莱布尼兹定理
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律
动量定理（或称为莱布尼兹动量定理）是物理学中的一条基本定理，它说明了物体受
力时动量发生变化的定律，即在任何时刻点，物体动量的变化等于向物体施加的力的矢量积。
动量定理的数学公式可以表达为：
$$\vec{P}= \frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F_T}$$
其中，$P$ 代表物体的动量，$F_T$代表施加在物体上的外力，$p$代表物体的线速度，$t$代表时间。
从上式可以看出，动量的定义比较宽泛，除了物体的位置和速度外，还包括了力对物
体的作用，也就是动量改变的原因就是因为物体受力，所以又叫做力学定理。
在微分形式中，动量定理也可以写作：
动量定理的重要意义是：动量是物体受力变化的定律，这个定律蕴含着物体受力量变
化的定律，即动量守恒定律。
动量守恒定律是物理学中最基本也是最重要的定律，它非常宽泛地适用于物理学问题，它宣布了外力作用下物体总动量（包括质量和速度）保持不变。
即：
总动量 $$P_1 + P_2 + ...+ P_N = P_1^{'} + P_2^{'} + ...+ P_N^{'}$$
因此，当外力改变物体的总动量时，实际上就是通过物体内部各外力矢量积之和改
变物体的总动量。
动量守恒定律是一个强有力的物理定律，依照这个定律，动量的总和将
始终守恒不变。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿-莱布尼兹公式
= - cos x
cos x
= - ( - 1 - 1) (1 1) = 4 .
x, 例 4.设 f (x ) = x e ,
解：
0 x 1 1 x 3
3
， 求 ò f ( x ) dx 。
0
3
ò 0 f ( x ) dx
=
3
=
ò 0 f ( x ) dx ò 1
n n [1 (
n
) ]
2
n n [1 (
n n [1 ( n n ) ]
2
]
= lim
n®
i 2 n i = 1 [1 ( ) ] n
n
1
上 式 右 端 和 式 的 极 限 可 以 看 作 函 数 f (x ) =
[ 0 , 1 ] 上的定积分。将区间 [ 0 , 1 ] 等分为 n
若 x I ， 存 在 函 数F ( x ) ， 使 得
F ¢( x ) = f ( x )
（ 或 dF ( x ) = f ( x ) dx ） ，
则 称 F(x ) 为 f (x ) 在 I 上 的 一 个 原 函 数 。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的内 在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题， 从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。
解： S =
ò0
T
gtdt =
1 2
gt
2 T 0
=
1 2
gT
2
。
y = 0
例 3 ． 求 由 曲 线 y = sin x 和 直 线 x = 0 , x = 2 ,
所 围 成 的 面 积 A。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
考研数学必备公式之莱布尼兹(Leibniz)公式
五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。
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黄同学(女生)
本科院校：中国青年政治学院
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考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。
王少棠
本科学校：南开大学法学
录取学校：北大法学国际经济法方向第一名
总分：380+
4-3牛顿-莱布尼兹定理
x
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b ]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 上连续， 定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数 ， 且它的导
x
∆Φ lim = lim f (ξ ) ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0
∴ Φ′( x ) = f ( x ).
∆ x → 0, ξ → x
例1
∫cosex 求 lim
x →0
1
−t 2 2
dt
x
.
0 分析： 型不定式，应用洛必达法则. 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则 0 d 1 −t 2 d cos x − t 解 ∫cos x e dt = − dx ∫1 e dt , dx
Q Φ(a ) = ∫a f ( t )dt = 0 ⇒ F (a ) = C ,
Q F ( x ) − ∫a f ( t )dt = C , ∴
x
∫a
x
f ( t )dt = F ( x ) − F (a ),
令x (b) − F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
2
= − e −cos x ⋅ (cos x )′ = sin x ⋅ e
2
− cos 2 x
,
∫cos x e lim
x →0
变上限函数牛顿莱布尼兹公式
a
x
a
x
f ( t )dt .
这个定理说明：
在被积函数连续的条件下，变上限函数( x ) 的导数等于将被积函数 表达式中的变量记号 t改写为
牛顿
b
莱布尼兹公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
2 例 计算： x dx 0 1
x 解： x dx C 3 8
2
3
1 例 计算： 2 xdx
8 1
x 0 x dx 3
1 2
31 0
1 3
8 解： 2 dx [ln x ] 2 ln 8 ln 2 2 ln 2 x
x
[a , b]上确定了一个x的函数.
称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分) 记为 ( x ) f ( t )dt .
a x
y
y f ( x)
x [a , b ]
o
a
x x x b x
( x )
定理1 如果函数f ( x )在[a , b]上连续, 则变上限函数
例 计算
0
x cos dx. 2
2
x 解： 0 cos dx 2
2
0
1 cos x dx 2
1 2
0 (1 cos x ) dx
1 ( 0 dx 0 cos x dx ) 2 1 x 0 sin x 0 2
2
x4 例 计算 dx. 0 1 x2
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （ ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
五大圆幂定理
五大圆幂定理
欧拉-莱布尼兹大五角定理，又称为欧拉-莱布尼兹大五圆定理，是一个
被认为是数学史上最重要的定理之一。
它最初是由十七世纪的意大利
数学家拉斐尔·欧拉（L.Euler）提出的。
欧拉-莱布尼兹大五角定理犹如一颗闪耀着数学之光的明珠，它说明了
五角形内每个角度凑成三等分之和为1800度，这也被称为五角形角和
定理。
欧拉-莱布尼兹大五角定理的证明报告书可以归纳为以下五个主要结论：
1.几何定义：五角形是一个形状有五个角的多边形，每个角的面积都是一样的。
2.加和定理：五角形的五个角的面积加起来等于1800度。
3.三平分定理：五角形中每个角都可以分成三等份，每份等于600度。
4.对称定理：五角形的五个角都是对称的，形状也是对称的。
5.圆周定理：五角形的每个角必须满足360度的圆周定理，即每个角都
必须和圆周长度一样。
欧拉-莱布尼兹大五角定理由这五点概括，实际上它涵盖了五角形形状、加法、三平分、对称以及圆周的概念，因此它也被称为圆幂定理。
欧
拉-莱布尼兹的大五角定理，让我们看到了数学在自然界中的应用，也
成为数学家们进行数学研究的基础。
变上限函数6-3牛顿莱布尼兹公式
牛顿
莱布尼兹公式
01x2dx
x3 3
1
例
0
计算：8 1dx 2 x
解：
8 2
1 dx x
解：
x2dxx33
ห้องสมุดไป่ตู้
C
0
cos2
xdx 2
2 x 120(1coxs)dx
例计算 cos dx. 01c2osxdx
12(0dx0coxsd)x
0 2 1xsinx
20 0
解：
例计算 1 x4 dx.
根据这个 (定 x)理 axf(t)， d为 t 函 连数 续
f(x)在闭区[a间 ,b]上的一个原函数。
6-3牛顿—莱布尼兹公式
牛顿：英国数学家
莱布尼兹：
德国数学家
根据牛顿
莱布尼兹公式
牛顿（1642. 12. 25—1727. 3. 20）生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。
牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3 磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头
脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来最伟大的科 学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中科学著作6本 ，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从 代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近 论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在 从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”
6-2、变上限函数
记为
称它为变上限定积 分所确定的函数, (变上限定积分)
微积分基本定理的理解
微积分基本定理的理解
什么是微积分基本定理？
也叫牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
定义
如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则
理解
以路程与速度函数为例，速度在t1到t2时刻的定积分，就是路程函数在每一时刻的变化率，即
（通俗理解）则将t1时刻到t2时刻s(t)在每点的变化累积起来就是s(t)从t1时刻到t2时刻的变化，即：
s(t2)-s(t1).
推广到一般函数就是：
这就是微积公基本定理。
第二讲 牛顿-莱布尼茨公式
§5-3 牛顿－莱布尼兹公式
牛顿 Newton , lsaac
(1642~1727)
牛顿是他那时代的世界著 名的物理学家、数学家和天文学 家.关于微积分，牛顿总结了已 经由许多人发展了的思想，建立 起系统和成熟的方法，其最重要 的工作是建立了微积分基本定 理，指出微分与积分互为逆运算. 恩格斯在论述微积分产生过程 时说，微积分“是由牛顿和莱布 尼茨大体上完成的，但不是由他 们发明的”.在他写于 1671 年但 直到 1736 年他死后才出版的书 《流数法和无穷级数》中清楚地 陈述了微积分的基本问题.
42 3
5 3
2.
1
2 e2t dt
0
1
1 2
e2t
2
0
1 2
(e1
1)
3.
2 0
x 1 x
2
dx
1 2
21 0 1x2
d(1
x
2
)
1 2
ln(1
x2)
2 0
1 2
(ln 5 ln1)
1 2
ln 5
4.
dx 2 x2
1 x1
2 1
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2
s
in
3 2
3
x
2 0
2
s
in
3 2
3
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
legendre定理
legendre定理
莱布尼兹-勒让德定理(Legendre's theorem)是历史上第一个
定义数论的定理，也是数论中最重要的定理之
一。
它源于古希腊哲学家亚里士多德的一个发现，在18
世纪末由法国数学家和天文学家安德烈·莱布尼兹·勒让德提出。
它表明，任何一个正整数都可以表示为若干个质数的乘积，而且这种表示法只有一种。
莱布尼兹-勒让德定理可以用一句简单的话来概括：任何
正整数都可以用一系列质数的乘积表示，而且这种表示法且只有一种。
例如，36可以写成2×2×3×3的形式，而不能写成
2×2×2×3的形式，因为2和3都是质数，它们之间不能有其他
因子相乘。
莱布尼兹-勒让德定理可以用来检验一个数是否为质数，
因为如果一个数不能分解为若干个质数的乘积，那么它就是一个质数。
因此，只要把一个数分解成若干个质数的乘积，就可以判断这个数是否是质数。
莱布尼兹-勒让德定理的应用非常广泛，它不仅是数论的
基石，也可用于科学和工程计算中，因为它提供了一种有效的方法来判断一个数是否是质数。
此外，它还能用来计算两个给定数的最大公约数和最小公倍数，从而求解数学问题。
总之，莱布尼兹-勒让德定理是数论中最为重要的定理，它不仅是数论的基石，也为科学和工程计算提供了一种有效的方法，从而为计算数学问题提供了有力的帮助。
第二节 牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式[3页]
![第二节 牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式[3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/2c02153828ea81c759f57871.png)
(1)
(x) 叫做变上限定积分.
x
定理１ 若函数 f (x) 在区间 [a,b]上连续,则变上限定积分(x) f (t )dt 在 [a, b] a
上可导，并且它的导数等于被积函数,即
' (x) [ x f (t)dt]' f (x) a
x
由定理可知:如果函数 f (x) 在 [a, b] 上来连续，则变上限积分 (x) f (t )dt 就是 a
1 4
sin
2x
4
6
2 24 8
3；
(3)
1 ex 11 ex
dx
11 11 ex
d (1
ex
)
ln(1
ex )
1 1
1
【例 6】 计算
2 2
x 1 dx 。
0 1 x2
解
2 2
x 1 dx
2 2
x
2
dx 2
1
dx
0 1 x2
0 1 x2
0 1 x2
1
2 2
1
2
d (1 x2 ) 2
第二节 牛顿－莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式 Formula of Newton-Leibniz
教学目的: 了解变上限定积分的概念和性质;熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式. 内 容: 变上限定积分;牛顿-莱布尼兹公式 教学重点: 变上限定积分的概念和性质;牛顿-莱布尼兹公式 教学难点: 牛顿-莱布尼兹公式的应用 教学方法: 精讲:变上限定积分;多练:用牛顿-莱布尼兹公式求定积分. 教学内容:
一、变上限定积分
设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续,对任意的 x [a,b] ， f (x) 在[a, x] 上也连续.所以函