【优】高等量子力学第三章PPT资料

二阶张量算符的变换为
λ=2，有 3λ= 9个分量 不可约的算符只有 2λ+1=5 个。
角动量的耦合
补充：线性空间的直积与直和
1. 直和空间： 设线性空间R1中的矢量是 | ，| … ，算符是A, B, … ； 设线性空间R2中的矢量是 | ，| … ，算符是L, M, … 。
构造“双矢量”（不计次序|） | ，这类双矢量及其
是微观粒子波动性的体现，
不同状态中有不同的△x ,△p，其乘积均≥h/2
取等号时波动性最弱，最接近粒子性。
最小测不准 --- 最接近经典
最小测不准条件：
=
由此得到最小测不准态的方程
其解为
振幅为高斯形的波包
• 波包是由不同单色平面波叠加而成的态
单色平面波是动量的本征态， 是弥散在全空间的波，全局空限间在所有有限地空方间几体率积相中等的。波包
高等量子力学第三章
第三章 角动量
角动量的定义是—什—么转？动变换的生成元
原子转动 --- 在几何空间中， 描述原子状态的态矢发生相应的改变 --- 在希尔伯特空间中。
Rδ
=
Uδ|a> = |a>δ Uδ = e-i/hFδ
D函数 —— 转动算符的矩阵表示。
[J2,U]0
J 2 U |j , U J 2 |j , j ( j 1 ) 2 U |j ,
这两种表象张开的是同一空间，它们之间可以通过幺正变换 联系，CG系数是这个幺正变换的矩阵元。
独立表象 {j12,j22,j1z,j2z} 耦合表象 {J2,Jz,j12,j22}
表象变换
第五章 测不准关系、相干态
测不准原理
在旧量子论中是原理
海森堡不等式
定理的出发点是对易关系
测不准关系
在量子力学中是定理
叠加可以构成一个新的线性空间，维数为n1+n2。 矢量的加法运算
| | | | ( | | ) ( | | )
矢量的内积
( | |) ( | | ) | |
算符对矢量的作用
(A L )(| | ) A | L |
(算符只对自己空间的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用。)
量子态可以按照它们在旋转下的变换性质（或转动群的不可约表示）进行分类。
| | AL ρ展不开再点是均希匀尔分伯布特在空全间复中平的面对象。1 3
遍遍乘乘
2 1
2 2
2 3
角动量的耦合
是直积空间中的算符 直积空间的维数：(2j1+1)(2j2+2) 根据算符的对易情况，可以选两组表象基。
与此相应，体系的力学量算符也可以按照它们在旋转下的变 换性质进行分类。
不可约张量算符 —— 自己内部彼此之间变换。
λ阶张量算符
（算符的不可约性是通过变换矩阵的不可约性来定义的。）
补充：矢量算符、张量算符概念
张量是学习和研究物理学的一个必不可少的数学工具。
对于经典系统，张量的定义：------ 参考《物理学中的张量 分析》刘连寿、郑小平著
本征值 j 对应的简并子空间
λ=1，有 3λ = 3 个分量
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则成为张量算符。 在转动下， 按照D(j)变换，自1 己内1 部彼此之间变换。 设线性空间R2中的矢量是 ， … ，算符是L, M, … 。 量子态可以按照它们在旋转下的变1 换性2 质（或转动群的不可约表示）进行分类。
算符的加法 (A L ) (B M ) (A B ) (L M )
算符的乘法 (A L )(B M ) (A B ) (L M )
举例说明进入表象后，矢量和算符的矩阵表示。
2. 直积空间：
构造“双矢量”（不计次序|） | ，这类双矢量及其
叠加可以构成一个新的线性空间，维数为n1xn2。
矢量的内积
( | |) ( | | ) | |
算符对矢量的作用
(A L )(| | ) A | L |
(算符只对自己空间的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用。)
有时在直积空间中写 A+L，指 A1(2)1(1)L
举例说明进入表象后，矢量和算符的矩阵表示。
1
2
本征值 j 对应
的简并子空间
体系处于态
转动
用群表示的语言来讲，对应于每一个转动U，有一个2j+1 维的矩阵D(j)，称矩阵D(j)构成了转动群的2j+1维不可约表示。
（表示的不可约性是通过矩阵的不可约性来定义的。）
在转动下， 按照D(j)变换，自己内部彼此之间变换。 凡按照转动群的不可约表示D(j)变换的各态，用一个共同的 量子数 j 来标志，而彼此则可用量子数 m 相区别，它们组 成一个多重态。量子态可以按照它们在旋转下的变换性质 （或转动群的不可约表示）进行分类。
将不同动量的态相干叠加，得到波包。
波包是波和粒子之间的桥梁
x和p的最小测不准态是波包，它是最接近于经典的量子态。
相干态
我们熟悉的态
• 状态 a 补充：线性空间的直积与直和
取等号时波动性最弱，最接近粒子性。
不是希尔伯特空间中的对象
| a 与此相应，体系的力学希量算尔符也伯可特以按空照它间们中在旋的转下矢的量变换性质进行分类。
A A i1'i2'
i1'i1 i2'i2 i1i2 二阶张量，例如电极化率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i1i2
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则
成为张量算符。张量算符在空间转动下变换的规律与张量的
规律不同，
矢量算符的变换为 一阶张量算符的变换为
U†AkU RkiAi
i
k=1,2,3
λ=1，有 3λ = 3 个分量
|
|
1
2
AL
正则系综，玻尔兹曼分布
单根色据平 算面符波的是对动易量情的况本，征可态以，选两组表3 象基。
量子态可以按照它们在旋转下的变换性质（或转动群的不可约表示）进行分类。
最小测不准 --- 最接近经典
用群表示的语言来讲，对应于每一个转动U，有一个2j+1维的矩阵D(j)，称矩阵D(j)构成了转动群的2j+1维不可约表示。
(a)在一个坐标系中给出分量； (b)规定坐标变换时分量的变换规律。
x 例如， 有3个分量，表示为 x i , i=1,2,3. 空间转动下，其变换规律为
xi' Ai'i xi 一阶张量，也叫矢量，例如动量，角动量
i
i1 i 2 有9个分量，i1=1,2,3, i2=1,2,3. 空间转动下，