第七章 非线性控制系统分析PPT课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
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第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
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第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
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第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
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第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
非线性控制系统的分析课件.ppt
法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
7章非线性分析PPT课件
10
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
第7章-非线性系统PPT课件
重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨
迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可
绘出系统的相轨迹了。
xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序
，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘
制相轨迹子程序的使用方法。
-
11
xoBox
例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五种
非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性特
性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问题
是比较方便而又不失一般性。
三、非线性系统的工作特点
描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，它
不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有非
究非线性系统的重要内容之一。-
7
xoBox
(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而
非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含
高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会
产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值
响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列
举。
本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和应
用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非线
性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型
非线性环节进行分析。
§7－2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非线
5．变增益特性 变增益特性的输入输出 关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。
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x 0
x
0
对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。
§7.2
相平面法（3）
§7.2
相平面法（4）
(3) 二阶系统的相轨迹 （演示）
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点
相迹图
中心点
鞍点
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
§7.2
相平面法（5）
例3 设系统方程为 x (3 x 0 .5 ，)x xx 2 0
求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。
解
令 xx0
xx2ห้องสมุดไป่ตู้(1x)0
xe1 xe2
0 1
xx xxxxee12
x x1
线化
x 0.5 x x0 x 0.5 x ( x1)( x1)20
x0.5xx0
x0.5xx0 s 0.5 j0.97
特征 s2 0.5s 1 0 方程 s2 0.5s 1 0
§7.1.4 非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法
仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
§7
非线性控制系统分析（3）
非线性特性的定性分析
饱和
死区
非线性特性
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
§7
非线性控制系统分析（2）
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用
稳定性问题
— 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件
有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1
自振运动
— 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6
频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌)
解 线性部分 c(t)u(t)
非线性部分
u
1 1
eT e 0(I) eT e 0(II)
,
2
j1 j1
开关线
中心点 中心点
—— 划分不同线性区域的边界线
平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
课程小结
§7.1概述
§7.1.1 非线性现象的普遍性 §7.1.2 典型非线性特性 §7.1.3 非线性系统运动的特殊性 §7.1.4 非线性控制系统的分析方法
§7.2 相平面法
自动控制原理
（第 36 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施
及非线性特性的利用
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
自动控制原理
及非线性特性的利用
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.2 相平面法
§7.2
相平面法（9）
例1 系统如右，已知 cr((0t))401(t)，确定开关线方程，奇点 位置和类型，绘制相平面图。
解
线性部分
C(s) 1 U (s) s2
c (t)u(t)
0 e2 (I)
非线性部分 u e2 e2 (I)I
e2 e2(III)
开关线方程
e e
2 2
综合点
er c4 c
c c
4 e
e
c e
0 e2 (I)
e c u 2e e2 (I)I
2e e2(III)
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类 型
I e 0
e 1 s 2 0 s 0
I e I e - 2 0 e 2 2 s 2 1 0 s j中心点
（第 36 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法
§7
非线性控制系统分析（1）
§7.1概述
§7.1.1 非线性现象的普遍性
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
§7.1.2 典型非线性特性 （演示）
饱和
§7.2.1 相平面的基本概念
(1) 相平面和相轨迹
(2) 相轨迹的性质
（运动方向，奇点，奇线，开关线）
(3) 线性二阶系统的相轨迹（分析一类非线性系统的自由响应）
自动控制原理
本次课程作业(36)
7 — 1, 4
自动控制原理
（第 38 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施
n 2.236 0.2236
r(t)1(t)
§7.2
相平面法（2）
(2) 相轨迹的性质 设系统方程为：xf(x,x )0
运动方向
上半平面 x 0 — 向右移动 下半平面 x 0 — 向左移动
顺时针运动
通过横轴时(x 0)，以90°穿越 x轴
奇点 (平衡点) ：相轨迹上斜率不确定的点
d dx x d dx x d dttf(x x,x )0 0
I e I e I 2 0 e 3 -s 2 2 1 0 s j中心点
(I) e0 e C 水平线
相轨迹 (II ) 以 e2 2 为中心的圆
(III) 以e3 2为中心的圆
c(t ) 响应
erc cr e4 e
§7.2
相平面法（11）
例2 系统如右，r(t)1(t)，T0, 0.5，分别讨论系统运动。
0.5 j0.866
0.62 1.62
稳定焦点 鞍点
开关线
§7.2
相平面法（7）
例6 系统方程为 x xsig x n0，分析系统的自由响应。
解
xx10 x0 I xx10 x0 II
奇点
I II
xe1 1 xe2 1
特征 方程
I II
s2 1 0 s2 1 0
极点
s1,2
s1
s
0.78
1
.28
不稳定焦点 鞍点
§7.2
相平面法（6）
利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统
例5 系统方程为 xxx0，分析系统的自由响应。
解
xxx0 xxx0
x0 I x0 II
奇点
I II
xe1 0 xe2 0
特征 方程
I II
s2 s10 s2 s10
极点
s1,2
s1,2
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
§7.2
相平面法（1）
§7.2.1 相平面的基本概念
(1) 相平面和相轨迹 相平面：
由系统变量及其导数（如 c , c ）
构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
例1 单位反馈系统
G(s) 5 s(s 1)