第四章-复习

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3）落体偏东问题
落体偏东


Se
z y
SC
O
x


Chapter 4
4.1 平面转动参考系
主要公式
v v r
2 a a ω r r 2ω v
2 ma F mω r m r 2mω v
= 恒矢量
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在南半球，地面附近自南向北的气流，也有 朝西的偏向，而成为东南贸易风。如图所示。
东南 贸易 风
大气上层的反贸易风，在北半球为西南贸 易风，在南半球则为西北贸易风。
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2）河流的冲刷与轨道的磨损
当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利 力的水平分量总是指向运动方向的右侧，即指向 相对速度的右方。
r m 2 r 2mω v ma F mω
即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力： r m 2 r 2mω v mω 则牛顿运动定律对 S 系在形式上就仍然成立。
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现在来看这三种惯性力的物理意义：
r ——是由于 S 系作变角速转动所引起的， 1) 惯性力: mω 如果转动是匀速的（即 的量值是常数），则此项惯性力为零。
最大，重力W最小，指向地心；
λ ↑ ， Ft↓ ， 重 力 W↑ ， 重力方向不指向地心；
在南北极： λ =±π /2 ， Ft = 0 ，重力 W最大=F， 且指向地心。
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二、科里奥利力
由于离轴惯性力的作用，重力的量值与引力有差别，重力 的方向也随着纬度变化，但是这种差别和变化都比较小，所 以在研究质点相对于地球的运动时，可以只考虑科里奥利力 的效应。 如图所示，一质点在地球北半球的某 点P上，以速度 v 相对地球运动，P点的 纬度为 λ ， SN 是地轴，地球自转角速度 沿着该轴，单位矢量i、j、k固着在地球 表面上，且 i 水平向南， j 水平向东， k ω 很小， 竖直向上，根据上面的讨论， 2 可忽略含有 项的惯性力，认为重力mg 通过地球球心。
注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在 才能产生。
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4.2 空间转动参照系
空间转动参照系的角速度 的量值和方向都可以改变，转动 参照系S 的原点和静止坐标系S的原点O重合，因此 恒通过O 点。令i、j、k为固着在 S 系三个坐标轴上的单位矢量，故任 一矢量可写为： G G i G j G k
对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。
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4.3 非惯性系动力学（二）
一、平面转动参照系 相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为：
r 2 r 2ω v a a ω
r 2 r 2ω v 于是： a a ω
2) 惯性力: m r ——叫做惯性离心力，是由于 S 系的转动所引 起的，惯性离心力的量值和 平方及质点离开坐标原点O的距 离成正比，它的方向自坐标原点O沿矢径向外。如图所示。
2
3) 惯性力 2mω v ——叫做科里奥利力，是由于 S 系的转动及 质点对此转动参照系又有相对运动所引起的，科里奥利力的量 S 系转动的角速度 及质点相对于 S 系的速度 v 成正比，方 值和 向垂直于 及 v 所决定的平面，并按右手螺旋法则及负号决定 指向。如图所示。
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如图所示。由于离轴惯性 力的作用，使重力常小于引 力，重力随着纬度λ发生变化， 在纬度越小的地方，重力越 小，只有在两极的地方，重 力和引力才相等。
另外，除两极和赤道外重力的方向也不和引力 的方向一致，引力的作用线通过地球的球心，而 重力的作用线一般并不通过地球的球心。
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2 F m R 在赤道上:λ =0， t
d *G dt
——相对（或地方）变化率，G相对于转动参照系的变化。 并带动G一起转动而引起的变化。
G ——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动
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故在转动参照系中，一个矢量G的绝对变化率，等 于相对变化率和牵连变化率的矢量和。 如空间转动参照系 S 的原点与固定参照系S的原点O 重合，并以角速度 绕着O转动，则对S系而言，一个 在 S 系中运动的质点P的绝对速度为：
故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连 加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即：
r 2 r 2ω v a a t ac a a ω
a
——相对加速度 r 2 r ——牵连加速度 at ω
ac 2ω v
——科里奥利加速度
a a d r ( r ) 2 v a a t ac dt
a
d r dt2
2*
——相对加速度，是质点P相对 S 系的加速度。
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现在求质点P对S系的绝对加速度
a a
at
d r a 2 dt d
2*
Chapter 4
4.1 平面转动参考系
基本内容
4.2
4.3
空间转动参考系
非惯性系动力学(二)
4.4
地球自转产生的影响
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4.1 平面转动参考系
设平面转动参照系 S 以角速度 绕垂直 于自身的轴转动，如图所示，在动系 S 上取 坐标系O—xyz，动系与静系原点O重合，z 轴为转动轴，平面上任一点P的位矢为： ω k r xi yj 质点相对静止坐标系S的速度为：
d r ( r ) 2 v a a t ac dt
——相对加速度，是质点P相对 S 系的加速度。 ——牵连加速度
dt a c 2 v
r ( r )
——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。
2
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x y z
dGy dGz dG dGx di dj dk i j k Gx G y Gz dt dt dt dt dt dt dt
由泊松公式：di i
dt
dj j dt
dk k dt
代入上式得：
dG d *G d *G (Gx i G y j Gz k ) G dt dt dt
dr d * r v r v r dt dt
d *r v ——相对速度，是质点P相对于 S 系的速度。 dt
r
——牵连速度，是由于 S 系转动带动r 一起转动而
引起的速度。
故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连速 度的矢量和。
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现在求质点P对S系的绝对加速度
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二、空间转动参照系
r m ( r ) 2m v m a F m
ma F mat mac
由于选取了非惯性系，产生了三种惯性力：
r ——它与 及 r 垂直，当 为常矢量时， 惯性力： m 此项为零。
惯性力： mω (ω r ) m 2 R ——它与惯性离心力有关，在任意瞬时它都与该 时刻的转动轴垂直，并离开转动轴向外。 惯性力： 2mω v ——科里奥利力，它与 及 v 所决定的 平面垂直。
科里奥利力：
Fc 2mω v
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例如 v 自北向南，科里 奥利力则指向西方，如图 所示。这种长年累月的作 用，使得北半球河流右岸 的冲刷甚于左岸，因而比 较陡峭。
双轨单行铁路，由于右轨所受到的压力大于左 轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河 流左岸冲刷较甚，而单行铁路的左轨磨损较甚。
d i j dt dj i dt
——牵连速度
是由于平板转动而带着P点一起转动所引起的 相对静系的速度。
v v r 即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
2
科氏加速度是由于在S系中的观察者看来，牵连运动（即 ） 可使相对速度 v 发生变化，而相对运动（即 v ）又同时使牵连 速度 ω r 中的 r 发生改变，即科氏加速度是由牵连运动与相对 运动相互影响所产生的。如果 与 v 两者中有一个为零，则此 项加速度为零。
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4.4 地球自转所产生的动力学效应 一．牵连惯性力 考虑地球绕地轴自转时，可认为它的角速 0 ，因 度是沿着地轴的一个恒矢量，即 ω 而只需考虑离轴惯性力和科里奥利力所产生 的影响。如果质点相对于地球是静止的， 即 v 0 ，则只需考虑离轴惯性力的影响。
ma F m 2 R
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三、地球上的自然现象 1）贸易风 在地球表面上，热带部分的空气，因热上升，并在高 空向两极推进，而两极附近的空气，则因冷下降，并在地 面附近向赤道附近推进，形成了一种对流，彼此交易，故 称为贸易风。但由于受到科里奥利力的作用，南北向的气 流，却发生了东西向的偏转。 在北半球，地面附近自北向南的气流，有朝西的偏向，成 为东北贸易风。
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三、相对平衡
如果质点P相对于系不动，则： v 0， a 0， ac 0 由相对运动动力学方程得：
ma F mat mac
F mat 0
即当质点在非惯性系中处于平衡状态时，主动力、约 束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零， 我们通常把这种平衡叫做相对平衡。 在行驶的火车中（ S 系）的观察者，看悬挂在车厢中的 小球，就是一个相对平衡问题。
ma F m r 2mω v
2
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4.2
空间转动参照系
v v r
r ω (ω r ) 2ω v a a ω
r m ( r ) 2m v m a F m