高一数学充分条件与必要条件1(教师)

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高一数学第一章(第18课时)充分条件与必要条件(1)

课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p ⇒q （或若┐q ⇒┐p ），则p 是q 的充分条件；若q ⇒p （或若┐p ⇒┐q ），则p 是q 的必要条件.六、作业：1．课本P 34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么，D 是A 的什么条件？A 是B 的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D 是A 的必要条件；A 是B 的充分条件.3．预习：课本P 35-36内容. 课题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课：（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：七、板书设计（略）八、课后记：。

充分条件与必要条件(1) PPT教学课件 (高一数学人教A版必修一册)

高中数学
理解概念
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题 “平行四边形的对角线互相垂直” 是“这个平行四边形是菱形”的充分条件，“这个平行四边形是菱形”是 “平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件 .
理解概念
（4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l ，则 a / /b . 真命题
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题（2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题（2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；假命题
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题
高中数学
复习思考
命题？哪些是假命题？
（3）若 x2 4x 3 0，则 x 1；假命题（4）若平面内两条直线 a和 b 均垂直于直线 l ，则 a / /b .
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？
（3）若 x2 4x 3 0，则 x 1；假命题
（4）若平面内两条直线 a和 b 均垂直于直

必要条件与充分条件(1)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

（3）当 = 1时， − 1 = — 1 = 0，所以 ⟹ ，所以q是p的必要条件．
（4）当 = −2时， − 2 ≤ ≤ 5成立，但是−1 ≤ ≤ 5不成立，所以 ⇏ ，
所以q不是p的必要条件．
（5）0是自然数，但是0不是正整数，所以 ⇏ ，所以q不是p的必要条件．
（6）等边三角形一定是等腰三角形，所以 ⇒ ，所以q是p的必要条件．
出这两个三角形的对应角相
等；而一旦两个三角形的对
应角不相等，那么这两个三
角形一定不是全等三角形．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
怎么理解必要条件呢？仔细分析下面三个定理，找出必要条件，并
分析体会何为“必要”．
结论：
上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：
“如果成立，那么成立”（或“若p成立，则q成立”），
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
（1）已知 ⟹ ，则“若，则”是真命题．（）
（2）已知 ⟹ ，则的充分条件是，的必要条件是．（）
（3）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”也就是说“若不
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并指出必要条件．
（1）平面四边形的外角和是360°；
（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
解：（1）“平面四边形的外角和是360°”可表述为
“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，

充分条件与必要条件(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)

从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。

一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。

原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。

邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。

”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。

第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。

原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。

这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。

于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。

从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。

【知识二：充分条件与必要条件】一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p ⇏q .此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．例1 .下列“若p 则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）211x x ==若，则（5）若a =b ，则ac =bc 。

（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。

通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。

2.下列“ 若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若直线 l 与⊙O 有且仅有一个交点，则 l 为⊙O 的一条切线；(2)若x 是无理数，则x 2也是无理数．3.如图，直线 a 与 b 被直线 l 所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4．请根据这些信息，写出几个“a //b ”的充分条件和必要条件．。

初升高数学暑假衔接(人教版)第04讲充分条件与必要条件(教师版)

第04讲充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；4．能对充分条件进行证明。

一、命题的定义与表示1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2、命题的表示：命题表示为“若p ，则q ”时，p 是命题的条件，q 是命题的结论．二、充分条件条件与必要条件1、充分条件与必要条件定义（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件。

2、充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。

而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系。

三、充要条件1、充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

2、充要条件的含义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。

3、充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q等价。

四、充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案

§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0；充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形；必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1；充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。

高中数学必修1《充分条件与必要条件》说课教案附学生教师评价表

《充分条件与必要条件》说课教案广西柳州地区民族高中数学组彭葆蓓一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

高一数学充分条件与必要条件

高一数学充分条件与必要条件《有效教学论》上说：“如果不具备这种能力，你不可能教出真正优秀的学生。

”为此，我们对于新课程下的数学教学，应该具有基础的“四种能力”。

这样才能让学生在学习中获得成功体验，增强自信心。

2、问题的本质。

作为高一数学老师，对于一些概念和定义不能只停留于表面意思，而要真正吃透其中所蕴含的本质意义。

3、用数学的方法去解决问题。

新课改下的数学，特别注重培养学生运用数学的能力。

在数学教学中，老师往往需要引导学生发现问题，提出问题，解决问题。

因此，这要求我们善于把握教材中的问题，进行合理的调控。

解决问题的核心就是如何找到已知条件和待求目标的必要关系，并选择合适的途径或方法，达到既定的目标。

因此，正确处理素材，对于充分条件和必要条件的找寻具有重要的意义。

1、做好合理铺垫。

通过对教材结构的整合，准确把握教材中的前后内容间的逻辑联系，弄清它们之间的必然联系。

教材中涉及到的每一个数学模型，每一个思想方法都是紧密相连的，因此在学习时必须准确无误地将前后内容进行有机的衔接，做到融会贯通。

3、明确教学重点。

教学重点的确定，要从教材实际出发，紧扣教学大纲的要求，考虑学生的认知规律，重视了学生数学思维水平的发展。

4、正确处理素材，掌握“度”。

任何事物都有一个“度”的问题，尤其是课堂教学，对素材的使用也是如此。

教学素材的选择必须精挑细选，力争做到典型性、代表性、基础性。

因此，教师要恰当地加以引导，充分利用教材提供的素材，给学生自主探究、独立思考的时间与空间。

5、积极创设问题情境。

问题情境的创设要根据教学目标，切合学生实际，难易适当。

数学教学是抽象思维与形象思维相结合的过程，两者缺一不可。

教师在教学时，要巧妙地抓住各种契机，尽量多采取直观手段，帮助学生建立起丰富的表象，启迪他们的智慧，开拓他们的眼界，活跃他们的思维。

6、积极创造和谐氛围。

教育家苏霍姆林斯基曾经指出：“良好的心境是取得成功的动力源泉……”人的感觉器官虽小，但却是十分敏锐的。

1.2.3 高中必修一数学教案《充分条件、必要条件》

高中必修一数学教案《充分条件、必要条件》教材分析常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语，表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

学情分析从学生学习的角度看，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时，知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，比较切合教学实际。

教师在教学充要条件这一内容时，不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

2、在理解定义的基础上转化定义，转化成推理关系及集合的包含关系。

3、培养学生的观察问题、归纳规律、建构体系的能力，培养学生多方位审视问题的创造技巧。

教学重难点理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年8月4日）；（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；（4）“文字不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）。

本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件，二、学习新知1、充分条件、必要条件（1）在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。

必要条件与充分条件课件高一上学期数学北师大版

勾股定理逆直角三角形.
根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？
三、充要条件
由原定理：“三角形是直角三角形”⇒“两边的平方和等于第三边的平方” 所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件；又由逆定理：“两边的平方和等于第三边的平方”⇒“三角形是直角三角形” 所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件.
什么是逆命题？
将原命题中条件与结论互换，可得到其逆命题.
写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
假真
3.一个三角形的外角等于两个内角和. 假
原命题和逆命题的真假无必然联系。
真假
假
三、充要条件
思考讨论：
勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果对角线不垂直，那么肯定不是菱形。
知识点1：必要条件
1、必要条件
练习
二、充分条件与判定定理
提示：都是充分的，定理5，是必要的，其它不是
知识点2：充分条件
练习
充分不必要必要不充分
练习：
教材P15，练习1、2. 教材P16，练习1、2. 作业：教材P22，习题1—2：
A组第1题
2.1 必要条件与充分条件（二）
2.从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
“小”充分“大”必要，相等是充要
若 A ⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件
若 B ⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件
若 A ＝B，则 p，q 互为充要条件

高中数学必修一《1 4 充分条件与必要条件》名师精品教案教学设计

1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件1.4.2充要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列语句是命题的是()A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今天会下雪吗A[D不是陈述句，B、C不能判断真假．]2．“同位角相等”是“两直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C3．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2A[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y ＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]充分条件、必要条件的判断【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.[解](1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q 的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．定义法判断充分条件、必要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解](1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，则B A.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨]p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p.即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5，即a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p ，q 两命题；(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系； (3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.充要条件的探求与证明【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[思路点拨]从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．[证明]①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c ＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()(3)若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件．]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． m ＝－2 [函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则－m2＝1，即m ＝－2；反之，若m ＝－2，则f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．]4．已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，即－23≤a <0，所以a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－23≤a <0.。

1.4充分条件与必要条件教案高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1.4充分条件与必要条件教案高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册教材分析本节内容较为抽象，通过回顾学习过的知识，首先通过分析命题，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假。

然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件的概念，再详细讲述概念，最后应用概念结合例题进行论证。

教学目标1．理解充分条件、必要条件的意义。

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件的方法。

3．能够利用命题之间的关系判定充分必要关系。

教学重难点重点：充分条件、必要条件的概念。

难点：能够利用命题之间的关系判定充分必要关系。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、问题导入：回顾命题的定义。

提问：什么是命题？结论：可以判断真假的陈述句叫做命题。

提问：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？结论：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题。

要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本17-22页，观看微课视频中的相声，思考并完成以下问题1.什么是充分条件？2. 什么是必要条件？要求：学生认真观看，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

三、新知探究，知识梳理1．充分条件与必要条件四、典例分析例1：指出下列各题中，p是否为q的充分条件：若四边形两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

【答案】p是q的充分条件【解析】这是一条平行四边形的判定定理，条件p是四边形的两组对角分别相等，结论是这个四边形是平行四边形，这是个真命题。

p可以推出q，因此，p是q的充分条件。

例2: 指出下列各题中，p是否为q的充分条件：若x2=1，则x=1【答案】p不是q的充分条件【解析】如果将其写作命题的形式，p是x2=1，q是x=1。

充分条件和必要条件第1课时课件-高一上学期数学人教A版

(2)要填写一个可以推出“ab＝0”的条件，所填条件应比“ab＝
0”“范围小”，比如：a＝0，b＝0.
(3)要填写一个由“x＜3”推出的结论，所填应比“x<3”“范围大
”，比如：x<5.
(4)“x＞a”是“x＞2”的必要条件理解为“x>2”⇒“x>a”，进而
转化为{x|x>2}⊆{x|x>a}，所以a≤2．
x＜5
(3) “x<3”的一个必要条件是________；(写出一个即可)
(4) “x>a”是“x>2”的必要条件，则实数a的取值范围是
a≤2
________.
思路点拨:
可以利用充分条件和必要条件的定义进行判断，也可以通过两者的范围
大小进行判断．
【解】
(1)a>5⇒a>0，所以“a>5”是“a>0”的充分条件．
故p⇏q，所以p不是q的充分条件．
【方法规律】
利用定义判断充分条件的一般过程：判断命题真假，
根据“⇒”或“⇏”符号分清条件和结论，进而判断是
否为充分条件．
【变式训练1】
判断下列各题中，p是否为q的充分条件：
(1) p：两圆面积相等，q：两圆半径相等；
(2) p：x>4，q：x>2；
(3) p：a>b，q：ac>bc；
关系,列出关于m的不等式组,通过解不等式组求出m的范围,体现了等价转
化思想方法在解决集合与充要条件问题中的运用.
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.[教材改编题]“四边形是正方形”是“四边形的四个角都相等”

充分条件和必要条件高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

例2 (1)(多选)下列结论中，正确的有(
)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的
充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，
要点二充要条件
p⇔q
如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．即p既是q的充分条件，
又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条
逆命题
件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条
件和结论互为充分必要条件．
状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”
2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象)
3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑
推理)
要点一
教材要点
充分条件与必要条件
命题真假
推出关系
条件
关系
“若p，则q”是真命题
由p可以推出q，记为：
p⇒q
________
充分条件
p是q的____________
必要条件
q是p的_____________
系．( √ )
(4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( √ )
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(
)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－

高一数学课件：充分条件与必要条件[1]

2011-10-2
王新敞 wxckt@ 个人网站：源头学子小屋
三、例题讲解填表：例1 填表：
A Y是有理数 x>5 B
A是B的什么条件 B是A的什么条件
⇒ ⇐ x>3 / ⇒ m、n是奇数 m+n是偶数
a≥b x∈A且x∈B⇔ x∈A∩B ab≠0 (x+1)(y-2)=0⇐x=－1,y＝2 m是4的倍数⇔ m是6的倍数 /
三、例题讲解
探讨下列生活中名言名句的充要关系。例2 探讨下列生活中名言名句的充要关系。 q,q p （1）水滴石穿。p ）水滴石穿。 q,q p （2）骄兵必败。 p ）骄兵必败。 q,q p （3）有志者事竟成。 p ）有志者事竟成。 q,q p （4）头发长，见识短。 p ）头发长，见识短。（5）名师出高徒。 p ）名师出高徒。 q,q p
2011-10-2
⇒ Y是实数 ⇐ /
充分非必要充分非必要充分非必要必要非充分充要条件充分非必要必要非充分
既不充分也不必要条件
必要非充分必要非充分必要非充分充分非必要充要条件必要非充分充分非必要
既不充分也不必要条件
⇐ / ⇒ ⇐ a>b /
⇒ ⇐ /
a≠0
⇒ /
王新敞 wxckt@ 个人网站：源头学子小屋
2011-10-2 王新敞 wxckt@ 个人网站：源头学子小屋
二、重难点讲解 1.定义：对于命题：若p(条件，则 q(结论定义：条件) 结论). 定义对于命题：条件结论条件；，则说p是的充分条件 ⇒q，则说是q的充分条件；如果已知q 条件；如果已知 ⇒p，则说是q的必要条件；，则说p是的必要条件如果既有p 如果既有 ⇒q，又有 ⇒p，就记作，又有q ， p ⇔ q 则说是q的充要条件；则说p是的充要条件条件；如果既有p / ，又有q / ，如果既有 ⇒q，又有 ⇒p，就记作条件. p q ,则说是q的既不充分也不必要条件则说p是的既不充分也不必要条件则说如果已知p 如果已知

《1.4 充分条件与必要条件》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标学科素养1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题二、探索新知探究一充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假（4）真2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ⇒,那么p 叫做q 的充分条件, p 叫做q 的必要条件.的一个充分条件。

1.4.1 充分条件与必要条件(课时教学设计)(刘均锋)-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指

1.4.1 充分条件与必要条件（课时教学设计）（刘均锋）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1. 理解充分条件与必要条件的概念；2. 掌握充分条件与必要条件的区别和关系；3. 能够应用充分条件与必要条件进行证明。

教学重点：1. 充分条件与必要条件的概念；2. 充分条件与必要条件的区别和关系。

教学难点：1. 如何应用充分条件与必要条件进行证明。

教学方法：1. 课堂讲授；2. 例题演练；3. 学生讨论与探究；4. 课堂互动。

教学内容及学时安排：学时一：概念介绍（1学时）1. 先让学生看一段数学文章，提取出其中的充分条件、必要条件，并让学生从中感受到它们之间的关系；2. 讲解充分条件和必要条件的概念以及它们的符号表示；3. 基于例题，让学生通过分析充分条件和必要条件的差异，进一步理解它们两者之间的关系。

学时二：应用与巩固（1学时）1. 针对不同类型的数学问题，分析其特点，并找出其中的充分条件和必要条件；2. 让学生通过分组讨论或小组讨论等方式，积极参与解决问题的过程，并且在讨论中不断发现充分条件和必要条件之间的联系；3. 让学生通过练习题的形式来进一步巩固对充分条件和必要条件的掌握。

教学资源准备：1. 教师准备课件，配图解释充分条件和必要条件的概念；2. 学生名额单和抽签小卡片。

教学反馈及评价：1. 课堂教师可以结合板书和课件，深入浅出地讲解充分条件和必要条件的概念，并借助练习题等形式让学生进行实践；2. 学生可以在课堂上积极思考问题，并通过讨论的方式来发现充分条件和必要条件之间的联系；3. 教师可以通过课后作业来检查学生对充分条件和必要条件的掌握程度，并给予及时的反馈和指导。