角平分线的性质定理和判定(经典)
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角平分线的性质定理和判定
第一部分:知识点回顾
1、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等:①平分线上的点;②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分:例题剖析
例1.已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,
AB=15cm,
(1)求证:BD+DE=AC.
(2)求△DBE的周长.
例2.如图,∠B=∠C=90°,M是BC中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠DAB.
例3. 如图,已知△ABC的周长是22,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC 的面积是多少?
第三部分:典型例题
例1、已知:如图所示,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交
于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.
【变式练习】如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180º
例2、已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠BAD?请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.
(3)CD、AB、AD间?直接写出结果
【变式练习】如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求证:点P在∠C的平分线上.
例3.如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且DE=2cm,AB=9cm,BC=6cm,
2
1
N
P
F C
B
A
求△ABC的面积.
【变式练习】如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.
第四部分:思维误区
一、忽视“垂直”条件
例1.已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。求证:AF为∠BAC的平分线。
第五部分:方法规律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。常用方法有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。
(3)注意:许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒大家,能用简单方法的,就不要绕远路.
第七部分:巩固练习
A组
一、耐心选一选,你会开心(每题6分,共30分)
1.三角形中到三边距离相等的点是()
A 、三条边的垂直平分线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条角平分线的交点
2.如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,若AB =12cm ,则△DBE 的周长为()
A 、12cm
B 、10cm
C 、14cm
D 、11cm
D
C A
E
B
3.如图2所示,已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线,PM ⊥BD ,PN ⊥BE ,垂足分别为M 、N ,那么PM 与PN 的关系是()
A.PM >PN
B.PM =PN
C.PM <PN
D.无法确定
4.如图3所示,△ABC 中,AB=AC ,AD 是∠A 的平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E 、F ,下面给出四个结论,其中正确的结论有( )
①AD 平分∠EDF ; ②AE=AF ; ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点,到DE 、DF 的距离也相等
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 5. 如图,已知点D 是∠ABC 的平分线上一点,点P 在BD 上,
P A ⊥AB ,PC ⊥BC ,垂足分别为A ,C .下列结论错误的是( ). A .AD =CP B .△ABP ≌△CBP C .△ABD ≌△CBD D .∠ADB =∠CDB .
二、解答题
6.已知:AD 是△ABC 角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E 、F ,BD =CD ,证:∠B =∠C.
D M A
B
N
P
E
图2
图3
A
B
C
D
P
7.如图,已知在△ABC中,90
C
∠=,点D是斜边AB的中点,2
AB BC
=,DE AB
⊥交AC于E.求证:BE平分ABC
∠.
8、如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠DAB.
9.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.
求证:点C在∠AOB的平分线上.
第八部分:中考体验
一.选择题(共3小题)
1.(2011•)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()
B
D
AC