2018届高考数学(理)热点题型:数列(含答案)
高考真题汇编理科数学解析版4:数列.doc
2018高考真题分类汇编:数列一、选择题1.【2018高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ,54=a ,所以64251=+=+a a a a ,所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2018高考真题浙江理7】设n S 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和,则下列命题错误的是A.若d <0,则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项,则d <0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列,则对任意*N n ∈,均有0>n S D. 若对任意*N n ∈,均有0>n S ,则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n }是递增数列,但是S n >0不成立.故选C 。
3.【2018高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列,所以87465-==a a a a ,又274=+a a ,所以2474-==a a ,或4274=-=a a ,.若2474-==a a ,,解得18101=-=a a ,,7101-=+a a ;若4274=-=a a ,,解得18110=-=a a ,,仍有7101-=+a a ,综上选D.4.【2018高考真题上海理18】设25sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在10021,,,S S S 中,正数的个数是( )A .25B .50C .75D .100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时,n a >0,当26≤n ≤49时,n a <0,但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值,当51≤n ≤74时,n a >0,当76≤n ≤99时,n a <0,但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值,∴当1≤n ≤100时,均有n S >0。
2018年高考数学(理)—— 专题四 数列
核心知识
考点精题
-9-
对点训练2已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明数列 ������������ + (2)证明
1 2
1 2
是等比数列,并求{an}的通项公式;
1 ������ ������
1
������ 1
+
3 2
1 ������ 2
+…+
< .
2
1 2 1 2
3
证明 (1)由 an+1=3an+1,得 an+1+ =3 ������������ + 又 a1+ = ,所以 ������������ +
核心知识
考点精题
-3-
(3)由已知得 bn=2������ ������ ,
������ ������ +1 ������������
=
2������ ������ +1 2������ ������ ������1
= 2������ ������ +1 -������ ������ =23=8,
解 (1)a1=S1=5,a1+a2=S2= ×22+ ×2=13,解得 a2=8. (2)当 n≥2
3 2 7 2 2 2 3 2 7 2 时,an=Sn-Sn-1= [n -(n-1) ]+ [n-(n-1)] 2 2
3
7
= (2n-1)+ =3n+2.
又a1=5满足an=3n+2,所以an=3n+2. 因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3, 所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列.
2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥,{}012B =,,,则A B = A .{}0B .{}1C .{}12,D .{}012,,2.()()1i 2i +-=A .3i--B .3i-+C .3i-D .3i+3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若1sin 3α=,则cos 2α=A .89B .79C .79-D .89-5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A .10B .20C .40D .806.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是A .[]26,B .[]48,C .D .⎡⎣7.函数422y x x =-++的图像大致为8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()()46P X P X =<=,则p =A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3C .π4D .π610.设A B C D ,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为A .B .C .D .11.设12F F ,是双曲线22221x y C a b-=:(00a b >>,)的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1PF =,则C 的离心率为A B .2C D12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab+<<D .0ab a b<<+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量()=1,2a ,()=2,2-b ,()=1,λc .若()2∥c a +b ,则λ=________.14.曲线()1e x y ax =+在点()01,处的切线的斜率为2-,则a =________.15.函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π,的零点个数为________.16.已知点()11M -,和抛物线24C y x =:,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB =︒∠,则k =________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.学科.网(一)必考题:共60分.17.(12分)等比数列{}n a 中,15314a a a ==,.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M 是 CD 上异于C ,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,.(1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0 .证明:FA ,FP ,FB成等差数列,并求该数列的公差.21.(12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >;(2)若0x =是()f x 的极大值点,求a .(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0-,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)设函数()211f x x x =++-.(1)画出()y f x =的图像;(2)当[)0x +∞∈,,()f x ax b +≤,求a b +的最小值.参考答案:123456789101112CDA B CADBCBCB13.1214.3-15.316.217.(12分)解:(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去),2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-,此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21nn S =-.由63m S =得264m =,解得6m =.综上,6m =.18.(12分)解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知7981802m +==.列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(12分)解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为 CD上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .又BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点,DA的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时,M 为 CD的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ,(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩可取(1,0,2)=n .DA是平面MCD 的法向量,因此cos ,5||||DADA DA ⋅==n n n ,25sin ,5DA = n ,所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255.20.(12分)解:(1)设1221(,),(,)A y x y x B ,则222212121,14343y x y x +=+=.两式相减,并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=.由题设知12121,22x y x y m ++==,于是34k m=-.①由题设得302m <<,故12k <-.(2)由题意得(1,0)F ,设33(,)P x y ,则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由(1)及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而3(1,2P -,3||2FP = .于是1||22x FA ===- .同理2||22xFB =- .所以121||||4()32FA FB x x +=-+= .故2||||||FP FA FB =+ ,即||,||,||FA FP FB成等差数列.设该数列的公差为d ,则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-= .②将34m =代入①得1k =-.所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==,代入②解得321||28d =.所以该数列的公差为28或28-.21.(12分)解:(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1xf x x x'=+-+.设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+,则2()(1)x g x x '=+.当10x -<<时,()0g x '<;当0x >时,()0g x '>.故当1x >-时,()(0)0g x g ≥=,且仅当0x =时,()0g x =,从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=.所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >.(2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.(ii )若0a <,设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++.由于当||min{x <时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同.又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>,则当6104a x a +<<-,且||min{x <时,()0h x '>,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则224610a x ax a +++=存在根10x <,故当1(,0)x x ∈,且||min{x <时,()0h x '<,所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=,则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '>;当(0,1)x ∈时,()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点综上,16a =-.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=.当2απ=时,l 与O 交于两点.当2απ≠时,记tan k α=,则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当|1<,解得1k <-或1k >,即(,42αππ∈或(,)24απ3π∈.综上,α的取值范围是(,)44π3π.(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,44απ3π<<).设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t满足2sin 10t α-+=.于是A B t t α+=,P t α=.又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2sin 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<).23.[选修4—5:不等式选讲](10分)11【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示.(2)由(1)知,()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当3a ≥且2b ≥时,()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立,因此a b +的最小值为5.。
2018年高考压轴题之数列含答案
2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=13,S m =0,S m +1=-15,其中m ∈N *且m ≥2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.6132.(2017·保定模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -6,x ≤10,a x -9,x >10,若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.⎣⎡⎭⎫2411,33.在数列{a n }中,a n >0,a 1=12,如果a n +1是1与2a n a n +1+14-a 2n 的等比中项,那么a 1+a 222+a 332+a 442+…+a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.991004.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d >0,且a 2,a 5-1,a 10成等比数列,若a 1=5,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n +n +32a n +1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.1735.已知函数f (x )=x 2+(a +8)x +a 2+a -12,且f (a 2-4)=f (2a -8),设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),若S n =f (n ),则S n -4aa n -1的最小值为( )A.276B.358C.143D.3786.设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.1217.抛物线x 2=12y 在第一象限内图象上的一点(a i ,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i +1,其中i ∈N *,若a 2=32,则a 2+a 4+a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.648.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=a n a n +2(n ∈N *).若b n +1=(n -2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n +1(n ∈N *),b 1=-λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( ) A.λ>23 B.λ>32 C.λ<32 D.λ<239.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 01710.已知[)x 表示大于x 的最小整数,例如[)3=4,[)-1.3=-1,下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )=[)x -x 的值域是(]0,1;②若{a n }是等差数列,则{}[)a n 也是等差数列; ③若{a n }是等比数列,则{}[)a n 也是等比数列; ④若x ∈(1,2 014),则方程[)x -x =12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④11.数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-6n ,则a 2=________;数列{}||a n 的前10项和||a 1+||a 2+…+||a 10=________.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列,且a 2 013+a 2 015=ʃ204-x 2d x ,则a 2 014(a 2 012+2a 2 014+a 2 016)的值为______.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }是等比数列,且满足a 1=3,b 1=1,b 2+S 2=10,a 5-2b 2=a 3,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ,若T n <M 对一切正整数n 都成立,则M 的最小值为__________.14.设S n ,T n 分别为等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n =3n +24n +5.设点A 是直线BC 外一点,点P 是直线BC 上一点,且AP →=a 1+a 4b 3·AB →+λ·AC →,则实数λ的值为________.2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=13,S m =0,S m +1=-15,其中m ∈N *且m ≥2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析 由题意可得a m =S m -S m -1=-13,a m +1=S m +1-S m =-15,d =a m +1-a m =-2, 由S m =ma 1+m (m -1)d 2=0可得a 1-m =-1,又a m =a 1+(m -1)d =-13,可得a 1-2m =-15,a 1=13,m =14,a n =15-2n , 故T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1-1a 2+⎝⎛⎭⎫1a 2-1a 3+…+⎝⎛⎭⎫1a n -1a n +1 =-12⎝⎛⎭⎫113-113-2n =-126+12(13-2n ),可知当n =6时,T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -6,x ≤10,a x -9,x >10,若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.⎣⎡⎭⎫2411,3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3-a >0,a >1,(3-a )×10-6<a 11-9,解得2<a <3,故选C.3.在数列{a n }中,a n >0,a 1=12,如果a n +1是1与2a n a n +1+14-a 2n 的等比中项,那么a 1+a 222+a 332+a 442+…+a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意,得a 2n +1=2a n a n +1+14-a 2n, 所以a 2n +1a 2n +2a n a n +1+1=4a 2n +1,(a n +1a n +1)2=4a 2n +1,所以a n +1a n +1=2a n +1,即a n +1=12-a n ,由a 1=12,得a 2=23,a 3=34,…,a n =n n +1,所以a n n 2=1n (n +1)=1n -1n +1,a 1+a 222+a 332+…+a 1001002=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1100-1101=100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d >0,且a 2,a 5-1,a 10成等比数列,若a 1=5,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n +n +32a n +1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2,a 5-1,a 10成等比数列,所以(a 5-1)2=a 2·a 10,(a 1+4d -1)2=(a 1+d )·(a 1+9d ),解得d =3,所以2S n +n +32a n +1=3n 2+8n +323n +3=13⎣⎡⎦⎤3(n +1)+27n +1+2≥203,当且仅当n =2时“=”成立.5.已知函数f (x )=x 2+(a +8)x +a 2+a -12,且f (a 2-4)=f (2a -8),设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),若S n =f (n ),则S n -4aa n -1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析 由题意可得a 2-4=2a -8或a 2-4+2a -8=2×⎝⎛⎭⎫-a +82,解得a =1或a =-4.当a =1时,f (x )=x 2+9x -10,数列{a n }不是等差数列; 当a =-4时,f (x )=x 2+4x ,S n =f (n )=n 2+4n , ∴a 1=5,a 2=7,a n =5+(7-5)(n -1)=2n +3,∴S n -4a a n -1=n 2+4n +162n +2=12×(n +1)2+2(n +1)+13n +1=12×⎣⎡⎦⎤(n +1)+13n +1+2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n +1)×13n +1+2=13+1, 当且仅当n +1=13n +1,即n =13-1时取等号,∵n 为正整数,故当n =3时原式取最小值378,故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3, 因为a 1=1,所以22a 1+d =a 1+3a 1+3d , 化简可得d =2a 1=2,所以a n =1+(n -1)×2=2n -1, S n =n +n (n -1)2×2=n 2,所以S n +10a 2n =(n +10)2(2n -1)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫n +102n -12=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n -1)+2122n -12=14⎝⎛⎭⎫1+212n -12≤121. 7.抛物线x 2=12y 在第一象限内图象上的一点(a i ,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i +1,其中i ∈N *,若a 2=32,则a 2+a 4+a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2=12y 可化为y =2x 2,y ′=4x 在点(a i ,2a 2i 处的切线方程为y -2a 2i =4a i (x -a i ),所以切线与x 轴交点的横坐标为a i +1=12a i ,所以数列{a 2k }是以a 2=32为首项,14为公比的等比数列,所以a 2+a 4+a 6=32+8+2=42,故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=a n a n +2(n ∈N *).若b n +1=(n -2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n +1(n ∈N *),b 1=-λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( ) A.λ>23 B.λ>32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n +1=a n a n +2⇒1a n +1=2a n +1⇒1a n +1+1=2⎝⎛⎭⎫1a n +1⇒1a n +1=⎝⎛⎭⎫1a 1+1·2n -1=2n, ∴b n +1=(n -2λ)·2n ,∵数列{b n }是单调递增数列,∴当n ≥2时,b n +1>b n ⇒(n -2λ)·2n >(n -1-2λ)·2n -1⇒n >2λ-1⇒2>2λ-1⇒λ<32;当n =1时,b 2>b 1⇒(1-2λ)·2>-λ⇒λ<23,因此λ<23,故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环, n =1,s =24×12-1,第二次循环, n =2,s =24×12-1+24×22-1, 直至n =1 008, s =24×12-1+24×22-1+…+24×1 0082-1,结束循环,输出s =24×12-1+24×22-1+…+24×1 0082-1 =12×1-1-12×1+1+12×2-1-12×2+1+…+12×1 008-1-12×1 008+1=11-13+13+15+…+12 015-12 017=1-12 017=2 0162 017,故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数,例如[)3=4,[)-1.3=-1,下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )=[)x -x 的值域是(]0,1;②若{a n }是等差数列,则{}[)a n 也是等差数列; ③若{a n }是等比数列,则{}[)a n 也是等比数列; ④若x ∈(1,2 014),则方程[)x -x =12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时, [)x =x +1,f (x )=[)x -x =x +1-x =1; 当x ∉Z 时,令x =n +a ,n ∈Z ,a ∈(0,1),则[)x =n +1,f (x )=[)x -x =1-a ∈(0,1),因此f (x )=[)x -x 的值域是(]0,1;0.9,1,1.1是等差数列,但[)0.9=1,[)1=2,[)1.1=2不成等差数列; 0.5,1,2是等比数列,但[)0.5=1,[)1=2,[)2=3不成等比数列;由前分析可得当x ∈Z 时, f (x )=1;当x ∉Z ,x =n +a ,n ∈Z ,a ∈(0,1)时, f (x )=1-a =1-(x -n )=n +1-x ,所以f (x +1)=f (x ) ,即f (x )=[)x -x 是周期为1的函数,由于x ∈(1,2)时f (x )=2-x =12,x =32,即一个周期内有一个根,所以若x ∈()1,2 014,则方程[)x -x =12有2 013个根. ①④正确,故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-6n ,则a 2=________;数列{}||a n 的前10项和||a 1+||a 2+…+||a 10=________. 答案 -3 58解析 当n =1时,a 1=S 1=-5,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-6n -(n -1)2+6(n -1)=2n -7, ∴a 2=2×2-7=-3,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=5+3+1+1+3+…+13=9+1+132×7=9+49=58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列,且a 2 013+a 2 015=ʃ204-x 2d x ,则a 2 014(a 2 012+2a 2 014+a 2 016)的值为______. 答案 π2解析 因为ʃ204-x 2d x =π, 所以a 2 013+a 2 015=ʃ204-x 2d x =π,则a 2 014(a 2 012+2a 2 014+a 2 016)=a 2 014a 2 012+2a 22 014+a 2 014a 2 016=a 22 013+2a 2 013a 2 015+a 22 015=(a 2 013+a 2 015)2=π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }是等比数列,且满足a 1=3,b 1=1,b 2+S 2=10,a 5-2b 2=a 3,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ,若T n <M 对一切正整数n 都成立,则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q +6+d =10,2d =2q ,解得d =q =2,所以a n =2n +1,b n =2n -1,则a n b n =2n +12n -1,故T n =3×120+5×121+7×122+…+(2n +1)×12n -1,由此可得12T n =3×121+5×122+7×123+…+(2n +1)×12n ,以上两式两边错位相减可得12T n =3+2⎝⎛⎭⎫121+122+123+…+12n -1-(2n +1)×12n =3+2-12n -2-2n +12n ,即T n =10-12n -3-2n +12n -1,故当n →+∞时, 12n -3→0,2n +12n -1→0,此时T n →10,所以M 的最小值为10.14.设S n ,T n 分别为等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n =3n +24n +5.设点A 是直线BC 外一点,点P 是直线BC 上一点,且AP →=a 1+a 4b 3·AB →+λ·AC →,则实数λ的值为________.答案 -325解析 不妨取S n =3n 2+2n ,T n =4n 2+5n ,当n =1时,a 1=S 1=5,当n ≥2时, a n =S n -S n -1=6n -1,验证得n =1上式成立.综上,a n =6n -1, 同理可得b n =8n +1⇒a 1+a 4b 3=2825.AP →=AB →+BP →=AB →+λBC →=AB →+λ(AC →-AB →)=(1-λ)AB →+λAC →=2825AB →+λ·AC →⇒1-λ=2825,λ=-325.。
【高三数学试题精选】2018高考理科数学数列总复习题(含答案)
c.640 D.641
解析由已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1可得,Sn-Sn-1=2,∴{Sn}是以1为首项,2为差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选c
答案c
5.(2018年长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,都有f(x )=f(x)+f(),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an为( )
∴an=4+b,n=1,3 4n-1,n≥2
综上可知当b=-1时,an=3 4n-1;
当b≠-1时,an=4+b,n=1,3 4n-1,n≥2xb1
11.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项式.
解析(1)由已知{an}满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2),
A.2n-1 B.n
c.2n-1 D32n-1
解析由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,比为32的等比数列,∴an=32n-1
当n=1时,1=a1=3×12-12=1,
∴数列{an}的通项式an=3n2-n2
12.(能力提升)(2018年合肥质检)已知数列{an}满足a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2).
(1)求数列{an}的通项式;
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000?
(精品)2018高考全国3卷理科数学带答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}|10A x x =-≥,{}012B =,,,则A B =I A .{}0 B .{}1C .{}12,D .{}012,, 2.()()1i 2i +-= A .3i --B .3i -+C .3i -D .3i +3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若1sin 3α=,则cos2α=A .89B .79C .79-D .89-5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A .10B .20C .40D .806.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是 A .[]26,B .[]48,C .232⎡⎤⎣⎦,D .2232⎡⎤⎣⎦, 7.函数422y x x =-++的图像大致为8.某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()()46P X P X =<=,则p =A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C = A .π2 B .π3 C .π4 D .π610.设A B C D ,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC ∆为等边三角形且其面积为93三棱锥D ABC -体积的最大值为A .123B .183C .243D .54311.设12F F ,是双曲线22221x y C a b-=:(00a b >>,)的左,右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若16PF OP =,则C 的离心率为 A 5B .2C 3D 212.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)
可得
3a1
13d
16
,从而
a1
1,
d
1 ,故
an
n
,所以,
Sn
nn 1
2
.
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(2)由(1),有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ,由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ,
二、填空 1.(2018 北京理)设 an 是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则 an 的通项公式为__________.
1.【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 , 3 d 3 4d 36 , d 6 ,an 3 6n 1 6n 3 .
2.(2018 江苏)已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} , B {x | x 2n , n N*} .将 A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{an} .记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和,则使得 Sn 12an1 成立的 n 的 最小值为 ▲ .
7 21
11 22
4n 5 2n2
,
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
,
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5.(2018 天津文)设{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于 0,其 前 n 项和为 Tn(n∈N*).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (Ⅰ)求 Sn 和 Tn; (Ⅱ)若 Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值.
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5.00分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5.00分)(1+i)(2﹣i)=()A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i3.(5.00分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A. B. C. D.4.(5.00分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣ D.﹣5.(5.00分)(x2+)5的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.806.(5.00分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5.00分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()A.B.C.D.8.(5.00分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.39.(5.00分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.(5.00分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5411.(5.00分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2 C.D.12.(5.00分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018全国三卷理科数学高中高考真题包括答案.doc
精品文档2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A x | x 1≥ 0 , B 0 ,1,2 ,则 A BA .0B.1C.1,2D.0,1,22.1i 2 iA . 3 i B. 3 i C.3i D.3i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若 sin 1,则 cos2 3A .8B.7C.7 D.8 9 9 9 955. x2 2 的展开式中 x 4 的系数为xA .10 B. 20 C. 40 D. 806.直线 x y 2 0 分别与 x 轴,y轴交于A,B两点,点P在圆x22 上,则△ABP面积的取值范围2y2是A .2,6 B.4,8 C. 2 ,3 2 D. 2 2 ,3 2 7.函数y x4 x2 2 的图像大致为8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, DX 2.4 , P X 4P X 6 ,则 pA .0.7B . 0.6C . 0.4D . 0.3222. △ABC 的内角 A , B , 的对边分别为 a , b , c ,若 △ ABC 的面积为 a bc,则 C9 C 4A . πB . πC . πD . π 234610.设 A ,B ,C , D 是同一个半径为4 的球的球面上四点, △ ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ,则三棱锥D ABC 体积的最大值为A . 12 3B . 18 3C . 24 3D . 54 311.设 F 1 ,F 2x 2 y 20,b 0 )的左,右焦点, O 是坐标原点.过 F 2 作 C 的一条渐近线的是双曲线 C : 22 1 ( aa b垂线,垂足为 P .若 PF 16 OP ,则 C 的离心率为A . 5B . 2C . 3D . 212.设 a log 0.2 0.3 , b log 2 0.3 ,则A . a b ab 0B . ab a b 0C . a b 0 abD . ab 0 a b二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
2018--2020年高考数学试题分类汇编数列附答案详解
2018--2020年⾼考数学试题分类汇编数列附答案详解2018---2020年⾼考数学试题分类汇编数列⼀、选择题.1、(2018年⾼考全国卷1理科4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=()A .﹣12B .﹣10C .10D .12答案:B解析:∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和,3S 3=S 2+S 4,a 1=2,∴=a 1+a 1+d +4a 1+d ,把a 1=2,代⼊得d=﹣3 ∴a 5=2+4×(﹣3)=﹣10.故选:B .2、(2019年⾼考全国I 卷理科9)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 答案:A解析:有等差数列的性质可知54,0641514=+==+=d a a d a S ,解得2,31=-=d a所以52,42-=-=n a n n S n n ,故选A 。
3、(2019年⾼考全国III 卷理科5⽂科6)已知各项均为正数的等⽐数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=A . 16B . 8C .4D . 2答案:C解析:由题意有154=S ,即151)1(414=--=qq a S 由题意有a 5=3a 3+4a 1,即1214143a q a q a +=,故 (q 2-4)(q 2+1)=0因为各项均为正数,所以q>0,所以q=2将q=2代⼊151)1(414=--=qq a S .得a 1=1、所以43=a 故选C 4、(2019年⾼考全国III 卷⽂理科9)执⾏下边的程序框图,如果输⼊的ε为0.01,则输出s 的值等于 A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-答案:C解析:等⽐数列前n 项和,0,1==s x 不满⾜01.0s x 不满⾜01.011,41+==s x 不满⾜01.01....41211,1281++++==s x 满⾜01.05、(2019年⾼考北京卷理科2⽂科4)执⾏如图所⽰的程序框图,输出的s 值为(A )1(B )2(C )3(D )4 答案:B解析:k=1,s=1, s=2212312?=?-,k<3,故执⾏循环体k=1+1=2,2222322s ?==?-;此时k=2<3,故继续执⾏循环体k=3,2222322s ?==?-,此时k=3,结束循环,输出s=2.故答案为:B.6、(2019年⾼考浙江卷10)设,a b R ∈,数列{}n a 中1a a =,21n n a a b +=+,21n n a a b +=+,则()A.当12b =时,1010a > B.当14b =时,1010a >C.当2b =-时,1010a >D.当2b =-时,1010a > 答案:A解答:选项B :不动点满⾜2211()042x x x -+=-=,如图,若11(0,)2a a =∈,12n a <,排除;如图若a 为不动点12,则12n a =;选项C :不动点满⾜22192()024x x x --=--=,不动点为2x =,令2a =,则210n a =<,排除;选项D :不动点满⾜221174()024x x x --=--=,不动点为1712x =,令1712a =,则171102n a =<,排除;选项A :证明:当12b =时,2211122a a =+≥,2321324a a =+≥,2431171216a a =+≥≥,处理⼀:可依次迭代到n a ;处理⼆:当4n ≥时,221112n n n a a a +=+≥≥,则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>?>,则1217()(4)16n n a n +≥≥,则641022617164(64631 1114710161616210()6a ?≥=+=++?+>++>,故选A.7、(2020?北京卷)在等差数列{}n a 中,19a =-,31a =-.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T (). A. 有最⼤项,有最⼩项 B. 有最⼤项,⽆最⼩项 C. ⽆最⼤项,有最⼩项 D. ⽆最⼤项,⽆最⼩项答案:B解:由题意可知,等差数列的公差511925151a a d --+===--,则其通项公式为:()()11912211n a a n d n n =+-=-+-?=-,注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<,且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈,由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最⼩项,由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=,故数列{}n T 中的正项只有有限项:263T =,46315945T =?=.故数列{}n T 中存在最⼤项,且最⼤项为4T .故选:B.8、(2020?全国2卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中⼼有⼀块圆形⽯板(称为天⼼⽯),环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环,向外每环依次增加9块,下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层⽐中层多729块,则三层共有扇⾯形⽯板(不含天⼼⽯)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块答案:C解:设第n 环天⽯⼼块数为n a ,第⼀层共有n 环,则{}n a 是以9为⾸项,9为公差的等差数列,9(1)99n a n n =+-?=,设n S 为{}n a 的前n 项和,则第⼀层、第⼆层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --,因为下层⽐中层多729块,所以322729n n n n S S S S -=-+,即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+即29729n =,解得9n =,所以32727(9927)34022n S S +?===. 故选:C9、(2020?全国2卷)数列{}n a 中,12a =,m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:C解:在等式m n m n a a a +=中,令1m =,可得112n n n a a a a +==,12n na a +∴=,所以,数列{}n a 是以2为⾸项,以2为公⽐的等⽐数列,则1222n nn a -=?=,()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++?-?-∴+++===-=---,1522k +∴=,则15k +=,解得4k =.故选:C.10、(2020?全国2卷)0-1周期序列在通信技术中有着重要应⽤.若序列12na a a 满⾜{0,1}(1,2,)i a i ∈=,且存在正整数m ,使得(1,2,)i m i a a i +==成⽴,则称其为0-1周期序列,并称满⾜(1,2,)i m i a a i +==的最⼩正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ,11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满⾜1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是()A. 11010B. 11011C. 10001D. 11001答案:C解:由i m i a a +=知,序列i a 的周期为m ,由已知,5m =,511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑,对于选项A ,511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满⾜;对于选项B ,51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满⾜;对于选项D ,51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满⾜;故选:C⼆、填空题.1、(2018年⾼考全国卷1理科14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= ﹣63 .答案:63-解析:S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =2a n +1,①当n=1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=﹣1,当n ≥2时,S n ﹣1=2a n ﹣1+1,②,由①﹣②可得a n =2a n ﹣2a n ﹣1,∴a n =2a n ﹣1,∴{a n }是以﹣1为⾸项,以2为公⽐的等⽐数列,∴S 6==﹣63,故答案为:﹣632、(2018年⾼考北京卷理科9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 a n =6n ﹣3 .解:∵{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,∴,解得a 1=3,d=6,∴a n =a 1+(n ﹣1)d=3+(n ﹣1)×6=6n ﹣3.∴{a n }的通项公式为a n =6n ﹣3.故答案为:a n =6n ﹣3.3、(2018年⾼考浙江卷10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等⽐数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3),若a 1>1,则()A .a 1<a 3,a 2<a 4B .a 1>a 3,a 2<a 4C .a 1<a 3,a 2>a 4D .a 1>a 3,a 2>a 4【解答】解:a 1,a 2,a 3,a 4成等⽐数列,由等⽐数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同, a 1>1,设公⽐为q ,当q >0时,a 1+a 2+a 3+a 4>a 1+a 2+a 3,a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3),不成⽴,即:a 1>a 3,a 2>a 4,a 1<a 3,a 2<a 4,不成⽴,排除A 、D .当q=﹣1时,a 1+a 2+a 3+a 4=0,ln (a 1+a 2+a 3)>0,等式不成⽴,所以q ≠﹣1;当q <﹣1时,a 1+a 2+a 3+a 4<0,ln (a 1+a 2+a 3)>0,a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)不成⽴,当q ∈(﹣1,0)时,a 1>a 3>0,a 2<a 4<0,并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3),能够成⽴,故选:B .4、(2019年⾼考全国I 卷⽂科14)记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==,,则S 4=___________.答案:85 解析:设数列的公⽐为q ,则有43123213=++=++=q q a a a S 解得21-=q ,所以854=S 5、(2019年⾼考全国I 卷理科14)记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和.若214613a a a ==,,则S 5=____________.答案:3121解析:由624a a =得51621q a q a =,解得3=q ,所以31211)1(515=--=q q a S6、(2019年⾼考全国III 卷理科14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,12103a a a =≠,,则105S S =___________. 答案:4解析:因为,312a a =所以1a +,13a d =即d a =12,则()()4215211051101510=?+?+=a a a a S S 7、(2019年⾼考全国III 卷⽂科14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若375,13a a ==,则10S =___________.答案:100解析:由题意得136,521713=+==+=d a a d a a ,解得2,11==d a 所以100291010110=?+=d a S8、(2019年⾼考北京卷理科10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-3,S 5=-10,则a 3= ________ . S n 的最⼩值为_______。
(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。
B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。
2018版高考数学理人教大一轮复习讲义教师版文档第六章
1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·q n -1.3.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0,0<q <1时,{a n }是递增数列.(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0,q >1时,{a n }是递减数列.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0,q =1时,{a n }为常数列.(4)当q <0时,{a n }为摆动数列. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( × )1.(教材改编)已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q 等于( )A .-12B .-2C .2 D.12答案 D解析 由题意知q 3=a 5a 2=18,∴q =12.2.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7等于( ) A .21 B .42 C .63 D .84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,得3(1+q 2+q 4)=21,解得q 2=-3(舍去)或q 2=2,于是a 3+a 5+a 7=q 2(a 1+a 3+a 5)=2×21=42,故选B. 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6等于( ) A .31 B .32 C .63 D .64 答案 C解析 根据题意知,等比数列{a n }的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),即122=3×(S 6-15),解得S 6=63.故选C.4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ,由题意知,243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.5.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2=________.答案 -11解析 设等比数列{a n }的公比为q , ∵8a 2+a 5=0,∴8a 1q +a 1q 4=0. ∴q 3+8=0,∴q =-2,∴S 5S 2=a 1(1-q 5)1-q ·1-q a 1(1-q 2)=1-q 51-q 2=1-(-2)51-4=-11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2等于( )A .2B .1 C.12 D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S na n =________.答案 (1)C (2)2n -1解析 (1)由{a n }为等比数列,得a 3a 5=a 24,又a 3a 5=4(a 4-1),所以a 24=4(a 4-1), 解得a 4=2.设等比数列{a n }的公比为q , 则由a 4=a 1q 3,得2=14q 3,解得q =2,所以a 2=a 1q =12.故选C.(2)∵⎩⎨⎧a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,∴⎩⎨⎧a 1+a 1q 2=52, ①a 1q +a 1q 3=54, ②由①除以②可得1+q 2q +q 3=2,解得q =12,代入①得a 1=2,∴a n =2×(12)n -1=42n ,∴S n =2×[1-(12)n ]1-12=4(1-12n ),∴S na n =4(1-12n )42n=2n -1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 答案 (1)B (2)3n -1解析 (1)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9q =-13(舍去),∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=4(1-125)1-12=314.(2)由3S 1,2S 2,S 3成等差数列知,4S 2=3S 1+S 3, 可得a 3=3a 2,所以公比q =3, 故等比数列通项a n =a 1q n -1=3n -1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由a 1=1及S n +1=4a n +2, 得a 1+a 2=S 2=4a 1+2. ∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2(n ≥2), ② 由①-②,得a n +1=4a n -4a n -1(n ≥2), ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1)(n ≥2). ∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1(n ≥2), 故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1,∴a n +12n +1-a n 2n =34, 故{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列. ∴a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14, 故a n =(3n -1)·2n -2.引申探究若将本例中“S n +1=4a n +2”改为“S n +1=2S n +(n +1)”,其他不变,求数列{a n }的通项公式. 解 由已知得n ≥2时,S n =2S n -1+n . ∴S n +1-S n =2S n -2S n -1+1, ∴a n +1=2a n +1,∴a n +1+1=2(a n +1),n ≥2,(*)又a 1=1,S 2=a 1+a 2=2a 1+2,即a 2+1=2(a 1+1), ∴当n =1时(*)式也成立,故{a n +1}是以2为首项,以2为公比的等比数列, ∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n -1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n =1时的情况进行验证.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明:{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明:1a 1+1a 2+…+1a n <32.证明 (1)由a n +1=3a n +1,得a n +1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列.所以a n +12=3n2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12.(2)由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1.于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32, 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=12,则S 9S 3=________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5, 所以a 10a 11=e 5.所以ln a 1+ln a 2+…+ln a 20 =ln(a 1a 2…a 20)=ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] =ln(a 10a 11)10=10ln(a 10a 11) =10ln e 5=50ln e =50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3=1∶2,∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1(1-q 6)1-q ÷a 1(1-q 3)1-q=12,得q 3=-12,∴S 9S 3=1-q 91-q 3=34. 方法二 ∵{a n }是等比数列,且S 6S 3=12,∴公比q ≠-1,∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6), 将S 6=12S 3代入得S 9S 3=34.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)已知在等比数列{a n }中,a 1a 4=10,则数列{lg a n }的前4项和等于( )A .4B .3C .2D .1(2)设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9等于( ) A.18 B .-18C.578D.558答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4=lg a 1+lg a 2+lg a 3+lg a 4=lg(a 1a 2a 3a 4),又∵等比数列{a n }中,a 2a 3=a 1a 4=10, ∴S 4=lg 100=2.(2)因为a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,且公比不等于-1,在等比数列中,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即8,-1,S 9-S 6成等比数列,所以有8(S 9-S 6)=(-1)2,S 9-S 6=18,即a 7+a 8+a 9=18.13.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:S n +1S n ≤136(n ∈N *).思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q , 因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4, 可得2a 4=-a 3,于是q =a 4a 3=-12.[2分]又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知,S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n , S n +1S n=1-⎝⎛⎭⎫-12n +11-⎝⎛⎭⎫-12n=⎩⎨⎧2+12n (2n+1),n 为奇数,2+12n(2n-1),n 为偶数.[6分]当n 为奇数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.[8分]当n 为偶数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512.[10分]故对于n ∈N *,有S n +1S n ≤136.[12分]1.在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 3=2-1,a 5=2+1,则a 23+2a 2a 6+a 3a 7等于( ) A .4 B .6 C .8 D .8-4 2答案 C解析 在等比数列中,a 3a 7=a 25,a 2a 6=a 3a 5,所以a 23+2a 2a 6+a 3a 7=a 23+2a 3a 5+a 25=(a 3+a 5)2=(2-1+2+1)2=(22)2=8.2.(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中,若a 1<0,a 2=18,a 4=8,则公比q 等于( ) A.32 B.23 C .-23D.23或-23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =18,a 1q 3=8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=27,q =23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-27,q =-23. 又a 1<0,因此q =-23.3.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n 等于( ) A .12 B .13 C .14 D .15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12, 可得q 9=3,a n -1a n a n +1=a 31q3n -3=324, 因此q 3n -6=81=34=q 36,所以n =14,故选C.*4.(2015·福建)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0,q >0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p +q 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 答案 D解析 由题意知:a +b =p ,ab =q ,∵p >0,q >0,∴a >0,b >0.在a ,b ,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a ,b ,-2;b ,a ,-2;-2,a ,b ;-2,b ,a ;成等比数列的情况有a ,-2,b ;b ,-2,a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab =4,2b =a -2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab =4,2a =b -2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =4.∴p =5,q =4,∴p +q =9,故选D.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .192里B .96里C .48里D .24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q =12,依题意有a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,则a 2=192×12=96,即第二天走了96里,故选B.6.(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5=3π,则sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32C .1D .-32答案 B解析 因为a 3a 4a 5=3π=a 34,所以a 4=π33. log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7=log 3(a 1a 2…a 7)=log 3a 74=7log 3π33=7π3, 所以sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)=32. 7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q =________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3=a 4-2, ①3S 2=a 3-2, ②由①-②,得3a 3=a 4-a 3,即4a 3=a 4, 则q =a 4a 3=4.8.设各项都是正数的等比数列{a n },S n 为前n 项和且S 10=10,S 30=70,那么S 40=________. 答案 150解析 依题意,知数列{a n }的公比q ≠-1,数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等比数列,因此有(S 20-S 10)2=S 10(S 30-S 20),即(S 20-10)2=10(70-S 20),故S 20=-20或S 20=30;又S 20>0,因此S 20=30,S 20-S 10=20,S 30-S 20=40,故S 40-S 30=80,S 40=150. 9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +S n =1(n ∈N *),则通项a n =________. 答案12n解析 ∵a n +S n =1,①∴a 1=12,a n -1+S n -1=1(n ≥2),②由①-②,得a n -a n -1+a n =0,即a n a n -1=12(n ≥2),∴数列{a n }是首项为12,公比为12的等比数列, 则a n =12×(12)n -1=12n . 10.已知数列{a n }的首项为1,数列{b n }为等比数列且b n =a n +1a n,若b 10·b 11=2,则a 21=________. 答案 1 024解析 ∵b 1=a 2a 1=a 2,b 2=a 3a 2, ∴a 3=b 2a 2=b 1b 2,∵b 3=a 4a 3, ∴a 4=b 1b 2b 3,…,a n =b 1b 2b 3·…·b n -1,∴a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1 024.11.已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q +S 4=0,求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列,所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1. 故S n =1+3+…+(2n -1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q +S 4=0,即q 2-8q +16=0,所以(q -4)2=0,从而q =4.又因为b 1=2,{b n }是公比q =4的等比数列,所以b n =b 1q n -1=2·4n -1=22n -1. 从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q=23(4n -1). 12.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0.(1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意,得a 2=12,a 3=14. (2)由a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0,得2a n +1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n +1a n =12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列, 因此a n =12n -1. 13.已知数列{a n }中,a 1=1,a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,记T 2n 为{a n }的前2n 项的和,b n =a 2n +a 2n -1,n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列,并求出b n ;(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,∴a n +1·a n +2=⎝⎛⎭⎫12n +1,∴a n +2a n =12,即a n +2=12a n . ∵b n =a 2n +a 2n -1,∴b n +1b n =a 2n +2+a 2n +1a 2n +a 2n -1=12a 2n +12a 2n -1a 2n +a 2n -1=12, ∵a 1=1,a 1·a 2=12, ∴a 2=12⇒b 1=a 1+a 2=32. ∴{b n }是首项为32,公比为12的等比数列. ∴b n =32×⎝⎛⎭⎫12n -1=32n . (2)由(1)可知,a n +2=12a n , ∴a 1,a 3,a 5,…是以a 1=1为首项,以12为公比的等比数列;a 2,a 4,a 6,…是以a 2=12为首项,以12为公比的等比数列, ∴T 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=3-32n .。
24 等比数列及其前n项和-2018年高考数学(理)热点题型和提分含解析
1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系热点题型一等比数列的基本运算例1、已知S n是等比数列{a n}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由。
(2)由(1)有S n=错误!=1-(-2)n.若存在n,使得S n≥2 013,则1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.当n为偶数时,(-2)n>0。
上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11。
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}。
【提分秘籍】1.对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除"消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。
2.在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。
【举一反三】设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和。
已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=__________。
解析:显然公比q ≠1,由题意得错误!解得错误!或错误!(舍去),∴S 5=错误!=错误!=错误!. 答案:314热点题型二 等比数列的判定与证明例2、已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=λ,a n +1=错误!a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数。
(1)对任意实数λ,证明:数列{a n }不是等比数列;(2)试判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论。
【提分秘籍】证明数列{a n}是等比数列常用的方法:一是定义法,证明错误!=q(n≥2,q为常数);二是等比中项法,证明a错误!=a n-1·a n+.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以1用反证法.【举一反三】设数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数n都有S n=2a n-3n,设b n=a n+3,求证:数列{b n}是等比数列,并求a n。
2018年高考数学试卷真题附标准答案(理科)
2018年高考数学试卷真题附标准答案(理科)2018年高考试卷理科数学卷本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页,满分150分,考试时间120分钟。
第I 卷(共50分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式:球的表面积公式棱柱的体积公式24S R π= V Sh =球的体积公式其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 343V R π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 11221()3V h S S S S =++棱锥的体积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积,13V Sh =h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高如果事件,A B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(原创)设函数,0,(),0,x x f x x x ?≥?=?-A .– 3B .±3C .– 1D .±12. (原创)复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是( )A.2a =-B.3a =C.32a a ==-或D. 34a a ==-或3. (原创)甲,乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲,乙能通过面试的概率都为23,则面试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ是( ) A.43 B.119 C.1 D.894. (改编)右面的程序框图输出的结果为() .62A .126B .254C .510D5. (改编)已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,下面有三个命题:①//l m αβ?⊥;②//l m αβ⊥?;③//l m αβ?⊥ 其中假命题的个数为().3A .2B .1C .0D6. (改编)已知函数f (x )的图象如右图所示,则f (x )的解析式可能是()A .()x x x f ln 22-=B .()x x x f ln 2-=C .||ln 2||)(x x x f -=D .||ln ||)(x x x f -=7. (原创)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510Sa a -+=,则下列数中恒为常数的是( )A.8aB. 9SC. 17aD. 17S8. (改编)已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为() A .2 B .3 C .2D . 3(第6题)9. (原创)已知,x y 满足不等式00224x y x y t x y ≥??≥?+≤??+≤?,且目标函数96z x y =+最大值的变化范围[]20,22,则t 的取值范围( )A.[]2,4B.[]4,6C.[]5,8D. []6,7 10. (改编)若函数32()|1|f x x a x a R =+-∈,则对于不同的实数a ,则函数()f x 的单调区间个数不可能是( )A.1个B. 2个C.3个D.5个第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
2018年高考理数: 数列 含答案
核心考点解读——数列考纲解读里的I,II的含义如下:I:对所列知识要知道其内容及含义,并能在有关问题中识别和直接使用,即了解和认识.II:对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系,能够进行叙述和解释,并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用,即理解和应用.(以下同)1.(2017高考新课标I,理4)记错误!未找到引用源。
为等差数列错误!未找到引用源。
的前错误!未找到引用源。
项和.若错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
的公差为A.1 B.2C.4 D.82.(2017高考新课标Ⅲ,理9)等差数列错误!未找到引用源。
的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则错误!未找到引用源。
前6项的和为A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.3 D.83.(2017高考新课标II,理15)等差数列错误!未找到引用源。
的前错误!未找到引用源。
项和为错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
____________.4.(2016高考新课标I,理3)已知等差数列错误!未找到引用源。
前9项的和为27,错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
A.100 B.99 C.98 D.975.(2016高考新课标II,理17)错误!未找到引用源。
为等差数列错误!未找到引用源。
的前n项和,且错误!未找到引用源。
记错误!未找到引用源。
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表示不超过x的最大整数,如错误!未找到引用源。
.(Ⅰ)求错误!未找到引用源。
;(Ⅱ)求数列错误!未找到引用源。
的前1000项和.6.(2016高考新课标III,理17)已知数列错误!未找到引用源。
的前n项和错误!未找到引用源。
,其中错误!未找到引用源。
.(I)证明错误!未找到引用源。
是等比数列,并求其通项公式;(II)若错误!未找到引用源。
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2018高考数学 全国卷及独立命题高考真题 数列专题解析
2018全国卷及多省高考真题数学 数列专题1.(2018全国卷I ,文数.17题)(12分)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设nn a b n=. (1)求123b b b ,,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式 .【答案解析】解:(1)由条件可得a n +1=2(1)n n a n+. 将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n na a n n+=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n-=,所以a n =n ·2n -1. 2.(2018全国卷I ,理数.4题)(5分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则5a = A .12-B .10-C .10D .12答案:B3.(2018全国卷I ,理数.14题)(5分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =_____.答案:-63.4.(2018全国卷Ⅱ,文数8题、理数7题)(5分)为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图, 则在空白框中应填入A .1i i =+B .2i i =+C .3i i =+D .4i i =+答案:B5.(2018全国卷Ⅱ,文数12题、理数11题)(5分)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A .50-B .0C .2D .50答案:C4.(2018全国卷Ⅱ,文数、理数17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值.【答案解析】解:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =–15. 由a 1=–7得d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n –9.(2)由(1)得S n =n 2–8n =(n –4)2–16. 所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为–16.5.(2018全国卷Ⅲ,文数、理数.17题)(12分)等比数列{}n a 中,15314a a a ==,. (1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .【答案解析】解:(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=. 由已知得424q q =,解得0q =(舍去),2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-,此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =. 综上,6m =.6.(2018北京卷,文数.15题)(13分)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求12e e e n a a a +++.【答案解析】解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d , ∵235ln 2a a +=, ∴1235ln 2a d +=,又1ln 2a =,∴ln 2d =. ∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (II )由(I )知ln 2n a n =, ∵ln2ln2ee e =2nna n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2e e e eeenna aa+++=+++2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a aa+++1=22n +-.7.(2018北京卷,理数.9题)(6分)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________.答案:63n a n =- .8.(2018天津卷,文数.18题)(13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (Ⅰ)求S n 和T n ;(Ⅱ)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.【答案解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(I )解:设等比数列{}n b 的公比为q ,由b 1=1,b 3=b 2+2,可得220q q --=. 因为0q >,可得2q =,故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+,可得134a d +=.由5462b a a =+, 可得131316,a d += 从而11,1a d ==,故n a n =,所以(1)2n n n S +=. (II )解:由(I ),知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+, 整理得2340,n n --= 解得1n =-(舍),或4n =.所以n 的值为4.9.(2018天津卷,理数.18题)(13分)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为()n S n N *∈,{}n b 是等差数列. 已知11a =,322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+. (I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II )设数列{}n S 的前n 项和为()*∈n T n N ,(i )求n T ;(ii )证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑.【答案解析】本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识. 考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(I )解:设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >,可得2q =,故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+,可得13 4.b d +=由5462a b b =+, 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,数列{}n b 的通项公式为.n b n =(II )(i )由(I ),有122112nn n S -==--,故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.(ii )证明:因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++, 所以,324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑.10.(2018浙江卷,10题)(4分)已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则 A .1324,a a a a <<B .1324,a a a a ><C .1324,a a a a <>D .1324,a a a a >>答案:B11.(2018浙江卷,20题)(15分)已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列 {b n }满足b 1=1,数列{(b n +1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n . (Ⅰ)求q 的值;(Ⅱ)求数列{b n }的通项公式.【答案解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力 和综合应用能力。
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件:23-数列的综合问题(含答案)
=10+26+42+…+234=
15× (10+234) =1 2
830.
考点51
考点52
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
4.(2016课标Ⅱ,理17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记 bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和. 【解】 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通项公式为an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 0,1 ≤ ������ < 10, 1,10 ≤ ������ < 100, (2)因为 bn= 2,100 ≤ ������ < 1 000, 3,������ = 1 000,
������������������a
n+ n+1 1 1+ (a>0,a≠1)
n
裂项方法 1 1 1 1 = n(n + k) k n n + k 1 1 1 1 = 4n2 -1 2 2n-1 2n + 1 1 = n+1− n n+ n+1 1 loga 1 + =loga(n+1)-logan
.
考点51
考点52
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
3.(2012课标,理16)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项 和为 . 【答案】 1 830 【解析】 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1, a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1, a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a5 9+a60)
【高考复习】2018届高考数学(理)热点题型:数列(含答案)
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =S n -1S n(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列, 所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3, 于是q 2=a 5a 3=14.又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .(2)由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n =⎩⎪⎨⎪⎧1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数,当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1=32,故0<S n -1S n≤S 1-1S 1=32-23=56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1,故0>S n -1S n≥S 2-1S 2=34-43=-712.综上,对于n ∈N *,总有-712≤S n -1S n≤56.所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为-712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5-2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1b k成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1+5×42d -2(a 1+d )=25,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ), 解得a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. ∵b 1=a 1=3,b 2=a 4=9,∴等比数列{b n }的公比q =3,∴b n =3n . (2)不存在.理由如下: ∵1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3, ∴T n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3=12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3, ∴1-2T k =23+12k +3(k ∈N *),易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k +3为单调递减数列,∴23<1-2T k ≤1315,又1b k =13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,13,∴不存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1b k成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记c n =a nb n,求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎨⎧2a 1+9d =20,a 1d =2, 解得⎩⎨⎧a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =29.故⎩⎨⎧a n =2n -1,b n =2n -1或⎩⎪⎨⎪⎧a n =19(2n +79),b n =9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n -1. (2)解 由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1, 故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n , 故T n =6-2n +32n -1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步:(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的,则可用此法求和. 第二步:(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ,然后两边同乘以q . 第三步:(错位相减)乘以公比q 后,向后错开一位,使含有q k (k ∈N *)的项对应,然后两边同时作差. 第四步:(求和)将作差后的结果求和,从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n+1+3,n ∈N *.(1)证明:a n +2=3a n ; (2)求S 2n .(1)证明 由条件,对任意n ∈N *,有a n +2=3S n -S n +1+3, 因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n +1=3S n -1-S n +3. 两式相减,得a n +2-a n +1=3a n -a n +1, 即a n +2=3a n ,n ≥2.又a 1=1,a 2=2, 所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n +2=3a n .(2)解 由(1)知,a n ≠0,所以a n +2a n =3.于是数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1. 于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n=(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =(1+3+…+3n -1)+2(1+3+…+3n -1) =3(1+3+…+3n -1)=32(3n -1). 热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.【例3-1】 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln 2,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7, 有2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2.所以,S n =na 1+n (n -1)2d =-2n +n (n -1)=n 2-3n .(2)函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2), 它在x 轴上的截距为a 2-1ln 2. 由题意知,a 2-1ln 2=2-1ln 2, 解得a 2=2.所以,d =a 2-a 1=1.从而a n =n ,b n =2n , 所以T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,2T n =11+22+322+…+n 2n -1因此,2T n -T n =1+12+122+…+12n -1-n2n=2-12n -1-n 2n =2n +1-n -22n. 所以,T n =2n +1-n -22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.【例3-2】 在等差数列{a n }中,a 2=6,a 3+a 6=27. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =S n3·2n -1,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ,由题意得: ⎩⎨⎧a 1+d =6,2a 1+7d =27,解得⎩⎨⎧a 1=3,d =3,∴a n =3n . (2)∵S n =3(1+2+3+…+n )=32n (n +1), ∴T n =n (n +1)2n ,T n +1=(n +1)(n +2)2n +1,∴T n +1-T n =(n +1)(n +2)2n +1-n (n +1)2n=(n +1)(2-n )2n +1, ∴当n ≥3时,T n >T n +1,且T 1=1<T 2=T 3=32, ∴T n 的最大值是32,故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.。
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数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =S n -1S n(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是q 2=a 5a 3=14. 又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12.故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1 =(-1)n -1·32n .(2)由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n =⎩⎪⎨⎪⎧1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数,当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小,所以1<S n ≤S 1=32,故0<S n -1S n ≤S 1-1S 1=32-23=56. 当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1,故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-712. 综上,对于n ∈N *,总有-712≤S n -1S n≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为-712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5-2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1b k 成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1+5×42d -2(a 1+d )=25,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ),解得a 1=3,d =2,∴a n =2n +1.∵b 1=a 1=3,b 2=a 4=9,∴等比数列{b n }的公比q =3,∴b n =3n .(2)不存在.理由如下:∵1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3, ∴T n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3,∴1-2T k =23+12k +3(k ∈N *), 易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k +3为单调递减数列, ∴23<1-2T k ≤1315,又1b k=13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,13, ∴不存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1b k成立. 热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记c n =a n b n,求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎨⎧2a 1+9d =20,a 1d =2,解得⎩⎨⎧a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =29. 故⎩⎨⎧a n =2n -1,b n =2n -1或⎩⎪⎨⎪⎧a n =19(2n +79),b n =9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n -1. (2)解 由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1, 故c n =2n -12n -1, 于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n=3-2n +32n ,故T n =6-2n +32n -1. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步:(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的,则可用此法求和.第二步:(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ,然后两边同乘以q .第三步:(错位相减)乘以公比q 后,向后错开一位,使含有q k (k ∈N *)的项对应,然后两边同时作差. 第四步:(求和)将作差后的结果求和,从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n +1+3,n ∈N *.(1)证明:a n +2=3a n ;(2)求S 2n .(1)证明 由条件,对任意n ∈N *,有a n +2=3S n -S n +1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n +1=3S n -1-S n +3.两式相减,得a n +2-a n +1=3a n -a n +1,即a n +2=3a n ,n ≥2.又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1,故对一切n ∈N *,a n +2=3a n .(2)解 由(1)知,a n ≠0,所以a n +2a n=3.于是数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n=(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n -1)+2(1+3+…+3n -1)=3(1+3+…+3n -1)=32(3n -1).热点三 数列的综合应用热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.【例3-1】 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *).(1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln 2,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7,有2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2.所以,S n =na 1+n (n -1)2d =-2n +n (n -1)=n 2-3n . (2)函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2),它在x 轴上的截距为a 2-1ln 2.由题意知,a 2-1ln 2=2-1ln 2,解得a 2=2.所以,d =a 2-a 1=1.从而a n =n ,b n =2n ,所以T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n , 2T n =11+22+322+…+n 2n -1 因此,2T n -T n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =2-12n -1-n 2n =2n +1-n -22n . 所以,T n =2n +1-n -22n. 热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.【例3-2】 在等差数列{a n }中,a 2=6,a 3+a 6=27.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =S n 3·2n -1,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成立,求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ,由题意得:⎩⎨⎧a 1+d =6,2a 1+7d =27,解得⎩⎨⎧a 1=3,d =3,∴a n =3n . (2)∵S n =3(1+2+3+…+n )=32n (n +1),∴T n =n (n +1)2n ,T n +1=(n +1)(n +2)2n +1, ∴T n +1-T n =(n +1)(n +2)2n +1-n (n +1)2n=(n +1)(2-n )2n +1, ∴当n ≥3时,T n >T n +1,且T 1=1<T 2=T 3=32,∴T n 的最大值是32,故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.。