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总结高中数学极坐标公式及常见极坐标方程1
总结高中数学极坐标公式及常见极坐标方程1总结高中数学极坐标公式及常见极坐标方程1极坐标公式是一种用极坐标表示平面上点的数学公式。
它由极径和极角两个参数组成。
极径表示点到原点的距离，极角表示点到正半轴的角度。
极坐标公式非常有用，可以简化一些复杂的计算。
它可以用来描述平面上的曲线、图形和方程。
在讲解极坐标公式之前，我们先来了解一下极坐标方程的常见形式。
1.点的极坐标表示一个点的极坐标由极径和极角两个参数表示。
在平面直角坐标系中，点的极坐标表示可以通过以下公式计算得到：x = r * cosθy = r * sinθ其中，(x,y)是点在直角坐标系中的坐标，r是点到原点的距离，θ是点到正半轴的角度。
2.极坐标的规范性要求为了避免重复表示同一个点，极坐标的规范性要求如下：-r>=0：极径必须为非负数，表示点到原点的距离。
-0<=θ<=2π：极角必须在0到2π之间，表示点到正半轴的角度。
3.极坐标方程的常见形式极坐标方程是一种用极径和极角表示的方程。
常见的极坐标方程形式如下：a.极坐标方程中的常数项-r=a：一个常数，描述了点到原点的距离。
-θ=b：一个常数，描述了点到正半轴的角度。
这两种形式表示的是一条线段或射线。
b.极坐标方程中的线性函数-r=a+bθ：一个线性函数，描述了极径随着极角变化的规律。
- θ = a + br：一个线性函数，描述了极角随着极径变化的规律。
这两种形式表示的是一条螺旋线或螺线。
c.极坐标方程中的二次函数-r=a+bθ^2：一个二次函数，描述了极径随着极角平方的变化。
- θ = a + br^2：一个二次函数，描述了极角随着极径平方的变化。
这两种形式表示的是一条渐开螺旋线。
总结而言，高中数学中的极坐标公式和方程主要包括了点的极坐标表示和几种常见的极坐标方程形式。
掌握极坐标公式和方程有助于我们更好地理解平面上的曲线和图形，同时也能够简化一些复杂的计算。
极坐标解题技巧
极坐标解题技巧极坐标是一种用极角和极径来表示平面上的点的方式，常用于解决与圆形和极坐标相关的问题。
对于一些特定的问题，使用极坐标可以更加简洁明了地进行计算和推导。
下面，我们将介绍一些常见的极坐标解题技巧。
1. 极坐标的转换首先，我们需要了解如何将直角坐标系中的点坐标转换为极坐标。
对于一个平面上的点P(x, y)，它到原点的距离r可以通过勾股定理计算：r = √(x² + y²)。
而点P与原点的连线与x轴正向的夹角θ可以通过反正切函数计算：θ = arctan(y / x)。
这样，我们就得到了点P的极坐标表示(r, θ)。
2. 极坐标到直角坐标的转换同样地，我们也需要了解如何将极坐标(r, θ)转换为直角坐标系中的点坐标。
点P的x坐标可以通过极径与余弦函数计算：x = r * cos(θ)，而点P的y坐标可以通过极径与正弦函数计算：y = r * sin(θ)。
这样，我们就得到了点P的直角坐标表示(x, y)。
3. 图形的极坐标方程对于一些具有特定形状的图形，我们可以通过极坐标方程来描述它们。
例如，对于一个以极点为中心、极轴为边的圆形，它的极坐标方程可以表示为r = a，其中a是圆的半径。
对于一个以极轴为渐近线的双曲线，它的极坐标方程可以表示为r = a / cos(θ)，其中a为双曲线的焦距。
通过这些极坐标方程，我们可以更加方便地描述和计算这些图形。
4. 极坐标下的导数和曲率在直角坐标系中，我们可以通过对函数进行求导来求得曲线的切线斜率和曲率。
同样地，在极坐标系中，我们也可以计算函数的导数和曲率。
对于一个极坐标方程r = f(θ)，它的导数r'可以通过求f(θ)对θ的导数来得到。
而曲率k可以通过公式k = |r'(θ)| / √(r(θ)² + (r'(θ))²)来计算。
通过这些导数和曲率的计算，我们可以更加深入地研究曲线的性质。
5. 极坐标下的面积和弧长在直角坐标系中，我们可以通过计算积分来求得曲线所围成的面积和曲线的弧长。
极坐标知识点总结
极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。
对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。
1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。
极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。
点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。
1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。
2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。
2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。
三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。
3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
高三数学极坐标解题方法
高三数学极坐标解题方法
极坐标是一种描述平面上点位置的方法，它由极径和极角两个量组成。
在高中数学中，极坐标常被用来解决各种几何问题和参数方程的求解。
以下是高三数学中常见的极坐标解题方法：
1. 极坐标下的直线方程求解
要求解一条直线在极坐标下的方程，需要将直线的斜截式方程转换为极坐标方程。
首先，将直线的斜率表示成正切函数的形式：tan θ=k，其中θ是直线与x轴的夹角，k是直线的斜率。
然后，根据极坐标中的三角函数关系，可得到极坐标方程r=k/(cosθ-sinθ)。
2. 极坐标下的圆方程求解
要求解一个圆在极坐标下的方程，需要将圆的标准方程转换为极坐标方程。
假设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心，r为半径。
将该方程中的x和y用极坐标表示，即x=r·cosθ，y=r·sin θ，代入原方程得到r-2ar·cosθ-a-b+r=0，化简可得到极坐标方程r=a·cosθ+b·sinθ。
3. 极坐标下的曲线求解
要求解一个曲线在极坐标下的方程，可以利用极坐标的定义和变换公式，将曲线转换成极坐标的形式。
具体来说，需要将曲线上的点用极坐标表示，然后根据变换公式，将直角坐标系中的方程转换成极坐标系中的方程。
例如，对于一条以原点为中心，半径为a的圆周，其方程为r=a，而一条以原点为中心，顶点位于x轴正半轴，对称轴与x轴夹角为θ的双曲线的方程为r=a/(cosθ+sinθ)。
总之，极坐标在高中数学中具有广泛的应用，掌握极坐标的解题方法可以有效地提高数学学习的效率。
(完整版)极坐标系知识点归纳总结
(完整版)极坐标系知识点归纳总结
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由极径和极
角两个参数组成。
以下是极坐标系的一些重要知识点：
1. 极坐标转换公式：
- 点P的极坐标表示为：(r, θ)，其中r表示点P到极点的距离，θ表示点P与极轴的夹角。
- 点P的直角坐标表示为：(x, y)，则有以下公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
2. 极坐标系与直角坐标系的关系：
- 极坐标系和直角坐标系可以相互转换。
- 极坐标转换为直角坐标的公式：
- x = r * cos(θ)
- y = r * sin(θ)
- 直角坐标转换为极坐标的公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
3. 极径和极角的范围：
- 极径r可以是任意非负实数。
- 极角θ一般取值范围为[0, 2π)或(-π, π]，表示一个完整的圆周。
4. 极坐标系下的常见图形：
- 圆：r = a，其中a为正实数，表示以极点为圆心，以a为半径的圆。
- 直线：θ = k，其中k为常数，表示与极轴夹角为k的直线。
- 雅可比椭圆：r = a * (1 - e * cos(θ))，其中a和e为正实数，表示以极点为焦点，离心率为e的椭圆。
5. 极坐标系下的曲线方程：
- 极坐标系可以方便地描述一些复杂的曲线。
- 通过给定r和θ的函数关系，可以确定一条在极坐标系下的
曲线方程。
以上是对极坐标系知识点的简要归纳总结，希望对您有所帮助。
极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程知识点总结大全一、极坐标系统极坐标系统是一种用来表示平面上点的坐标系统，它与直角坐标系统相互转化。
在极坐标系统中，一个点的位置由径向和角度两个量来确定。
常用的表示方式为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，称为极径，而θ表示与参考轴（通常为正X 轴）的夹角，称为极角。
极坐标系统与直角坐标系统之间可以通过如下的转换关系相互转化：•直角坐标→ 极坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)•极坐标→ 直角坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)极坐标系统适用于描述旋转对称性的图形，例如圆、花朵等。
二、参数方程参数方程是一种用参数表示函数的方式。
在参数方程中，自变量和因变量都可以是参数。
一般来说，参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的方程组。
以平面上的曲线为例，如果将曲线上的点的坐标分别用参数t表示，则曲线上的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。
这种表示方式称为参数方程。
参数方程在描述含有符号导数的曲线段以及曲线段的方向时非常有用。
参数方程可以将复杂的图形分解成多个简单的函数，从而方便进行图形的分析和计算。
它在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
三、极坐标与参数方程的关系极坐标与参数方程之间存在着密切的关系。
可以通过参数方程来描述极坐标系中的曲线。
一个常见的例子是圆的极坐标方程和参数方程的表示。
以圆的极坐标方程为例，极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。
使用参数方程表示时，可以将极坐标方程转化为参数方程x = a * cos(θ)，y = a * sin(θ)。
同样地，通过参数方程也可以得到一些特殊的极坐标曲线，例如r = a *cos(θ)可以表示一条心形曲线。
四、极坐标曲线的绘制在计算机图形学中，可以通过极坐标方程或参数方程来绘制各种各样的曲线。
对于一个极坐标曲线，可以选择一系列的角度值，然后根据极坐标方程或参数方程计算出相应的极径或坐标点，再将这些点连接起来就可以绘制出曲线。
极坐标与参数方程知识点总结大全[技巧]
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极坐标与参数方程知识点总结大全[技巧] 1(平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(?R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆(1)过极点,倾斜角为的直线(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数?,并且对于的每一个允许值,由方程组?所确定的点都在这条曲线上,那么方程?就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注:普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高二文科数学极坐标知识点
高二文科数学极坐标知识点高二文科数学中的极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统。
它将点的位置与极径和极角两个数值相关联。
在学习极坐标的知识点时，我们需要了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等内容。
1. 极坐标的表示方法在极坐标中，平面上的点通过极径和极角两个数值来表示。
极径表示点到原点的距离，记作r，而极角表示点与极轴的夹角，记作θ。
通常，我们将极径r写在极角θ的右上方，形成一个有序对(r,θ)来表示点的位置。
2. 极坐标系转换在直角坐标系和极坐标系之间进行转换是极坐标的重要应用之一。
将直角坐标系中的点(x,y)转换为极坐标系中的点(r,θ)需要使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)反之，将极坐标系中的点(r,θ)转换为直角坐标系中的点(x,y)需要使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ3. 极坐标方程极坐标方程是在极坐标系中表示曲线方程的一种形式。
一般来说，极坐标方程由极径r和极角θ的关系式来确定。
比如，常见的圆的极坐标方程为r = a，表示以极径a为半径的圆。
除了圆之外，其他曲线的极坐标方程可以通过关系式r = f(θ)来表示，其中f(θ)是极坐标函数。
例如，当f(θ) = a + bcosθ时，表示一个叫做“卡西尼曲线”的图形。
4. 极坐标下的图形表示在极坐标系中，我们可以通过调整极径和极角来画出各种各样的图形。
常见的图形包括圆、椭圆、双纽线以及心形线等。
画图时，可以先确定关键点的坐标，再通过连线或者曲线来表示整个图形。
对于一些复杂的曲线，我们可以利用计算机软件来绘制。
在实际应用中，极坐标常常用于描述与极轴的夹角和距离有关的物理问题，如雷达、天文学、电子工程等领域。
5. 总结高二文科数学中的极坐标是一种重要的坐标系统，用于描述平面点的位置。
通过了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等知识点，我们可以更好地理解和应用极坐标。
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
极坐标总结大全 很全的分类解题方法 超级实用
极坐标总结大全很全的分类解题方法超级实用1、在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y−1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|⋅|OQ|=1、(Ⅰ)求Q点的轨迹；(Ⅱ)设点M(x,y)是(Ⅰ)中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值。
2、已知圆C的圆心在(0,1),半径为1，直线l过点(0,3)且垂直于y轴。
(Ⅰ)求圆C和直线l的参数方程；(Ⅱ)过原点O作射线分别交圆C和直线l于M，N，求证|OM|⋅|ON|为定值。
3、已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系。
(Ⅰ)求曲线C的普通方程；(Ⅱ)P,Q是曲线C上的两个点,当OP⊥OQ时,求+的值。
4、已知曲线C1的参数方程是 (为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2, )、(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围。
5、在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为 (为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D、(1)求曲线C1,C2的普通方程；(2)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求的值。
6、已知曲线C1的参数方程是,(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，边长为3的等边三角形，在极坐标系中其重心在极点、(I)求该等边三角形外接圆C2的极坐标方程;(II)设曲线C1,C2交于A,B两点，求|AB|的长、7、在直角坐标系xOy中,曲线C1: ，（t为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=cosθ、(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。
高考极坐标与参数方程题型总结
高考极坐标与参数方程题型总结1.在极坐标系中，要将直线C1：x=-2和圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1转化为极坐标方程。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，将直线和圆的方程中的x和y用极坐标中的r和θ表示，然后化简即可得到它们的极坐标方程。
求出C2和C3的交点M、N的坐标，然后计算三角形OMN的面积即可求出C2MN的面积。
2.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=tcosα，y=tsinα，其中α∈[0,π)。
将C1的参数方程转化为极坐标方程，即可得到C2和C3的极坐标方程。
求出C2和C1的交点A和C3和C1的交点B的极坐标，然后计算AB的极坐标差值的正弦值的最大值，即可得到AB的最大值。
3.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=acos(t)，y=1+asin(t)，其中a>0.将C1的方程转化为极坐标方程，即可得到C2的极坐标方程。
设C3的极坐标方程为ρ=k，其中k>0.将C1和C2的极坐标方程代入C3的极坐标方程中，解出a即可。
1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为r=cos(2θ)，参数方程为x=cos(2t)，y=sin(2t)。
2.求解：(1) C1的极坐标方程为r=cos(2θ)；(2) 射线x=λ与曲线C1分别交于M,N，求实数λ的最大值。
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=cos(θ)，直线L的极坐标方程为θ=π/3.1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程得y=cos(x)，其中x=θ-π/2；2) 直线L与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)过点A，求点B的坐标为(√3/2,-1/2)。
4.在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为r=2cos(θ)。
1) 点P的轨迹的极坐标方程为r=2cos(θ)+2sin(θ)；2) 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线L：y=√3x 与曲线C相交于E，求E的坐标为(1,√3)。
高中数学极坐标常见题型解法分析
高中数学极坐标常见题型解法分析ʏ谭 潇极坐标系是建立在以前学习数轴㊁平面直角坐标系,以及空间直角坐标系的基础上进一步学习的内容㊂极坐标是高中数学的选修内容,整体难度不大,是学生可以拿满分的考点㊂本文首先介绍常见题型极坐标的基本公式,而后分别举例介绍其常见题型的解法㊂希望能对同学们梳理有关极坐标的知识和常见题型解法有所帮助㊂一㊁极坐标基本公式要想求解极坐标的相关题型,我们就要熟记其基本公式,主要有三种:极坐标与直角坐标系的互化公式㊁常见圆的极坐标方程㊁常见直线的极坐标方程㊂(一)极坐标与直角坐标系的互化公式设点P 的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则有(ρ,θ)ң(x ,y )时,x =ρc o s θ,y =ρs i n θ;(x ,y )ң(ρ,θ)时,ρ2=x 2+y 2,t a n θ=y x(x ʂ0)㊂(二)常见圆的极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆,ρ=r ;圆心为M (a ,0),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑc o s θ;圆心为M a ,π2(),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑs i n θ㊂(三)常见直线的极坐标方程直线过极点,直线的倾斜角为α,θ=α(ρɪR );直线过点M (a ,0),且垂直于极轴,ρc o s θ=a ;直线过点M a ,π2(),且平行于极轴,ρs i n θ=a ㊂二㊁常见题型解法分析(一)极坐标系的求解1.在点与点的位置关系中,(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,θ+π),关于直线ɑ=π2的对称点为(ρ,π-θ),关于极轴的对称点为(ρ,-θ)㊂例1 已知Q 2,1915π(),求满足下列条件的点的极坐标㊂(1)P 1是点Q 关于极点O 的对称点㊂(2)P 3是点Q 关于极轴的对称点㊂参考答案:(1)P 12,1915π()㊂(2)P 32,æèç-1415π)㊂(解题过程略)2.求解极坐标下两点A (ρ1,θ1),B (ρ2,θ2)的距离时可以利用公式:|A B |=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2θ1-θ2()㊂例2 在极坐标系中,若A 3,π3(),B 4,76π(),求әA B O 的面积㊂解析:由题意可知,在әA O B 中,O A =3,O B =4,øA O B =76π-π3=56π,所以әA B O 的面积为S әA O B =12|O A |ˑ|O B |ˑs i n øA O B =12ˑ3ˑ4ˑs i n 56π=3㊂故әA O B 的面积为3㊂(二)曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 在极坐标系中,圆ρ=8s i n θ上的点到直线θ=π3(ρɪR )距离的最大值是㊂解析:将圆ρ=8s i n θ化为直角坐标方程,为x 2+y 2-8y =0,即x 2+(y -4)2=16㊂将直线θ=π3(ρɪR )化为直角坐标方程,为y =3x ㊂结合图形可知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径㊂圆心(0,4)到直线y =3x 的距离为4(3)2+12=2,又圆的半径r =4,所以圆上的点到直线的最大距离为6㊂作者单位:广西南宁市第三十四中学83 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年7 8月。
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程 思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程 思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
极坐标知识点和题型总结大全
以下是关于极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结：
1. 极坐标定义：极坐标是一种在平面上表示点位置的坐标系，使用极径（r）和极角（θ）来确定点的位置。
2. 极坐标转换：可以通过以下公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
3. 极坐标转化为直角坐标：可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标系中的点的坐标：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
4. 极坐标系下的图形方程：在极坐标系下，常见的图形方程有：
a) 直线：θ = k，其中k 为常数。
b) 圆：r = a，其中a 为常数。
c) 线段：a ≤ r ≤ b，其中a, b 为常数。
5. 极坐标系下的曲线方程：极坐标下的曲线方程可以通过变化极角或极径的方式得到，常见的曲线方程有：
a) 线：r = k，其中k 为常数。
b) 弧线：θ = k*θ0，其中k 为常数，θ0为起始角度。
c) 雅可比螺线：r = a * θ，其中a 为常数。
d) 心形线：r = a * (1 + cos(θ))，其中a 为常数。
在解题时，根据题目给出的条件和要求，可以灵活运用极坐标的转换公式和图形方程，进行坐标转换、方程建立和问题求解等操作。
请注意理解题目中给出的具体要求，如求极值、图形方程、面积等，并将其转化为极坐标下的形式进行求解。
以上是一些极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结，希望对您有帮助。
如果有更具体的题目需要解答，可以提供相关题目，我将尽力帮助您解答。
极坐标与全参数方程的知识点的总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M 的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程知识点总结大全72285
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下,点P（x，y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2。
极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点，叫做极点,自极点引一条射线，叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系。
(2)极坐标设M是平面内一点，极点与点M的距离|OM｜叫做点M的极径，记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为。
有序数对叫做点M的极坐标，记作.一般地，不作特殊说明时，我们认为可取任意实数。
特别地，当点在极点时，它的极坐标为（0，)（∈R)。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定，那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
3.极坐标和直角坐标的互化(1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:（2)互化公式：设是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是,极坐标是（）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时，可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为，半径为的圆圆心为，半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1）(2)过点,与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同。
所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式，其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1。
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下，点P(x,y）对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2。
极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点，叫做极点，自极点引一条射线，叫做极轴;再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离｜OM|叫做点M的极径，记为；以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作.一般地，不作特殊说明时,我们认为可取任意实数。
特别地，当点在极点时,它的极坐标为(0, ）(∈R）。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。
3.极坐标和直角坐标的互化（1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:（2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是(），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下，由确定角时,可根据点所在的象限最小正角。
4。
常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为，半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1) (2）过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程。
极坐标与参数方程知识点总结大全37366
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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习题一：极坐标解题
1、在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y−1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|⋅|OQ|=1. (Ⅰ)求Q点的轨迹；
(Ⅱ)设点M(x,y)是(Ⅰ)中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值。
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B ，求|AB|的最大值。
8、已知曲线1C 的参数方程是 ϕϕsin ,
cos 2==y x (ϕ建立极坐标系，曲线2C （1） 写出1C （2） 已知点21,M M 的极坐标分别为)2,1(π
和)0,2(，射线OP 与
2、在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程： ααsin 2,cos 2+=
+=
y x α(为参数），曲线2C 的方程：)4
sin(8
πθρ+=。
（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
2、
题型五：参数方程的伸缩变换
(1)求AB 中点M 的轨迹的普通方程；
(2)求点O 到直线AB 的距离的最大值和最小值。
题型七：关于21和t t 的解题问题。