6.1平方根
人教版七年级数学下册教学课件《平方根》(第1课时)
求下列各式的值:
(1)
1
;
(2)
9 25
;
(3) 42 ;
(4) 0
.
解:(1) 1 1 ;
(2)
9 25
3 5
;
(3) 42 4 ;
(4) 0 0 .
探究新知 知识点 2 算术平方根的双重非负性
6.1 平方根
1. 负数有算术平方根吗? 2. a 是什么数? 3. a 中的a可以取任何数吗?
探究新知
6.1 平方根
一般地,如果一个正数 x 的平方等于a,即x2=a,那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” .
规定:0的算术平方根是0,即 0 0 .
探究新知
6.1 平方根
怎么用符号来表示一个数的算术平方根? 平方根号
x2 a 互为 x a (x≥0) 逆运算
6.1 平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)100 ;
(2)49 ; 64
(3)0.0001.
解:(1)因为 102=100 , 所以100的算术平方根是10 . 即 100=10 .
探究新知
6.1 平方根
(2) 49 ; 64
解:(2)因为 (7)2 49 , 8 64
所以 49 的算术平方根是 7 .
3
66
x
3
y
4z
7 3
3
7 6
4
35 6
175 6
.
课堂小结
算术平方根的概念
6.1 平方根
算术平 方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课后作业
作业 内容
6.1平方根(第1课时) 教学设计
6.1平方根(第1课时)教学目标1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算,会求某些非负数的算术平方根,能化简某些带根号的数,掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根,提升学生的数感和符号感,发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题,让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机:的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。
二、新知探究活动一:算数平方根探究:问题1:学校要举行美术作品比赛,你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?说一说,你是怎样算出来的?因为52=25,所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2:完成表1:正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考:你能从表1发现什么共同点吗?已知一个正数,求这个正数的平方,这是平方运算问题3:完成表2:正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考:你能从表2发现什么共同点吗?表1与表2中两种运算有什么关系?已知一个正数的平方,求这个正数;互为逆运算归纳:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
人教版七年级数学下册 教学设计6.1 第2课时《平方根》
人教版七年级数学下册教学设计6.1 第2课时《平方根》一. 教材分析本节课的教学内容是《平方根》,这是人教版七年级数学下册第六章第一节的一部分。
在此之前,学生已经学习了有理数、实数等基础知识,对数的运算也有一定的了解。
本节课主要让学生掌握平方根的定义、性质和求法,以及了解平方根在实际问题中的应用。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础,但部分学生在实数方面的理解还不够深入。
在导入新课环节,教师需要通过生活中的实例激发学生的学习兴趣,让学生感受到平方根在实际生活中的重要性。
在教学过程中,要注意引导学生主动探索、发现和总结平方根的性质,提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握平方根的定义、性质和求法,能够运用平方根解决实际问题。
2.过程与方法:通过自主学习、合作交流,培养学生探究数学问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点:平方根的定义、性质和求法。
2.难点:平方根在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.启发式教学:教师通过提问、引导,激发学生的思考,让学生主动探索平方根的性质。
2.情境教学:结合生活实例,让学生感受平方根在实际问题中的应用。
3.小组合作:引导学生进行合作交流,共同探讨平方根的问题。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示平方根的相关知识点。
2.实例材料:准备一些实际问题,用于引导学生运用平方根解决。
3.练习题:准备一些练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些生活中的实例,如测量土地面积、计算物体高度等,引导学生思考这些实际问题与平方根的关系,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)教师引导学生回顾实数的相关知识,然后给出平方根的定义,并通过PPT展示平方根的性质。
同时,教师可以通过讲解、举例等方式,让学生了解平方根的求法。
3.操练(10分钟)教师提出一些有关平方根的问题,让学生独立解答。
七年级数学下册6.1平方根(教案)
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《平方根》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况?”(如,计算正方形面积时需要知道边长的平方根)。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索平方根的奥秘。
-负数的平方根概念:理解负数没有实数平根,这是学生容易混淆的地方,需要通过直观的例子和图形来帮助学生理解。
-平方根的符号表示:区分正数平方根和负数平方根的符号表示,学生需要明确在什么情况下使用正号,在什么情况下使用负号。
-平方根的计算方法:对于一些不是完全平方数的正数,如何估算其平方根的值,这是计算的难点。
1.强化平方根的计算方法,尤其是非完全平方数的平方根,通过多种途径帮助学生掌握计算技巧。
2.注重培养学生将实际问题转化为数学模型的能力,提高他们的数学建模水平。
3.加强学生表达能力和逻辑思维能力的训练,让他们在分享成果时能够更加清晰、有条理地表达自己的观点。
4.在实践活动中,关注学生的操作过程,及时发现问题并进行纠正。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个数乘以自身得到另一个数的过程的逆运算。它是解决几何、物理等学科中许多实际问题的关键。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。例如,一个正方形的面积是25平方单位,那么它的边长是多少?通过求解平方根,我们可以得到边长是5单位。
-平方与平方根的互逆关系:理解平方与平方根的互逆运算,能够应用这一关系解决实际问题。
-平方根的实际应用:将平方根应用于解决生活中的实际问题,如面积计算、速度与加速度等。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
-a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算,平方的结果叫做幂,
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根:
(1)121;(2)2 7 ;(3)-(-4)3;(4)
9
49 .
解题秘方:先根据平方运算找出平方等于这个数的
数,然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解:(1)因为(±11)2=121,
所以121 的平方根是±11,算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
,因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
,算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) -( -4)3=64,因为( ±8)2=64, 所以- (-4)3 的平方根是±8,算术平方根是8.
感悟新知
解:(1)因为1< 3<2,所以0< 3-1<1.
所以 3-1< 1 . 22
(2)因为 401> 400=20,
所以 401-5> 400-5 20-5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)- 10与-3.2;
(2) 6-1 与 2+1;
2
2
(3) 99-7 与 8 . 25
1. 定义:一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说,如果x2=a,那 么x 叫做a的平方根. 表示方法:非负数a 的平方根记为± a ,读作“正、 负根号a”.
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1.了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根.2.能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题. 3.知道开方是乘方的逆运算,会用开方求某些非负数的平方根. 4.能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.1.平方根(1)平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做二次方根.换句话说,如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根,例如22=4,(-2)2=4,则4的平方根是+2和-2(也可合写为±2),+2和-2都是4的平方根.(2)平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.(3)平方根的表示:正数a 有两个平方根,一个是a 的正的平方根,记作“a ”,读作“根号a ”,另一个是a 的负的平方根,记作“-a ”,读作“负根号a ”,这两个平方根合起来可记作“±a ”,读作“正、负根号a ”,其中a 叫做被开方数.【例1-1】求下列各数的平方根:(1)0.64;(2)3625;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-322.分析:要求一个数的平方根,我们可以根据平方根的概念,首先找到一个数,使它的平方等于已知的数,然后就可以求出这个数的平方根.解:(1)∵(±0.8)2=0.64,∴0.64的平方根是±0.8.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652=3625,∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322=⎝ ⎛⎭⎪⎫-322,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-322的平方根是±32.求一个数的平方根,必须牢记正数有两个平方根,它们互为相反数,不会因为表达形式的改变而改变,如⎝ ⎛⎭⎪⎫-322是个正数,那么它有两个平方根,不要错误地认为它的平方根仅有-32.【例1-2】下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;若没有,请说明理由. (1)2516;(2)0;(3)-4;(4)-0.49;(5)(-3)2. 分析:解:(1)因为16是正数,所以16有两个平方根.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542=2516,所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根,是它本身.(3)因为-4是负数,所以-4没有平方根.(4)因为-0.49是负数,所以-0.49没有平方根.(5)因为(-3)2=9,所以(-3)2为正数,有两个平方根.由于9的平方根是±3,所以(-3)2的平方根是±3.2.算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别:①表示方法不同:正数a 的平方根表示为±a ;正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;一个正数的算术平方根只有一个.③性质不同:一个正数的平方根有两个,可以是负数;一个非负数的算术平方根一定是非负数.平方根等于本身的数只有一个数,这个数是0;算术平方根等于本身的数有两个:0和1.(2)联系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一个;平方根和算术平方根都只有非负数才有.负数没有平方根和算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根:(1)196;(2)179;(3)16.分析:根据算术平方根的定义,求正数a 的算术平方根,也就是求一个非负数x ,使x 2=a ,则x 就是a 的算术平方根.(1)因为142=196,所以196的算术平方根是14.(2)因为179=169,⎝ ⎛⎭⎪⎫432=169,所以169的算术平方根是43,即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根,所以要先算出16,再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根,所以16=4.由于22=4,所以4的算术平方根是2,即16的算术平方根是2.解:(1)196=14.(2)179=169=43.(3)因为16=4,4的算术平方根是2,所以16的算术平方根是2.求正数a 的算术平方根,只需找出平方等于a 的正数.求一个分数的算术平方根或平方根,当这个分数是带分数时,要先化成假分数,再求这个数的算术平方根或平方根,不要出现11649=147的错误.3.开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方.(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值.用计算器求一个非负数的算术平方根,只需直接按书写顺序按键即可.例如,用计算器求529与44.81的算术平方根:①在计算器上依次键入529=,显示结果为23,因此529的算术平方根为529=23.②在计算器上依次键入44.81=,显示结果为6.940 271 88,如果要求精确到0.01,那么44.81≈6.94.(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算,是求平方根的过程.(2)开平方是平方的逆运算.我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. (3)平方和开平方之间的关系,我们可以这样来理解:已知底数m 和指数2,求幂,是平方运算,即m 2=(?);已知幂a 和指数2,求底数,是开平方,即(?)2=a .(4)选用的计算器不同,按键的顺序也不同,因此应该仔细阅读计算器的说明书,按照要求操作.【例3】求下列各式中未知数的值:(1)x 2=25;(2)(2a +3)2=16.分析:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,它有一正一负两个值.(1)因为x 2=25,所以x 就是25的平方根,有两个,是±5;(2)将2a +3看成一个整体,根据平方根的定义易知2a +3就是16的平方根,是±4,即2a +3=±4,在此基础上,分两种情况分别求出a 的值即可.解:(1)因为(±5)2=25, 所以x =±5.(2)因为(±4)2=16, 所以2a +3=±4.当2a +3=4时,解得a =12.当2a +3=-4时,解得a =-72.故所求a 的值是12或-72.利用开平方解方程的方法是:先把方程化为x 2=m (m ≥0)的形式,然后根据开平方得到x =±m .特别地,要注意整体思想的应用.4.立方根(1)立方根的概念:一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根).也就是说,如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.(2)立方根的表示方法:数a 的立方根记为“3a ”,读作“三次根号a ”,其中a 是被开方数,3是根指数,这里的根指数“3”不能省略.【例4】求下列各数的立方根:(1)27;(2)-27;(3)338;(4)-0.064;(5)0;(6)-5.分析:求一个数a 的立方根,关键是求出满足等式x 3=a 中x 的值,同时在学习了立方根的表示方法后,应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁.解:(1)因为33=27,所以327=3. (2)因为(-3)3=-27,所以3-27=-3.(3)因为338=278,而⎝ ⎛⎭⎪⎫323=278,所以3338=32.(4)因为(-0.4)3=-0.064, 所以3-0.064=-0.4. (5)因为03=0,所以30=0. (6)-5的立方根是3-5.开方开不尽的数,保留根号,如本题(6),-5的立方根是3-5.5.开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方. ①开立方与立方互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根.②被开立方的数可以是正数、负数和0;③求一个带分数的立方根时,必须把带分数化成假分数,再求它的立方根. (2)用计算器求一个数的立方根及近似值.用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同,主要差别是先按2ndf 键,再按书写顺序按键即可.例如用计算器求31 845,在计算器上依次键入2ndf 31845=,显示结果为12.264 940 82,若计算结果要求精确到0.01,则1 845的立方根为12.26,即31 845≈12.26.【例5】解方程:(1)125x 3-27=0;(2)(5x -3)3=343.分析:(1)把原方程变形为x 3=27125后,可知x 是27125的立方根.(2)把5x -3看做整体,则易知它是343的立方根,其值可求,在此基础上可求x .解:因为125x 3-27=0,所以x 3=27125.故x =35.(2)因为(5x -3)3=343,所以5x -3=3343=7, 即5x =10.故x =2.利用开立方解方程的方法:先把方程化为x 3=m 的形式,然后根据开立方得到x =3m .特别地,要注意整体思想的应用.6.立方根的性质正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致; (2)一个数的立方根是唯一的; (3)3-a =-3a ,3a 3=a ,(3a )3=a . 【例6】下列语句正确的是( ). A .64的立方根是2 B .-3是27的立方根C .125216的立方根是±56D .(-1)2的立方根是-1解析:因为64=8,而2的立方等于8,所以64的立方根是2,即A 正确,解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”;因为-3的立方是-27,所以-3是27的立方根是错误的;因为56的立方是125216,所以125216的立方根是56,因此C 是错误的;因为(-1)2=1,它的立方根是1,而不是-1,所以D 是错误的.故本题选A .答案:A(1)任何数都有立方根,而负数没有平方根;(2)任何数的立方根只有一个,而正数有两个平方根.7.用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型.(1)一个正数的两个平方根互为相反数,而互为相反数的两个数的和为零. (2)对于立方根来说,任何数的立方根只有一个,根据立方根的定义可知,3-a =-3a ,也就是说,求一个负数的立方根时,只要先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再取它的相反数即可.(3)当两个数相等时,这两个数的立方根相等.反之,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等.这与平方根不同,在平方根的计算中,若两数的平方根相等或互为相反数时,这两个数相等;若这两个数相等时,则两数的平方根相等或互为相反数.【例7-1】已知2x -1和x -11是一个数的平方根,求这个数.分析:因为2x -1和x -11是一个数的平方根,根据平方根的定义,可知2x -1和x -11相等或互为相反数.当2x -1和x -11相等时,可列出方程2x -1=x -11,当2x -1和x -11互为相反数时,可列出方程2x -1+x -11=0,从而求出x 的值,进一步可求出这个数.解:根据平方根的定义,可知2x -1和x -11相等或互为相反数.当2x -1=x -11时,x =-10,所以2x -1=-21,这时所求的数为(-21)2=441;当2x -1+x -11=0时,x =4,所以2x -1=7,这时所求的数为72=49. 综上可知,所求的数为49或441.【例7-2】若32a -1=-35a +8,求a 2 012的值.分析:根据立方根的唯一性和3-a =-3a ,可知2a -1与5a +8互为相反数,从而可构造出关于a 的一元一次方程2a -1=-(5a +8).进一步可求出a 2 012的值. 解:因为32a -1=-35a +8,所以32a -1=3-a +,即2a -1=-(5a +8).解得a =-1.故a 2 012=(-1)2 012=1. 8.非负性的应用非负数指的是正数和零,常用的非负数主要有: (1)绝对值|a |≥0;(2)平方a 2≥0;(3)算术平方根a 具有双重非负性: ①a 本身具有非负性,即a ≥0;②算术平方根a 的被开方数具有非负性,即a ≥0. 非负数有如下性质:若两个或多个非负数的和为0,则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时,若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件,并挖掘出题目中隐含的非负性,就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解,从而收到事半功倍的效果.与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题,一般情况下都是它们的和等于0的形式.此类问题可以分成以下几种形式:一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |+( )2=0,| |+ =0,( )2+ =0〕,甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |+( )2+ =0〕;二是题目中没有直接给出平方数,而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形,然后再利用非负数的性质进行计算.【例8-1】如果y =2x -1+1-2x +2,则4x +y 的平方根是__________.解析:因为2x -1≥0且1-2x ≥0,所以2x -1=1-2x =0,即x =12.于是y =2x -1+1-2x +2=2.因此4x +y =4×12+2=4.故4x +y 的平方根为±2.答案:±2【例8-2】如果y =x 2-4+4-x 2x +2+2 012成立,求x 2+y -3的值.分析:由算术平方根被开方数的非负性知x 2-4≥0,4-x 2≥0,因此,只有x 2-4=0,即x =±2;又x +2≠0,即x ≠-2,所以x =2,y =2 012,于是得解.解:由题意可知x 2-4≥0且4-x 2≥0,因此x 2-4=0,即x =±2. 又∵x +2≠0,即x ≠-2, ∴x =2,y =2 012.故x 2+y -3=22+2 012-3=2 013.【例8-3】已知a -1+(b +2)2=0,求(a +b )2 012的值.分析:a -1表示a -1的算术平方根,所以a -1为非负数.因为(b +2)2为偶次幂,所以(b +2)2为非负数.由于两个正数相加不能为0,所以这两项都为0,因此解方程求值即可.解:因为a -1≥0,(b +2)2≥0,且a -1+(b +2)2=0,所以a -1=0,(b +2)2=0, 解得a =1,b =-2.故(a +b )2 012=(1-2)2 012=1.9.利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律. 规律:如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位,则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位.即当被开方数扩大(或缩小)100倍时,其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍;当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时,其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律. 规律:如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位,则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位.即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时,其立方根相应地扩大(或缩小)10倍;当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时,其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索. 【例9】(1)观察下列各式:1+13=213,2+14=314,3+15=415,…,请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________.(2)借助计算器可以求出42+32,442+332,4442+3332,…,观察上述各式特点,__________.解析:(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1,被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1;第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1,被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1,…,故有n +1n +2=(n +1)1n +2(n ≥1). (2)借助计算器,可以分别求得42+32=5,442+332=55,4442+3332=555,…,由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的,且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案:(1)n +1n +2=(n +1)1n +2(n ≥1) (2)5555n 个10.平方根与立方根的实际应用解实际问题时,首先要读懂题意,善于构造数学模型,将它转化为数学问题.与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题,解答时,常常根据题意列出方程,然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可.注意求出的结果要符合实际问题的实际意义.【例10-1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅,求需要的正方形地板砖的边长.解:设地板砖的边长为x m ,根据题意,得100x 2=16,即x 2=0.16,所以x =±0.16=±0.4.由于长度不能为负数,所以x =0.4(m). 故地板砖的边长为0.4 m.【例10-2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”,(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3,求组成它的每个小正方体的棱长.解:设小正方体的棱长为a cm ,则玩具的棱长为3a cm ,由题意得(3a )3=216.于是27a3=216,a 3=8,a =2(cm).故每个小正方体的棱长为2 cm.。
人教初中数学七下 6.1《平方根》教案 【经典数学教学PPT课件】
《平方根》一、教学目标1.经历平方根概念的形成过程,了解平方根的概念,会求某些正数(完全平方数)的平方根.2.经历有关平方根结论的归纳过程,知道正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.二、重点和难点1.重点:平方根的概念.2.难点:归纳有关平方根的结论.三、合作探究(一)基本训练,巩固旧知1.填空:如果一个的平方等于a,那么这个叫做a的算术平方根,a的算术平方根记作 .2.填空:(1)因为1.72=2.89,所以2.89的算术平方根等于,即 2.89=;(2)因为1.732=2.9929,所以3的算术平方根约等于,即3≈ .(二)什么是平方根呢?大家先来思考这么一个问题.(三)如果一个正数的平方等于9,这个正数是多少?如果一个数的平方等于9,这个数是多少?和算术平方根的概念类似,(指准32=9)我们把3叫做9的平方根,(指准(-3)2=9)把-3也叫做9的平方根,也就是3和-3是9的平方根(板书:3和-3是9的平方根). 我们再来看几个例子.(师出示下表)x2 16 36 49 1 4 25x同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的,谁会用一句话概括什么是平方根?平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.大家把平方根概念默读两遍.(生默读)平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别,哪一点点区别?四、精讲精练精讲例1、求下面各数的平方根:(1)100; (2)0.25; (3)0; (4)-4;(1)因为(±10)2=100),所以100的平方根是+10和-100的平方是0,正数的平方是正数,负数的平方还是正数,所以任何数的平方都不会等于-这说明什么?从这个例题你能得出什么结论?(稍停片刻)正数有几个平方根?0有几个平方根?负数有几个平方根?小组讨论:正数有平方根(板书:正数有两个平方根).平方根有什么关系?0的平方根有个,平方根是 .负数平方根.大家把平方根的这三条结论读两遍.精练1.填空:(1)因为()2=49,所以49的平方根是;(2)因为()2=0,所以0的平方根是;(3)因为()2=1.96,所以1.96的平方根是;2.填空:(1)121的平方根是,121的算术平方根是;(2)0.36的平方根是,0.36的算术平方根是;(3) 的平方根是8和-8,的算术平方根是8;(4) 的平方根是35和35,的算术平方根是35.3.判断题:对的画“√”,错的画“×”.(1)0的平方根是0;()(2)-25的平方根是-5;()(3)-5的平方是25;()(4)5是25的一个平方根;()(5)25的平方根是5;( )(6)25的算术平方根是5; ( )(7)52的平方根是±5; ( )(8)(-5)2的算术平方根是-5. ( )五、课堂小结:1、如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根.2、平方根的性质一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,就是0本身.负数没有平方根.3、平方根的表示一个正数a 的正的平方根用符号2a 来表示,a 叫做被开方数,2叫做根指数,正数a 的负的平方根,用符号“2a -”表示.这两个平方根合起来可以记作“2a ±”.这里,符号“2”读作“二次根号”,2a 读作“二次根号a ”,根指数是2时,通过常将这个2省略不写,如2a 记作a ,读作“根号a ”;2a ±记作a ±,读作“正负根号a ”.平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根; 了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根,进一步建立数感和符号感,发展抽象思维。
6.1平方根-人教版七年级数学下册课件
=18
了解算术平方根的概念,会用根号表示一个正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
面积 1 如果一个正数x的平方等于a,即 x 2 =a ,那么这个
解:设每块地板砖的边长为x m. 判断题:下列各式是否有意义?为什么?
9
16 36
16 25
a
★那么乘方与谁互为逆运算呢?
(4)
(5)3
边长 判断题:下列各式是否有意义?为什么?
二 算术平方根的双重非负性
一个正数的算术平方根有几个?
求下列各数的算术平方根: 我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。
非负数 a 0
6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?
因为22=4 ,所以4的算术平方根是__;
★加法与减法互为逆运算;
了解算术平方根的概念,会用根号表示一个正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
得
,
1
表示的意义是什么?它的值是多少?用等式怎样表示?
346
4
5?
了解算术平方根的概念,会用根号表示一个正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
所以100的算术平方根为10,
上面的问题,实际上是已知一个正数的平 ∵192=
∴
=19
∵202= 400 ∴
=20
⑴100 ⑵
⑶0.
方,求 这个正数 的问题.
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
了解算术平方根的概念,会用根号表 1 示一个正数的算术平方根,并了解算
术平方根的非负性.
2 了解开方与乘方互为逆运算,会用平 方运算求某些非负数的算术平方根.
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。
6.1算术平方根(教案)-2023-2024学年七年级下册数学人教版(安徽专版)
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《6.1算术平方根》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况?”(例如,计算正方形对角线的长度)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索算术平方根的奥秘。
4.增强学生的数学建模意识,通过解决实际问题时运用算术平方根,培养其将数学知识应用于现实情境的能力。
5.培养学生的数学应用意识,使其在解决面积、体积等实际问题时,能够பைடு நூலகம்动运用算术平方根知识,体会数学的价值。
6.发展学生的数据分析和数学探究能力,通过练习与巩固环节,学会分析问题、总结规律,培养其数学探究精神。
-突破方法:使用具体的图形(如正方形、直角三角形)来直观展示平方根的物理意义。
-算术平方根的计算:学生可能在手工计算算术平方根时感到困惑。
-突破方法:通过例题和练习,引导学生掌握分解因数法、逼近法等计算技巧。
-算术平方根的应用:学生在应用算术平方根解决实际问题时可能会遇到障碍。
-突破方法:设计生活化的情境题,让学生通过实际操作来感受算术平方根的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-算术平方根的定义与性质:理解算术平方根的含义,掌握其符号表示,以及非负数的唯一算术平方根。
-举例:强调+9和-9的算术平方根分别是3和-3,突出非负数的平方根唯一性。
-算术平方根的计算方法:学会手工计算算术平方根,以及使用计算器求解。
-举例:通过分解因数法求解144的算术平方根,展示计算过程。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调算术平方根的定义和计算方法这两个重点。对于难点部分,比如手工计算算术平方根,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
初中数学七年级下册第六章实数6.1平方根教案
6.1 平方根6.1 平方根(第1课时)从现实生活中提出数学问题,在学生已有的基础上建立新旧知识的联系,让学生用自己的语言有条理地、清晰的阐述算术平方根的概念、意义及求法,提高理解能力和语言表达能力。
趣与信心。
算术平方根的概念和性质。
教学媒体选择分析表媒体教学作使用占用时间2分钟价值观①媒体在教学中的作用分为:A.提供事实,建立经验;B.创设情境,引发动机;C.举例验证,建立概念;D.提供示范,正确操作;E.呈现过程,形成表象;F.演绎原理,启发思维;G.设难置疑,引起思辨;H.展示事例,开阔视野;I.欣赏审美,陶冶情操;J.归纳总结,复习巩固;K.其它。
②媒体的使用方式包括:A.设疑—播放—讲解;B.设疑—播放—讨论;C.讲解—播放—概括;D.讲解—播放—举例;E.播放—提问—讲解;F.播放—讨论—总结;G.边播放、边讲解;H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他1.情境导入学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?(1)若正方形的面积如下,请填表:(2)你能指出它们的共同特点吗?2.总结概念3.例题解析例1 求下列各数的算术平方根:4.练习求下列各式的值:5.例题解析例2 下列各式是否有意义,为什么?6.提出问题能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?7.归纳小结(1)什么是算术平方根?如何求一个正数的算术平方根?(2)什么数才有算术平方根?课本41页:练习1、2.作业布置教科书47页第1、2题组织学生积极思考,鼓励学生多回答。
每完成一个问题,后面紧跟练习,检测学生的掌握情况。
课标依据掌握算术平方根的概念,能通过计算器求一个非负数算术平方根。
从现实生活中提出数学问题,在学生已有的基础上建立新旧知识的联系,让学生用自己的语言有条理地、清晰的阐述算术平方根的概念、意义及求法,提高理解能力和语言表达能力。
人教版七年级下册6.1平方根教学设计
人教版七年级下册6.1平方根教学设计课程概述本次课程是人教版七年级下册数学课的一节,讲解了平方根及其运算。
本课程旨在通过多种实例让学生理解平方根及其运算的基本概念,并通过实例加深对平方根的认识。
教学目标1.了解平方根的概念及运算方法。
2.掌握平方根的方法与技巧。
3.了解平方根在生活中的应用。
教学重点与难点•教学重点:平方根的概念及运算方法,根号化简。
•教学难点:求平方根的实际应用问题。
教学内容1.平方根的概念及简单实例2.平方根的运算方法及技巧3.根号化简4.平方根在生活中的应用教学步骤步骤一:导入新知1.通过实际生活中的问题:如一个正方形的面积为100平方米,求它的边长等多个实例来引出平方根的概念。
2.让学生回忆一下什么是平方,如何求一个数的平方,根据这些来引出平方根的概念。
3.引导学生回忆一下平方根的符号,什么样的数才有平方根,平方根是两个整数之间的值还是一个无线不循环小数。
步骤二:平方根的运算方法及技巧1.分配课堂练习题,让学生互相讨论如何思考和解决。
2.引导学生进行平方根的运算,如何在数轴上分割等。
步骤三:根号化简1.引导学生学习如何进行根号化简。
2.通过数学算式让学生理解根号化简的重要性。
步骤四:平方根在生活中的应用1.引导学生学习生活中平方根的应用,如勾股定理等。
2.让学生思考:平方根还有哪些应用場景,如生活家里的装修等。
步骤五:总结提高1.让学生通过课堂练习巩固课程内容。
2.引导学生进行课程总结和提高。
教学评估1.课中观察学生问题解决能力。
2.课后通过作业和测试对学生掌握程度进行评估。
授课建议1.教师在制定教学计划前需要充分了解学生对平方根的理解程度,针对学生的实际情况设计课程。
2.教师在布置课后作业时,可以增加一些生活中的例子,加深学生对平方根应用的理解。
3.教师要鼓励学生,引导学生通过不同方式解决同样的问题,让学生自己总结解决问题的方法。
初中数学_6.1 平方根教学设计学情分析教材分析课后反思
第六章实数6.1平方根第一课时四、《平方根》教学设计(第1课时)一、内容和内容解析1.内容算术平方根的概念,表示及求一个数的算术平方根2.内容解析算术平方根是初中数学中的重要概念,引入算术平方根,是解决实际问题的需要.作为《实数》的开篇第一课,掌握好算术平方根的概念和计算,一方面可为后续研究平方根、立方根提供方法上的借鉴,另一方面也是为认识无理数,完成数集的扩充,解决数学内部运算,以及二次根式的学习等作准备.算术平方根的概念分两个部分,分别是关于一个正数算术平方根的定义和关于0的算术平方根的规定.由算术平方根的概念引出其符号表示、读法及什么是被开方数.根据算术平方根的概念,可以利用互逆关系,求一些数的算术平方根.根据这些数的算术平方根的结果,不难归纳得出“被开方数越大,对应的算术平方根也越大”的结论,其间体现了从特殊到一般的思想方法.基于以上分析,确定本节课的教学重点为:算术平方根的概念和求法.二、目标和目标解析1.教学目标(1)了解算术平方根的概念,会用根号表示一个非负数的算术平方根.(2)会求一些数的算术平方根.2.目标解析(1)学生能说出正数的算术平方根的定义,记住0的算术平方根是0;会用符号表示一个非负数的算术平方根,并能正确读出符号,能够说出中数的名称;理解符号中被开方数≥0(即是一个非负数)的条件,了解也是一个非负数.(2)学生能依据算术平方根的定义判断一个数有没有算术平方根;掌握用平方运算求某些数的算术平方根的方法,会求出100以内完全平方数或分子、分母均是这类数的分数的算术平方根,以及上述这类数扩大(或缩小)100倍、10000倍的数的算术平方根;了解被开方数越大,对应的算术平方根也越大.三、教学问题诊断分析在本课学习之前,学生们已经掌握了一些完全平方数,对乘方运算也有一定的认识.但对于算术平方根为什么只是就正数进行定义,并对0的算术平方根作出规定,大多数学生不习惯.还有就是负数没有算术平方根,这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中,一般不会碰到(0不能作除数除外);加之算术平方根的符号表示只涉及一个数,这与前面所学都涉及两个数的运算不一样,学生可能难以理解.基于以上分析,本节课的教学难点是:深化对算术平方根的理解.四、教学过程设计1.创设情境,引入新课教师展示本章课题,并提出下面的问题.问题 1 请同学们结合已有的经验,猜想一下,我们会从哪几个方面来对本章的内容加以研究.本章将要学习的主要内容以及大致的研究思路是什么?师生活动教师先启发学生根据自已的认知来猜想本章所要研究的内容,体现知识的连续性、共性.展示本章的内容简介,系统的介绍本章内容.设计意图:让学生对本章内容有一个大体的了解.为后续的学习打下基础,以利于学生在学习的过程中构建知识框架.2.师生互动,学习新知问题2学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25dm的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师生活动:学生可能很快答出边长为5dm.追问请说一说,你是怎样算出来的?师生活动:学生理清解决问题的思路,回答,教师可结合图片强调思路.设计意图:从现实生活中提出数学问题,使学生积极主动的投入到数学活动中去,同时为学习算术平方根提供实际背景和生活素材.问题3完成下表:正方形的面积/dm 1 9 16 36边长/dm师生活动:学生可能很快答出.设计意图:通过多个已知正方形面积求边长问题的解答,加强学生对这种运算的理解,为引出算术平方根作好铺垫.问题4 你能指出问题2与问题3的共同特点吗?师生活动:学生可能回答:上述问题都是“已知一个正方形的面积,求这个正方形的边长”的问题,教师可引导学生进一步归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题,从而揭示问题的本质.在此基础上教师给出算术平方根的定义.一般地,如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根.的算术平方根记为,读作“根号”,叫做被开方数.问题5 上面就一个正数给出了算术平方根的定义,那么,你认为“0的算术平方根是多少?”“怎样表示”比较合适呢?师生活动:学生不难回答“0的算术平方根是0”,可以表示为“”;教师指明:算术平方根的概念包含“正数算术平方根”的定义和“0的算术平方根”的规定两部分.追问(1) 根据以上学习,你认为对于算术平方根中被开方数可以是哪些数?师生活动:学生回答,教师明确:算术平方根中被开方数可以是正数或0,即非负数.追问(2) 为什么负数没有算术平方根呢?师生活动:学生思考、回答,教师点拨:因为任何一个正数的平方都不可能是负数.设计意图:通过不断追问,由学生思考解决,体会分类讨论,既加深学生对算术平方根的理解,又让学生养成全面考虑问题的习惯.3.习题示范,学会应用挑战1 写出下列各数的算术平方根的表示方式 (1)49 (2)0.09 (3)3 (4) 师生活动:请4名学生到黑板板书问题的答案,边写边读,检查学生的掌握情况.设计意图:通过让学生先写后读,及时发现问题,解决问题,强化学生对一个正数的算术平方根的表示方法的掌握,同时,也活跃课堂气氛.挑战2 求下列各数的算术平方根:(1)100;(2);(3)0.0001.师生活动:教师给出第(1)小题求数的算术平方根的思考过程,学生模仿独立完成第(2)、第(3)小题,两名学生板演后,全班交流.追问 从例1中,你能发现被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系吗?师生活动:学生比较被开方数的大小以及其算术平方根的大小,试图归纳出结论.如有困难,教师再举一些具体例子加以引导,说明.设计意图:通过求大小不同的三种形式的正数的算术平方根的实践,巩固求算术平方根的方法,由特殊到一般归纳出结论:被开方数越大,对应的算术平方根也越大.为下节课学习估计平方根的大小做准备.挑战3师生活动:学生先说明所求式子的含义,然后三名学生板演,全班交流,教师点评.设计意图:使学生熟悉算术平方根的符号表示,全面了解算术平方根.12(11(9225(232(()244-挑战4 快速完成下列问题,分享你的快乐!1.下列各数有算术平方根吗?如果有,请求出它们的算术平方根:(1) 81 (2) (3) -4 (4) 2. 自由下落物体的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系式为 如果有一个物体从490m 高的建筑物上自由落下,那么它到达地面需要多少时间?师生活动:学生先判断1中的数有没有算术平方根,展示自已的想法,请1名同学到黑板板书2题的步骤,师生点评.设计意图:使学生理解被开方数不能是负数,再次熟悉算术平方根的求法,借助第2题,让学生体会算术平方根的价值,激发学生的学习兴趣,提高学生学习数学的热情.4.回顾反思师生共同回顾本节课所学内容,并请学生回答以下问题:(1)什么是算术平方根?(2)如何求一个正数的算术平方根?(3)什么数才有算术平方根?设计意图:让学生对本节课知识进行梳理,进一步落实相关概念.5.即时训练,巩固新知师生活动:学生独立完成,教师巡视,对个别差生进行辅导.对“求的算术平方根”,要让学生明白此题包含两层运算,即先求=?,然后再求“?”的算术平方根,实际上就是上述例1、例2类型的综合题.设计意图:通过练习使学生在了解算术平方根及有关概念的基础上,达到能自己求一个数的算术平方根,进一步巩固、深化对算术平方根的理解.6.布置作业:1. 写出你对本节中出现的知识点的认识,完成《同步学习》中自我尝试的1--6小题。
6.1平方根(导学案)
第六章 实数第一课时:6.1平方根(一)【学习目标】1.经历算术平方根概念的形成过程,了解算术平方根的概念.2.学会求某些正数(完全平方数)的算术平方根并会用符号表示.【学习重点】算术平方根的概念. 【学习难点】算术平方根的概念. 【学习过程】 一、学前准备写出下列数的平方=21 ;=22 ;=23 ;=24 ;=25 ;=26 ;=27 ;=28 ;=29 ;=210 ;=211 ;=212 ;=213 ;=214 ;=215 ;=216 ;=217 ;=218 ;=219 ;=220 ;=225 ;二、探索思考算术平方根的概念: a 的算术平方根记为 ,读作 ,a 叫做 据算术平方根的概念可知:a 是 数是 数练习一: 1.填空:(1)因为_____2=64,所以64的算术平方根是______=______; (2)因为_____2=0.25,所以0.25的算术平方根是____________;(3)因为_____2=1649,所以1649的算术平方根是____________. 2.求下列各式的值:=______;=______;=______;______;______;=______. 按被开放数从小到大排列可以发现:被开方数越大,对应的算术平方根3、2的算术平方根是 ,10的算术平方根是 ,36的算术平方根是4、辨析题:卓玛认为,因为(-4)2=16,所以16的算术平方根是-4.你认为卓玛的看法对吗?为什么?三、典例分析例:已知:023=-++y x,求yx 的算术平方根。
四、当堂反馈1、若一个数的算术平方根等于它本身,这个数是2、如果2a-18=0,那么a 的算术平方根是 . 3、、下列数没有算术平方根的是()A.0B.-1C.10D.1024有意义,则x 的取值范围是( )A .x ≥0B .0x <C .0x ≠D .0x> 5、填空并记住下列各式:_______,_______,_____________________,_______,_______,___________ ___,=625 ;6、若x 、y 为实数,且 5+x +|y-2|=0,求x+y 的值五、学习反思第二课时:6.1平方根(二)【学习目标】1.2不循环小数的特点.2.会估计带根号的数的大小。
七年级数学人教版下册课件6.1平方根
人教版-数学-七年级-下册
实数
6.1 平方根 课时3
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
1.算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么 这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
6
0
1
无
4
学习目标
1.了解平方根的概念,并理解平方与开平方的关系. 2.会求非负数的平方根.
课堂导入
填空: (1) 32= 9 ,(-3)2= 9 ;
(3) 0.82 = 0.64 ,(-0.8)2 = 0.64 . 反过来,如果已知一个数的平方,怎样求 这个数呢?
新知探究
知识点:平方根的定义及性质
思考 如果一个数的平方等于 9,这个数是多少?
新知探究
完成下列表格.
x2
1
16
36
49
4
跟踪训练
a-1=0→a=1
1 1+2-4=-1
b-2=0→b=2
c+4=0→c=-4
本题源于《教材帮》
随堂练习
求一个带分数的算 术平方根时,要先把 带分数化成假分数.
本题源于《教材帮》
随堂练习
x+2=0→x=-2
3y-6=0→y=2
-28
5+z=0→z=-5
-2-3×2+4×(-5)=-28
人教版-数学-七年级-下册
实数
6.1 平方根 课时2
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
9 a2
a2+1 3
2
学习目标
1.会用计算器求算术平方根. 2.掌握算术平方根的估算及大小比较.
人教版七年级数学下册《6.1算术平方根》一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册《6.1平方根----算术平方根》教学设计一、教材分析1、地位作用:《平方根》是人教版七年级下册第六章第一节内容,隶属于“数与代数”领域,重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义,能够对算术平方根进行符号表示,能够利用概念的本质探获求算术平方根、平方根的方法,理解算术平方根、平方根的性质。
本节共三课时,本课为第一课时,从学生熟悉的正方形面积与边长之间的关系入手提出已知面积探求边长的问题,通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
通过对这一节课的学习,既可以让学生了解算术平方根的概念,会用符号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性,又可以渗透化归思想(将求算术平方根的运算转化为求幂底数的运算)将为学生以后学习平方根奠定基础;同时这一节也是联系数学与生活的桥梁。
2、教学目标:(1)了解算术平方根的概念。
(2)会求一些数的算术平方根,并用算术平方根符号表示。
3、教学重难点:教学重点:算术平方根的概念和求法教学难点:算术平方根的意义突破难点的方法:力求从学生实际出发,以他们熟悉的问题情境引入学习主题,在关注现实生活的同时,更加关注数学知识内部的挑战性。
二、教学准备:多媒体课件、导学案2、若=-2)3(( )A-3 B 3 C3 D 3- 三、解答下列各题1、 求下列各数的算术平方根: (1)100 (2)6449(3)0.0001 (4)10000(5)2)94((6)1.44 2、求下列各式的算术平方根254,412,)25(,812-3、下列式子表示什么意义?你能求出它们的值更上一层楼!【课外探究】怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?(2)独立完成问题三,关注并评价同伴表现。
两人板演,集体评价,关注注意事项。
四、 反思小结,布置作业本节课你学习了哪些知识?在探索知识的过程中,你用了哪些方法?对你今后的学习有什么帮助?布置作业,课后延伸 1、必做题:(1)阅读教材相关内容 (2)习题13.12、选做题:《一尤佳学案》第35页按要求,进行自主小结,注意倾听同伴意见,反思梳整存在问题。
教学设计3:6.1 平方根(1)
6.1 平方根(1)教材分析《平方根》第一课时是新人教版内容,重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义,能够对算术平方根进行符号表示,能够利用概念的本质探获求算术平方根、平方根的方法,理解算术平方根、平方根的性质。
本节共二课时,本课为第一课时,通过对这一节课的学习,既可以让学生了解算术平方根的概念,会用符号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性,又可以渗透化归思想。
知识与技能:1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,2.了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
过程与方法:1.通过学习算术平方根,进一步建立数感和符号感,发展抽象思维。
2.通过拼大正方形的活动,体验解决问题方法的多样性,发展形象思维。
情感态度与价值观:1.通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
2.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情。
教学重点和难点:重点:让学生理解算术平方根的概念难点:让学生能根据算术平方根教学过程:活动一创设情境,导入新课问题1:学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴。
他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?答案:5活动二实践探索,揭示新知:问题2:面积为1、4、16、36、的正方形的边长分别是多少?答案:1、2、4、6问题3:上述两个问题的实质是什么?答案:已知一个正数的平方,求这个正数的问题.活动三例题讲解,巩固新知例1求下列各数的算术平方根:(1)100 (2)425(3)0.0001 (4)1600 (5)0答案:(1)10 (2)25(3)0.01 (4)40 (5)0活动四变式训练,巩固新知1、判断下面说法是否正确。
(1)-5是25的算术平方根(2)0是0的算术平方根(3)-4的算术平方根是-2 (4)3没有算术平方根2、算术平方根等于它本身的有___________。
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… …
1.414 <
2 < 1.5 2 < 1.415
逼 近 法
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
一般地,如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”,a 叫做被开方数.
x a
16的 算 术 平 方 根 的 平 方 是 根 。 ± 2
正数有2个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根。
a的一个平方根是3,则另一个平方根 是 -3 ,a= 9 。 3a-22和2a-3是m的两个平方根, 试求m的值。
例:x为何值时,下列各式有 意义?
( 1 ) 2x ( 2 ) x ( 3 ) x 1 ( 4 ) 1 x x
规定:0的算术平方根是0.
x
2
记作:0 0
a
1.双重非负性: 2.一个非负数的
a 0, a 0
2
( a) 算数平方根的平 方是它本身: 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.
______ a (a 0)
a a _____
2
•
如果一个数的平方等于9,这 个数是几?
学以致用
2. 当x为何值时,下列各式有意义? (1) x 1 ; (2) 2 3 x ;(3) x - 2 2 x
3 3. (1) 3的算术平方根是___.
(2) 3 81 的算术平方根是___. 算术平方根等于它本身. 0和1 ⑶___ ⑷若 ⑸若
4 x 2 , 则 x _____ 6 3 x 3 ,则 x ____
如下图,是一个面积为4的正方形纸片.
(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?
2
2 有多大?
因为
2 ( ) 1 < 2 < 2 2 2
所以
1 <
2
2 < 2
2
因为 1.4 < ( 2 ) < 1.5 2 所以 1.4 <
2
例:已知 x y 4 x 2y 5 0,求x、y的值。
x y 4 0 解:由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
我们已学习了3种非负数,即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零,它们就同时为零,然后转 化为方程(或方程组)来解。
探究:
( 1 )求 2 , ( 3 ), 5 , ( 6 ), 7 ,
2 2 2 2 2
0 的值,对于任意数 a, a ?
2 2
4 或 -2 练习: 1. (m 1 ) 3,则m 。
2
2 a≤2 2 .若 (a 2 ) 2 a,则a的取值范围是 。
2 2 ( 3 ) 4 ( 2x 1 ) 25 0
补充练习;
1. 16的 算 术 平 方 根 是 ; 2 5 12 。 13
2 2
256 2 .若 2x 5 4,则( 2x 5 ) 。
2
≥0 时, 3 .当a 9a2的算术平方根为 3a。
6.1 平方根
—人人学有价值的数学; —人人都能获得必需的数学; —不同的人在数学上得到不同发展;
探索 & 交流 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的 大正方形?
思考:你知道这个大正方形的边长是多少吗?
解:设这个大正方形的边长为x, 则 x2=2 x叫做2的算术平方根 2的算术平方根记做: 2 x
(6)若
3 x x 3 ,则
2
x3
学以致用
4.已知
x 2y 9 与
x y 3 互为相反
数,求xy的算术平方根.
5.如果一个正数的算术平方根为m,则比这个数大
2的数的算术平方根是____________ m 2
2
筛一筛,长能耐
• • • • • • • 判断: (1)5是25的算术平方根; (√ (2)-6是 36 的算术平方根; ( × (3)0的算术平方根是0; (√ (4)0.01是0.1的算术平方根; ( × (5)-5是-25的算术平方根; ( × (6)5的算术平方根是 5 。 (√
) ) ) ) ) )
拓展:已知
x y 4 | x 2 y 5 | 0求x,y的值.
解:根据题意得 x y 4 和 | x 2 y 5 | 均为非负数,
x y 4 | x 2 y 5 | 0
由非负数的性质得: x y 4=0 且 | x 2 y 5 | =0 x y 4 0 所以 x 2y 5 0 x 3 解方程组得, y 1
• 一个数的平方等于2呢? • 想知道这个数的结果吗? • 我们来学习——平方根
一般地,如果一个数x的平方等于a, 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即:若x2=a,那么x叫做a的平方根。 记作:x= a
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
例:估计大小
15 3 1 ) 与 2 ) 140与12 (3 ( 1 ) 10与 ( 2 2
例:求 31的整数部分和小数部分 。
解:31的整数部分是 5
31的小数部分是 31 5
小数部分=原数-整数部分
思考: 7 7的整数部分与小数部分 。
练习:国际比赛的足球场的长在100m到 110m之间,宽在64m到75m之间,现有 一个长方形的足球场其长是宽的1.5倍, 面积为7560m2,问:这个足球场能用作 国际比赛吗?
x 1 2 2 ( 5 ) ( 6 ) x ( 7 ) x 1 ( 8 ) 2 x1 x
( 9 ) x 2 4 2x
已知a、b满足: a 5 2 10 2a b 4,求a、b的值。
已知b a 6 3 18 3a 3,求a b的平方根。
( 2 )求( 4 ) ,( 9 ) , ( 25 ) , ( 49 ) , ( 0 )的 值 , 对 于 任 意 非 负 a 数 ,( a ) ?
2 2
2
2
2
2
若 (x 3 ) x 3 0, X≤0 则x的 取 值 范 围 是 。
2
计算各式中 x的 值 : ( 1 ) 9x 2 256 0 ( 2 ) x 100 0
问题1、是否所有的的算术平方根都
是正数?
那么我这句话怎么改就正确了
规律一:所有的算术平方根 都是非负数
问题2、是否所有的有理数都有算术
平方根?
规律二、只有非负数才 有算术平方根
问题3、被开方数都是什么数?
规律三、被开方数要求 必须为非负数。
你能举出几个平方根的例子吗?
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
x a
规定:0的算术平方根是0.
x
2
记作:0 0
a
1.双重非负性: 2.一个非负数的
a 0, a 0
2
( a) 算数平方根的平 方是它本身: 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.
a (a 0) ______
a a _____
2
-5 此时a与b的关系为 。 互为相反数
5 .已 知 ( x 1 ) y 2 z 3 0
2
4. 5 a b的最大值为 ,
求x y z的 算 术 平 方 根 。
思考:
1.下列各式哪些有意义,哪些没 有意义? (1)- 4 (2) 4 (3) 3 (4) 32
例 : 求 下 列 各 数 的 平根 方, 9 2 ( 1 ) 100 ( 2 ) ( 3 )( 7 ) 16 ( 4 ) 13 12 ( 5 )( 25 )
2 2 2
±6 36的 平 方 根 是 ; 4 的平方根是 2;
2
3 5; ( 5 )的 平 方 根 是 9的 算 术 平 方 根 是 ;
2
学以致用
1.下列式子表示什么含义?你能求出它们的值吗? (1) (4)
0.81;
(2)
25
(5)
2
;
(3)
0
( 23)
;
2 .
23
2
0.81 表示0.81 的算术平方根, 0.81 =0.9
(2) 25 表示25的算术平方根的相反数,
25
= -5
一般地,如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”,a 叫做被开方数.