cos 2B C C B ⋅⋅+⋅⋅=，∴sin()2B C ⋅+=sin 24π⋅=，2a ∴=，由余弦定理可得22424cos 22b c bc A bc bc+--=-=， 当且仅当b c =时，取等号，422bc ∴+，即bcABC ∴面积⋅⋅=≤1sin 2bc A 1=-，所以ABC 1.。
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必修五解三角形
一、选择题
1. 在ABC 中，若 A :B :C1: 2:3 ，则 a : b : c 等于（）
A. 1: 2:3
B.3: 2:1
C. 2 : 3 :1
D.1: 3 : 2
2．在△ABC中，a2b2c2bc，则 A等于（）
A． 60° B ．45°C． 120 ° D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长
A. 1公里
B. sin10°公里
C. cos10 °公里
D. cos20 °公里
4．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为60，则底边长 =（）
A ． 2
B ．
3
C． 3D．2 3 2
5．已知锐角三角形的边长分别为2、 3、 x，则 x 的取值范围是（）
A ． 5 x13B．13＜ x＜ 5C． 2＜ x＜5D．5＜ x＜5
．在
ABC 中，A60o， a 6 ，
b 3
，则
ABC
解的情况（）
6
A. 无解
B.有一解
C.有两解
D. 不能确定7．在△ ABC 中，若(a c)( a c)b(b c) ，则∠A=（）
A．900B．600C．1200D．1500
8．在△ ABC 中， A 为锐角， lg b+lg(1
2 ,则△ABC为（）
)=lgsin A=－ lg
c
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底 B 在
同一水平面内的两个测点C与 D，测得BCD75 ，
BDC60 ，CD60米，并在点 C 测得塔顶 A 的
仰角为 60，则塔高 AB =（）
A．45 3米B．90 米
C．902米D．452米
10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于
他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离 d 2之间的关系为（）
A.d1d2
B.d1 d 2
C.d1d2
D. 不能确定大小
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．在ABC b A
、
B C
，已知
a2 3 b2
，
ABC 中，三边 a 、、c 所对的角分别为、，
的面积 S=3，则C；
12．在△ ABC 中，已知 AB=4， AC=7 ， BC 边的中线 AD 7
，那么 BC=；2
13．在△ ABC 中，| AB |＝ 3，| AC |＝ 2，AB与AC的夹角为60°，则 | AB -AC |＝______；
14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60o，另两边之比为8： 5，则这个三角形的
面积为；
15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？
【题】在△ ABC 中， a＝ x， b＝ 2， B＝45o，若△ ABC 有两解，则 x 的取值范围是（）
A.2,
B.（ 0，2）
C. 2,22
D.2,2
【解法1】△ ABC 有两解， asinB<b<a， xsin 45o <2<x, 即2 x 2 2,故选 C.
【解法】a b
,sin A a sin B x sin 45o 2 x .
2
sin A sin B b24
△ ABC 有两解， bsinA<a<b, 22x
2,即 0<x<2, 故选 B. 4
x
你认为是正确的（填“解法 1”或“解法 2”）
16. 在中，若，则的形状是
A. 正三角形
B.等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角形
三、解答题：（共 6 小题，共 75 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）16．（本题 12 分） a，b，c 为△ ABC 的三边，其面积S△ABC＝ 12 3 ，bc＝48，b-c＝2，求a．
17. （本题 12 分）一缉私艇发现在北偏东 45 方向 ,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以
10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜 .缉私艇的速度为 14 nmile/h,
北
若要在最短的时间内追上该走私船 C
东
,缉私艇
应沿北偏东 45
的方向去追 ,.求追及所需
B
的时间和
角的正弦值 .
A
18. （本题 12 分）在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边， 且 2asinA=（ 2b+c ）sinB+
（ 2c+b ） sinC
（Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 sin B
sin C 的最大值 .
19. （本题 12 分）在数学研究性学习活动中， 某小组要测量河对面
C 和
D 两个建筑物的距
离，作图如下，所测得的数据为
AB 50 米，
DAC 75o ，
CAB
45o ，
o
， CBD 75
o
，请你帮他们计算一下，
D
DBA 30
河对岸建筑物 C 、 D 的距离？
A B
20. （本题13 分）已知A、B、C为ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、b、 c ，若
cosB cosC sin B sin C 1
．2
（Ⅰ）求 A ；（Ⅱ）若a 2 3, b c 4 ，求ABC的面积．。