随机过程复习提纲
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程复习提纲
X (t ) E (eitX ) e itxk pk k 1
连续型随机变量X： 概率密度函数f (x)
X (t ) E(eitX )
e itx f ( x)dx
对一切随机变量，其特征函数都存在！
X (0) E(ei0X ) 1
23 March 2020
随机过程
常见分布的特征函数
随机过程
严平稳过程与宽平稳过程关系
➢ 严平稳过程不一定是宽平稳过程；反之， 宽平稳过程也不一定是严平稳过程；
➢ 宽平稳正态过程是严平稳过程。
联合平稳过程（平稳相关）
E[X (t)Y(t )] RXY ( ), t, t T
23 March 2020
随机过程
时平均 时相关函数 遍历性的验证
X (t) l.i.m 1
以连续型为例
E(X)
( xfX Y ( x y)dx) fY ( y)dy
xf (x, y)dxdy
xfX ( x)dx
23 March 2020
随机过程
特征函数
定义
X (t) E(eitX ), t (, ).
离散型随机变量X： P( X xk ) pk , k 1, 2,L
T
X (t)dt
T 2T T
X (t)X (t ) l.i.m 1
T
X (t)X (t )dt
T 2T T
均值具有遍历性
P{ X (t) mX } 1
自相关函数具有遍历性
P{ X (t) X (t ) RX ( )} 1
遍历性定理 —— 了解即可！
23 March 2020
绝对分布 X(n)的分布 P(n) [ p1(n), p2(n),L , pi (n),L ]
概率统计和随机过程复习要点
概率统计和随机过程复习要点全书11章，都是考试内容，要全面复习。
题型填空题占40%左右，计算题60%左右。
主要内容1.事件与概率，掌握事件的表示方法以及古典概型的计算；熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式的应用（会考大题）；熟练掌握条件概率公式的计算方法以及两个独立事件乘积概率等于概率乘积。
2随机变量及其分布了解随机变量；会求离散型随机变量的分布律、连续性随机变量的密度函数，分布函数；掌握六种常用的随机变量及其分布，离散的：两点分布、二项分布、泊松分布分布律，连续的：均匀分布，指数分布、正态分布的密度函数（一定要会写出）。
已知X的密度函数f(x)，Y=G(X),会求Y的密度函数3.多维随机变量及其分布重点是二维随机变量边缘分布以及概率的求法；独立性判定（一般会考大题）相互独立的随机变量密度函数满足f(x,y)=f X(x)f Y(y)，会判定两个随机变量是否独立。
两个随机变量函数的分布：两个随机变量和、最大值的分布密度，注意到正态分布的和、差一定是正态分布。
主要是求出它的均值与方差就可以了。
4.随机变量的数字特征数学期望定义与求法，方差，协方差以及相关系数，会判断两个随机变量是否是相关的。
掌握6种重要的随机变量的均值与方差。
5 极限定理理解切比雪夫不等式的含义，会用切比雪夫不等式估计一个事件的概率6 抽样及抽样分布理解样本、抽样、样本值等概念会求离散型随机抽样的联合分布律、连续型随机抽样的联合分密度函数掌握统计量的定义，掌握样本均值、样本方差。
掌握几种常用的抽样分布，χ2分布的数学期望与方差，χ2分布的、T分布、F分布的分位点的含义及其关系。
F分布的性质F~F(n1,n2),则1/F~F(n2,n1),,T~T(n)则T2~F(1,n).掌握正态总体样本均值、样本方差的分布，掌握定理6.1—6.4（条件，结论）7 参数估计会求一个总体分布中未知参数的矩估计与最大似然估计（估计量与估计值）（会考大题）理解估计量的评选标准，会判断一个统计量是否为未知参数的无偏估计量，掌握正态总体的均值与方差的区间估计（填空题）8假设检验假设检验的一般步骤（6个步骤）（一般会考大题）（1）原假设H0，备择假设H1，（2）检验统计量及其服从的分布；（3）拒绝域（4）计算统计量的值；并与拒绝域的临界点值比较；（5）作出判断，接受或者拒绝原假设；（6）说明意义。
随机过程复习提纲汇总
随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。
随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。
在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。
在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。
同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。
复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。
随机过程总复习
设{N i ( t ), t 0}( i 1,2, n)是n个 相 互 独 立 的 Poisson 过程，
Poisson 过程，参数为 i .
i 1
n
条件分布函数与条件期望
1、条件分布函数的定义 离散型 若 P（Y
yj) 0
，则称
P（X xi | Y y j )
（ 2） （3 ）
若X和Y相互独立，则
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
二、协方差
Cov ( X , Y ) E[( X E( X ))(Y E(Y ))]
计算协方差时通常用下列关系式：
C ov ( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y )
三、矩母函数
e ku
(teu ) k ( t ) k t t t ( e u 1) t )的 矩 母 函 数 为
u u N (u) N (u) exp 1te 2te (1 2 )t
1 2
N N (u) E[e
为在条件 Y 同样
P（X xi ,Y y j ) P（Y y j )
pij p j
yj
下，随机变量X的条件分布律 。
P（X xi ,Y y j ) pij P（Y y j | X xi ) P（X xi ) pi 为在条件 X x i 下，随机变量Y的条件分布律。
X (t ) e
0
2
itx
1 dx 2
e
2 it
1 2it
设N1 ( t ), t 0和N 2 ( t ), t 0分 别 是 参 数 为 1， 2的 独 立 的 Poisson 过程，令 X( t ) N 1 ( t ) N 2 ( t ), Y ( t ) N 1 ( t ) N 2 ( t ) 证 明 : X ( t )是 具 有 参 数 为 1 2的Poisson 过 程, 而Y ( t )不 是 Poisson 过 程.
随机过程复习提纲2017
随机过程复习提纲2017第⼀章1. 简述样本空间、基本事件、事件、随机事件、事件域的概念。
2. 设概率空间(,,)F P Ω，,A B F ∈（随机试验中两个随机事件A 、B ），()0P A >，B 1,B 2,…,B n 为Ω的⼀个分割，请写出：（1）事件A 出现条件下事件B 出现的概率公式P(B |A )；（2）事件A 、B 同时发⽣的乘法公式P (AB )；（3）事件A 的全概率公式P (A )；（4）P (B i |A )的贝叶斯公式。
3. 某化验室检测某种疾病的⾎液检查,当确实有病时的有效率是95%.可是,该检测也在1%的健康⼈中产⽣“假阳性”结果(即⼀个健康⼈去检查, 检测结果为阳性的概率是0.01).如果总体⼈群中有0.5%真有此病,问已知某⼈检测结果为阳性时,他有病的概率是多少?4. 假设离散随机变量X 的分布律为：p(1)=1/2，p(2)=1/3， p(3)=1/6，请写出关于X 的累积分布函数F(x)。
5. 设⼆维随机变量X 、Y 的联合分布函数为,(,)X Y F x y ，请分别写出关于X 和关于Y 的边缘分布函数和边缘PDF ，并写出(,)XY f x y 、|(|)Y X f y x 和()X f x 三者关系式。
6. 随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为|| (,0)(,)0, y XY Ae y x x y f x y ，其它-?>-∞<<∞>=??求：常数A 、边缘概率密度函数()X f x ，()Y f y 和条件概率密度函数|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，判断是否统计独⽴。
7. 随机变量Y =sin X , X 为（-π，π）均匀分布，1()2X f x π=,求)(y f Y 。
8. 已知随机变量X 1，X 2的联合PDF 为1212(,)X X f x x ，试借助⼆维随机变量函数的分布来求随机变量Y=X 1-X 2的PDF 。
应用随机过程 期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男,1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为｛X n ，n=1，2， ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2， ···｝是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量.为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2， ···｝的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1—p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则｛X(t)， t ≥0｝就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候.乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X （t ）表示t 时刻的队长，用Y(t ）表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t)， t ∈T ｝和｛Y(t)， t ∈T ｝都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X （t ）是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t ）， t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t ）的所有可能状态构成的集合。
例1:E 为{0,1} 例2:E 为［0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：(1）根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a ，b]时,称｛X(t), t ∈T ｝为连续参数的随机过程；当T 取Z ， Z +时,称{X （t)， t ∈T}为离散参数的随机过程。
随机过程复习
第一章1. 随机过程的定义2. n 维概率分布:性质:1212(,,,,,;,,,,)0X n i n F x x x t t t t -∞= 12(,,,;,,,)1X n F t t t ∞∞∞= 1212(,,,;,,,)0X n n f x x x t t t ≥121212n (,,,;,,,)1X n n n f x x x t t t dx dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 重3. 随机过程的数字特征 (1)数学期望()[()](;)X m t E X t xf x t dx ∞-∞==⎰物理意义：某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化.如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。
(2)均方值222()[()](;)XX t E X t x f x t dx ∞-∞ψ==⎰方差2222()[()][(()())][()]()X X X t D X t E X t m t E X t m t σ==-=-物理意义：如随机过程表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。
(3) 自相关函数1212(,)[()()]X R t t E X t X t = 物理意义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系. (4) 自协方差函数121122(,)[(()())(()())]X X X K t t E X t m t X t m t =--物理意义：反映了随机过程任意两个时刻的起伏值之间相关程度。
自协方差和自相关函数的关系:121212(,)(,)()()X X X X K t t R t t m t m t =-自协方差和方差的关系: 2212(,)(,)[(()())]()X X X X K t t K t t E X t m t t σ==-=})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121n n n n X x t X x t X x t X P t t t x x x F ≤≤≤= nn n X n n n X x x x t t t x x x F t t t x x x f ∂∂∂∂=2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(12121212(,;,)X x x f x x t t dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰1.2 平稳随机过程及其遍历性1. 宽平稳或广义平稳随机过程:121222()(,)(,)()()[()]XX XX t t X m t m R t t E X X R t E X t τψ====<∞2. 平稳随机过程的性质 (1)平均功率 22(0)[()]0X X R E X t ψ==≥(2)偶对称性 ()(),()()X X X X R R K K ττττ=-=-(3)极值性(0)()X X R R τ≥(4)若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，2lim ()()X X XR R m ττ→∞=∞=,lim ()()0X X K K ττ→∞=∞=3. 平稳过程的相关系数:22()()()(0)X X XX X XK R m r K τττσ-==()0X r τ=表示不相关， ()1X r τ=表示完全相关，()0X r τ>表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
随机过程复习提纲
第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。
（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xtxi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni n i Y q e p q e p g g it n it n t X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i ii X =λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g it ii,...2,1,1==⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
随机过程教学大纲
随机过程教学大纲一、引言（100字）1.1随机过程的概念和应用1.2随机过程与确定性过程的区别1.3随机过程的分类和性质二、概率论回顾（200字）2.1概率空间和随机变量2.2概率分布函数和密度函数2.3数学期望和方差2.4大数定律和中心极限定理三、随机过程的基本概念（200字）3.1随机过程的定义和性质3.2随机过程的样本函数3.3有限维分布和联合分布3.4随机过程的平稳性四、马尔可夫过程（250字）4.1马尔可夫过程的定义和性质4.2离散时间和连续时间马尔可夫过程4.3马尔可夫链的平稳分布4.4马尔可夫链的转移概率矩阵五、泊松过程（250字）5.1泊松过程的定义和性质5.2泊松过程的计数过程和插值过程5.3泊松过程的有限维分布5.4泊松过程在实际应用中的例子六、连续时间马尔可夫链（200字）6.1连续时间马尔可夫链的定义和性质6.2连续时间马尔可夫链的转移概率矩阵6.3连续时间马尔可夫链的平稳分布6.4连续时间马尔可夫链的生成函数七、布朗运动（250字）7.1布朗运动的定义和性质7.2布朗运动的性质和假设7.3布朗运动的微分方程表示和伊藤引理7.4布朗运动的应用八、维纳过程（200字）8.1维纳过程的定义和性质8.2维纳过程的性质和应用8.4维纳过程的泛函九、马尔可夫跳跃过程（250字）9.1马尔可夫跳跃过程的定义和性质9.2马尔可夫跳跃过程的转移概率矩阵9.3马尔可夫跳跃过程的数学期望和方差9.4马尔可夫跳跃过程的应用十、随机过程的极限定理（200字）10.1大数定律的随机过程版本10.2中心极限定理的随机过程版本10.3随机过程的强、弱和均方收敛十一、应用案例分析（200字）11.1金融领域中的随机过程应用11.2通信领域中的随机过程应用11.3生物医学领域中的随机过程应用11.4工程领域中的随机过程应用十二、总结与展望（100字）12.1随机过程的关键概念和理论12.2随机过程的应用前景12.3随机过程进一步学习的方向以上是一份关于随机过程教学大纲的简要介绍。
随机过程复习提纲汇总
随机过程
随机过程的数字特征与特征函数
（1）均值函数 （2）均方值函数 （3）方差函数
mX (t ) E[ X (t )]
2 2 ( t ) E [ X (t )] X
DX (t ) E( X (t ) mX (t ))2
（4）自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] （5）自协方差函数
随机过程
常见分布的特征函数
1.两点分布((0-1)分布)
X ( t ) 1 p p e it
2.二项分布 B(n, p) 3.泊松分布 4.均匀分布
5.指数分布 6.标准正态分布
20 January 2019
X ( t ) (1 p pe it )n
X (t ) e
X (t )
e it
i (e itb e ita ) ( b a )t
2 i t X (t ) 2 2 it t
X (t ) e
t2 2
随机过程
特征函数的基本性质
(1) X (0) 1, X ( t ) X (0), X ( t ) X ( t ).
xf ( x, y )dxdy xf X ( x )dx
20 January 2019
随机过程
特征函数
定义
X ( t ) E (e itX ), t ( , ).
离散型随机变量X： P ( X xk ) pk , k 1, 2,
(6)随机变量的分布函数与其特征函数一一对应.（唯一性）
随机过程复习提纲.pptx
=
=
，
故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为
即可.
ft(x)=
exp{-
}，t>0，
fs,t(x1,x2)=
.exp{
[
]},s,t>0,
其中 4、设{X(t)，t≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意的 t≧0， X(t)与 V 相互独立,令 Y(t)=X(t)+V，求随机过程{Y(t)，t≧0}的协方差函数. 解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以 EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0， BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V) =E[X(t1)X(t2))]+EV2=σ 2X(min(t1,t2))+1.
C p q pX k
(2)令 X~b(n,p),则
k k nk
n
, q 1 p, k 1,2..n.
e C p q
gt
itk
k
k nk
n
k0
C e p q
k it
n
k nk
k0
有特征函数定义，可知 eit pq n
k
e p( X k) ,0, k 0,1...n
(3)令 X~p(λ),则
解：X 的分布列为P(X=k)=
C
k n
p k q n 1 ,q=1-p,k=0,1,2,...n,
g
n t
e
i
t
k
C
k n
k 0
pkqnk
n
C nk
k 0
peit
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
20
10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
h t1
h
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
29
第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
随机过程知识点总结
第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数.3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数.第二章：1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）.3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程.4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程.第三章：1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算：(1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥.2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；(2). 在已知t 时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：(1). 在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2). 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
随机过程总复习 (2).ppt
注:(3)可等价描述为: 自相关函数R(t1, t2 )仅与 t1 t2有关.
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] R( )
因为 均值函数 X (t )
( ) R( ) 2
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
X (0,1)
x y 1dy x 0x 2
2
4) f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以X ,Y 不独立.
练习:对于随机变量X和Y，满足条件 E( X ) 2, E(Y ) 10,
2 则有 E[E(X Y )]
结论 : (1)若X是随机变量,则E( X ) X , a.s.
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数
定理1 设相互独立的随机变量 X1，X2， ，Xr 的
矩母函数分别为 1(t ) ，2 (t ) ，…，r (t ) ，
则其和 Y X1 X2 Xr 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2(t) …r (t)
两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它 们的矩母函数之积.
(2)协方差函数的性质
性质1 (0) var[X (t)]
随机过程复习指南
“随机过程”复习指南一、随机过程的基本概念随机过程的基本概念，有限维分布函数，n 维概率密度函数。
随机过程的数字特征：均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数。
几种关系：独立，不相关，正交。
几种重要的随机过程的概念：复随机过程，二阶矩过程，正交增量过程，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程，正态过程。
泊松过程的有关概念：泊松过程的定义，概率分布（泊松分布），泊松过程的数字特征，时间间隔，等待时间。
马尔可夫链有关概念：定义，无后效性，转移概率，齐次马尔可夫链，初始概率，绝对概率，首中概率；状态的周期性，常返性，平均返回时间，可达，互通，基本常返闭集，平稳分布。
平稳随机过程的有关概念：严平稳和宽平稳的定义，联合平稳，时间均值，统计均值，时间相关函数，统计相关函数，各态历经性，自相关函数，功率谱密度，互相关函数，互谱密度。
二、基本原理与方法关于运算符E 的计算方法，随机过程的几个典型的数字特征（均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数）的计算、性质以及之间的相互关系。
泊松过程的有关性质，数字特征的计算，时间间隔与等待时间的概率分布，条件概率的计算方法。
马尔可夫链的描述方式（转移概率矩阵、状态转移图），周期的判断，常返性的判断（常返态、非常返态、正常返态、零常返态、遍历态），状态空间的分解方法，平稳分布的求解。
平稳随机过程的有关概念：平稳（包括联合平稳）的判断，各态历经性的判断，自相关（互相关）函数的性质与计算，功率谱密度（互谱密度）的性质与计算。
平稳过程通过线性时不变系统后，输出过程的数字特征、平均功率、功率谱密度等分析与计算，会在简单的电路系统中求输出过程的均值、自相关、功率谱密度、平均功率等。
三、思考题1. 各章布置的作业题和讲授的例题。
2. 设随机过程∞<<∞-Φ+=t t A t X , )cos()(ω，式中A 和ω是常数，Φ是在（0, 2π）上具有均匀分布的随机变量，求该随机过程的均值、方差和相关函数。
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1． 填空 若 X1,X2,…,Xn 是相互独立的随机变量,且 gi(t)是 Xi 的特征函数,i=1,2,…,n)则 X=X1+X2+…Xn 的特征函数 g(t)= ＿g1(t) g2(t)…gn(t) 2.设 P(S)是 X 的母函数，试证: (1)若 E(X)存在，则 EX=P′(1) (2)若 D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P′(1)-[ P′(1)]2
n i1
i
t
1 2
n i1
2 2 i
X n
再由唯一性定理知Y
i 1
n
i ~ N i1
,
i
2 i
9． 设商店在一天的顾客数 N 服从参数λ=1000 的泊松分布，又设每位顾客所花
的钱数 Xi 服从 N(100,502)，求商店日销售 Z 的平均值。
n
解：由条件知 z X i i 1
n
i ~ b i1 i , p
证 因为 Xi~b(ni,p),所以其特征函数为
g t Xi
peitq ni ,i 1,2,...n,
n
由特征函数的性质知，Y xi 的特征函数为 i 1
n
n
n
g g t
t
Y
X i 1
i
i 1
peitq ni
pe q it
ni , i1
X n 再有唯一性定理知Y n i 1
(4)几何分布 Ge(p)
(8)伽马分布Г(α，λ)
解：(1) 令 X~b(1,p),则 P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.
则根据特征函数的定义，得：
g t
eitX
Hale Waihona Puke kp, k1,2...n.
k 1
e e it•0 q it•1 p
e q p it
C p q (2)令 X~b(n,p),则 pX k
i ~ N i1
,
i
2 i
。
X 证 因为 ~ N , 2 , 所以其特征函数为
i
i
i
g e t
iit 12
t2
i
2
,
i
1,2,...n
Xi
n
有特征函数的性质知，Y X i 的特征函数为 i 1
g g e e n t Y i 1
n
t
Xi
i 1
iiit 12 t2 2
t i
Y
E
itaX b
E
iat X
ibt
ibtE
iat X
ibt
at
X
11．求以下各分布的随机变量 X 的特征函数 g(t).
(1)两点分布 b(1,p)
(5)正态分布 N(μ，σ2)
(2)二项分布 b(n,p) (6)指数分布 Exp(λ)
(3)泊松分布 p(λ)
(7)均匀分布 U(a,b)
gt itk
e e k 0
k!
e e 1
it k
k 0 k!
e e e it
e e it1
(4)设 X~Ge(p),则 p(X=k)=pqk-1,q=1-p,k=1,2…n
g g e e n
t
Y i 1
n
t
Xi
i 1
e it1
i
n
e it1
i
i 1
X n
再由唯一性定理知Y
i 1
~ n 。
i
i1 i
X 8． 设 X1，X2…Xn 是相互独立的随机变量，且 ~ N , 2 ,i 1,2,...n ，则
i
i
i
X n
Y
i 1
n
e 解 g(t) 1
itx
x2 2 dx
2
e e e 由于 ix
x2
itx 2
x
x2 2 ，且
1
itx
x2 2 dx
，故由积分号下求导公式有
2
g ixe e de '
(t)
1
2
itx
x2 2 dx
i
ixt
2
x2
2
e e
i 2
2
x
itx 2
t
itx
x2 2 dx
证明:(1)因为 p（s）=
p k
sk
，则
p′（s）=
kp
k
s
k
1
，令
s↑1，得
EX=
kp k
k 0
k 1
k 1
p′(1)。
（2）同理可证 DX=p〞(1)+ p′(1) —[p′(1)] 2
3.设 X 服从 B(n,p),求 X 的特征函数 g(t)及 EX,EX2,DX.
解：X 的分布列为 P(X=k)= Cnk pk qn1,q=1-p,k=0,1,2,...n,
g
t
n
eitk
k 0
Cnk
pk qnk
kn0Cnk
peit
k
qnk
peit
n q
由性质得
EX i g,0 i d dt
peitq n np t 0
EX 2
i
2
g
" 0
i
d2 dt 2
peit q n npq n2 p2 t 0
DX EX 2
EX
2
npq
4． 设 X~N(0,1),求特征函数 g(t).
n
i ~ b i1 i , p
7．
设
X1,X2…Xn
是相互独立的随机变量，且
X ~ ,i 1,2,...n,
i
i
则
X n
Y
i 1
~ n
i
i1 i
证 因为 X i ~ i, 所以其特征函数为
g e t
e ,i it1
i
1,2,...n
Xi
n
有特征函数的性质知，Y X i 的特征函数为 i 1
而 EN=1000，EX1=100,故 EZ=EN·EXi=1000×100=100000(元)
10．设随机变量 X 的特征函数为 gx(t),Y=aX+b,其中 a,b 为任意实数，证明 Y 的
特征函数 gY(t)为 gY t eitb g X at.
g e e e e e e g 证
t
2
tg(t)
于是得微分方程 g’(t)+tg(t)=0
e 解得方程的通解为 g(t)
t2
C 2
由于 g(0)=1,所以 C=0，
于是得
X
的特征函数为
g (t )
e t2 2
5． 设随机变量 Y~N(μ，σ2)，求 Y 的特征函数是 gY(t).
解：设
X~N(0,1),则由例
1.3
知
X
的特征函数
k
k nk
, q 1 p, k 1,2..n.
n
e C p q
gt
itk
k
k nk
n
k 0
C e p q
有特征函数定义，可知
k it
k nk
n
k 0
eit pq n
k
(3)令 X~p(λ),则 p( X k)
,0, k 0,1...n
e k!
有特征函数定义可知：
k
g
(t )
e t2 2
令 Y=X ,则 Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知 Y 的特征函数是
g e g e t ix
t
2 2 t it
， 2
Y
X
6 ． 设 X1,X2…Xn 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 Xi~b(ni,p),i=1,2,…n, 则
X n n
Y
i 1