数学排列与组合
数学排列与组合
小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
Cmn1.
.
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（（（（（12345）））））甲甲甲甲甲、 、 必 、 、乙 须 乙乙 乙、 当 、、 、丙 选 丙丙 丙三 ， 三三三人人乙人人必不、只至须能丙有多2当当不一人选选能人当；；当当选选选C；；；33CCC921131CC94943C613032C76985 126
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 9
排列与组合的基本原理与应用
排列与组合的基本原理与应用排列与组合是概率与数学中的重要概念，它们在许多实际问题中都具有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本原理以及在实际生活中的应用。
一、排列的基本原理排列是从若干元素中选出若干个元素按一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序非常重要，不同的顺序会得到不同的结果。
1. 排列的定义从n个不同元素中选取m个进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，记作P(n, m)。
2. 排列的计算公式n个不同元素中选取m个进行排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!3. 排列的实例例如，有3个不同的球，分别编号为1、2、3。
从中选取2个进行排列，则可能的排列结果有：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)，共有6种排列方式。
二、组合的基本原理组合是从若干元素中选出若干个元素按任意顺序组成的方式。
在组合中，元素的顺序不重要，不同的顺序会得到相同的结果。
1. 组合的定义从n个不同元素中选取m个进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，记作C(n, m)。
2. 组合的计算公式n个不同元素中选取m个进行组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)3. 组合的实例例如，有3个不同的球，分别编号为1、2、3。
从中选取2个进行组合，则可能的组合结果有：(1,2)、(1,3)、(2,3)，共有3种组合方式。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有许多应用，以下列举几个常见的实例。
1. 赛事排列在体育比赛或其他比赛中，要确定参赛者的出场顺序，可以使用排列的方法。
假设有8名选手参加比赛，按照排列的方法，共有8!种不同的出场顺序。
2. 密码生成在电子设备或网络账号中，为了保护信息安全，常常需要设置密码。
使用排列的方式可以生成各种组合的密码，增加破解的难度。
3. 彩票号码彩票中的号码选择也可以使用组合的方法。
排列与组合的求解方法
排列与组合的求解方法排列与组合是数学中重要的概念和计算方法，广泛应用于各个领域。
在解决问题时，我们经常会遇到需要计算不同元素的排列或组合的情况。
本文将介绍排列与组合的定义、基本性质以及常用的求解方法。
一、排列的求解方法1.全排列法全排列法是求解排列问题最常用的方法之一。
它的基本思想是通过逐个确定某个元素的位置，将问题分解为子问题，并递归求解。
以求解n个元素的全排列为例，首先将第一个位置确定为一个元素，然后将剩余的n-1个元素进行全排列，直到最后一个元素。
2.字典序法字典序法是另一种常用的排列求解方法。
它的基本思想是通过字典序的顺序，依次生成下一个排列。
具体做法是，从右向左找到第一个不满足升序的相邻元素对（i，j），然后从右向左找到第一个大于i的元素（k），将i和k交换位置，最后将j右边的元素按升序排列。
3.逆序对法逆序对法是一种简单而直观的排列求解方法。
它的基本思想是通过计算逆序对的个数，确定排列的位置。
逆序对指的是右边的元素小于左边的元素的情况。
以求解n个元素的全排列为例，全排列总数为n!，每个元素在某一位置上产生逆序对的概率为1/n。
因此，逆序对法可以通过计算逆序对的个数，确定某个排列的位置。
二、组合的求解方法1.穷举法穷举法是求解组合问题最直观的方法。
它的基本思想是通过逐个选择元素，将问题分解为子问题，并递归求解。
以求解从n个元素中选取m个元素的组合为例，首先将第一个元素选择为组合的一部分，然后将剩余的n-1个元素中选择m-1个元素的组合，直到最后一个元素。
2.数学公式法数学公式法是一种快速计算组合数量的方法。
通过使用组合数公式，可以直接计算出从n个元素中选取m个元素的组合数量。
组合数公式为C(n,m) = n! / ((n-m)! * m!)，其中n!表示n的阶乘。
根据这个公式，可以直接计算出组合的数量。
3.递推法递推法是一种逐步确定组合元素的方法。
它的基本思想是通过前一步的组合结果，推导出下一步的组合结果。
高等数学中的排列与组合计算
排列与组合是高等数学中的重要概念和计算方法，它们在各个领域的数学问题中扮演着关键角色。
排列与组合既有着共同点，又有着明显的区别，它们的应用领域也有所不同。
首先，我们来看看排列的计算。
排列是指从一组事物中选出几个事物进行排列，其次序有关，即排列中的元素是有区别的。
排列的计算方式可以使用阶乘来实现。
阶乘指的是从1到某个正整数n的所有正整数的乘积，用符号n!表示。
例如，5!表示1x2x3x4x5，其值为120。
那么对于n个不同的元素中，选出m个元素进行排列，数学上可以用P(n,m)表示，其计算方式为n!/(n-m)!。
排列的计算方式非常灵活，可以应用于考察事物排序的各种问题，比如从A、B、C、D四人中选出三人进行排队，那么可能的排列数为P(4,3)=4x3x2=24。
接下来，我们来看看组合的计算。
组合是指从一组事物中选出几个事物进行组合，其次序无关，即组合中的元素是没有区别的。
组合的计算方式可以使用阶乘和除法来实现。
对于n个不同的元素中，选出m个元素进行组合，数学上可以用C(n,m)表示，其计算方式为n!/[(n-m)!x m!]。
组合的计算方式可以应用于考察事物组合可能性的问题，比如从A、B、C、D四人中选出两人进行配对，那么可能的组合数为C(4,2)=4!/[2!(4-2)!]=6。
排列和组合的计算方式在高等数学中有着广泛的应用。
在概率统计中，排列和组合的计算可以帮助我们计算出不同事件发生的概率。
比如投掷一个骰子，计算出两次投掷中6点连续出现的概率可以使用排列和组合的计算方法。
在排列组合理论中，排列和组合的计算可以帮助我们解决各种复杂的问题，如求数学函数的展开式、证明数学定理等。
在图论中，排列和组合的计算可以帮助我们解决路径问题、圈问题等。
总的来说，排列和组合是高等数学中非常重要的计算方法，它们在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。
排列和组合的计算方式简单灵活，但在应用中也需要注意灵活变通，结合实际问题进行具体分析，灵活选择适当的计算方式。
高考数学专题：排列与组合
高考数学专题：排列与组合在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
但别担心，让我们一起来深入了解它，掌握解题的关键。
首先，我们要明白什么是排列，什么是组合。
排列，简单来说，就是从给定的元素中取出一些，然后按照一定的顺序排成一列。
比如说，从 5 个不同的数字中选出 3 个排成三位数，这就是排列问题。
而组合呢，只关注选取的元素，不考虑它们的顺序。
比如，从 5 个不同的水果中选出 3 个，这就是组合问题。
那为什么要区分这两者呢？因为在计算方法上，它们是不同的。
排列的计算方法是用排列数公式：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的计算方法是用组合数公式：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
我们通过一些具体的例子来理解。
比如，有 5 个不同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5 。
从中取出 3 个排成一排，有多少种排法？这就是一个排列问题。
第一步，从 5 个球中选 3 个，有 C(5, 3) 种选法；第二步，选出的 3 个球进行排列，有 A(3, 3) 种排法。
所以总的排法就是 C(5, 3) × A(3, 3) ＝ 60 种。
再比如，从 5 个不同的球中选出 3 个组成一组，有多少种选法？这就是组合问题，直接用组合数公式 C(5, 3) ＝ 10 种。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原则和方法需要掌握。
一个是分类加法原则。
如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种走法。
排列与组合的区别技巧
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
高考数学总复习考点知识专题讲解8 排列与组合
高考数学总复习考点知识专题讲解专题8 排列与组合知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．【例1】判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．知识点三 排列数的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 知识点四 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，其中m ，n ∈N *，并且m ≤n .(2)A m n ＝n ！(n －m )！. 2．全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，全排列数为A n n ＝n ！(叫做n 的阶乘)．规定：0！＝1. 【例2】（2023•泰州期末）678910⨯⨯⨯⨯可以表示为()A ．410AB ．510AC ．410CD ．510C【例3】（2023•莱州市开学）已知18934x x A A -=，则x 等于() A ．6B ．13C ．6或13D ．12【例4】（2023•浑南区期末）12320222232022232022M A A A A =++++，20232023N A =，则M 与N 的大小关系是()A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．M N …知识点五“相邻”与“不相邻”问题相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法.【例5】3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．【例6】（2023•香坊区期末）加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有()种加工方法．A．24B．32C．48D．64【例7】（2023•沈阳模拟）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有() A．24种B．48种C．72种D．96种知识点六定序问题用除法对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．【例8】7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？知识点七特殊元素的“在”与“不在”问题分析法对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．【例9】（2023•卧龙区月考）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端、丙和丁相邻的不同排列方式有() A ．24种B ．36种C ．48种D ．144种【例10】（2023•宜宾月考）“四书”“五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为() A ．622622A A A B ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A【例11】（2023•武强县期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的偶数？【例12】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？同步训练（一）1．（2023•宿迁期末）下列各式中，不等于n ！的是()A ．n n AB ．1n n A -C ．1n n nA +D ．11n n nA --2．（2023•宿迁月考）(1998)(1999)(2021)(2022)(n n n n n N ----∈，2022)n >可表示为()A ．241998n A -B ．251998n A -C ．242022n A -D ．252022n A -3.（2023•河南模拟）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga lgb -的不同值的个数是()A ．6B ．8C ．12D ．164．（2023•揭阳期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩．现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为()A．288B．144C．72D．365.（2023•海淀区校级期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有()种排法？A．72B．36C．24D．126.（20123•会宁县期中）用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成多少个五位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数．7.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？知识点八组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点九排列与组合的关系【例13】(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．【例14】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？知识点十组合数公式规定：C 0n ＝1.知识点十一 组合数的性质 性质1：C mn ＝C n －mn .性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .【例15】（2023•朝阳区期末）已知2188m m C C -=，则m 等于() A ．1B ．3C ．1或3D ．1或4【例16】（2023•吉水县期末）计算33334562015C C C C ++++的值为()A ．42015CB ．32015C C ．420161C -D ．520151C -【例17】（2023•崂山区期末）对于伯努利数()n B n N ∈，有定义：001,(2)nk n n k k B B C B n ===∑…．则()A ．216B =B ．4130B =C ．6142B =D ．230n B +=【例18】（2023•沙坪坝区模拟）某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有()种A．150B．72C．20D．17【例19】（2023•东湖区期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是()A．56B．28C．24D．12知识点十二分组、分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．1 平均分组【例20】(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？2 不平均分组【例21】(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？3 分配问题【例22】6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？【例23】（2022秋•浑南区期末）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有种．（用数字作答）【例24】（2022秋•浑南区期末）某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，则安排方案的种数是()A．495B．540C．630D．720【例25】（2023•云南模拟）中国空间站()ChinaSpaceStation的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．9种B．24种C．26种D．30种知识点十三相同元素分配问题之隔板法隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题．将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m －1)块板．【例26】6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．【例27】（2023•浦东新区期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种．【例28】（2023•海淀区期末）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A ，B ，C 三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有() A ．1176B ．2352C ．1722D ．1302【例29】（2023•多选•玄武区期末）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是() A ．不同的安排方法共有240种 B ．甲志愿者被安排到A 学校的概率是14C ．若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是25【例30】（2023•多选•营口期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是()A ．高二六班一定参加的选法有420C 种B ．高一年级恰有2个班级的选法有231010C C 种C ．高一年级最多有2个班级的选法为52012C 种D ．高一年级最多有2个班级的选法为231451*********C C C C C ++种【例31】（2023•福建模拟）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ，B 角色各1人，C 角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ，B 角色不可同时为女生．则店主共有348种选择方式．【例32】（2023•和平区校级模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，2，3，⋯，1n +的1n +个球的口袋中取出m 个球(0m n <…，m ，)n N ∈，共有1m n C +种取法．在1m n C +种取法中，不取1号球有m n C 种取法；取1号球有1m n C -种取法．所以11m m m n n n C C C -++=．试运用此方法，写出如下等式的结果：323232323142241n n n n n C C C C C C C C ----+⋅+⋅++⋅+=．同步训练（二）8.(多选)下列问题是组合问题的有()A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法9.（2023•宣城期中）关于排列组合数，下列结论错误的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．11m m mn n n A mA A -++=10.（2023•多选•朝阳区期末）关于排列组合数，下列结论正确的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．!()!mn n A n m =-11.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．12.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？13.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为()A．1 B．2 C．3 D．414.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？15.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？16.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205 B．110 C．204 D．20017．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种．18．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)19.（2023•长沙期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有() A ．540种B ．360种C ．180种D ．120种20.（2023•多选•罗湖区期末）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有()A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有1237C C 种 B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1239C C 种 C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1221337373C C C C C ++种D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有33107C C -种。
小学数学中的排列与组合
小学数学中的排列与组合在小学数学中，排列与组合是一种重要的数学概念和方法。
它们被广泛应用于解决各种问题，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍排列与组合的基本概念与应用，并探讨它们在小学数学教学中的重要性。
一、排列的概念与应用排列是从一组元素中取出若干个元素进行有序的排列。
在排列中，元素之间具有顺序关系，不同的排列方式会得到不同的结果。
例如，从1、2、3三个数字中，可以有6种不同的排列方式：123、132、213、231、312、321。
在小学数学中，排列通常用于解决带有顺序的问题。
例如，有3个不同的颜色的球，要求将它们排成一列，共有多少种不同的排列方式？这时，可以使用排列的概念进行解答。
我们知道，取第一个位置的颜色有3种选择，取第二个位置的颜色有2种选择，取第三个位置的颜色有1种选择。
所以，总共有3×2×1=6种不同的排列方式。
二、组合的概念与应用组合是从一组元素中取出若干个元素进行无序的组合。
在组合中，元素之间没有顺序关系，不同的组合方式可能得到相同的结果。
例如，从1、2、3三个数字中，可以有3种不同的组合方式：1、2、3；1、3、2；2、3、1。
在小学数学中，组合通常用于解决带有无序的问题。
例如，有3个不同的水果，要求从中选取2个，共有多少种不同的选择方式？这时，可以使用组合的概念进行解答。
我们知道，从3个水果中选取2个的组合数可以表示为C(3, 2)。
根据组合的定义，C(3, 2) = 3。
所以，共有3种不同的选择方式。
三、排列与组合在小学数学教学中的重要性排列与组合作为一种重要的数学概念和方法，在小学数学教学中具有重要的意义。
首先，排列与组合可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
通过学习排列与组合的概念和应用，学生需要运用逻辑思维进行问题分析和解决。
他们需要思考元素的选择、位置的安排等问题，培养了他们的逻辑推理能力和问题解决能力。
其次，排列与组合可以激发学生对数学的兴趣和学习动力。
高考数学复习：排列与组合
【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分 两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的 取法有 C52C14 C15C24 =70种.
【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另 一种型号的电视机,故不同的取法共有 C39 C34=7C035 种.
【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前
排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人
坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类
情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”
三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下
算法:
A24
A12
A55
A
2 4
A14
A55
=8
640(种).
捆绑法
插空法 除法
间接法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看 作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆 绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以已定元素的全排列
对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化 的方法
1
Cm n1
【常用结论】 1.排列与组合的区别
排列
排列与顺序有关
两个排列相同,当且仅当 这两个排列的元素及其排 列顺序完全相同
组合
组合与顺序无关
两个组合相同,当且仅当 这两个组合的元素完全相 同
2.巧记组合数的性质
性质
Cmn
Cnm n
记忆策略
从n个不同元素中取出m个元素的方法 数等于取出剩余n-m个元素的方法数.
数字的排列组合小学数学中的全排列与组合
数字的排列组合小学数学中的全排列与组合数字的排列组合：小学数学中的全排列与组合在小学数学中，数字的排列组合是一个重要的概念。
全排列与组合分别是排列和组合两个不同的概念，下面将介绍这两个概念以及它们在解决问题中的应用。
一、全排列全排列是指由给定的一组数字中任意选择一部分进行排列，使得排列后的结果包含了所有可能的情况。
举个例子，对于数字1、2、3来说，全排列可以是123、132、213、231、312、321。
全排列可以用于解决一些问题，例如经典的“解锁密码”问题。
假设密码锁有4个位置，每个位置上可以取数字0到9中的任意一个数字，那么有多少种不同的密码组合呢？这个问题可以通过全排列来解决，即计算有多少种不同的4位数的全排列，结果为10 x 10 x 10 x 10 = 10000种密码组合。
二、组合组合是指从给定的一组数字中任意选择一部分进行组合，使得组合后的结果包含了所有可能的情况，但不考虑其顺序。
举个例子，对于数字1、2、3来说，组合可以是{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。
组合同样可以用于解决一些问题，例如“选课”问题。
假设有5门课程可供选择，但每个学生只能选择其中3门，那么有多少种不同的选课组合呢？这个问题可以通过组合来解决，即计算有多少种不同的3门课程的组合，结果为5选3，等于10种选课组合。
三、排列与组合的区别全排列和组合在解决问题时有着不同的应用场景。
全排列考虑了元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
这就产生了排列与组合的主要区别，即在全排列中，元素的顺序会影响结果的不同，而在组合中，元素的顺序不会影响结果的不同。
四、小学数学中的应用全排列与组合在小学数学中的应用广泛。
除了前面提到的密码锁和选课问题，还可以用于解决一些有关数学游戏和概率的问题。
以数独游戏为例，数独是一种经典的逻辑推理游戏，玩家需要在一个9x9的方格中填入数字1到9，使得每行、每列和每个3x3的子方格中的数字都不重复。
高中数学排列组合与组合
高中数学排列组合与组合排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。
在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。
本文将详细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计算方法以及实际应用。
一、排列组合的定义和基本原理排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。
排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。
组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。
组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)!2. 组合的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!三、排列组合的实际应用排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。
1. 概率计算：(1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。
2. 空间排列：(1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。
3. 信息编码：(1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。
4. 运输和配送：(1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。
四、排列组合的实例分析为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：问题：某个班级有10个学生，其中3个学生将参加篮球比赛，请问从这10个学生中选择3个学生参赛的方式有多少种？解答：根据组合的计算方法，C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10!/(3!7!) = 120 种。
数学中的排列与组合
数学中的排列与组合数学中的排列与组合是一种重要的组合数学概念，它们在数学、计算机科学、概率论等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、性质以及具体应用三个方面介绍数学中的排列与组合。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行排列的方式数称为排列数，通常用P(n,m)表示。
排列的计算公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其排列顺序。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合的方式数称为组合数，通常用C(n,m)表示。
组合的计算公式为C(n,m) =n!/(m!(n-m)!)。
二、性质1. 互补性质：排列数和组合数之间存在互补关系。
即，P(n,m) =C(n,m) * m!。
2. 递推性质：排列数和组合数之间存在递推关系。
即，P(n,m) =P(n-1,m) + P(n-1,m-1)，C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
3. 乘法原理：如果事件A可以以m种方式发生，事件B可以以n种方式发生，则事件A和事件B同时发生可以以m * n种方式发生。
4. 加法原理：如果事件A可以以m种方式发生，事件B可以以n 种方式发生，且事件A和事件B不可能同时发生，则事件A或事件B 发生可以以m + n种方式发生。
三、具体应用排列与组合在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 抽奖问题：假设有10个人参加抽奖活动，要从中选取3个人中奖。
这是一个组合问题，根据组合的计算公式C(10,3)，我们可以得知共有120种方式可以进行抽奖。
2. 座位安排问题：某场演出有10个观众，座位有10个，要求每个观众坐一个座位。
这是一个排列问题，根据排列的计算公式P(10,10)，我们可以得知共有 10! = 3,628,800 种方式可以进行座位安排。
排列与组合的定义和公式
排列与组合的定义和公式排列和组合是数学中重要的概念，它们可以用来解决计数问题。
排列是指从一组元素中选择若干个元素，按照一定的顺序进行排列。
组合则是从一组元素中选择若干个元素，不考虑其顺序。
下面分别给出排列和组合的定义和公式。
排列是指在一组元素中，按照一定顺序进行选择的方式。
设有n个元素，要从中选择m个元素进行排列，那么排列的种数表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1乘到n的乘积，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1举个例子，如果有3个元素A、B、C，要从中选择2个元素进行排列，那么排列的种数为P(3,2)。
根据公式，P(3,2)=3!/(3-2)!=3!/1!=3*2=6、所以，从A、B、C三个元素中选择2个元素进行排列的结果有6种，分别是AB、AC、BA、BC、CA、CB。
组合是指从一组元素中，选择若干个元素，不考虑其顺序的方式。
设有n个元素，要从中选择m个元素进行组合，那么组合的种数表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)举个例子，如果有3个元素A、B、C，要从中选择2个元素进行组合，那么组合的种数为C(3,2)。
根据公式，C(3,2)=3!/(2!*(3-2)!)=3!/(2!*1!)=3*2/2=3、所以，从A、B、C三个元素中选择2个元素进行组合的结果有3种，分别是AB、AC、BC。
总结：排列和组合是解决计数问题的重要概念，根据选择的元素是否考虑顺序，可以确定使用排列公式还是组合公式。
排列公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!组合公式为：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)其中，n为元素总数，m为选择的元素个数。
排列和组合的计算公式可以帮助我们快速计算出排列和组合的种数，从而解决实际问题。
在实际应用中，排列和组合经常用于计算概率、统计等领域，也常常在组合数学和离散数学等学科中使用。
组合数学中的排列组合方法
组合数学中的排列组合方法在组合数学中，排列和组合是两种常见的计数方法，用于解决对元素进行选择和排列的问题。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方法；而组合则是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方法。
在实际问题中，排列和组合方法的应用非常广泛，例如在概率论、图论、密码学等领域都有重要的应用。
一、排列方法排列方法是将一组元素按照一定顺序进行排列的方法。
在排列中，元素的顺序是非常重要的，不同的顺序会构成不同的排列。
下面介绍几种常见的排列方法。
1.1 顺序排列顺序排列是最简单的一种排列方法，即将一组元素按照顺序进行排列。
假设有n个元素需要排列，第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择，依此类推，总共有n!种排列方式。
其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
1.2 循环排列循环排列是一种特殊的排列方法，它允许元素按照一个循环的方式进行排列。
例如，假设有3个元素A、B和C，按照循环排列的方法，可以得到以下6种排列方式：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
可以发现，循环排列是一种环形的排列方式，其中每个元素都会在每个位置上出现。
1.3 重复排列重复排列是指排列中允许元素重复出现的排列方法。
在排列中，元素重复出现会导致不同的排列方式。
假设有n个元素需要排列，其中有m个元素相同，如果没有重复的要求，则有n!种排列方式。
但如果要求相同元素出现在不同的位置上，那么排列方式将会减少。
具体计算方法是将相同元素的个数分别除以各自的阶乘，然后将结果相乘。
二、组合方法组合方法是将一组元素按照不考虑顺序的方式进行选择的方法。
在组合中，元素的顺序不重要，只需要考虑元素的选择组合。
下面介绍几种常见的组合方法。
2.1 无重复组合无重复组合是指组合中不允许元素重复出现的方法。
假设有n个元素需要选择，要选择m个元素（m≤n），则无重复组合的数量可以用组合数C(n,m)表示。
排列与组合
C ＋C
m n
m－1 n
＝C
m n＋1
计算：
(1)
( 2)
(3)
C
198 200
；
2 99
3
C C ； 2C C C
99
3 8 9
3
2 8
.
2 6 9 13
（）计算 1 C C C C ； 2 2 2 2 （2）计算C2 C3 C4 C10 ；
0 4 1 5
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A.C A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
► 探究点二 有关排列与组合问题 例2 (1)[2012· 辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家 人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人， 至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方 法共有( ) A．78种 B．36种 [答案] (1)C (2)D C．60种 D．72种
m
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
因此： 这里 m、n N，且 m n，这个公式叫做组合数 公式．
*
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 :
m n m m
A
C n Am
排列与组合的基本原理
排列与组合的基本原理排列与组合是概率与统计学中常见的概念和工具，用于描述对象的不同排列和组合方式。
在数学中，排列和组合是基于集合和元素的概念，通过数学运算来计算不同的排列和组合情况。
一、排列的基本原理排列是指从一组元素中选择出若干个元素进行排列的过程。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的排列顺序将得到不同的结果。
以n个元素进行全排列为例，可以使用以下公式来计算可能的排列数：P(n) = n!其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
该公式计算了n 个元素全排列的可能性。
对于从n个元素中选择r个元素进行排列的情况，可以使用以下公式计算排列数：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
该公式计算了n个元素中选择r个元素进行排列的可能性。
二、组合的基本原理组合是指从一组元素中选择出若干个元素进行组合的过程。
在组合中，元素的顺序不重要，不同的组合顺序将得到相同的结果。
以n个元素进行全组合为例，可以使用以下公式来计算可能的组合数：C(n) = 2^n其中，^表示幂运算。
该公式计算了n个元素的全组合的可能性。
对于从n个元素中选择r个元素进行组合的情况，可以使用以下公式计算组合数：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘，(n-r)!和r!分别表示(n-r)的阶乘和r的阶乘。
该公式计算了n个元素中选择r个元素进行组合的可能性。
三、应用举例在实际应用中，排列和组合的原理可以用于解决多种问题。
以下是一些常见的应用示例：1. 选课排班：一所学校有10门选修课，每个学生需要选择3门课进行学习。
计算一下共有多少种不同的选课排班可能性。
根据排列的计算公式，可以得到结果：P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 7202. 抽奖活动：一次抽奖活动中，有10个人参与，每人可以抽取3个奖品。
计算一下共有多少种不同的奖品分配方式。
排列与组合的基本概念与性质
排列与组合的基本概念与性质排列与组合是数学中常见的概念与工具，它们被广泛应用于各个领域。
在解决问题时，我们经常需要考虑对象的排列和组合方式，以求得所需的结果。
本文将介绍排列与组合的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些数学工具。
一、排列的基本概念与性质排列是指将一组对象按照一定的顺序进行布置或安排的方式。
在排列中，每个对象只能使用一次，顺序不同则结果不同。
下面我们来介绍排列的基本概念和性质。
1.1 排列的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行排列，并且考虑对象的顺序，则我们称这样的排列为从n个对象中选取m个对象的排列，记作P(n,m)。
1.2 排列的计算公式排列的计算公式可以使用阶乘的概念来表示。
对于从n个对象中选取m个对象的排列，其计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
1.3 排列的性质排列具有以下性质：性质一：P(n,n) = n!。
当需要从n个对象中选取全部n个进行排列时，排列的总数等于对象的数量的阶乘。
性质二：P(n,0) = 1。
当不选择任何对象进行排列时，排列的总数为1。
性质三：P(n,1) = n。
当从n个对象中选择一个进行排列时，排列的总数等于对象的数量。
性质四：P(n,m) = P(n-1,m-1) + P(n-1,m)。
从n个对象中选取m个对象进行排列，可以分为两种情况：一种是选了第n个对象，那么剩下的n-1个对象中再选m-1个；另一种是没有选第n个对象，那么剩下的n-1个对象中选m个。
二、组合的基本概念与性质组合是指从一组对象中选取一部分对象，不考虑其顺序，而只关心对象的选择方式。
下面我们来介绍组合的基本概念和性质。
2.1 组合的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行组合，并且不考虑对象的顺序，则我们称这样的组合为从n个对象中选取m个对象的组合，记作C(n,m)。
2.2 组合的计算公式组合的计算公式可以使用排列的概念来表示。
数学排列与组合
车票?
排列问题
有多少组种不合同是的选火车择票的价结？ 果，排列组合问题
(3)10名同学是分选成择人数后相再同排的数序学的和结英语果两. 个学习小组,共有
多少种分法?
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手
多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
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判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有
多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种
（1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
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小结
排列
组合 联系
组合的概念 组合数的概念
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
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性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
第30页/共39页பைடு நூலகம்
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解:
(1)
C160
1 2
C64
数学中排列和组合的区别
排列与组合的区别是：
一、侧重点不同
1、排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取知r个的无重复排列。
2、组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
二、符号表示不同
1、排列符号A(n,r)。
2、组合符号C(n,r)。
比如在3个数中选择2个数,组合方法有C（3,2）=3种,是12、13、23。
而排列方法有12、21、13、31、23、32共A（3,2）=6种，组合对数据顺序无关,排列对数据顺序有关联。
排列组合的发展：
虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。
随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧。
排列组合的认识从排列到组合的转变
排列组合的认识从排列到组合的转变排列和组合是数学中的两个重要概念，它们都属于组合数学的范畴。
在解决实际问题中，排列和组合经常被用来计算可能的情况和选择方式。
本文将介绍排列和组合的概念、特点以及它们之间的转变。
一、排列的认识排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列中，元素之间存在顺序关系，不同的排列顺序将产生不同的结果。
排列通常使用符号P来表示，P(n，m)表示从n个元素中选择m个元素进行排列，其中n为总元素个数，m为待选择的元素个数。
排列的计算公式为：P(n，m) = n! / (n-m)!，其中“！”表示阶乘。
例如，现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行排列。
则P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60 种排列方式。
二、组合的认识组合是指将一组元素按照一定的规则进行选择的方式。
在组合中，元素之间不存在顺序关系，只要选取的元素相同，则被视为同一种组合。
组合通常使用符号C来表示，C(n，m)表示从n个元素中选择m个元素进行组合，其中n为总元素个数，m为待选择的元素个数。
组合的计算公式为：C(n，m) = n! / (m! * (n-m)!)。
以前面的例子为例，现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行组合。
则C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种组合方式。
三、排列和组合的转变排列和组合之间的转变涉及到元素之间的顺序关系。
在排列中，元素之间存在顺序，而在组合中，元素之间没有顺序。
因此，可以通过排列的结果来得到相应的组合方式。
假设现有五种不同颜色的气球，需要选择其中三个进行组合。
首先，可以对这五个元素进行排列，然后根据排列结果，选取其中的前三个即为所需的组合。
以C(5,3)为例，对五个气球进行排列可以得到P(5,3) = 60种排列方式。
然后，选择这60种排列中的每一种排列方式的前三个元素，即可得到相应的三个元素的组合。
以具体的例子来说明，现有五个气球的颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。