极限四则运算法则

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且

)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当

100δ<-

)(ε

<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当2

00δ<-

)(ε

<

-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有

εε

ε

=+

<

-+-≤-+-=+-+2

2

)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f

所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0

。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且

)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记

αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。 推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。 推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。 定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)

(lim )

(lim )()(lim

x g x f B A x g x f ==。

证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：

)

()()(ββ

αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明

)

(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒

B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B

A

x g x f )()(，

B

A

x g x f =⇒)()(lim

。 注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。 【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00

lim lim lim )(lim 。

【例2】n

n x x n x x x x x 0]lim [lim 0

==→→。

推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当

)()(lim 0011

1000

x f a x a x a x a x f n n n n

x x =++++=--→ 。

推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)

()

()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。

【例3】31151105(lim 221

-=+⨯-=+-→x x x 。

【例4】33

009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005

≠+-）。 注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

【例5】求3

22

lim 221-+-+→x x x x x 。

解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，

所以 5

3

322lim 322lim 12

21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。 【例6】求)1

3

11(

lim 31+-+-→x x x 。

解：当1

3

,11,13

++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112

23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11

)1()1(2112lim )1311(

lim 22131

-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。 【例7】求2

lim 2

2-→x x x 。

解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：

042

22lim

2

2

=-=-→x x x ，

∞=-⇒→2

lim

2

2x x x 。