八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新
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八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点
1、线段垂直平分线的性质
(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示:如图1,∵ CD ⊥AB ,且AD =BD
∴ AC =BC.
定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理:
)
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,∵ AC =BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点.....的距离相等.
性质的作用:证明三角形内的线段相等.
《
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:
若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部; 若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;
若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之,也成立。
4、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4,
∵ OE 是∠AOB 的平分线,F 是OE 上一点,且CF ⊥OA 于点
图1
图2
C ,DF ⊥OB 于点
D , ∴ CF =DF.
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定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理:
角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5,
∵点P 在∠AOB 的内部,且PC ⊥OA 于C ,PD ⊥OB 于D ,且PC =PD ,
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
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注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理:
(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示:如图6,如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线,那么:
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ;
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则DI =EI =FI. 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.
—
(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:
(1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线; (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
1.生活如意,事业高升。
2.前程似锦,美梦成真。
3.年年今日,岁岁今朝。
4.百事大吉,万事顺利。
5.愿与同僚,共分此乐。
6.事业有成,幸福快乐。
7.生日快乐,幸福安康。
8.幸福快乐,与君同在。