八年级数学上旋转练习题及答案
八年级上数学第四章+图形的平移与旋转(题+答案)
第四章图形的平移与旋转单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 62.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′=25°，则∠CAC′的度数为( )A. 25°B. 40°C. 65°D. 70°3.将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，∠EAB度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是(三角板边AB=AE)( )A. ∠EAB=30°B. ∠EAB=45°C. ∠EAB=60°D. ∠EAB=75°4.在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1(−3,−8)，P点关于x轴的对称点为33=( )P2(a,b)，则√abA. −2B. 2C. 4D. −45.如图直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是( )A. 1B. 2C. 3D. 不能确定6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2√3，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. √37.将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，这时如果使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O( )A. 顺时针旋转230°B. 逆时针旋转110°C. 顺时针旋转110°D. 逆时针旋转230°8.已知点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(2,1).将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(−2,1).则点B的对应点的坐标为( )A. (5,3)B. (−1,−2)C. (−1,−1)D. (0,−1)9.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是 ( )A. (1,1)B. (0,1)C. (−1,1)D. (2,0)10.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为( )A. 48B. 96C. 84D. 42二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.如图，已知直线AB与y轴交于点A(0,2)，与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO=30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD=√41，则点C的坐标为．12.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．13.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是．14.在所示的数轴上，点B与点C关于点A成中心对称，A、B两点对应的实数分别是√3和−1，则点C所对应的实数是．15.如图所示，已知AB=3，AC=1，∠D=90∘，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC=4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是______．17.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则DH=．18.如图，在正方形ABCD中，AB=a，点E，F在对角线BD上，且∠ECF=∠ABD，将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，连接FG，则下列结论：a2； ③FC平分∠BFG； ①∠FCG=∠CDG； ②△CEF的面积等于14 ④BE2+DF2=EF2．其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共8小题，共66分。
初中数学图形的旋转与平移练习题及答案
初中数学图形的旋转与平移练习题及答案旋转与平移是数学中研究图形变换的重要概念，它们在几何图形的研究和解题中扮演着重要的角色。
下面将为大家提供一些初中数学图形的旋转与平移的练习题及答案，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
练习题一：1. 将图形A绕点O逆时针旋转90度，得到图形B，如图所示。
请画出图形B，并标出其顶点坐标。
解答：根据题目所给条件，我们可以得知图形B是将图形A绕点O逆时针旋转90度得到的。
假设图形A的顶点坐标依次为A(x1, y1)，B(x2,y2)，C(x3, y3)，则图形B的顶点坐标为A'(-y1, x1)，B'(-y2, x2)，C'(-y3, x3)。
练习题二：2. 将线段AB向右平移5个单位得到线段CD，如图所示。
如果A的坐标为(1, 2)，请画出线段CD，并求出C点的坐标。
解答：根据题目所给条件，我们知道线段AB向右平移5个单位得到线段CD，那么坐标的改变量就是平移的距离。
假设A点的坐标为(x1, y1)，则C点的坐标为(x1 + 5, y1)。
练习题三：3. 将线段EF绕点O顺时针旋转180度得到线段GH，如图所示。
请写出线段GH的坐标，并判断是否与线段EF相等。
解答：根据题目所给条件，我们知道线段EF绕点O顺时针旋转180度得到的线段GH。
假设E点的坐标为(x1, y1)，F点的坐标为(x2, y2)，则G 点的坐标为(-x1, -y1)，H点的坐标为(-x2, -y2)。
通过对比可以发现，线段GH与线段EF在长度、形状上完全相同。
练习题四：4. 将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90度得到正方形EFGH，如图所示。
若正方形ABCD的边长为5个单位，请计算正方形EFGH的边长。
解答：根据题目所给条件，我们知道正方形EFGH是将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90度得到的。
假设正方形ABCD的边长为 a，则正方形EFGH的边长也为 a。
练习题五：5. 将图形P绕点O逆时针旋转270度得到图形Q，如图所示。
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°。
（1）如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由。
（2）当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2。
猜想：S1与S2有怎样的数量关系？并证明你的猜想。
【答案】(1) DF∥AC;(2) S1=S2.【解析】（1)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；（2）过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依据ASA求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根据等底等高的三角形面积相等．试题解析：（1）DF∥AC；解：如图②所示，∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠CDE=60°，∵AC=DC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°=∠CDE，∴DF∥AC，∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，∴DF=DC=AC；（2）猜想：S1=S2；证明：过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，∵∠ECD=90°，∴∠DCM=90°∴∠DCN=90°-∠NCM，又∵∠ACM=90°-∠NCM，∴∠ACM=∠DCN，在△ACM与△DCN中∠ACM＝∠DCNAC＝CD∠AMC＝∠DNC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM=DN，又∵CE=BC，∴BC•DN=CE•AM，即S1=S2．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．【解析】①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③是轴对称图形，也是中心对称图形；④是轴对称图形，也是中心对称图形．故选B．【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．3.如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求出的面积．（2分）（2）在图中作出绕点B顺时针旋转90度得到的．（2分）（3）写出点的坐标．（2分）【答案】（1）S△ABC =7．5；（2）图形见解析；（3）．【解析】（1）由A、B的坐标，易求得AB的长，以AB为底，C到AB的距离为高，即可求出△ABC的面积；（2）找出将△ABC绕点B顺时针旋转90°的三角形各顶点的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据图形写出即可．试题解析：（1）根据题意，得：AB=5﹣0=5；∴S △ABC =AB•（|x C |﹣1）=×5×3=7．5；（2）如图：（3）根据图形可得：．【考点】作图-旋转变换．4. 下列图形中，是轴对称图形的有( ) 个①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．【解析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，是轴对称图形的有①角；②线段；③等腰三角形；⑤圆4个. 故选C ．【考点】轴对称图形．5. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是______________【答案】10．【解析】由正方形性质的得出B 、D 关于AC 对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可．试题解析：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴B 、D 关于AC 对称，∴PB=PD ， ∴PB+PE=PD+PE=DE ． ∵BE=2，AE=3BE ， ∴AE=6，AB=8，∴DE=.故PB+PE 的最小值是10．【考点】1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质．6. 如图1，将矩形纸片沿虚线AB 按箭头方向向右对折， 再将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，最后，把纸片打开，所得展开图为（ ）【答案】D．【解析】∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选D．【考点】剪纸问题．7.下列说法错误的是（）A．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B．全等的两个三角形一定关于某直线对称C．轴对称图形的对称轴至少有一条D．线段是轴对称图形【答案】B．【解析】 A．两个关于某直线对称的图形是全等的，此说法正确；B．平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称，此说法错误；C．轴对称图形的对称轴至少有一条，此说法正确；D．线段是轴对称图形，此说法正确．故选；B．【考点】轴对称的性质．8.正九边形绕它的旋转中心至少旋转°后才能与原图形重合.【答案】400.【解析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与原来的图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．要与原来的正九边形重合．可用一个圆周角的度数（即360度）除以9，便可知道至少要旋转多少度才能和原来的九边形重合．因为3600÷9=400，故填400.【考点】旋转对称图形.9.在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（）A．先逆时针旋转90°，再向左平移B．先顺时针旋转90°，再向左平移C．先逆时针旋转90°，再向右平移D．先顺时针旋转90°，再向右平移【答案】A.【解析】本题结合游戏，考查了旋转与平移的性质.在旋转和平移变换中，图形的形状和大小均不发生改变，由图可以看出，将屏幕上方出现一小方格块逆时针旋转90°，再向左平移后，竖直下来正好使屏幕下面三行中的小方格都自动消失.故选A.【考点】旋转与平移的性质.10.如图，直线MN和EF相交于点O，∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，设点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，则AC的距离为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，进而利用勾股定理得出即可．解：∵∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，∴∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2，∴∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，∴∠AOC=90°，则AC的距离为：=2．故选：D．点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据已知得出∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2是解题关键．11.将△ABC的三个顶点坐标的横坐标和纵坐标都乘以﹣1，则所得图形与原图形的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．将原图形向x轴负方向平移了1个单位【答案】C【解析】根据题意可得新的坐标都是原坐标的相反数，则所得图形与原图形的关系是关于原点对称．解：△ABC的三个顶点坐标的横坐标和纵坐标都乘以﹣1，则所得新的坐标都是原坐标的相反数，则所得图形与原图形的关系是关于原点对称，故选：C．点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．12.下列几何图形中：（1）平行四边形；（2）线段；（3）角；（4）圆；（5）正方形；（6）任意三角形．其中一定是轴对称图形的有_____________．【答案】（2）（3）（4）（5）【解析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．由题意其中一定是轴对称图形的有（2）线段；（3）角；（4）圆；（5）正方形.【考点】轴对称图形的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成．13.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，D为△ABC内一点，如果将△ACD绕点A按逆时针方向旋转到△ABD′的位置，则∠ADD′的度数是A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】根据旋转的性质可得∠DAD′=∠BAC=40°，AD′=AD，再根据三角形的内角和定理求解即可.由题意得∠DAD′=∠BAC=40°，AD′=AD则∠ADD′=（180°-∠DAD′）÷2=70°故选D.【考点】旋转的性质，三角形的内角和定理点评：解题的关键是熟练掌握旋转的性质：每一条边旋转的角度相等，均等于旋转角.14.小明上午在理发店理发时，•从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是__________．【答案】10点45分【解析】轴对称图形，由题意分析，此类试题属于对轴对称图形的基本运算和对称的分析，指示是反过来是10点45分【考点】轴对称点评：此类试题属于对轴对称图形的基本运算和对称的分析15.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行【答案】B【解析】已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．观察原图，有用进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；对应点连线是不可能平行的，D是错误的；找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．故选B．【考点】轴对称的性质，平移的性质点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键16.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN 交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是( )A.10cmB. 20cmC. 在10cm和20cm之间D.不能确定【答案】B【解析】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，再结合△PEF的周长即可求得结果.∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点∴ME=PE，NF=PF∵△PEF的周长=PE+EF+PF=20cm∴ME+EF+NF=20cm，即MN=20cm故选B.【考点】轴对称的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称的性质，即可完成.17.如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(-2，-1).（1）在图中作出关于轴对称的.（2）写出点的坐标（直接写答案）.A1 _____________，B1______________，C1______________【答案】（1）如图所示：（2）A1（1，-2），B1（3，-1），C1（-2，1）【解析】（1）分别作出的三个顶点关于轴对称的对称点，再顺序连接即可.（2）根据（1）中所作的图形即可作出判断.（1）如图所示：【考点】基本作图，点的坐标点评：解题的关键是熟练掌握轴对称变换的作图方法，正确找到关键点的对称点.18.(本题满分6分)如下图，直线L是一条河，A,B是两个村庄。
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.正三角形、正方形、等腰直角三角形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形B．正方形C．等腰直角三角形D．平行四边形【答案】B【解析】正三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：正方形，故选：B．【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，若以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，则θ值等于．【答案】70【解析】∵∠ACB=90°，∠A=35°，∴∠ABC=90°﹣35°=55°，∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，∴∠DEC=∠ABC=55°，∠ACD=∠BCE=θ°，CB=CE，∴∠CBE=∠BEC=55°，∴∠BCE=180°﹣∠CBE﹣∠BEC=70°，∴θ值为70．故答案为：70．【考点】旋转的性质3.下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤长方形；⑥圆。
其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（填序号）【答案】①⑤⑥．【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．试题解析：①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③不是轴对称图形，是中心对称图形；④是轴对称图形，不是中心对称图形；⑤是轴对称图形，也是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形．故选答案为：①⑤⑥．【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．4.作图题（6分）：（1）把△ABC向右平移5个方格;（2）绕点B的对应点顺时针方向旋转90°．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【解析】（1）找出平移后的点A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）找出旋转变换后的点A'、C'的对应点的位置，然后顺次连接即可．试题解析：如图所示，（1）△A′B′C′即为平移后的图形；（2）△A″B'C″即为旋转后的图形．【考点】1.作图-旋转变换；2.作图-平移变换．5.如图,△ABC平移到△DEF,那么和∠BAC、BC对应的分别为 ,如果∠ABC=40°,BC=3cm,则 .【答案】∠EDF，EF；∠DEF=40°，EF="3" cm .【解析】根据平移的性质，①对应线段相等且平行，对应角相等，对应点的连线相等且平行；②平移后的图形全等. 因此，△ABC平移到△DEF,那么和∠BAC、BC对应的分别为∠EDF，EF；如果∠ABC=40°,BC=3cm,则∠DEF=40°，EF="3cm" .【考点】平移的性质.6.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】图（1）、图（5）都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．图（3）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．图（2）、图（4）既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．【考点】1.中心对称图形2.轴对称图形．7.如图1，将矩形纸片沿虚线AB按箭头方向向右对折，再将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，最后，把纸片打开，所得展开图为（）【答案】D．【解析】∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选D．【考点】剪纸问题．8.下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( )【答案】A【解析】根据中心对称图形的概念，观察可知，只有第1个是中心对称图形，其它三个都不是中心对称图形．故选A．【考点】1.中心对称图形；2.生活中的旋转现象．9.如图所示，点为∠内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于点，交于点，已知，则△的周长为_______.【答案】15【解析】∵点关于的对称点是，关于的对称点是，∴，．∴△的周长为．10.在平面直角坐标系中，已知△OAB，A(0，-3)，B(-2，0)．（1）在图1中画出△OAB关于x轴的轴对称图形；（2）将先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图2中画出平移后的图形；（3）点A平移后的坐标为 .【答案】（1）（2）如下图；（3）（3，-2）．【解析】（1）根据轴对称的性质作出关键点的对称点，再顺次连接即可得到结果；（2）先将O、A、B分别按要求平移，然后顺次连接即可得出平移后的图形；（3）根据所作的图形即可得出平移后的点A的坐标．试题解析：（1）（2）如下图（3）点A平移后的坐标为：（3，-2）．【考点】坐标与图形变化11.已知点和关于x轴对称，则的值为_________；【答案】﹣3．【解析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以a=2，b=﹣5，则a+b=﹣3．故答案为：﹣3．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．12.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．13.如图，草原上两个居民点A、B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水．汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点．【答案】作图见试题解析．【解析】作点A关于l的对称点A'，连接A'B交l于C，点C即为所求．试题解析：①作A关于直线l的对称点A′；②连接A′B交直线l于点C，则点C即为所求点．汽车在C点加水，可使行驶的路程最短．【考点】1．轴对称-最短路线问题；2．作图题．14.下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）【答案】A.【解析】根据轴对称图形的定义作答．如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．故选A．【考点】轴对称图形.15.点（-2，m）关于x轴的对称点的坐标为________________．【答案】（-2，-m）【解析】由题,点（-2，m）关于x轴的对称点的坐标为（-2，-m）.两点关于x轴对称,横坐标互为相等,纵坐标相反数,由题,点（-2，m）关于x轴的对称点的坐标为（-2，-m）.【考点】点关于x轴对称.16.下列为轴对称图形的是（）.【答案】A【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解．A、是轴对称图形，有5条对称轴；B、是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选A．【考点】轴对称.17.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连结GF.（1）FG与DC的位置关系是，FG与DC的数量关系是；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.【答案】（1）FG⊥CD ，FG=CD；（2）成立【解析】（1）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，根据矩形的性质可得CM=BD，根据等腰直角三角形的性质可得ED=BD=CM，再结合∠E=∠A=45º可证得△AEM是等腰直角三角形，由F是AE的中点可证得MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º，即可证得△EFD≌△MFC，则可得FD=FC，∠EFD=∠MFC，又∠EFD＋∠DFM=90º即得∠MFC＋∠DFM=90º，即可得到△CDF是等腰直角三角形，从而可以证得结论；（2）证法同（1）.解：（1）FG⊥CD ，FG=CD；（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM∴四边形 BCMD是矩形.∴CM=BD.又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.∴ED=BD=CM.∵∠E=∠A=45º∴△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点.∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.∴△EFD≌△MFC.∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.又∠EFD＋∠DFM=90º∴∠MFC＋∠DFM=90º即△CDF是等腰直角三角形.又G是CD的中点.∴FG=CD，FG⊥CD.【考点】旋转问题的综合题点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.18.下面三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你在A，B，C三图中再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列要求的图形，请画出示意图.（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形.【答案】（1）（2）（3）如图所示：【解析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形．（1）（2）（3）如图所示：【考点】基本作图-轴对称图形与中心对称图形点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义，即可完成．19.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行【答案】B【解析】已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．观察原图，有用进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；对应点连线是不可能平行的，D是错误的；找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．故选B．【考点】轴对称的性质，平移的性质点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键20.下列各图案中，不是中心对称图形的是（）.【答案】B【解析】中心对称图形，即围绕图形中心旋转180度后，所得的新图形与原图形重合，由此可知B旋转180度后不能与原图形重合【考点】中心对称图形的判断点评：中心对称图形，即围绕图形中心旋转180度后，所得的新图形与原图形重合21.下列图案中是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.由图可得只有D选项符合轴对称图形的定义，故选D.【考点】轴对称图形点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成.22.把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为（）时，旋转后的五角星能与自身重合A．300B．450C．600D．720【答案】D【解析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D，故选D【考点】旋转对称图形点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角23.一束光线从点Ａ（3，3）出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ（１，０），则光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是 _.【答案】5【解析】先作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点C，根据勾股定理求得的长，即可所求.作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点C由题意得，则则光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是5.【考点】轴对称的应用，勾股定理点评：本题是勾股定理的应用，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解答本题的关键．24.下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（）【答案】D【解析】根据平移的基本性质依次分析各选项即可判断。
八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。
八年级数学第三章图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现：你对以上图片熟悉吗？请你回答以下几个问题：（1）汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？（2）传送带上的物品，比如带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？（3）以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A′B′C′D′是梯形ABCD经过平移得到的且∠ABC=90°.那么梯形ABCD的面积为________，∠A′B′C =________.图12.在下面的六幅图中，（2）（3）（4）（5）（6）中的图案_________可以通过平移图案（1）得到的.图23.请将图3中的“小鱼”向左平移5格.图34.请欣赏下面的图形4，它是由若干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？§3.1图形的平移与旋转一、填空：1、如下左图，△ABC 经过平移到△A ′B ′C ′的位置，则平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如下中图，线段AB 是线段CD 经过平移得到的，则线段AC 与BC 的关系为（ ） A.相交 B.平行 C.相等 D.平行且相等3、如下右图，△ABC 经过平移得到△DEF ，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.（在两个三角形的内角中找）4、如下左图，四边形ABCD 平移后得到四边形EFGH ，则：①画出平移方向，平移距离是_______；（精确到0.1cm ）②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______. ③DH=_________=_______A=_______.5、如下右图，△ABC 平移后得到了△DEF ，（1）若∠A=28º，∠E=72º，BC=2，则∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；（2）在图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE 平行.6、如图，请画出△ABC 向左平移4格后的△A 1B 1C 1，然后再画出△A 1B 1C 1向上平移3格后的△A 2B 2C 2，若把△A 2B 2C 2看成是△ABC 经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度. 二、选择题：7、如下左图，△ABC 经过平移到△DEF 的位置，则下列说法：①AB ∥DE ，AD=CF=BE ； ②∠ACB=∠DEF ； ③平移的方向是点C 到点E 的方向； ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有（ ） A.个 B.2个 C.3个 D.4个8、如下右图，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，则△AFE 经过平移可以得到（ ） A.△DEF B.△FBD C.△EDC D.△FBD 和△EDC三、探究升级：1、如图，△ABC 上的点A 平移到点A 1，请画出平移后的图形△A 1B 1C 1.3、 △ABC 经过平移后得到△DEF ，这时，我们可以说△ABC 与△DEF 是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.4、如下图中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是______.5、利用如图的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.§3.3图形的平移与旋转§3.2图形的平移与旋转一、填空、选择题：1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.3、如图，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（）4、请你先观察图，然后确定第四张图为( )4、如下左图，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是_______，线段AB 的对应线段是_____，_____的对应角是∠F. 6、如下中图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，若△ABC经旋转后能与△BDE重合，则旋转中心是________，旋转了______°.7、如下右图，C是AB上一点，△ACD和△BCE 都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.二、解答题：8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是什么？（3）如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？9、观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？三、探究升级10、如图，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？一、选择题1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（）§3.4图形的平移与旋转A.位置B.大小C.形状D.性质 2.9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ）A.30° B .45° C.60° D.90°3.将平行四边形ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，下列结论错误的是（ ）A.AB =A ′B ′B.AB ∥A ′B ′C.∠A =∠A ′D.△ABC ≌△A ′B ′C ′ 二、填空题4.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.5.菱形ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A '''',则四边形D C B A ''''是________.6.△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，则△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______.7.钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度. 8.图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______. 三、解答题9.下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O 旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.10.在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.11.如图，菱形A ′B ′C ′D ′是菱形ABCD 绕点O 顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？12.Rt △ABC ，绕它的锐角顶点A 分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°， （1）试作出Rt △ABC 旋转后的三角形； （2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形： （1）90°；（2）180°；（3）270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.看一看：下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？1.§3.5图形的平移与旋转2.3.试一试：怎样将下图中的甲图变成乙图？做一做：1、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =21AB ， （1）△ABE ≌△ADF .吗？说明理由。
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（，）；（2）将△ABC的三个顶点的横、纵坐标都乘以－1，分别得到对应点A2、B2、C2，画出△A2B2C2，则△ABC和△A2B2C2关于对称；（3）将△ABC在网格中平移，使点B的对应点B3坐标为（－6，1），画出△A3B3C3.【答案】(1) 5，﹣3; (2)画图见解析，原点；（3）画图见解析.【解析】（1）根据题意得出各对应点坐标进而求出即可；（2）利用已知得出各对应点坐标进而求出即可；（3）利用平移规律得出各对应点平移距离，进而求出即可．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为；（5，﹣3）；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，△ABC和△A2B2C2关于原点对称；（3）如图所示：△A3B3C3即为所求．【考点】1.作图-旋转变换；2.作图-轴对称变换；3.作图-平移变换．2.如图，有四块全等的直角三角形纸片，直角边长分别是1，2，请利用这四块纸片按下列要求在6×6方格纸中各拼一个图形（四块纸片都要用上，无缝隙且无重叠部分），直角顶点在格点上．（1）图甲中作出是轴对称图形而不是中心对称图形；（2）图乙中作出是中心对称图形而不是轴对称图形；（3）图丙中作出既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】【解析】理解轴对称中心对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 .根据其特征画出相应图形即可.【考点】1.轴对称；2.中心对称3.在图中，画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于轴对称的△A2B2C2的各点坐标.【答案】画图见解析，A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【解析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．试题解析：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）；所画图形如下所示，其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【考点】作图-轴对称变换．4.如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长为 .【答案】5cm．【解析】∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴OE=ME，OF=NF，∵MN=5cm，∴△OEF的周长为：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5（cm）．故答案为：5cm．【考点】轴对称的性质．5.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．6.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）【答案】C.【解析】根据轴对称图形的定义，沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，选项A、B、D中的图形无论怎么折叠，都不能使左右两部重合，只有选项C符合题意，选项C可左右对折或上下对折都能使直线两旁的部分重合，故选C.【考点】轴对称图形的定义.7.一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码___________.【答案】【解析】本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，因为镜面对称的性质是在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称。
初中数学：《图形的旋转》测试题及答案
初中数学：《图形的旋转》测试题及答案一、选择题1．在图形旋转中,下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等2．下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是（）A．B． C．D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°4．如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是______．7．如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是______,它们之间的关系是______,其中BD=______．8．如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是______cm．9．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（1,4）,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是______．10．如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF 的关系是______．11．如图,在直角坐标系中,已知点A（﹣3,0）,B（0,4）,对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．三、综合提高题12．观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线,结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．14．作图：（1）如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°．15．如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．16．如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形,求x的值．17．如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是______,∠AOB1的度数是______；（3）连接AA1,求证：四边形OAA1B1是平行四边形．《图形的旋转》参考答案与试题解析一、选择题1．在图形旋转中,下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等【解答】解：A、在图形旋转中,根据旋转的性质,图形上对应点到旋转中心的距离相等,故本选项错误；B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角,正确；C、以图形上一点为旋转中心,则这个点不动,正确；D、旋转前后两个图形全等,则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等,正确．故选A．2．下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、只包含图形的旋转,不符合题意；B、只是轴对称图形,不符合题意；C、只是轴对称图形,不符合题意；D、既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称,符合题意．故选：D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°【解答】解：该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,并且圆具有旋转不变性,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合．故选C．4．如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°【解答】解：由平移和旋转可得,D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后,再逆时针旋转90°,所以D选项错误．故选：B．5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°【解答】解：∵∠BAC′=130°,∠BAC=80°,∴如图1,∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=50°,如图2,∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．∴旋转角等于50°或210°．故选C．二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是图形的形状、大小不变,只改变图形的位置．【解答】解：在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是图形的形状、大小不变,只改变图形的位置．7．如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是△ACE ,它们之间的关系是全等,其中BD= CE ．【解答】解：△ABD绕点A逆时针旋转42°得到△ACE,它们之间的关系是全等,其中BD=CE．8．如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是 3 cm．【解答】解：根据旋转的性质,得：A′B′=AB=4cm．∴A′B=A′B′﹣BB′=4﹣1=3（cm）．9．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（1,4）,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是（4,﹣1）．【解答】解：由图知A点的坐标为（1,4）,根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,从而得A′点坐标为（4,﹣1）．故答案为：（4,﹣1）．10．如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF 的关系是BE+DF=EF ．【解答】解：如图,延长CD到M,使DM=BE,连接AM、EF；∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠ADC=90°,AB=AD；在△ABE与△ADM中,,∴△ABE≌△ADM（SAS）,∴∠BAE=∠DAM,AE=AM；∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF；∵∠EAF=45°,∴∠BAE+DAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠MAF=45°；在△EAF与△MAF中,,∴△EAF≌△MAF（SAS）,∴MF=EF,而MF=MD+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF,故答案为BE+DF=EF．11．如图,在直角坐标系中,已知点A（﹣3,0）,B（0,4）,对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）．【解答】解：由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度,象这样平移三次直角顶点是（36,0）,再旋转一次到三角形⑩,直角顶点仍然是（36,0）,则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）．故答案为：（36,0）．三、综合提高题12．观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？【解答】解：图形（1）是通过一条线段绕点O旋转360°而得到的；图形（2）可以看作是“一个Rt△ABC”绕线段AC旋转360°而得到的；图形（3）将矩形ABCD绕AD旋转一周而得到的．13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线,结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．【解答】解：（1）∵△AOB与△COD是能够重合的图形,∴旋转中心是点O；（2）根据题意得：旋转角是∠AOD或∠BOC,∴旋转角度数是60°,（3）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC,△AOE与△DOF,△BOE与△COF 共三对,若A、O、C三点不共线,△AOE与△DOF,△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立,∵若A、O、C三点不共线,∠DOB≠60°,∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB,∴△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立；（4）∵△BOC为等腰直角三角形,∴∠BOC=∠AOD=90°,∴旋转角度为：90°,（5）∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°,∴旋转角度为120°．14．作图：（1）如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°．【解答】解：（1）如图甲,点P′为所求；（2）如图乙,线段A′B′为所求；（3）如图丙,△A′B′C′为所求；（4）如图丁,△A′BC′为所求．15．如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．【解答】解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形,∴AB=AD,AK=AM,∠BAK=90°﹣∠DAK,∠DAM=90°﹣∠DAK,∴∠BAK=∠DAM,∴△ABK≌△ADM（SAS）．把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合,∴BK=DM且BK⊥DM．16．如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形,求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中,∵AC=1,AB=x,BC=3﹣x．∴,解得1＜x＜2．（4分）（2）①若AC为斜边,则1=x2+（3﹣x）2,即x2﹣3x+4=0,无解．②若AB为斜边,则x2=（3﹣x）2+1,解得,满足1＜x＜2．③若BC为斜边,则（3﹣x）2=1+x2,解得,满足1＜x＜2．∴或．17．如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是 6 ,∠AOB1的度数是135°；（3）连接AA1,求证：四边形OAA1B1是平行四边形．【解答】（1）解：△OA1B1如图所示．（2）解：根据旋转的性质知,OA1=OA=6．∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1 ,∴∠BOB1=90°．∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6, ∴∠BOA=∠OBA=45°,∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90°+45°=135°,即∠AOB1的度数是135°．故答案是：6,135°；（3）证明：根据旋转的性质知,△OA1B1≌△OAB,则∠OA1B1=∠OAB=90°,A1B1=AB,∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1 ,∴∠A1OA=90°,∴∠OA1B1=∠A1OA,∴A1B1∥OA．又∵OA=AB,∴A1B1=OA,∴四边形OAA1B1是平行四边形．。
初二数学全等三角形角6090旋转知识点及练习题含答案
初二数学全等三角形角6090旋转知识点及练习题含答案一、全等三角形角6090旋转1．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．（2）如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF、BE、DF之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝35，求AF的长．2．如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数kyx的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．3．如图1，ABC与CDE△都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1中，PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：将图1中的CDE △绕着点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到图2，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 任意旋转，若4AC =，2CD =，请直接写出PMN 面积的最大值． 4．已知，四边形ABCD 中，,,,120,60AB AD BC CD BA BC ABC MBN ︒︒⊥⊥=∠=∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交,AD DC （或它们的延长线）于E ，F ．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时，如图（1），易证：AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．5．已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长；（3）当点D 在点C 右侧时，直接写出线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系．6．（探索发现）如图①，已知在△ABC 中，∠BAC= 45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，AD 与BE 相交于F ．（1）线段AF 与BC 的数量关系是：AF BC ，（用>，<，=填空）；（2）若∠ABC=67.5°，试猜想线段AF 与BD 有何数量关系，并说明理由．（拓展应用）（3）如图②，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，已知∠BAC=45°，∠C=22.5°，AD=22 ，求△ABC 的面积．7．如图1，已知△ABC 是边长为8的等边三角形，∠EBD ＝30°，BE ＝DE ，连接AD ，点F 为AD 的中点，连接EF ．将△BDE 绕点B 顺时针旋转．（1）如图2，当点E 位于BC 边上时，延长DE 交AB 于点G ．①求证：BG ＝DE ；②若EF ＝3，求BE 的长；（2）如图3，连接CF ，在旋转过程中试探究线段CF 与EF 之间满足的数量关系，并说明理由．8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，9．如图，点O是正△ABC内一点，∠AOB=90°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连结OE．（1）求证，△COE是正三角形；（2）当α为何值时，AC⊥OE，并说明理由；（3）探究是否存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为1:3:2，若存在请直接写出α的值，若不存在请说明理由．10．（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．（1）见解析；（2）EF＝DF﹣BE，见解析；（3）210【分析】（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，由“SAS”可证△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；（2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF ＝FM，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE＝AG＝35，EF＝FG，BE＝DG，由勾股定理可求DG的长，FD的长，AF的长．【详解】（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE＝AG＝35EF＝FG，BE＝DG，∵DG2245363AG AD-=-=，∴BE＝DG＝3，∴EC＝BC﹣BE＝3，∵EF2＝EC2+CF2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，∴DF＝2，∴AF22AD DF+436+10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF 是∠BAD的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．2．15yx =．【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D 坐标即可解决问题．【详解】作A ′H ⊥y 轴于H .∵∠AOB =∠A ′HB =∠ABA ′=90°，∴∠ABO +∠A ′BH =90°，∠ABO +∠BAO =90°，∴∠BAO =∠A ′BH ，∵BA =BA ′，∴△AOB ≌△BHA ′(AAS )，∴OA =BH ，OB =A ′H ，∵点A 的坐标是(−2,0)，点B 的坐标是(0,6)，∴OA =2，OB =6，∴BH =OA =2，A ′H =OB =6，∴OH =4，∴A ′(6,4)，∵BD =A ′D ，∴D (3,5)，∵反比例函数的图象经过点D ，∴这个反比例函数的解析式15y x =【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN 的形状为等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN 的面积的最大值为92． 【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（2）设AE 交BC 于⊙O ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（3）易证ΔPMN 是等腰直角三角形，PM=12BD ，当B 、C 、D 共线时，BD 的值最大，进而求解．【详解】解：（1）如图1，延长AE 交BD 于点H ，∵ΔACB 和ΔECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE ，∴∠ACE=∠BCD ，∴ΔACE ≌ΔBCD （SAS ），∴AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，又∵∠AEC=∠BEH ，∴∠BHA=∠ACE=90°，∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ，PN//AE ， ∴PM=PN ，∴PM ⊥AH ，∴PM ⊥PN ．（2）如图中，设AE 交BC 于O ．∵ACB △和ECD 是等腰直角三角形，∴AC BC =，EC CD =，90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠∴ACE BCD ∠=∠.∴ACE BCD ≅∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠又∵AOC BOE ∠=∠，CAE CBD ∠=∠，∴90BHO ACO ∠=∠=︒∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴12PM BD =，//PM BD ； PN AE =，//PN AE .∴PM PN =∴180MGE BHA ∠+∠=︒∴90MGE ∠=︒∴90MPN ∠=︒∴PM PN ⊥（3）PMN 的面积的最大值为92． 由（2）可知PMN 是等腰直角三角形，12PM BD =， ∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，PMN 的面积最大，∴当B 、C 、D 共线时，BD 的最大值6BC CD =+=，∴3PM PN ==，∴PMN 的面积的最大值193322=⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质和判定定理，掌握旋转全等三角形模型，是解题的关键．4．图（2）成立，图（3）不成立；图（2）中有AE CF EF +=，理由见解析；在图（3）中，有结论EF AE CF =-，理由见解析【分析】根据已知可以利用SAS 证明△ABE ≌△CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE ＝∠CBF ＝30°，△BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE +CF ＝EF ．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【详解】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，AE ＝CF ，在△ABE 和△CBF 中，90AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）；∴∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ；∵∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBF ＝30°，∴AE ＝12BE ，CF ＝12BF ； ∵∠MBN ＝60°，BE ＝BF ，∴△BEF 为等边三角形；∴AE +CF ＝12BE +12BF ＝BE ＝EF ； 图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ， 在△BAE 和△BCK 中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩则△BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ，∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC +∠ABE ＝60°，∴∠FBC +∠KBC ＝60°，∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°，在△KBF 和△EBF 中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ，∴KC +CF ＝EF ，即AE +CF ＝EF ．图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是AE ﹣CF ＝EF ． 理由如下：延长DC 至G ，使CG ＝AE ，同理可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【点睛】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）见解析；（2）DE的长为23或27；（3）CD= BC+CE或BC=CD+CE．【分析】（1）过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB=∠ACB=60°，∠ECD=60°，∠EDC=∠FDB，CD=DF．由此即可证出△CDE≌△BDF，从而得出DE=DB；（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH⊥CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【详解】解：（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠ECD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有60ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE=DB ．（2）分两种情况：①当D 在点C 右侧时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，∴BF=2，∴BD 是等边三角形△CDF 的高，∴BD=32CD=23 ∴DE=BD=3②当D 在点C 左侧时，过点D 作BC 的平行线与CA 于点F ，作BH ⊥CD 于H ．如图3所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠CAB=60°，∵DF ∥BC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDF=∠CDB ．在△CDB 和△EDF 中，有120BCD EFD CD DFBDC EDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDB ≌△EDF （ASA ），∴DE=DB ．在R t △BCH 中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，∴CH=1，3在R t △BDH 中，DH=DC+CH=5，3 ∴22225(3)27DB DH BH =+=+=∴DE=7，综上，DE 的长为327（3）分两种情况：①当点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图1所示．由（2）可知，CD=CF ，CE=BF ，∴CD=BC+BF=BC+CE ，②当点E 在线段AC 上时，过点D 作AC 的平行线与CB 交于点F ．如图4所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠CFD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF=CF ，∠BFD=120°，∠DCE=120°，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有120ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴CE=BF ．∴BC=CF+BF=CD+CE ．综上所述，当点D 在点C 右侧时，线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系是CD= BC+CE 或BC=CD+CE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．6．（1）=；（2）AF=2BD ，见解析；（3）8【分析】（1）证出△ABE 是等腰直角三角形，得出BE=AE ，证明△CBE ≌△FAE （ASA ），即可得出结论；（2）结论：AF=2BD ．只要证明△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题；（3）如图中，作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，延长CH 交AD 的延长线于G ．只要证明BC=2AD ，利用三角形面积公式12BC AD ⨯，即可解决问题． 【详解】（1）∵∠BAC=45°，BE ⊥AC ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE=AE ，∵AD ⊥BC ，∴∠C+∠CBE=∠C+∠FAE=90°，∴∠CBE =∠FAE ，在△CBE 和△FAE 中， 90 CEB FEA BE AE CBE FAE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CBE ≌△FAE （ASA ），∴AF=BC ；（2）结论AF=2BD ．理由：∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°，∴∠C=180︒-∠BAC-∠ABC=67.5°，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 是等腰三角形，且AB=AC ，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC ， 由（1）得：AF=BC=2BD ；（3）如图，作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，延长CH 交AD 的延长线于G ．∵∠AHC=90°，∠HAC=∠HCA=45°，∴AH=HC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADB=∠BHC=90°，∵∠ABD=∠CBH ，∴∠GAH=∠BCH ，∵∠AHG=∠CHB=90°，∴△AHG ≌△CHB ，∴BC=AG ，∵∠ACB=22.5°，∠HCA=45°，∴∠ACD=∠GCD=22.5°，又∵CD ⊥AG ，∴△AGC 是等腰三角形，且GC=AC ，∴2，∴2，∴△ABC 的面积为：114222822BC AD ⨯=⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（1）①见解析；②2；（2）EC 3EF ，EC ⊥EF ，见解析【分析】（1）①想办法证明△BEG 是等边三角形即可解决问题；②利用三角形的中位线定理求出AG ，再求出BG 即可解决问题．（2）结论：EC 3，EC ⊥EF ．延长DF 交CA 的延长线于M ，延长FE 到K ，使得EK ＝EF ，连接AK ，CK ，CF ，在FM 上截取FN ＝DF ，连接BN ．证明图中，红色三角形全等，推出△CFK 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠GBD＝∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BGD＝60°，∴△BEG是等边三角形，∴BG＝BE，∴BG＝ED．②解：由①可知，BG＝GE＝BE＝DE，又∵AF＝DF，∴AG＝2EF＝6，∵AB＝8，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2，∴BE＝BG＝2．（2）结论：EC3，EC⊥EF．理由：如图2中，延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．∵FB＝FD＝FN，∴∠DBN＝90°，∵∠DBF＝30°，∴∠FBN＝60°，∴△FBN是等边三角形，∴BN＝BF，∵∠ABC＝∠NBF＝60°，∴∠ABN＝∠CBF，∵AB＝BC，∴△ABN≌△CBF（SAS），∴AN＝CF，∵FN＝DF，AE＝ED，∴EF∥AN，AN＝2EF，∵2EF＝FK，∴AN＝FK，AN∥FK，∴四边形ANFK是平行四边形，∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，∴∠CAK＝∠M，∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，∴∠M＝∠OBN，∴∠ABN＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABN≌△CAK（SAS），∴AN ＝CK ，∴CF ＝CK ＝FK ，∴△CFK 是等边三角形，∠CFE ＝60°∵2EF ＝FK ，∴CE ⊥FK ，∵∠EFC ＝60°，∴tan ∠CFE ＝EC EF ＝3， ∴EC ＝3EF ，EC ⊥EF ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，准确应用等边三角形的性质进行分析是关键． 8．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+= ∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-= ∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．9．（1）证明见解析；（2）α=135°时，AC ⊥OE ；（3）存在，a=120°或150°．【分析】（1）利用旋转的性质得出CO=CE，∠OCE=60°，即可得出答案；（2）根据∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，得出∠AOE=210°-α，再利用∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°得出α的度数即可；（3）根据当OE：AO：AE=1：3：2时以及当OA：EO：AE=1：3：2时，由勾股定理的逆定理及旋转的性质得出α的度数即可．【详解】（1）∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴CO=CE，∠OCE=60°，∴△COE是正三角形．（2）当α=135°时，AC⊥OE，理由如下：∵△COE是正三角形，AC⊥OE∴AC垂直平分OE，∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO，∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，∴∠AOE=210°-α，∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴∠AEC=∠BOC=α，∴∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°，∴210°-α=α-60°，解得：α=135°，∴当α=135°时，AC⊥OE．（3）∵△COE是正三角形，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，①如图，当OC：OA：OB=1：3：2时，OE：OA：AE=1：3：2，∵12+（3）2=22，∴△AOE是直角三角形，∠AOE=90°，∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，②当OC：OB：OA=132时，EO：AE：OA=13：2时，∵12+32=22，∴△AOE是直角三角形，∠AEO=90°，∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，∴当α=120°或150°时，存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为13 2．【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论的思想得出不同情况是此题的易错点．10．（1）答案见试题解析；（2）①答案见试题解析；②不成立，2CM-BE=AE．【详解】试题分析：（1）由全等三角形的判定方法，判断出△CAD≌△CBE，即可判断出AD=BE．（2）①由△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，从而有∠ACD=∠BCE，得到△ACD≌△BCE，有AD=BE，由CD=CE，CM⊥DE，得到DM=ME．由∠DCE=90°，得到DM=ME=CM，故DE=2CM，从而得到结论；②不成立．2CM-BE=AE．试题解析：（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD =∠BCE，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，在△CAD和△CBE中，∵AC=BC，∠ACD =∠BCE ，CD=CE，∴△CAD≌△CBE，∴AD=BE．（2）①证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM，∵点A，D，E在同一直线上，∴DE+AD=AE，∴2CM+BE=AE；②不成立．2CM-BE=AE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．。
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《旋转》训练题
1、经过旋转，图形上的每一点都绕沿相同方向转动了，任意一对对应点与的连线所成的角都是旋转角，对应点到的距离相等．
2、下列说法不正确的是（）
A、图形旋转后对应线段，对应角相等；
B、旋转不改变图形的形状和大小；
C、旋转后对应点的连线的垂直平分线经过旋转中心；
D、旋转形成的图形是由旋转中心和旋转方向决定的．
3、要使正十二边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转（）
A、30°
B、45°
C、60°
D、75°
4、如图1所示的五角星旋转多少度能与自身重合？
5、如图2所示，若正方形ABCD可由正方形CDEF旋转后得到，则图形所在平面上可以作为旋转
中心的共有几个？
6、（2010年天津市）如图3，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，1
DE=．以点A 为中心，把△ADE顺时针旋转90︒，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于.
7、图4中的两个正方形的边长相等，请你指出图
中可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明
旋转的角度.
8、如图5，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠
BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是以点为旋
转中心，旋转度之后能与另三角形
重合，点F的对应点是．
9、如图6，把一个直角三角尺ACB绕着30°角
的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的
延长线上的点E重合．则（1）三角尺
旋转了度；（2）连接CD，可
判断△CDB的形状是三角形；
（3）∠BDC的度数是度．
10、如图7，四边形A/B/C/D/是四边形ABCD绕点
O顺时针旋转90°后得到的，请你作出旋转前
的图形ABCD．
11、如图8所示，四边形ABCD绕某点旋转后成四边形A/B/C/D/，请你帮助找出它们的旋转中心．
12、如图9，∠AOB=90°，∠B=25°，△A/OB/可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A/在AB上，则旋转角α的大小可以是（）
A、25°
B、30°
C、45°
D、50°
13、如图10，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平
面内，将△ABC绕点A旋转到△AB/C/的位置，使得
CC/∥AB，则∠BAB/=( )
A、30°
B、35°
C、40°
D、50°
14、两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边的中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图11，∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点C、C/间的距离是．
15、如图12，在等边三角形ABC内有一点P，PA=10，PB=8，PC=6．求∠BPC的度数．
16、如图13所示，观察图（1）和图（2），请回答下列问题：
（1）请简述由图（1）变换成图（2）的形成过程？
（2）若AD=3，BD=4，△ADE与△BDF的面积和是多少？
17、（2008湖北咸宁）如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC 上两
点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连
接，下列结论：①△≌△；②△≌△；③；
④其中正确的是（） A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．
18、（2008年浙江省嘉兴市）如图，正方形网格中，△ABC为格点三
角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到
△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径
长．
19、如图15，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰
三角形，以点D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．请探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由．
20、如图16，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．
答案：2、D ；3、A；4、五角星顺时针旋转72、144、216、288都能与自身重合。
注意：答题时不能只考虑到一种情况忽略其他情况。
5、有三个点可作为旋转中心，即点C、D及线段CD的中点。
6、25．
7、△OAE和△OBF，△OEB和△OFC，△OAB和△OBC，△OAD和△ODC，旋转的角度为90°；
8、略；9、120°，等腰三角形，30°；12、D；13、C；14、5；15、150°,17、B；18、路径长为
20、【∠BAD=60°和AD=5】。