八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新
角平分线与垂直平分线知识点
角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线1.角平分线可以得到两个相等的角。
（角平分线的定义）∵AD是∠CAB的角平分线1∠CAB∴∠CAD=∠B AD=22.角平分线上的点到角两边的距离相等。
（角平分线的性质）∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB∴DC=DB3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
（角平分线的判定）∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。
二、角平分线图模（对称性）1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。
利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。
若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。
3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。
4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。
5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”6、夹角模型①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A．②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-12∠B．在∠AOB中，画角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。
给初二数学垂直平分线知识点总结
给初二数学垂直平分线知识点总结给初二数学垂直平分线知识点总结初二数学垂直平分线知识点总结知识要领：垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分。
垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.如果两个图形某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心(circumcenter)，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。
) 垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
图式如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)知识归纳：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
专题16角平分线与线段的垂直平分线(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题16 角平分线与线段的垂直平分线（知识点总结+例题讲解）一、角平分线：1.角的平分线定义：（1）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；如图，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2=∠BAC；（2）类似地，还有角的三等分线等。
2.角平分线的作法(尺规作图)：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；（2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；（3）过点P作射线OP，射线OP即为所求。
3.角平分线的性质：（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上。
（3）三角形的角平分线。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
12①三角形的角平分线是线段；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
4.角平分线的综合应用：（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用。
【例题1】(2020•乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝( )A．10°B．20°C．30° D．40°【答案】B【解析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG 可得结果．解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB=12∠CEF=12×140°=70°，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°。
八年级垂直平分线知识点
八年级垂直平分线知识点垂直平分线是初中数学重要的知识点之一，其在几何问题中有着广泛的应用。
本篇文章将为大家详细介绍关于八年级垂直平分线的知识点。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分的直线。
简单来说，就是把一条线段分成两段长度相等且垂直的线段。
二、如何求垂直平分线1、传统方法传统方法是一种利用勾股定理进行求解的方法。
假设线段AB 的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），垂直平分线上的点为P（x，y）。
则有以下公式：(x - (x1+x2)/2)² + (y - (y1+y2)/2)² = ((x2-x1)/2)² + ((y2-y1)/2)²该公式中等号右边是线段AB长度的一半，等号左边是线段AP 长度的平方与线段PB长度的平方之和。
2、向量法向量法是一种可以简化计算的方法。
如果线段AB的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则垂直于AB的向量为(-（y2-y1），x2-x1)。
具体操作如下：首先，将线段AB的中点的坐标求出来，记为C(xc,yc)然后，将AB的两个端点坐标作为一个向量，记为u(x2-x1,y2-y1)接着，求出u的一个垂直向量v，记为v(-（y2-y1），x2-x1)最后，直线的方程为(PC)·v=0，即[(x-xc)(-（y2-y1）)+(y-yc)(x2-x1)]=0三、垂直平分线的性质1、垂直平分线上的点到AB两个端点的距离相等。
2、垂直平分线上任意一点与AB两个端点之间的两条线段的长度相等。
3、垂直平分线将线段AB分成的两个线段长度相等。
4、线段垂直平分线的两个部分互为相反数。
四、垂直平分线的应用垂直平分线在几何问题中有着广泛的应用。
举例如下：1、判断点C是否在直线AB的逆时针方向我们可以通过垂直平分线来解决。
如果点C在直线AB的逆时针方向，则垂直AB且平分AB的线段的中点在C的左侧。
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习要点
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》
练习要点
一、概述
线段垂直平分线和角平分线是数学中重要的概念，对于几何图形的研究有着重要的影响。
本练要点将帮助学生理解和掌握线段垂直平分线和角平分线的相关知识和性质。
二、线段垂直平分线
1. 定义：线段垂直平分线是指一个线段的中垂线，它同时垂直于这个线段，并将线段分成两个相等的部分。
2. 性质：
- 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
- 线段垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
- 线段垂直平分线同时是线段的中垂线。
三、角平分线
1. 定义：角平分线是指将一个角平分成两个相等角的线段。
2. 性质：
- 角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。
- 角平分线将角分成两个相等的部分。
- 角平分线同时是角的边平分线。
四、练要点
1. 理解线段垂直平分线的定义和性质，练判断一个线段垂直平
分线的特征。
2. 掌握角平分线的定义和性质，练判断一个线段是角平分线的
特征。
3. 练画出一个线段的中垂线和一个角的角平分线。
4. 进行练题，巩固对线段垂直平分线和角平分线的理解和应用。
五、总结
通过本练要点的研究和练，学生可以更好地理解线段垂直平分
线和角平分线的概念和性质，提高几何图形的分析和解决问题的能力。
以上为八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练要点。
八年级数学上人教版《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
一、知识点
1.线段垂直平分线的定义：如果一条直线与一个线段的两个端点相交，并且与这
条线段所在的直线垂直，那么这条直线就是这个线段的垂直平分线。
2.线段垂直平分线的性质：
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.线段垂直平分线的判定：
（1）如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
（2）如果一条直线与一条线段只有一个公共点，且这个公共点到线段两个端点的距离相等，那么这条直线是这条线段的垂直平分线。
4.线段垂直平分线的画法：用直尺和圆规作一条线段的中垂线。
二、重要公式
1.线段垂直平分线的性质定理：若AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC。
2.线段垂直平分线的判定定理：若AB=AC，则AD是BC的垂直平分线。
三、解题方法
1.利用定义和性质解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题
方法。
2.在解决与线段垂直平分线有关的问题时，常常利用几何图形中的“轴对称”性质，
通过翻折、旋转等方法把复杂的问题化为简单的问题。
3.在解与三角形中垂线有关的问题时，要注意三角形中垂线的性质定理的应用，
以及与三角形中位线定理的区别和联系。
4.在解与多边形中垂线有关的问题时，要灵活运用多边形中垂线的性质定理和判
定定理，结合图形特点进行分析。
线段的垂直平分线与角平分线
线段的垂直平分线与角平分线线段是几何学中非常基础的概念之一，而线段的垂直平分线与角平分线则是与线段相关的两个重要概念。
本文将详细介绍线段的垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用。
一、线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指将一条线段平分，并与该线段垂直的线。
具体来说，对于给定的线段AB，如果存在一条线段CD，满足以下条件：1. 线段CD的长度等于线段AB的长度；2. 线段CD与线段AB垂直。
那么线段CD就是线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线有以下几个重要性质：1. 垂直平分线与线段的中点相交；2. 垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等；3. 线段的垂直平分线唯一存在，且与线段垂直。
应用举例：在建筑设计中，垂直平分线可以用来确定一个长方形或正方形的中心位置，帮助确定对称的放置家具或装饰品等物品。
二、线段的角平分线线段的角平分线是指将一条角平分成两个相等的角，并且该线段在原角的内部。
具体来说，对于给定的角AOB，如果存在一条线段OC，满足以下条件：1. 线段OC与线段OB和线段OA的夹角相等；2. 线段OC将角AOB平分。
那么线段OC就是角AOB的角平分线。
线段的角平分线有以下几个重要性质：1. 角的角平分线可以将角平分成两个相等的角；2. 角的角平分线唯一存在。
应用举例：在几何证明或构造中，角平分线的性质被广泛应用。
例如，在正方形中，线段的角平分线即为正方形的对角线，利用这一性质可以证明正方形的对角线互相垂直且平分彼此。
总结：线段的垂直平分线与角平分线都是线段在几何中的重要应用。
垂直平分线可用于确定线段的中点和建筑设计中的对称性；角平分线可用于证明和构造多边形等几何图形。
了解并掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质对于解决几何问题以及理解几何学的基本概念和定理都具有重要意义。
通过本文的介绍，相信读者对线段的垂直平分线与角平分线有了更加深入的了解，希望对读者在学习和应用几何学知识时能够提供帮助。
初二数学三角形知识点总结
考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的角关系三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
等角的补角相等，等角的余角相等。
8、三角形的面积三角形的面积=21×底×高应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值。
北师大数学八年级下册第一章-线段的垂直平分线与角平分线经典讲义
第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。
垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
初中数学初二数学上册《线段的垂直平分线与角的平分线》教案、教学设计
4.小组合作题：以小组为单位，探讨以下问题，并在下节课上进行汇报。
（1）线段的垂直平分线与角的平分线有哪些共同点与不同点？
（2）在实际应用中，线段的垂直平分线和角的平分线有哪些重要作用？
1.给出线段的垂直平分线和角的平分线的定义，结合图形进行讲解，让学生直观地理解这两种概念。
2.通过尺规作图，演示如何作出线段的垂直平分线和角的平分线，让学生掌握作图方法。
3.讲解线段的垂直平分线和角的平分线的性质，并通过实例进行验证。
4.分析线段的垂直平分线和角的平分线的判定方法，结合典型例题进行讲解，让学生掌握解题技巧。
3.强调本节课的重点和难点，提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。
4.表扬优秀学生和进步学生，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
五、作业布置
为了巩固学生对线段的垂直平分线和角的平分线的理解，提高学生的几何解题能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第chapter页的练习题，包括填空题、选择题和解答题。重点在于让学生熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的性质及判定方法。
2.实践应用题：结合生活实际，让学生找出身边的线段和角的平分现象，用文字和图形描述，并说明其应用。此类题目旨在培养学生将几何知识应用于生活的能力。
3.提高拓展题：完成以下两道综合题，要求学生运用线段垂直平分线和角平分线的知识，解决几何问题。
（1）如图，线段AB的垂直平分线交AB于点C，交直线DE于点F。已知CF=4cm，AF=6cm，求BF的长度。
-设想实施：组织学生参与户外或实验室的几何测量活动，让学生在实际操作中运用线段和角的平分线知识，体会数学与生活的联系。
线段的垂直平分线和角平分线的复习
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REPORTING
目录
• 垂直平分线与角平分线基本概念 • 垂直平分线相关定理与推论 • 角平分线相关定理与推论 • 垂直平分线与角平分线在几何图形中应用 • 解题技巧与策略总结 • 练习题与答案解析
PART 01
垂直平分线与角平分线基 本概念
对称性等。
角平分线在多边形中可用于求解 角度和线段长度，如利用角平分 线性质求解多边形中的角度和边
长。
垂直平分线和角平分线的交点在 多边形中可用于求解多边形的内 切圆和外接圆以及与这些圆相关
的性质。
PART 05
解题技巧与策略总结
REPORTING
WENKU DESIGN
观察图形特征，选择合适方法
03
2. 题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于 点F，交BC于点G，且 DE=DF． 求证：△ABC是等腰三 角形．
04
解析
根据角平分线的性质“角的平分 线上的点到角的两边的距离相等” 可得点D在∠BAC的平分线上，再 根据等腰三角形的性质“等边对 等角”以及平角的性质证明 ∠B=∠C即可。
练习题三：证明四边形性质
题目
四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， E、F分别是BD、AC的中点，求证： EF垂直平分AC。
解析
连接AE、CE，由于AB=CD，AD=BC， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，从而 ∠ABD=∠CDB，又因为E是BD的中点，所以 AE=CE，又因为F是AC的中点，所以EF垂直平 分AC。
两者关系与区别
关系
垂直平分线和角平分线都是几何学中的基本概念，它们都与距离和角度有关。
初二数学培优第4讲--角平分线、垂直平分线
第4讲角平分线、垂直平分线本讲知识归纳1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．基础回顾例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD上任一点．求证：PE=PF．例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点．(1)求∠AME；(2)求证：AM=MN；(3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明，练习1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD.2．如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点．(1)求P点的坐标；(2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．方法运用例3 如图，∠AOB= 30°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O).(1)求△PQR周长的最小值；(2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值．分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR 的周长与∠QPR的值．例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由.练习3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值．4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(如图中∠α=∠β).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度.问题探究例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M．(1)求证：∠ABD=∠ACD；(2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE；(3)当A点运动时，AC ABAM-的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．例6已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．(1)如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠D PE= ；(2)如图2，若∠BAC=α，则∠BPC+∠DPE= ；(3)在图1的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE=_ ；并证明你的结论.图1 图2 图3练习5．如图，P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点，且∠PBC=12∠A,BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E．求证：BE=CD.6．已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF.(1)如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP.图①图②7．如图，A（-4，O），B(O，4)，AE⊥BE，∠OAE=22.5°．(1)求证：BD=2AE；(2)若∠AP0=45°，问PA与PB有何位置关系．图①图②8．如图，△ACO为等腰直角三角形．(1)如图①，C(-1，3)，求A点坐标；(2)如图②，过A点作AE⊥AC，若∠EFO=∠CFO，求∠EOF的大小；(3)如图③，当△ACO绕O点旋转时，过C点作CN⊥y轴，M为AO的中点，问∠MNO大小是否发生变化？图①图② 图③。
第二讲 垂直平分线角平分线
第二讲 垂直平分线、角平分线【知识梳理】1、线段垂直平分线性质、判定垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
<直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1，AO=BO=CO ）2、角平分线的性质、判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
（如图2，OD=OE=OF)【重点难点】垂直平分线的性质定理和判定定理及角平分线的性质定理和判定定理的应用。
【典例精析】 例1 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM=MN=NC ．例2 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 与点E ，CD 交BE 与点F 。
求证：BE 垂直平分CDAC B O 图1 图2 O A C B DE F例3如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB与E,AB=10cm，求△DEB的周长。
例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.【巩固练习】1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定2、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D 到AB边的距离为（）A．18 B．32 C．28 D．24第2题第3题第4题第5题5、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处6、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D. 仅①和③正确7、△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。
线段垂直平分线和角平分线的性质和判定
线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。
性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。
判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。
角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。
性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。
判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。
初中数学 什么是垂直平分线和角平分线
初中数学什么是垂直平分线和角平分线垂直平分线和角平分线是初中数学中关于线段和角的重要概念。
它们在几何学中有着广泛的应用，用于描述和分析线段和角的性质和关系。
在本文中，我们将详细讨论垂直平分线和角平分线的概念、性质和应用。
一、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等的线段的线。
具体来说，如果有一条线段AB，那么经过线段AB中点C并且垂直于线段AB的直线就是线段AB 的垂直平分线。
垂直平分线具有以下几个重要的性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分，即线段AC与线段CB的长度相等。
2. 垂直平分线与线段所在的直线垂直相交，即线段AB和垂直平分线CD之间的夹角为90度。
3. 垂直平分线同时也是线段AB的中垂线，即线段AC与线段CB的中点C都在垂直平分线CD上。
垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来解决关于线段的问题，比如寻找线段的中点、判断两个线段是否相等等。
此外，垂直平分线也可以用来解决关于垂直和平行的问题，比如判断两条线是否垂直、寻找垂直线的特性等。
二、角平分线角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线。
具体来说，如果有一个角ABC，那么经过角ABC的顶点B并且将角ABC分成两个相等的角的线就是角ABC的角平分线。
角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的角，即角ABD与角CBD的度数相等。
2. 角平分线与角所在的边相交，并且将角分成相等的两部分，即角ABD和角CBD 的度数相等。
3. 角平分线与角的两条边的夹角相等，即角ABE与角EBD的度数相等。
角平分线在几何学中也有着广泛的应用。
它可以用来解决关于角的问题，比如寻找角的平分线、计算角的度数等。
此外，角平分线也可以用来解决关于直角、等腰三角形等问题，比如判断一个角是否为直角、判断一个三角形是否为等腰三角形等。
三、性质垂直平分线和角平分线具有一些重要的性质。
下面我们将分别讨论垂直平分线和角平分线的性质。
线段垂直平分线定理知识总结
1 / 3线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理EDCBA2 / 3证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A BPAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
八年级上册角平分线知识点
八年级上册角平分线知识点在初中数学学习中，角平分线是一个非常重要的知识点。
作为中学数学的一大难题，它在考试中也是常备不离的。
本文将为大家介绍有关八年级上册角平分线的知识点，以助大家更好地掌握这一部分内容。
一、定义角平分线，即是一个角内部的一条线段，将角分成两个相等的部分，使得这两个部分的夹角相等。
另一种定义是指，从一个角的顶点引一条射线，将原角分成两个度数相等的角。
二、定理1. 垂直平分线定理角的平分线同时也是角的垂直平分线，反之亦然。
如图所示，线段BD是角ABC的平分线，同时也是角ABC的垂直平分线。
2. 外角平分线定理外角平分线分外角成两个相等的角。
如图所示，角ABC的外角DEB的外角平分线DF分成两个相等的角。
3. 角平分线定理如果一条直线穿过一个三角形的一个角，且使这个角被分成两个相等的角，那么这条直线是该角的角平分线。
如下图所示，线段BD是角ABC的平分线，使角ABC分成了∠ABD和∠CBD两部分，两部分的角度相等。
三、应用知识点掌握后，需要通过大量的练习加深理解。
以下是几个衍生应用的例子。
1. 平分线相交定理：如图所示，设∠AOB的角平分线交线段CD于点E，则E为CD线段的中点。
2. 根据角平分线定理或外角平分线定理求角度大小。
3. 根据角平分线定理或外角平分线定理求线段长度。
四、注意事项1. 在使用角平分线定理时，要注意仔细观察所给出的角度是否已经准确好了。
2. 在求解方面时，一定要格外小心，多使用相应的公式，同时加强练习。
总之，八年级上册角平分线知识点是数学学习的一个重点领域，需要加强理论学习，加强应用实践，全面提高自己在数学方面的应试能力。
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八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
）
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
《
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点
图1
图2
C ，DF ⊥OB 于点
D ， ∴ CF ＝DF.
?
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
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注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
—
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
1.生活如意，事业高升。
2.前程似锦，美梦成真。
3.年年今日，岁岁今朝。
4.百事大吉，万事顺利。
5.愿与同僚，共分此乐。
6.事业有成，幸福快乐。
7.生日快乐，幸福安康。
8.幸福快乐，与君同在。