数学文化与数学史答案

《数学文化与数学史》复习

Lecture 0 为什么要开设数学史

1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和19 世纪

英国业余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）证明勾股定理的方法。

达·芬奇

H. Perigal的水车翼轮法

2.谈谈你对数学史教育价值的认识。

一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题

对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。

对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。

Lecture 2 古代数学（I）：埃及

3.Rhind 纸草书问题79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。

124

房屋 猫老鼠麦穗容积总数

7 49 343 24011680719607

2801 56021120419607

()5749343230116807 717493432301 72801 19607

S =++++=++++=⨯= ()

()()

21

221

1 11n n n n n n n

n S a aq aq aq a q a aq aq aq a qS a q S aq a aq S q q

----=++++=++++=+=+--⇒=≠-L L

4. “埃及几何学中的珍宝”是什么

正四棱台体积公式：

Lecture 3 古代数学（II ）：美索不达米亚

3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题

5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的

1211322,

1212a a a a a a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭L L 设第一个近似值为则第二个近似值为；第三个近似值为；

2

3

11

2

11;3021121;301;2521;30121;251;24,51,1021;25245110

1 1.4142155

606060⎛⎫

+= ⎪⎝⎭⎛⎫

+= ⎪⎝⎭⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

+

++=设第一个近似值为，

则第二个近似值为；

第三个近似值为；第四个近似值为。

7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么

泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：

()()2222

212011916959,149,2=-=-，

()()2222

2

3456336748257,5625,20,1=-=-，等等这就表明，它是一张勾股数表。

英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式

22q p a -=，pq b 2=，22q p c +=

那么，满足60≤q ，︒≤≤︒4530A 且222cot a

b A =（A 是勾a 所对的角）为有限小数的勾股数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。

6 古巴比伦时期的泥版 上记载了如下问题：“十兄弟分银32

1

迈纳，每个兄弟均比相邻的

弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 迈纳＝60 斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得 几何”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数 10 斤，倍之，得 20 斤；减去老八所得的两倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差为8/5斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。

Lecture 4

古代数学（III ）：中国

14 用出入相补原理证明勾股定理。

16

⨯=+

表高两表间距日高表高影长之差日高公式：

杨辉推导日高公式：

根据上面的原理我们可得：（其中d 为两个杆子的距离）

19 试述刘徽和祖暅的球体积工作。

2

s 1

21

ad

H a s s =+

-

正方形与其内切圆的面积之比都是：

由“截面原理”可得：

于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。

刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。 祖暅：对边长为D 的正方体及其内牟合方盖的八分之一进行考察如

右图并将其分解为一个内棋和三个外棋

祖暅公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。

331

R V V ＝＝阳马外棋

13. 在直角三角形中，勾、股、弦分别为 a 、b 、c ，已知勾弦差（c-a ）和股弦差（c-b ），

试用中国古代的方法来证明下面一组公式：

()()()b c b c a c a -+--=2，

()()()a c b c a c b -+--=

2，

()()()()b c a c b c a c c -+-+--=2

323V R ⇒内棋＝3283

V V D ⇒合盖内棋＝＝3

16V D

π⇒球＝牟合方盖）正好把半径为R 刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球，而牟合方盖的截面刚好是一个正方牟合方盖

球＝V V ⨯4

π

π

:

4