2021高考数学冲刺练习专题11 数学文化(解析版)
2021年中考数学专项训练： 数学文化(含答案)
一、选择题8.(2020·宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长尺，那么可列方程组为A ． 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-B ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=+=-C ． 4.50.51y x y x ⎩=-=⎧⎨+D ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=-=- {答案}A{解析}根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”得y ＝x ＋4.5；由绳子对折再量木条，木条剩余1尺得0.5y ＝x －1，所以所列方程组为 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-，因此本题选A ． 10．（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）A ．1和1B ．1和2C ．2和1D ．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D ．7. （2020·盐城）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①)，是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为:（ ）A．1B．3C．4D．67．A，解析：本题考查“幻方”，可利用方程思想，由图可知对角线和为15，从而求出右下角的数为6，再列8+x+6＝15,则x＝1 因此本题选A．7.（2020·达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是（）A.10B.89C.165D.294{答案}D{解析}由“在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1”可知：最右侧一列绳子上的1个结代表1，右侧第二列绳子上的1个结代表5，右侧第三列绳子上的1个结代表25，右侧第四列绳子上的1个结代表125，所以孩子出生的天数=4＋3×5＋1×25＋2×125=294．13．（2020·随州）幻方是相当古老的数学问顾，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.将数字1-9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 .{答案}9{解析}本题考查了有理数的加减运算，解答过程如下：∵每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，∴左上角的数字为15-7-2=6，∴右下角的数字为15-6-5=4，∴m=15-4-2=9.（2020·山西）5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似第5题图{答案}D{解析}本题考查了数学文化，泰勒斯的测量原理是图形的相似．10．（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（）A. ()1552x x =--B. ()1552x x =++C. ()255x x =--D. ()255x x =++{答案} A{解析}本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 一元一次方程．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，根据题意得：12x =(5x -)5-．因此本题选A ． 10．（2020·临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（ ） A.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ {答案}B{解析}根据题目已知条件“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车”可知：实际乘坐车辆数和车辆总数相差2，即：23x y =-；同时，根据“每辆车乘坐2人，则有9人步行”可得：用总人数减去步行的9人，就是实际乘车人数，进而可以计算出车的总数，即：92x y -=；所以符合要求是B 选项. 5． （2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里【解析】设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里， 依题意，得：x +2x +4x +8x +16x +32x ＝378，解得：x ＝6．32x ＝192，6+192＝198，∴此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D ．二、填空题15．（2020·嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程 ．{答案}10406x x =+ {解析}本题考查了分式方程的应用，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解.第一次分得的钱为10x ，第二次分得的钱为406x +，因此本题答案为10406x x =+．（2020·江西）9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2513．（2020·襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为━或﹣﹣），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根━和1根﹣﹣的概率为__________．{答案}14．{解析}因为图中8卦里有2卦“恰有2根━和1根﹣﹣”，而28＝14，从而所示事件的概率为14，故答案为14．15．（2020·南通）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则可列方程为▲ ．{答案}x(x＋12)＝864{解析}设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是(x＋12)步．根据矩形面积＝长×宽，得：x(x＋12)＝864．故答案为：x(x＋12)＝864．16. (2020·湘潭)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||第13题图表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：6728，则表示的数是________．6708{答案}8167{解析}本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．根据算筹计数法来计数即可．根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：816718.（2020·株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）{答案}{解析}根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∠=45°，∴CE为直径，ECD由题意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∠⨯，∴CD=CE cos ECD=22∠=45°，∴ECD∴正方形CDEF周长为故答案：15．（2020·黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是尺．第15题图{解析}本题考查了勾股定理的实际应用．根据题意设这个水池深x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，即这个水池深12尺．因此本题答案为12．{答案}1212．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．三、解答题。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(十一)数学(文)试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（十一）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ） A. 34i - B. 34i +C. 34i --D. 34i -+【答案】A 【解析】试题分析：解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++-，故选A. 解法二：设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++=， 由复数相等得3425{430a b a b -=+=，解得3{4a b ==-，因此34z i =-，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.2.已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则AB =（ ）A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B ⋂=．故选A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．4.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)2,1x ∈-时，()242,20,01x x f x x x --≤≤⎧=<<⎨⎩，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A. 0 B. 1C.12D. 1-【答案】D试题分析：因为()f x 是周期为3的周期函数，所以2511134212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念. 5.函数11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间是（ ） A. 1(,1)eB. (1,2)C. (2,)eD. (,3)e【答案】C 【解析】∵函数112(0)2y lnx x x x =+-->， ∴211'102y x x=++>， ∴函数数1122y lnx x x =+--在定义域(0,+∞)上是单调增函数；又x =2时,1111222202222y ln ln =+--=-<，x =e 时,111122022y lne e e e e =+--=+-->，因此函数11ln 22y x x x=+--的零点在(2,e )内．故选C.点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在[],a b 上是连续的曲线，且()()0f a f b ⋅<.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.6.已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A. 20x y --=B. 20x y +-=C. 20x y -+=D. 20x y ++=【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ， 因为2PQ QF=，由抛物线的定义得2PQ QH =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 7.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，2413S S =，则48SS 等于( ) A.310B.18 C.19D.13【答案】A 【解析】 【分析】由2413S S =根据等差数列的前n 项和公式得到132a d =，代入48S S 即可求出结果． 【详解】设首项为1a ，公差为d ，2413S S =， 1121463a d a d +∴=+，即132a d =， 则418146663828122810S a d d d S a d d d ++===++，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题． 8.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 9.已知函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是A. 106⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 106⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. ()1+∞， 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数f （x ）在R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01141006log 14112aa a a a a⎧<<⎪-<∴<≤⎨⎪≥-⋅+⎩，. 故选B.【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10.圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. 55(,)32C. 55(,)42D. 1)【答案】C 【解析】 【分析】双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3，根据题意，圆心到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<，从而得到,a b 关系式，利用222+=a b c 得到,a c 关系，从而得到离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3 因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题. 11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当20x -≤<时，()1(0)x f x a a =->，且(2)8f =-，则(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=（ ）A. 10-B. 12-C. 4D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，以及(2)(2)f x f x +=-即可得出(8)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为8，而根据f （2）8=-及20x -<时，()1(0)x f x a a =->即可求出13a =，从而得出f （3）f =（1）2=-，f （4）f=（8）0=，f （5）f =-（1），f （6）f =-（2），f （7）f =-（3），这样即可求出f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）f +（7）f +（8）0=，而201932528=+⨯，从而得出f （1）f +（2）f +（3）(2019)12f +⋯+=-．【详解】(2)(2)(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=， 即函数()f x 是以8为周期的周期函数．由(2)(2)8f f -=-=，得218a -=，13a =， 故(1)(1)2?f f =--=-， (3)(1)2f f ==-， 过程一：(4)(0)0f f ==，(5)(1)2f f =-=，(6)(2)8f f =-=，(7)(3)2f f =-=，(8)(4)0f f =-=．或过程二：(5)(1)f f =-，(6)(2)f f =-，(7)(3)f f =-，(8)(4)f f =-，］ 故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++252[(1)(2)(8)](2017)(2018)(2019)f f f f f f =⨯++++++0(1)(2)(3)12f f f =+++=-.【点睛】函数基本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢基础知识，个别题型可借鉴草图快速求解．考生若能掌握以下考点，可事半功倍． 函数周期性的常用结论：函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； 若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； 若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； 若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .12.在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-，若60ACD ︒∠=，则t 的值为（ ）A.31- B. 31-C.32- D.31+ 【答案】A 【解析】【详解】根据题意，D 在线段AB 上，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，作DF BC ⊥ ，垂足为F ，若设AC BC a ==，由于(1)CD tCA t CB =+- ，得,(1)CE ta CF t a ==- ，根据题意60,30ACD DCF ∠=∠= ；cos60cos30CE CF = ，即132ta = ，31t -=，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中横线上）13.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,2)b =-,若a ∥b ，则代数式2sin cos sin cos θθθθ-+的值是 ．【答案】5 【解析】【详解】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得2sin cos 5cos 5sin cos cos θθθθθθ--==+-．考点：向量平行．14.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【解析】 【分析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆，1sin2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知函数2log (1)y ax =-在(2,1)--上单调递减，则a 的取值范围是____________. 【答案】1a ≤-【分析】根据对数函数的性质以及一次函数的性质，分离参数a ，求出a 的范围即可． 【详解】若函数y=log 2（ax ﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减， 则a ＜0且ax ﹣1＞0在（﹣2，﹣1）恒成立， 即a ＜1x在（﹣2，﹣1）恒成立， 故a ≤﹣1， 故答案为：a ≤﹣1【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．解答时不要漏掉了函数的定义域，不要忽视了取等问题.16.已知四面体P ABC -中，4,PA AC PB BC PA ====⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比____________．【答案】16【解析】 【分析】求出四面体P ABC -中的体积和表面积，可得其内切球半径，由正弦定理求出PBC 所在的小圆的直径，则可得四面体P ABC -外接球半径，从而可得所求比值．【详解】如图，由PA ⊥平面PBC ，,PC PB ⊂平面PBC ，则,PA PC PA PB ⊥⊥，由已知及勾股定理得，AB PC PBC ==为等边三角形，ABC 为等腰三角形．所以，11143322P ABCPBC V S PA -⎡=⋅=⋅⨯⨯=⎢⎣⎦，表面积21114252222S ⎡⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦设内切球半径为r ，13V S =表面积r ⋅，所以，13,34r =⨯=；PBC 所在的小圆的直径4PD ==，因此大圆直径（外接球直径）为2224442,22R R=+==，故内切球半径与外接球半径的比为332422rR==，故答案为：32 16．【点睛】本题考查四面体的内切球与外接球问题，考查球的性质与棱锥的表面积、体积．考查学生的空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.【答案】（1）众数为75，中位数为73.33；（2）9 10.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出a=0.030．由此能求出众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，基本事件总数2510n C==，这两人的分数至少一人落在[50，60）包含的基本事件个数1122339m C CC=+=，由此能求出这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率．【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.0100.0150.0150.0250.005)101a+++++⨯=，解得0.030a=，所以众数为：7080752+=，[)40,70的频率为(0.010.0150.015)100.4++⨯=，[)70,80的频率为0.03100.3⨯=，中位数为：0.50.4701073.330.3-+⨯≈. （2）用分层抽样的方法从[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，[)40,50的频率为0.1，[)50,60的频率为0.15，[)40,50∴中抽到0.1520.25⨯=人，[)50,60中抽取0.15530.25⨯=人， 从这五人中任选两人参加补考， 基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[)50,60包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，所以这两人的分数至少一人落在[)50,60的概率910m P n ==. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率 18.在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值． 【答案】（1）52nn a -=（2）n的值为8或9【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2375a a a =，联立42a =即可解出答案（2）根据52nn a -=写出5n b n =-，求出292n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可．【详解】（1）232637225a a a a a ++=， 可得2223355352()25a a a a a a ++=+=， 由42a =，即312a q =，①，由01q <<，可得10a >，0n a >， 可得355a a +=，即24115a q a q +=，②由①②解得1(22q =舍去），116a =，则15116()22n nn a --==；（2）22log log 2n n b a ==55nn -=-，可得219(45)22n n n S n n -=+-=，92n S n n -=， 则127941222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221917117289(4)()2244216n n n n n --=+==--+， 可得8n =或9时，1212n S S S n++⋯+取最大值18． 则n 的值为8或9．【点睛】本题考查等比数列，等差数列前n 项和的最值问题，属于基础题．19.等腰ABC 的底边66AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点.点F 在BC 边上，且.EF AB ⊥现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AE ⊥．(Ⅰ)证明EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积，求()V x 的最值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）max ()126=V x 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；（Ⅱ）利用题意求得体积的函数()V x ，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值. 【详解】（Ⅰ）证明：∵EF AB ⊥，∴90BEF PEF ∠=∠=︒， 故EF PE ⊥，而AB PE E ⋂=，所以EF ⊥平面PAE ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得EF PE ⊥，又∵PE AE ⊥，AE EF E ⋂=，∴PE ⊥平面ABC ，即PE 为四棱锥P ACFE -的高. 由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ，∴BE EFBD CD=，3EF =，∴6EF x =，∴2211322ACFE ABC BEF S S S x x ∆∆=-=⨯-=． 而PE EB x ==，∴()313ACFE V x S PE x =⋅=（0x <<），26)(6)()V x x x x ='=+-， 当(0,6),()0,()x V x V x ∈'>单调递增，当()0,()x V x V x ∈'<单调递减， 所以6x =时，(x)V 取得极大值，也是最大值，()max (6)V x V ==20.设A 、B 是抛物线2:4E y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB ⋅=，（其中O 为坐标原点）． （1）求证：直线AB 必与x 轴交于一定点Q ，并求出此定点Q 的坐标；（2）过点Q 作直线AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析，902,⎛⎫⎪⎝⎭；（2）88. 【解析】 分析】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立24x my ty x=+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --=，由韦达定理得，12124,4y y m y y t +==-，根据94OA OB ⋅=，得()212129164y y y y +=，由此解方程即可得到本题答案； （2）由弦长公式，得AB ==CD ==，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ==，通过换元法，利用函数的单调性即可求得本题答案.【详解】（1）证明：易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120y y <，由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --= ， 则216160m t +>，且12124,4y y m y y t +==- ，由94OA OB ⋅=，得()()2212121212916360164y y y y y y y y +=⇒+-=，解得，1218y y =-或122y y =（舍去）， 所以418t -=-，可得92t =，即直线AB 的方程为92x my =+， 所以直线AB 恒过定点9,02Q ；（2）由（1）得，AB == ，同理，CD == ，因为AB CD ⊥，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ===，令221m mμ+=（2μ≥，当且仅当21m =时等号成立），则S =易知函数218121170y μμ=++在[2,)+∞上是增函数，所以当2μ=时，S取得最小值88，故四边形ABCD 面积的最小值为88.【点睛】本题主要考查与抛物线相关的定点问题和面积问题，考查学生的分析问题能力和转化求解能力，联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用韦达定理，是解决此类问题的常用方法. 21.设函数()2ln 2f x x x x =-+(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦，求k 的取值范围． 【答案】(I)()f x 的单调递增区间为()0,+∞ ；(II)92ln21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】(Ⅰ) 求出()'f x ，对()'f x 再求导，可得函数()'f x 增区间与减区间，()'f x 的最小值为ln20>，从而可得()f x 的单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)根据()f x 的单调性求出()f x 在[],a b 的值域，问题转化为()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭，两次求导，根据函数的单调性求出k 的范围即可． 【详解】(Ⅰ)令g(x)=()()210f x x lnx x '=--> ,()1'2g x x=-， 令()'0g x >，解得：12x >，令()'0g x <，解得：102x <<， 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， 则()g x 的最小值为1ln202g ⎛⎫=>⎪⎝⎭． 所以()()1'02f x g x g ⎛⎫=≥> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞ .(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭递增，()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦所以()()()()12,2,2f a k a f b k b a b =+=+≤<． 则()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，()2f x k x =+，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭ 求导，得()2232ln 41'(2)2x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪+⎝⎭，令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭则()()()2122'230x x G x x x x -+=+-=≥． 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，()10,102G G ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，G(x)()0,0F x <'<， 当()1,x ∈+∞时，G(x)()0,0F x >'> 所以()F x 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在()1,+∞上递增， 故()192ln211,210F k F k +⎛⎫⎛⎤<≤∴∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线222:13xC y +=．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C 、2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB ．【答案】（1）1:2cos C ρθ=，()222:12sin 3C ρθ+=；（2）1AB =-. 【解析】 【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，由直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可将曲线1C 、2C 的直角坐标方程转化为极坐标方程； （2）设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程求得1ρ和2ρ，由此可得出12AB ρρ=-.【详解】（1）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）化为普通方程为222x y x +=，所以曲线1C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为2233x y +=，化为极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=；（2）设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得12cos13πρ==，22212sin 33πρ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即22532ρ=，解得2ρ=所以1215AB ρρ=-=-． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用极坐标方程解决线段长度的计算问题，考查计算能力，属于中等题. 23.已知函数()3f x x =-.（1）若()(2)9f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈，使得(2)3f x x a ++≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）-1<t<5 （2）[-4,0] 【解析】 【分析】 （1）分33322t t <≤≤，和3t >三种情况分类讨论去绝对值，可得一元一次不等式，再通过解不等式得到t 的取值范围（2）当[]2,4x ∈时，可化简得62x a x +≤-，再根据存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，即可求得答案【详解】（1）由()()29f t f t +<可得3239t t -+-<323329t t t ⎧≤⎪∴⎨⎪-+-<⎩,或3323329t t t ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或33329t t t ≥⎧⎨-+-<⎩ 解得15t -<<（2）当[]x 2,4∈时，()f 223x x a x x a ++=-++ ∴存在[]x 2,4∈，使得62x a x +≤-即2x 6x a 62x -≤+≤-成立，∴存在[]x 2,4∈，使得636x a x a ≤+⎧⎨≤-⎩成立，∴6266a a +≥⎧⎨-≥⎩，则[]a 4,0∈-【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式，在解含有绝对值不等式时需要通过分类讨论去掉绝对值，然后再解不等式，需要掌握解题方法．。
2021年高三年级上学期11月周考考数学文科 含解析
2021年高三年级上学期11月周考考数学文科含解析第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2 B．16C． D．43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．4．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为（ ）A. B.C. D.5．圆与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离6．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．平面C. 直线与所成的角为定值D ．异面直线所成的角为定值 7．在四面体中，,2,2,SB 6AB BC AB BC SA SC ⊥=====面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）A．，，，B．，，，，，C．，，，，，D．，，9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．10．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（）A． B．C． D．11．以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．12．正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面所成角的余弦值是（）A. B.C. D.评卷人得分二、填空题13．已知平面平面，且，试过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于且，，，则的长为___________.14．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则 .15．半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．16．已知为等腰直角三角形，斜边上的中线，将沿折成的二面角，连结，则三棱锥的体积为__________.评卷人得分三、解答题17．（本题12分）一个四棱锥的三视图如图所示．（1）求证：PA⊥BD；（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（本题12分）直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（I）求圆的方程；（II）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．19．（本题12分）如图,在四棱锥中, 底面,底面是直角梯形,,,3,2,5AB DC AB AD AB CD PD AD⊥====, 是上一点.（1）若平面,求的值;（2）若是的中点, 过点作平面平面,平面与棱交于,求三棱锥的体积.20．（本题12分）已知点,直线与圆相交于两点, 且,求．（1）的值；（2）线段中点的轨迹方程；（3）的面积的最小值．21．（本题12分）一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．22．（本题12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）设，求点到平面的距离．答案1．C【解析】试题分析：根据判定定理“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”可知C正确.考点：空间点线面位置关系．2．D【解析】试题分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=考点：简单空间图形的三视图3．C【解析】试题分析：由三视图可得该几何体是三棱柱，底面是有一个角是30°斜边为4且斜边上的高为的直角三角形，可得三角形另外两边为2，，三棱柱的高为4，该几何体的表面积为． 考点：三视图．4．B【解析】试题分析：设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成的角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决5．D【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，显然两圆相离，故选D.考点：圆与圆的位置关系．6．D【解析】试题分析：，三角形底边长为定值，高等于也为定值，所以为定值.点到平面的距离为定值，故A 选项结论正确.由于所以平面，即B 选项结论正确.将平移到，则角就是异面直线所成的角，这个角是定值，故C 选项结论正确.综上所述，选D.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．7．D【解析】试题分析：如图所示，由于，其即为外接球的直径，即，表面积为.考点：几何体的外接球.【易错点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .8．C【解析】试题分析：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．考点：棱台的结构特征．9．C【解析】试题分析：几何体一个三棱锥与一个三棱柱的组合体，三棱锥的高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；三棱柱高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；因此体积为，选C.考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10．A【解析】试题分析：因为，因为，因为，所以，故选A ．考点：棱锥的结构特征．11．A【解析】试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.12．C【解析】试题分析：取的中点为,连,因为平面平面,故,又,故平面,则就是直线与平面所成角,因,故,故的余弦值为.应选C.D 1A BC考点：线面角的定义及求法.【易错点晴】本题以正方体这一简单几何体为背景,考查的是直线与平面所成角的余弦值的求法问题及直线与平面的位置关系等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件和线面角的定义,运用线面的垂直关系找出直线在平面的射影,进而确定就是直线与平面所成角,然后在直角中求出,故,故的余弦值为.13．或【解析】试题分析：第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有.考点：求两点距离.【思路点晴】本题主要考查公理二“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”的一个推论“两条相交直线确定一个平面”，在根据两个平面平行的性质定理“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行”可以判断出，根据平行线分线段成比例，或相似三角形对应边成比例，可求出的值.14．9【解析】试题分析：圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，解得：或（舍），故填：9.考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.15．1：2【解析】试题分析：，圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为考点：圆柱侧面积16．【解析】试题分析：为三棱锥的高，为二面角平面角，即,所以三棱锥的体积为考点：三棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．17．（1）详见解析（2）＝．【解析】试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D 的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝．试题解析：（1）由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PA．（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°．所以DP⊥OQ．所以OD＝，QD＝．所以＝．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系18．（I）（II）或【解析】试题分析：（1）由题意可得，A（0，3）B（-4，0），AB的中点（-2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y-=k（x-1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程试题解析：（I）直线与两坐标轴的交点分别为，．（2分）所以线段的中点为，．（4分）故所求圆的方程为．（6分）（II）设直线到原点距离为，则．（8分）若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或．（11分）所以直线的方程为或．（12分）考点：直线和圆的方程的应用19．（1）（2）【解析】试题分析：（1）连接交于,由线面平行的性质定理，可得线线平行，再根据平行得相似，，再由得即得比例关系（2）设平面与平面的交线分别为，由线面平行的性质定理，可得线线平行：，，，根据是的中点,可确定为三等分点，最后根据等体积法求三棱锥体积试题解析：（1）连接交于,在中, 过作交于,平面平面平面,33,2,2AB BO PEAB CDCD DO ED==∴===.（2）过作交于,过作交于,则平面即为平面,则平面与平面的交线与平行, 即过作交于是的中点,, 则,又,则到平面旳距离为,则.考点：线面平行性质定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()114482446224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．试题解析：（1）直线的方程,即:, 圆圆心到的距离即：，化简得，．①（2）设点的坐标为,则代入①得即：为所求的轨迹方程．（3）()()()()()1144824462446426224ADP b S a a b a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+≥--=,当时, 面积最小, 最小值为．考点：直线与圆的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．21．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据正视图是底面边长为的平行四边形，侧视图是个长为，宽为的矩形，得到该几何体是一个平行六面体，其底面是边长为的正方形，高为，即可求解体积；（2）由（1）看出的几何体，知道该平行六面体中，面，面，得到侧棱长，表示几何体的表面积，得到结果．试题解析：（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，所以．（2）由三视图可知，该平行六面体中平面，平面，∴，侧面，均为矩形，．考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．22．（1）见解析，（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．试题解析：（1）证明：（方法一）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．又，∴平面平面．∵平面，∴平面．（方法二）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴，且．又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面平面，∴平面（2）解：（方法一）∵四边形为直角梯形，．∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．∴，即．又∵平面，∴．又，∴平面，面平面，∴平面平面过作于点，则平面，即为点到平面的距离．∵，∴，∴，点到平面的距离为（方法二）设点到平面的距离为．∵，∴，∴．由方法一得，平面 ，∴，∴12232117172FC CD AF FC AF d AC AC CD ====． 考点：线面平行及点到平面的距离．21219 52E3 勣C40696 9EF8 黸38994 9852 顒N31488 7B00 笀U-v.37124 9104 鄄22196 56B4 嚴u20241 4F11 休22112 5660 噠。
2021宝安区高考数学最后冲刺题——数学文化
数学文化 一、单项选择1.棣莫弗公式[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ，i sin n θ）（i 为虚数单位，r ＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z |=|OZ |,也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数z 0=a+2i 1+i（i 是虚数单位，R a ）是纯虚数，其对应的点为0Z ,Z为曲线|z |=1上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ） A.21 B.1 C.23D.2 3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（ ） A ．B ．C ．D ．4.明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度。
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试(十一)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试（十一）数学（文）试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x Zx ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A. []2,1-- B. [)1,2-C. {}2,1--D. {}1,2-【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得集合A B .【详解】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数z 满足93z z i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A 【解析】 【分析】先设(,)z a bi a b R =+∈，再根据复数相等列方程，解得z ，最后根据复数几何意义确定选项. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，229393z z i a bia b i494333a a z i b b ⎧=⎧⎪+=∴∴=+⎨⎨==⎩⎪⎩,对应的点为(4,3)，位于第一象限， 故选： A【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，且3a =，b为单位向量，则2a b +=（ ）A.B. C. 19D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算2219a b +=，得到答案. 【详解】()222222=4496419a b a b a a b b +=++⋅+=++=，故219a b +=.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A.B.53C.52D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程0bx ay -=，再由圆C ，求得圆心为(0,5)C ，半径2r ，利用直线与圆相切，即可求得52c a =，得到答案．【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心(0,5)C ，半径2r，则圆心到直线的距离为2255()a a d c b a -==+-，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了1% C. 新农村建设后，养殖收入没有增加D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】D 【解析】 【分析】设新农村建设前农村的经济收入为a ，可得新农村建设后农村的经济收入为2a ，然后计算出新农村建设前后农村的种植收入、其他收入、养殖收入和第三产业收入，由此可判断各选项的正误. 【详解】设新农村建设前农村的经济收入为a ，可得新农村建设后农村的经济收入为2a ，则新农村建设前，农村的种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ，第三产业收入为0.06a . 新农村建设后，农村的种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，第三产业收入为0.56a . 对于A 选项，新农村建设后，种植收入增加，A 选项错误；对于B 选项，新农村建设后，其他收入增加了0.11100%150%0.04a a ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，新农村建设后，养殖收入增加了，C 选项错误；对于D 选项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查饼图的应用，考查数据分析能力，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223a =，123111132a a a ++=则 3S =（ ） A.269B.133 C.139D. 6【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由223a =且123111132a a a ++=得到关于1a 和q 的方程组，求得1a 和q ，进而用等比数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为223a =且123111132a a a ++=， 所以1211123111132a q a a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得1293a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1213a q =⎧⎪⎨=⎪⎩当129a =，3q =时，()33213269139S -==-； 当12a =，13q =时，331213261913S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 所以，3269S =. 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力，属于基础题.7.海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c()()(),2a b S p p a p b p cp；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为△ABC 满足sin :sin :sin 2:A BC =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为（）A. B. C. D. 12【答案】C 【解析】 【分析】用正弦定理将三角形的三个内角正弦值的比转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.【详解】在△ABC 中，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C == 设2a x =，3=b x ，c =，且10a b c ++=+ ∴2310x x +=+ 解得2x =，即4a =，6b =，c = 且+c572a b p ，∴S 57574576572763.故选：C.【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题. 8.函数()()()2sin xx e e x f x x e ππ-+=-≤≤的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称， 据此可排除B 选项，考查函数()xxg x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，26c 3=，则角C (= )A.π3B.π6C.3π4D.π4【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA 3=，结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】b a cosC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC =，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，∴cosA =，可得：tanA =()A 0,π∈，πA 3∴=，可得：sinA =， 又a 2=，c =， ∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角，πC 4∴=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题． 10.设函数32()ln2x f x x x，则使得(2)(43)0f x f x +->成立的x 的取值范围是（ ）A. (-1，1)B. 1(,1)2C. (1,14) D. 15(,)44【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的单调性和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于x 的不等式组，解出即可． 【详解】解：因为32()ln2x f x x x，所以函数的定义域为()2,2-又3322lnln22x x f x x x f x xx所以()f x 为奇函数，因为24122x y x x 在()2,2-上单调递增，ln y x =在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可得2ln 2x y x+=-在定义域上单调递增，又3y x =在定义域上单调递增，所以32()ln2x f x x x 在定义域上单调递增，故由(2)(43)0f x f x +->， 得：(2)(34)f x f x >-，则2342222342x xx x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩， 解得：112x <<， 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 11.已知函数()sin(),(0,),22f x x ππωϕωϕ=+∈<，1(0)2f =，则下列结论正确的是（ ） A. 存在2(0,)3x ∈，使得()1f x =成立 B. 存在4(0,)3x ∈，使得()0f x =成立C. 存在0m >，使得()f x 在(0,)m 上单调递减D. 若存在0x >，使得()1f x =，则必有23x >【答案】D 【解析】 【分析】先由1(0)2f =，求出6π=ϕ，则()sin()6f x x πω=+，对A ，D 解得23x k πωπ=+，对B 得6x k πωπ=-，对C 得42233k x k πππωπ+≤≤+，k Z ∈，结合x 的范围，(0,),2πω∈看是否存在k Z ∈符合题意. 【详解】由1(0)2f =，则1sin 2ϕ=，又2πϕ<，得6π=ϕ，则()sin()6f x x πω=+，对A ，由sin()6x πω+1=，则2,62x k k Z ππωπ+=+∈，即23x k πωπ=+，k Z ∈若2(0,)3x ∈，又(0,),2πω∈则(0,)3x πω∈，即0233k πππ<+<，得106k -<<，又k Z ∈，k 不存在，A 错；对B ，由sin()6x πω+0=，则,6x k k Z πωπ+=∈，即6x k πωπ=-，k Z ∈若4(0,)3x ∈，又(0,),2πω∈则2(0,)3x πω∈，即2063k πππ<-<，1566k <<，又k Z ∈，k 不存，B 错； 对C ，由322,262k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈，则42233k x k πππωπ+≤≤+， 若(0,)x m ∈，又(0,),2πω∈则02m x πω<<，则2034223k m k πππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得16843k m k⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，又k Z ∈，故1k ≤-，43m ≤-，C 错误；对D ，由上面分析得23x k πωπ=+,k Z ∈，若0x >，又(0,)2πω∈，则23k ππ+0>，得16k >-，即0k ≥，又12ωπ>，得23k x ππω+=，得243x k >+，0k ≥，得23x >，D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，将相位整体代入解方程或不等式，根据条件进行逻辑推理判断正误，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD =O ，E 是线段B 1C （含端点）上的一动点，则 ①OE ⊥BD 1； ②OE //面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 的体积不是定值； ④OE 与A 1C 1所成的最大角为90°． 上述命题中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定和性质，面面平行的性质，三棱锥等积转换，异面直线所成角，对命题逐个分析，得到结果.【详解】利用1BD ⊥平面1AB C ，可得OE ⊥BD 1，所以①正确； 利用平面1//AB C 平面11AC D ，可得OE //面A 1C 1D ，所以②正确；根据11A BDE E A BD V V --=，且底面1A BD ∆的面积为定值，且E 到平面1A BD 的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以③不正确；当E 在1B 处时，OE 与A 1C 1所成的的角为90°，所以④正确； 所以上述命题中正确的个数为3， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有空间关系的判定，三棱锥等积转换，平行关系和垂直关系的判定和性质，属于简单题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】265【解析】 【分析】先根据平均数计算出m 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. 【详解】依题意12674,45m m ++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦[]126944955=+++=. 故答案为265. 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知,x y满足122 yxxx y≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，且2z x y=-的最大值等于__________.【答案】1【解析】【分析】先作可行域，则可确定0y>，化简目标函数22z x y x y=-=-，再根据目标函数表示的直线含义，确定最大值取法，计算即得结果.【详解】作可行域，如图阴影部分，所以0y>，因此22z x y x y=-=-，从而直线2z x y=-过点(1,1)A时z取最大值，为2111z=⨯-=故答案为：1【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本求解能力，属基础题.15.函数()xf x e ax=-有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_________【答案】0a<或a e=【解析】【分析】由题()0f x=，则xeax=，构造函数()xeg xx=，利用导数研究函数的性质，作出示意图，数形结合，由()y g x=与y a=只有一个交点，求得a的范围.【详解】当0x=时，()xf x e=无零点，由题()0f x=，则xeax=，0x≠构造函数()x e g x x =，则2(1)()x e x g x x '-=，则函数在()(),0,0,1-∞递减，在(1,)+∞递增，当1x =时，(1)g e =， 当x →-∞时，()0g x →，当0x <且0x →时，()g x →-∞，当0x >且0x →时，()g x →+∞，由此可画出()g x 的示意图如图所示，再用y a =直线去截，可知当0a <或a e =时，两图象有一个交点，即()f x 有一个零点. 故答案为：0a <或a e =【点睛】本题主要考查了函数零点的概念及其应用，其中解答中涉及到函数零点的个数的判定，分离变量，构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值，数形结合解决问题，属于中档题.16.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过点2F 且斜率为(0)k k >的直线l与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆圆心为1O ，半径为1r ，12BF F △的内切圆圆心为2O ，半径为2r ，则直线12O O 的方程为：______；若123r r =，则k =______ 【答案】 (1). x a = (2). 3【解析】 【分析】利用三角形的内心及双曲线的定义，可得1O 的横坐标与2O 的横坐标相等，从而可求出直线12O O 的方程；利用正切函数的定义及二倍角公式，并结合题意，即可求出直线的斜率.【详解】12AF F △的内切圆圆心为1O ，边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 则AM AN =，11MF EF =，22EF NF =，由122AF AF a -=，得()122AM MF AN NF a +--=，则122MF NF a -=， 即122EF EF a -=，设1O 的横坐标为0x ，则()0,0E x ， 所以()002x c c x a +--=，解得0x a =， 同理可得，2O 的横坐标也为a ， 所以直线12O O 的方程为x a =. 设直线l 的倾斜角为θ，则222OF O θ∠=，12902O F O θ∠=︒-，在12O EF △中，1122tan tan 902r O F O EF θ⎛⎫∠=︒-= ⎪⎝⎭，所以12tan 902r EF θ⎛⎫=⋅︒- ⎪⎝⎭，在22O EF △中，2222tan tan2r O F O EF θ∠==，22tan 2r EF θ=⋅， 结合123r r =，可得22tan 903tan 22EF EF θθ⎛⎫⋅︒-=⋅ ⎪⎝⎭， 即cot3tan22θθ=，解得tan2θ=则直线的斜率为22tan32tan 11tan 123k θθθ====--故答案为：x a =.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质、直线斜率的定义、正切函数的定义及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3321S a =-，12()n n a a n N *+=∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T 【答案】（1）12n n a ；（2）2n T n =.【解析】 【分析】（1）根据12n n a a +=，知{}n a 为公比为2的等比数列，再由条件求出1a ，求得{}n a 的通项公式； （2）由()21log n n n b a a +=⋅，求得21n b n =-，再用等差数列前n 项和公式求出n T【详解】（1）由12()n n a a n N *+=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以2q.又因为3321S a =-，所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为12n na .（2）由（1）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-== 【点睛】本题考查了等比数列的定义及通项公式，等差数列的前n 项和公式，属于容易题.18.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2=2CB GF =，BF CF =.（1）求证：AB CG ⊥；（2）若四边形BCGF 3，求三棱锥B ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点为D ，根据平几知识证得四边形CDFG 为平行四边形，再根据等腰三角形性质得DF BC ⊥，即有CG BC ⊥，根据面面垂直性质定理得CG ⊥平面ABC ，即得结果；（2）根据四边形BCGF 的面积求得233CG =，再根据等体积法以及锥体体积公式求结果. 【详解】证明：取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ， 平面ABC平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴//BC FG .∵2CB GF =，∴//=CD GF CD GF ，，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB平面ABC ，∴CG AB ⊥. (2)由(1)知，CG ⊥平面ABC . ∵直角梯形BCGF 3 ∴()1232CG+⋅=，∴233CG =∴112323333B ACE E ABC G ABC ABC V V V S CG ---∆===⋅⋅==.【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理、等体积法求锥体体积，考查综合论证与求解能力，属中档题.19.十九大报告要求，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元； 方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元.扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：记x 表示1台机器在三年使用期内的保养次数. （1）用样本估计总体的思想，求“x 不超过3”的概率；（2）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？ 【答案】（1）2225；（2）第二种. 【解析】 【分析】（1）用x 不超过3的机器台数除以50即可.（2）分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），除以50得每台每年的平均费用，选择平均费用小的那种方案即可.【详解】解：（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过3次的台数共44台， 故“x 不超过3”的概率为110191422=5025P +++=. （2）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为507000142004200222003355600⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=（元）.所以每年每台平均费用为71123元. 在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为50705041002002353300⨯+⨯+⨯=（元）.所以每年每台平均费用为70663元. 因为7112706633>， 所以扶贫办应选择第二种方案更合算.【点睛】考查计算频率和平均数，解决的关键是读懂题意用好公式；中档题. 20.已知函数2()(,),()(1)x f x x ae b a b R g x x a x =++∈=++． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()()h x xf x ，当0,1x a <≤时，证明：()()g x h x >．【答案】（1）在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a-+∞上为减函数；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据a 分类讨论，最后结合导函数符号确定单调性；（2）构造差函数()()()F x g x h x =-，转化研究()x H x x a ae =+-符号，利用导数确定()H x 单调性，再根据单调性证得不等式.【详解】解：（1）()1x f x ae =+'当0a ≥时，()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数当0a <时，由()0f x '>可得1ln()x a <-，由()0f x '<可得1ln()x a>- 则函数()f x 在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a-+∞上为减函数 （2）证明：令()()()F x g x h x =-则22()(1)()()xxF x x a x xf x x ax axe x x a ae =++-=+-=+-' 令()xH x x a ae =+-，则()1xH x ae =-'∵0x <，∴01x e <<，又1a ≤，∴110x x ae e -≥->∴()H x 在(,0)-∞上为增函数，则()(0)0H x H <=，即0x x a ae +-< 由0x <可得()()0xF x x x a ae =+->，所以2(1)()x a x xf x >'++．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21.平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,2,3,0Q F -，动点P 满足||3||PQ OF PF ⋅=.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若点M 为（1）中轨迹E 上一动点，(,0)(0)A a a ≠，直线MA 与E 的另一个交点为N ；记11t AM AN=+，若t 值与点M 位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”.是否存在 “稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212y x =；（2）答案不唯一，答案见解析. 【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，运用向量的坐标运算并化简，求得动点P 的轨迹E 的方程；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，与轨迹E 联立，并表示出根与系数的关系，将11t AM AN =+化简得2t =2122212(||||)(1)()y y m y y ++⋅，分0a <和0a >去绝对值，看是否存在t 值与点M 位置无关.【详解】解：（1）设(,)P x y ，则(3,2),(3,0),(3,)PQ x y OF PF x y由||3||PQ OF PF ⋅=可知：22933(3)()x x y ，化简得212y x =即动点P 的轨迹E 的方程为：212y x =（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,12x my a y x=+⎧⎨=⎩ 得212120y my a --=.21212144480,12,12m a y y m y y a ∆=+>+==-.则11t AM AN =+=+=则2t =2122212(||||)(1)()y y m y y ++⋅ ①当0a <时，1212120,y y a y y =->∴同号，2221222222212()1114411(1)1()11441y y m t m y y m a a m+∴=⋅=⋅=-+++，不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”. ②当0a >时，1212120,y y a y y =-<∴异号.又22212121222221212()()4111()1()y y y y y y t m y y m y y -+-∴=⋅=⋅++ 222221111444813(1)11441a m a m a a m -+=⋅=+++ 当且仅当1103a -=,即3a =时，t 与m 无关，此时的点(3,0)A 为“稳定点”.【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，还考查了学生分析问题的能力，运算能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x --=，22(2)4x y -+=（2【解析】 【分析】 （I ）将2ty代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离.【详解】解：（I ）将2t y =代入3x =+，整理得30x --=， 所以直线l的普通方程为30x --=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （II ）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2213242t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=于是122p t t t +==. 设()00,P x y，则0093,2241,224x y ⎧⎛=+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎩则9,4P ⎛⎝⎭. 所以点P 到原点O. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()11f x x x =+--的最大值为M . （1）求M 的值；（2）已知a 、b 、c 为正数，且a b c M ++=，证明: 2228a b cb c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）2M =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得M 的值； （2）由2a b c ++=得出2a b c b b -+=，利用基本不等式得出2a b b-≥，同理可得出2b c c -≥，2c a -≥，再利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()()11112f x x x x x =+--≤++-=，即2M =；当1x ≥时，等号成立（2）由已知条件得2a b c ++=，2a b c b b -+∴=≥同理可得2b a c c c c -+=≥，2c b a a a a-+=≥ 由不等式的基本性质可得2228a b c b c a ---⋅⋅≥，当且仅当23a b c ===时等号成立. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文(含解析)
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文（含解析）1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ． （1，2）D ．【答案】C 【解析】因为集合，，所以=（1，2）。
3. 执行右边的程序框图，若输出的是，， 则判断框内的应是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2，髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。
5. 已知数列的前项和为，且，则等于A.B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】当；。
6. 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】222211sin140cos50sin(250)cos70sin70cos701222 cos155sin25cos25sin25cos50cos50 -==== --。
7. 函数的大致图像是A B C D【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B。
8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为A． B． C． D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。
9.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十一)数学(文科)
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11M x Z x =∈-≤≤，(){}20|N x Z x x =∈-≤，则MN =（ ） A. {}1,2-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2 【答案】B【解析】【分析】化简集合，再求交集即可.【详解】{}{}|1,0,111M x Z x =-=∈-≤≤，(){}{}20|0,1,2N x Z x x ==∈-≤ M N ={}0,1故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若341i z iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A. 32 B. 2 C. 52 D. 3【答案】C【解析】【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．3.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A. 2B. 3C. 8D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a ba b a b ⋅∴<>=== 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.4.已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，且1471692a a a ，，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，解得121q a ==，， 则3312S 712-==-． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D【解析】【分析】 本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==> 13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．6.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由(1)f的正负可排除D.【详解】()21e1cos cos 1e1exx xf x x x-⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，()1ecos()1exxf x x----=-=+e1cose1xxx-+()f x=-，故()f x为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef-=<+，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.8.已知实数,x y满足约束条件121x yx yy a+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y=-的最大值为2，则a的值为（）A. -1 B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a--，1(,)2aB a+，(0,1)C-，目标函数3z x y=-可化为3y x z=-，当直线过点B时z最大，所以3(1)22aa+-=，解得1a=，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期2T π=B. 函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 曲线()y g x =关于直线6x π=对称 【答案】C【解析】【分析】 根据左右平移和112g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得()g x 解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则sin 2112g πϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ()g x 最小正周期22T ππ==，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π=时，3262x ππ+=且3cos 02π=，所以2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6x π=时，262x ππ+=且cos 02π=，所以,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1，在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ，在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 4π B. 39160π C. 19180π+ D. 19280π+【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，再求出矩形ABCD 的面积，根据几何概型的计算公式进行求解.【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为(())()()()()2222211111S 1123524444πππππ=-•+••+••+••+••()92514444πππππ=-++++ 38191142ππ=+=+， 矩形ABCD 的面积为1S 5840=⨯=， 故此点取自阴影部分的概率为19121924080ππ++=， 故选D.【点睛】本题考查了几何概型的问题，几何概型往往以长度、面积、体积为测度，熟记几何概型的计算公式是关键. 12.设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A. 23B. 34C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________．【答案】6【解析】【分析】首先计算出样本间隔为18，在区间[]181,288中共有108人，然后进行计算即可．【详解】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题.14.已知圆22:(3)(1)3C x y -+-=及直线:220l ax y a +--=，当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________.【答案】0x y -=【解析】【分析】由题得直线l 过定点P （2，2），当直线l 垂直于过点P 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l 的斜率即可求解方程【详解】由l ：:220l ax y a +--=得a （x -2）+y -2=0 ∴不论a 取何值，直线l 恒过点P （2,2） ∵221123+=< ∴点P （2,2）在圆C 内故当直线l 垂直CP 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时1,1CP l k k =-∴=,故直线l 的方程为0x y -= 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______. ①存在某个位置，使得CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值），由余弦定理可得NC 是定值． 对于③，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立． 对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π． 【详解】对于①：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则NE ∥AB 1，NF ∥MB 1，如果CN ⊥AB 1，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值）， 由余弦定理可得NC 2＝NE 2+EC 2﹣2NE •EC •cos∠NEC ，所以NC 是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，易得AD 中点H 就是三棱锥B 1﹣AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确． 故答案为②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________. 【答案】442+ 【解析】 【分析】由4c =，42sin a A =，利用正弦定理求得4C π=.，再由余弦定理可得22162a b ab =+，利用基本不等式可得(82222ab ≤=+-，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为4c =，又42sin sin c a C A== 所以2sin 2C =，又C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 222a b ab C a b ab ab =+-=+≥， 所以(82222ab ≤=+-，当且仅当a b =时等号成立，即1sin 42ABC S ab C ab ∆==≤+即当a b ==时，ABC∆面积的最大值为4+. 故答案为4+.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）69nn +. 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果； （2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，则：1124545252a d a d +=⎧⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩， 所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-，所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．则1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．18.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DF 平面PBE ； （Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离． 试题解析：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=， ∵5PE BE ==，23PB =，∴6PBE S ∆=，∴6d =．点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.19.近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A 指标x 和B 指标y ，数据如下表所示：城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A 指标2 4 5 6 8 B 指标34445（1）试求y 与x 间的相关系数r ，并说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系（若||0.75r ≥，则认为y 与x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测当A 指标为7时，B 指标的估计值.（3）若某城市的共享单车A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+内现已知C 省某城市共享单车的A 指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，，a y bx =-相关系数()()niixx yyr --=∑参考数据：2s ==0.55≈0.95≈.【答案】（1）0.95r ≈，y 与x 具有较强的线性相关关系；（2）0.3 2.5y x =+，B 指标的估计值为 4.6；（3）城市的交通管理部门需要进行治理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,x y ，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论；（2）利用（1）中的数据求出,b a ，求出线性回归方程，即可求出7x =时，y 的值； （3）分别求出3,3x s x s -+的值，13与3x s +对比，即可得出结论. 【详解】（1）由题得2456855x ++++==，3444545y ++++== 所以()()516i i i x xy y =--=∑，()52120i i x x=-=∑，()5212i i y y=-=∑则0.95r ==≈.因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系. （2）由（1）得60.320b ==，40.35 2.5a =-⨯=， 所以线性回归方程为0.3 2.5y x =+. 当7x =时，0.37 2.5 4.6y =⨯+=， 即当A 指标为7时，B 指标的估计值为4.6. （3）由题得(3,3)(1,11)x s x s -+=-，因为1311>，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.【点睛】本题考查两个变量间的相关性判断、线性回归直线方程及应用，考查计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为25y x =+或25y x =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k xkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，结合韦达定理可得到参数值. 【详解】（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，即(1212y y x x++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-+++ 0=，整理解得k =或k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()()21ln (0)2a f x x x x a =--+>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a e <<，试判断()f x 的零点个数.【答案】（1）当1a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）1 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导后对a 进行分类讨论，找到()0f x '>和()0f x '<的区间，即为()f x 的单调区间. （2）由（1）可知1a e <<时，()f x 有极大值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭和极小值()1f ，研究他们的正负，并且找到令()0f x >的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()11111x ax f x a x x x--=--+='，令()0f x '=，则11x =，21x a=， （i ）若1a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， （ii ）若01a <<，则11a>， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， （iii ）若1a >，则101a<<， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， 综上所述：当1a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）当1a e <<时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()f x 的极小值为()110f =-<，()f x 极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()1ln 122a g a a a=---，其中()1,a e ∈， ()()2222211112102222a a a g a a a a a--+='=+-=>,所以()g a 在()1,e 上是增函数， 所以()()e 1e 2022e g a g <=--<， 因为()()2114414ln494ln4ln40222a f =--+>⨯-+=+>，所以有且仅有1个()01,4x ∈，使()00f x =. 所以当1a e <<时，()f x 有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：4cos ρθ=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点()3,0P，求11PM PN-的值. 【答案】（1）22(2)4x y -+=0y --=；（2）13【解析】 【分析】（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l参数方程为普通方程；（2）先化直线l 的参数方程为标准式，再代入曲线C 方程，最后根据参数几何意义求解． 【详解】解：（1）曲线:4cos C ρθ=，24cos ρρθ∴=，∴曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即22(2)4x y -+=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ∴直线l0y --=（2）直线l的参数方程为：132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入224x y x +=，得230t t +-=，121t t ∴+=-，123t t =- ∴2121121212||||||111||||||||||311t t t t t PM P t t t t t N --+=-===． 【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属于中档题．23.已知函数()12f x x a a x =--+-（Ⅰ）若()13f <，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2,3a x R ≥∈，判断()f x 与1的大小关系并证明. 【答案】（Ⅰ）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()1f x ≥，证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定a 的范围即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．【详解】（I ）因为()13f <，所以123a a +-<.① 当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤; ② 当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<; ③ 当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<;综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ （II ）()1f x ≥ ，因为2,3a x R ≥∈, 所以()12f x x a a x =--+- ()()1213311x a a x a a ≥----=-=-≥【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
专题11平面直角坐标系(基础巩固练习) 解析版
2021年中考数学专题11 平面直角坐标系（基础巩固练习，共31个小题）一、选择题：1.（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解：∵点A（a，﹣b）在第三象限，∴a＜0，﹣b＜0，∴b＞0，∴﹣ab＞0，∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．故选：A．2.（2020•邵阳）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A．（a，b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（a，﹣b）【答案】B【解析】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；故选：B．3.（2020•毕节市）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（﹣4，5）D．（﹣5，4）【答案】C【解析】解：设点M的坐标是（x，y）．∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，∴|y|＝5，|x|＝4．又∵点M在第二象限内，∴x＝﹣4，y＝5，∴点M的坐标为（﹣4，5），故选：C．4.（2020•宜昌）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【解析】解：根据题意画出图形可得：A、小李现在位置为第1排第4列，此选项说法错误；B、小张现在位置为第3排第2列，此选项说法正确；C、小王现在位置为第2排第3列，此选项说法错误；D、小谢现在位置为第4排第4列，此选项说法错误；故选：B．5.（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【答案】D【解析】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，每个方格的长度表示1，所以表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，每个方格的长度表示2，所以表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，可建立如图所示平面直角坐标系，每个方格的长度表示2，所以表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，如上图所示，每个方格的长度表示3，所以表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．6.（2020•兰州）若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（）A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝﹣2 C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝﹣2【答案】B【解析】解：根据题意：m﹣3＝﹣1，2n＝﹣4，所以m＝2，n＝﹣2．故选：B．7.（2020秋•盐田区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．±5【答案】C【解析】解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是√(32+(4−0)2=5．故选：C．8.（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）【答案】C【解析】解：由题意，得x＝﹣4，y＝3，即M点的坐标是（﹣4，3），故选：C．9.（2019秋•张店区期末）在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（）A．﹣2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8【答案】B【解析】解：∵点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，∴|y﹣3|＝5，解得：y＝8或y＝﹣2．故选：D．10.（2020•浙江自主招生）代数式2+4+√(12−x)2+9的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【答案】B【解析】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为√(x−0)2+[0−(−2)]2+√(x−12)2+(0−3)2，即√(x−0)2+[0−(−2)]2=AP，√(x−12)2+(0−3)2=BP，AB=√122+52=13．代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13．故选：B．11.（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【答案】D【解析】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．12.（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【答案】D【解析】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C （0，﹣1），∴F（0+3，﹣1+2），即F（3，1），故选：D．13.（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A 2019的坐标是（1009，0）．故选：C ．14.（2019•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A （4，0），B （0，3），则点C 100的坐标为（ ）A ．（1200，125） B ．（600，0） C ．（600，125）D ．（1200，0）【答案】B【解析】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上． ∵A （4，0），B （0，3）， ∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB =2+OB 2=5，∴点C 2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n ×6（n 为正整数）， ∴点C 100的横坐标为100×6＝600， ∴点C 100的坐标为（600，0）．故选：B ．15.（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2019的坐标为（ ）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【解析】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2019÷4＝504 (3)∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×12=−1008．∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．故选：A．二、填空题：1.（2020•金华）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）．【答案】﹣1（答案不唯一）【解析】解：∵点P（m，2）在第二象限内，∴m＜0，则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．2.（2018•柳州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．【答案】（﹣2，3）【解析】解：由坐标系可得：点A的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．3.（2017•六盘水）已知A（﹣2，1），B（﹣6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为（，）．【答案】﹣1，1【解析】解：∵A（﹣2，1），B（﹣6，0），∴建立如图所示的平面直角坐标系，∴C（﹣1，1）．故答案为：﹣1，1．4.（2019•白银）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“卒”位于点．【答案】（﹣1，1）【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“卒”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．5.（2016•梅州）已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是．【答案】m＞3【解析】解：∵点P（3﹣m，m）在第二象限，∴{3−m＜0m＞0解得：m＞3；故答案为：m＞3．6.（2020•广安）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab＝．【答案】12【解析】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a＝﹣6，b＝﹣2，∴ab＝12，故答案为：12．7.（2018•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是．【答案】4【解析】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|＝4．故答案为：4．8.（2020春•盘龙区期末）已知平面直角坐标系内不同的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为．【答案】1或﹣3【解析】解：∵平面直角坐标系内不同的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，∴|2a+2|＝4，解得：a1＝1，a2＝﹣3．故答案为：1或﹣3．9.（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是．【答案】x＞2【解析】解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，∴{x−2＞0 x+3＞0，解得：x＞2．故答案为：x＞2．10.（2018•北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．【答案】3【解析】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：311.（2020•金昌）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，√3），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，√3），则点E的坐标为．【答案】（7，0）【解析】解：∵A（3，√3），D（6，√3），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．12.（2020•朝阳）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）…则第2068秒点P所在位置的坐标是．【答案】（45，43）【解析】解：由题意分析可得，动点P第8＝2×4秒运动到（2，0），动点P第24＝4×6秒运动到（4，0），动点P第48＝6×8秒运动到（6，0），以此类推，动点P第2n（2n+2）秒运动到（2n，0），∴动点P第2024＝44×46秒运动到（44，0），2068﹣2024＝44，∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位，∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43），故答案为：（45，43）．13.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．【答案】22020（形式可以不同，正确即得分）【解析】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的腰长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的腰长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．14.（2020•广安）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3…以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是．【答案】（﹣21011，﹣21011）【解析】解：观察，发现：B1（2，2），B2（0，4），B3（﹣4，4），B4（﹣8，0），B5（﹣8，﹣8），B6（0，﹣16），B7（16，﹣16），B8（32，0），B9（32，32），…，∴B8n+1（24n+1，24n+1）（n为自然数）．∵2021＝8×252+5，∴B2021的纵横坐标符号与点B5的相同，∴点B2021的坐标为（﹣21011，﹣21011）．故答案为：（﹣21011，﹣21011）．15.（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是．【答案】（20192，√32）【解析】解：由题意知， A 1（12，√32） A 2（1，0） A 3（32，√32） A 4（2，0） A 5（52，−√32） A 6（3，0） A 7（72，√32） …由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：√32，0，√32，0，−√32，0这样循环，∴A 2019（20192，√32）， 故答案为：（20192，√32）三、解答题：1.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．【答案】(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示；(3)△PAB如图所示，P(2，0)。
2021年高三数学下学期第十一次大练习 理(含解析)
2021年高三数学下学期第十一次大练习 理（含解析）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ． （1，2）D ．【答案】C【解析】因为集合，，所以=（1，2）。
3. 执行右边的程序框图，若输出的是， 则判断框内的应是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。
5. 函数的大致图像是A B C Ｄ【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y 轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B 。
6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，所以3a+b=1， 所以，当且仅当取等号，故选A ．7．设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为 A ． B ． C ． D. 【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。
8.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，0为坐标原点，则的外接圆方程是A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由圆x 2+y 2=4，得到圆心O 坐标为（0，0）， ∴的外接圆为四边形OAPB 的外接圆，又P （4，2）， ∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP 的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。
【原创】(新高考)2021届高考考前冲刺卷 数学(十) 解析版
（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（十）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}3,2,0,2,3U =--，{}3,3A =-，()(){}320B x x x =--=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}3,2,3-B ．{}3,2,0,2--C ．{}3D ．{}2,0-2．设z 是复数z 的共轭复数，若10i 5z z z ⋅+=，则2i z=+（ ） A ．2 B ．34i 55+ C ．2或43i 55+ D ．2或34i 55+ 3．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，若45S =，232S =，则公差d =（ ）A ．14B ．1C ．34D ．124．设m ∈R ，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆()()22:123C x y m -+-=-有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知抛物线2:(0)E y ax a =≠的焦点为F ，准线为l ，一圆以F 为圆心且与l 相切，若该圆与抛物线E 交于点00(,)M x y ，则0y x 的值为（ ） A ．2a -或2aB ．2-或2C ．2-D ．2a6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E 为AF 的中点，EG AB AD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．12B ．35C ．23D ．457．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B -的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．30,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．12,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意x 都满足(2)()f x f x +=，且当11x -≤≤时2()2f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中，与sin π6的值相等的是（ ） A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan 30tan151tan 30tan15︒︒-︒+︒此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p = B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<≤=- D ．若某次考试的标准分X 服从正态分布()90,900N ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为3811．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则（ ）A ．以正八面体各面中心为顶点的几何为正方体B ．直线AE 与CF 是异面直线C ．平面ABF ⊥平面ABED ．平面//ABF 平面CDE12．已知曲线2()(0)x f x ae a -=>与曲线2()(0)g x x m m =->有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e 是自然对数的底数)，则当m 变化时，实数a 取以下哪些值能满足以上要求（ ） A ．1 B ．eC ．2eD ．2e第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在二项式()51x +的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是_____． 14．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于_________． 15．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A 离地面a 米，树上另一点B 离地面b 米，在离地面()c c b <米的C 处看此树，离此树的水平距离为_________米时看A ，B 的视角最大．16．已知区域D 表示不在直线()212223m x my m -+=+(m ∈R )上的点构成的集合，则区域D的面积为________，若在区域D 内任取一点(),P x y 22x y +的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c )22232sin a c b bc A +-=．（1）求B ；（2）若ABC △23，2c a =，求b ．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，且122n n n A B +-=-．（1）求{}n n a b -的通项公式；（2）若n n a b n +={}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．（12分）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）同一组数据用该区间的中点值作代表， ①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x ；②若该同学的接球训练成绩X 近似地服从正态分布(),100N μ，其中μ近似为样本平均数x ， 求()5464P X <<的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y ．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求()E Y ．参考数据：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，()220.9545P μσξμσ-<<+≈，()330.9973P μσξμσ-<<+≈．20．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是菱形，AB BC ⊥，1C 在底面ABC上的射影是BC 的中点． （1）证明：1CB ⊥平面1ABC ；（2）若2BC AB =，求1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆(22:12C x y+=，动圆M过点)D且与圆C相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数()212ln2f x x mx x=++在点()()1,1f处的切线垂直于y轴．（1）求()f x的单调区间；（2）若存在a，b，c()0a b c<<<使得()()()f a f b f c==，求证：2c a-<．（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（十）答 案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
专题11 二次函数(二)(压轴篇)(解析版)
专题11 二次函数（二）压轴篇母题揭秘：（1）本市二次函数真题详情剖析；（2）二次函数压轴大题题型知识点、解题思路高度总结；（3）本市近年的二次函数压轴题中考模拟题精心汇编。
【母题来源1】（2017·上海中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．【答案】（1）（1，3）；（2）cot∠AMB==m﹣2；（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）【解析】分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）过点A作AC∠BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∠y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q的坐标．解：（1）∠抛物线的对称轴为x=1，∠x=﹣=1，即=1，解得b=2．∠y=﹣x2+2x+c．将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∠抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∠抛物线的顶点坐标为（1，3）．（2）如图所示：过点A作AC∠BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．∠M（1，m），C（1，2），∠MC=m﹣2．∠cot∠AMB==m ﹣2．（3）∠抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x 轴上，∠抛物线向下平移了3个单位．∠平移后抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x ﹣1，PQ=3．∠OP=OQ ，∠点O 在PQ 的垂直平分线上．又∠QP∠y 轴，∠点Q 与点P 关于x 轴对称．∠点Q 的纵坐标为﹣．将y=﹣代入y=﹣x 2+2x ﹣1得：﹣x 2+2x ﹣1=﹣，解得：x=或x=．∠点Q 的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【母题来源2】（2016·上海中考真题）如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC 、CD 、DA 、AB ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E 3(0,)2．【解析】分析：（1）先求出C 、B 的坐标，代入抛物线的解析式即可得到结论；（2）求出D 的坐标，由ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+四边形计算即可；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由∠ABC 的面积求出CH 的长，在Rt∠BCH 中，求出tan∠CBH ，在Rt∠BOE 中，根据tan∠BEO ，即可得出E 的坐标．解：（1）∠抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ，(0,5)C -，∠5OC =．∠5OC OB =，∠1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上，∠(1,0)B -． ∠抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -，∠16455{50a b a b +-=---=，解得1{4a b ==-， ∠这条抛物线的表达式为245y x x =--；（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ，∠点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∠18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．∠1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，AB =∠CH =Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，BC =BH ==∠2tan 3CH CBH BH ∠==； 在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BO BEO EO ∠=． ∠BEO ABC ∠=∠，∠23BO EO =，得32EO =， ∠点E 的坐标为3(0,)2．【母题来源3】（2012·上海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A（4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF∠OD ，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC 时，求t 的值．【答案】（1）二次函数的解析式为：y=﹣2x 2+6x+8；（2）EF=1t2，OF=t﹣2；（3）t=6【解析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可.（2）先证明∠EDF∠∠DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解.（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：∠CAG∠∠OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt∠ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值.解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∠16a+24+c=0{a6+c=0-，解得a=2{c=8-.∠这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8.（2）∠∠EFD=∠EDA=90°，∠∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°.∠∠DEF=∠ODA.∠∠EDF∠∠DAO.∠EF ED=DO DA.∠ED1=tan DAE=DA2∠，∠EF1=DO2.∠OD=t，∠EF1=t2，∠EF=1t2.同理DF ED=OA DA，∠DF=2，∠OF=t﹣2.（3）∠抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∠C（0，8），OC=8.如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∠∠ECA=∠OAC ，∠∠OAC=∠GCA （等角的余角相等）.在∠CAG 与∠OCA 中，∠∠OAC=∠GCA ，AC=CA ，∠ECA=∠OAC ，∠∠CAG∠∠OCA （ASA ）.∠CG=AO=4，AG=OC=8.如图，过E 点作EM∠x 轴于点M ，则在Rt∠AEM 中，EM=OF=t ﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+1t 2， 由勾股定理得：()222221AE AM EM 4+t +t 22⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.在Rt∠AEG 中，由勾股定理得：==在Rt∠ECF 中，EF=1t 2，CF=OC ﹣OF=10﹣t ，由勾股定理得：EF 2+CF 2=CE 2，即()2221t +10t =2⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝. 解得t 1=10（不合题意，舍去），t 2=6.∠t=6.二次函数压轴题总结：1、和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。
2021年高考数学(文)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 01(解析版) 含解析
2021年高考数学（文）冲刺卷（新课标Ⅰ卷） 01（解析版）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合，，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，所以，故选C.2.向量，，若，则（）A． B． C．D．【答案】C3.已知复数，则的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】()()()212112111iz i i i i ii i i+=+=+=++=+--+，所以的共轭复数，故选C.4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为（）A． B． C． D．【解析】试题分析：抛掷一枚质地均匀的骰子包含个基本事件，因为函数有两个不同零点，所以，解得（舍去）或.因为为正整数，所以的取值有，，，，，共种结果，所以函数有两个不同零点的概率为，故选D.5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图知该几何体为圆锥与直三棱柱的组合体，其中圆锥的高为，底面为圆的，圆半径为；直三棱柱的高为，底面为直角三角形，两条直角边长分别为和，所以该几何体的体积为，故选B.7.已知实数，函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，，所以，，因为，所以，即，解得，所以实数的取值范围是，故选B．8.已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则等于（）A． B． C． D．9.将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个 区间单调递增（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，当（），即（）时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为（），当时，函数在区间上单调递增，故选A.10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由程序框图得()()()12342013201420152016012101S a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++++=++-+++()()()()()504410120141012016166665043024+++⋅⋅⋅+++-+++++=++⋅⋅⋅+=⨯=个，故选D.11.点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，， 则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B12.已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若是数列的前项和，且，则数列的最大项的值为 . 【答案】【解析】当时，，当时，，当时取等号，所以数列的最大项的值为．14.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】【解析】，由题意得：，解得.15.已知变量，满足约束条件，设，则的取值范围是．【答案】【解析】作出可行域，如图所示，当目标函数过点时取得最小值，，当目标函数过点时取得最大值，，所以的取值范围是.16.椭圆的右顶点为，是椭圆上一点，为坐标原点.已知，且，则椭圆的离心率为 .【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）如图所示，在四边形中，=，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．【答案】（1）；（2）．18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：1122211()()ˆˆˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y n x yb a y bxx x x nx====---⋅⋅===---∑∑∑∑，【答案】（1）；（2）吨．【解析】解：(1)，…………………2分5117.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i iix y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑19.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，点是线段中点．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：面，面 ………………1分 中，，同理：，又， ………………3分平面………………4分 又平面………………5分 （2），，………………6分 又，，………………7分设点到平面的距离为，则11D C CD 1116V 1V 3232d -A E A-E =⨯⨯==⨯⨯………………10分 解得：………………11分即点到平面的距离为………………12分20.（本小题满分12分）已知圆过圆与直线的交点，且圆上任意一点关 于直线的对称点仍在圆上. （1）求圆的标准方程；（2）若圆与轴正半轴的交点为，直线与圆交于两点，且点是的垂线（垂 心是三角形三条高线的交点），求直线的方程. 【答案】（1）；（2）.21.（本小题满分12分）设函数，，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与图象的交点个数．【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）．【解析】（1）函数的定义域为………………1分………………2分当时，，函数的单调递减………………3分当时，，函数的单调递增………………4分综上，函数的单调增区间是，单调减区间是………………5分请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修：几何证明选讲如图所示，已知圆的半径长为，两条弦相交于点，若，，为的中点，.（1）求证：平分；（2）求的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）连接，由点是的中点，则，设垂足为点，则点为弦的中点，，连接，则，∴，.∴………………10分23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，故它的直角坐标方程为.………………5分（2）直线（为参数），普通方程为，在直线上，过点作圆的切线，切点为，则，由切割线定理，可得………………10分24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．027115 69EB 槫#9k1Y34621 873D 蜽 2 26753 6881 梁39533 9A6D 驭x35599 8B0F 謏。
2021年高三11月月考数学(文)试题 含解析
2021年高三11月月考数学（文）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．（5分）设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣1，0）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；图表型．分析：先解不等式求出A={x|﹣3＜x＜0}，再通过图象知道所求为A，B的公共部分，即取交集，结合集合B即可得到答案．解答：解：因为x（x+3）＜0⇒﹣3＜x＜0∴A={x|﹣3＜x＜0}，由图得：所求为A，B的公共部分，即取交集．∵B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法以及Venn图表达集合的关系及运算．这一类型题目一般出现在前三题中，属于送分题．2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．3．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2（）则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与0比较即可．解答：解：∵a=20.5＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2（）＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．点评：本题考查对数的运算性质，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）（xx•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1 C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题．专题：应用题．分析：首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠故选C点评：考查四种命题的相互转化，命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特殊与结论的位置，本题是一个基础题．5．（5分）（2011•金台区模拟）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（e，3）D．（e，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合．分析：分别画出对数函数lnx和函数的图象其交点就是零点．解答：解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜1，当x=3时，ln3＞，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：此题利用数形结合进行求解，主要考查了函数的零点与方程根的关系，是一道好题．6．（5分）若函数y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；数形结合．分析：根据y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，得到a＜0，b＜0，对二次函数配方，即可判断y=ax2+bx在（0，+∞）上的单调性．解答：解：∵y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴y=ax2+bx的对称轴方程x=﹣＜0，∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数．故答案B点评：此题是个基础题．考查基本初等函数的单调性，考查学生熟练应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知，则f（3）=（）A．3B．2C．1D．4考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据解析式先求出f（3）=f（5），又因5＜6，进而求出f（5）=f（7），由7＞6，代入第一个关系式进行求解．解答：解：根据题意得，f（3）=f（5）=f（7）=7﹣4=3，故选A．点评：本题考查了分段函数求函数的值，根据函数的解析式和自变量的范围，代入对应的关系式进行求解，考查了观察问题能力．8．（5分）（xx•四川）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．解答：解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题．9．（5分）（2011•河南模拟）若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f （x﹣1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，0）∪（1，2）C．（1，2）D．（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：先画出函数f（x）的图象，根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位，画出其图象求解．解答：解：先画出函数f（x）的图象，根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位，画出其图象，如图所示，f（x﹣1）＜0的解集是（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题主要考查函数的图象变换和数形结合法解不等式．10．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为，则a等于（）A．B．3C．3D．9考点：对数函数的值域与最值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：由已知中底数的范围，可以判断出对数函数的单调性，进而可求出函数在区间[a，3a]上的最大值与最小值，结合已知构造方程，解方程可得答案．解答：解：∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上单调递增∴f（x）max=f（3a），f（x）min=f（a），∴f（3a）﹣f（a）=log a3a﹣log a a=log a3=解得a=9故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11．（5分）函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接利用分式的分母不为0，无理式大于等于0，求解即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，必须，解得x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．函数的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．12．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，则实数m=2．考点：幂函数的性质．专题：计算题；阅读型．分析：因为给出的函数是幂函数，所以系数等于1，又函数在x∈（0，+∞）时为减函数，所以幂指数小于0，联立后可求解m的值．解答：解：由当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，得：，解得：m=2．故答案为2．点评：本题考查了幂函数的性质，考查了幂函数的定义，解答此题的关键是对幂函数的定义和性质的掌握，此题是基础题．13．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则m的取值范围为[，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则恒有f′（x）≥0，由此即可求得a的范围．解答：解：f′（x）=3x2﹣2x+m．因为函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，所以f′（x）=3x2﹣2x+m≥0在R上恒成立，故有△=4﹣12m≤0，即m．所以m的取值范围为[，+∞）．故答案为[，+∞）点评：本题考查导数与函数单调性的关系，属基础题，难度不大．可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）．14．（5分）函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，答：所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15．（5分）函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，则f（11）=﹣2．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x+2）=﹣f（x），即可把f（11）化为﹣f（1），进而得出答案．解答：解：∵函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），∴f（11）=f（8+3）=f （3）=f（1+2）=﹣f（1）=﹣2．故答案为﹣2．点评：充分利用已知条件和函数的周期性是解题的关键．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）计算：（1）（2）（a＞0，b＞0）考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用对数运算法则进行计算；（2）利用有理数指数幂的运算法则进行计算；解答：解：（1）原式=+log50.25++ =++3=log525++3=2++3=．（2）原式==4a．点评：本题考查对数运算法则及有理数指数幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决该类题目的基础．17．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过p是q的充分不必要条件，列出关系式，即可求解m的范围．解答：解：因为p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），p是q的充分不必要条件，所以，所以m≥2．当m=2时，p是q的充要条件，又m＞0所以实数m的取值范围：（2，+∞）．点评：本题考查充要条件的应用，注意两个命题的端点值不能同时成立，这是易错点．18．（12分）m为何值时，f（x）=x2+2mx+3m+4（1）有且仅有一个零点（2）有两个零点且均比﹣1大．考点：函数的零点；函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：（1）f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点，二次函数图象开口向上，可得△=0，求出m的值；（2）有两个零点且均比﹣1大，根据方程根与系数的关系，列出不等式，求出m的范围；解答：解：（1）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点说明二次函数与x轴只有一个交点，可得△=（2m）2﹣4×（3m+4）=0解得m=4或m=﹣1；（2）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有两个零点且均比﹣1大．函数开口向上，对称轴为x=﹣m，∴，即解得﹣5＜m＜﹣1；点评：此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用，是一道基础题；19．（13分）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（1）求b、c的值；（2）求g（x）极值．考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分（1）先求出f′（x），从而得到g（x），由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x）析：总成立，从而可求出b，c值；（2）由（1）写出g（x），求g′（x），由导数求出函数g（x）的单调区间，由此可得到极值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，g（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+bx2+cx﹣3x2﹣2bx﹣c=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c，因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即﹣x3+（b﹣3）x2﹣（c﹣2b）x﹣c=﹣[x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c]，也即2（b﹣3）x2=2c，所以b=3，c=0．（2）由（1）知，g（x）=x3﹣6x，g′（x）=3x2﹣6=3（x+）（x﹣），令g′（x）=0，得x=﹣或x=，当x＜﹣或x＞时，g′（x）＞0，当﹣＜x＜时，g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，所以当x=﹣时，g（x）取得极大值g（﹣）=4；当x=时，g（x）取得极小值g（）=﹣4．点评：本题考查导数与函数的极值及函数的奇偶性，可导函数f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0），且导数在x0左右两侧异号．20．（13分）已知函数f（x）=ax，其中a＞0．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，求出函数的解析式及导函数的解析式，代入x=2，可得切点坐标和切线的斜率（导函数值），进而可得直线的点斜式方程．（2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=，讨论f′（x）在各区间上的符号，进而由导函数符号与原函数单调区间的关系得到答案．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x，∴f′（x）=3x2﹣3x，∴f（2）=3，即切点坐标为（2，3）f′（2）=6，即切线的方程为6故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即6x﹣y﹣9=0 （2）∵f（x）=ax，∴f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），令f′（x）=0，则x=0，或x=∵a＞0，即＞0，∵当x∈（﹣∞，0）∪（，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0；∴函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（13分）（xx•重庆）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值解答：解：设生产x吨产品，利润为y元，则y=px﹣R=（50000+200x）=+24000x﹣50000（x＞0）+24000，由y'=0，得x=200∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0∴当x=200时，y max=3150000（元）答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）点评：本题考查建立数学模型，三次函数的最值用导数来求．25211 627B 扻29591 7397 玗37013 9095 邕.xi 20299 4F4B 佋21639 5487 咇39245 994D 饍27890 6CF2 泲I40754 9F32 鼲38521 9679 陹7。
数学文化中的数列(解析版)
第05讲 数列一、单选题1．（2021·江苏常州市·高三一模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ） A ．辛酉年B ．辛戊年C ．壬酉年D ．壬戊年 【答案】A【分析】推导出1921年的天干与地支，由此可得出结果.【详解】由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且1001010=⨯，1008124=⨯+，因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年， 故选：A.2．（2021·山东高三专题练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N 个圆环所需的移动最少次数，若11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项计算可得出5a ，即为所求.【详解】数列{}n a 满足11a =．且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，所以，21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=.所以解下5个环所需的最少移动次数为16．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 各项的和为（ ）A ．137835B ．137836C ．135809D ．135810【答案】D【分析】由题意知n a 被15除余1，它们成等差数列，公差为15，由此只要确定不大于2021的项数即可得求和．【详解】由题意n a 被15除1，{}n a 是等差数列，公差15d =，首项为11a =， 115(1)1514n a n n =+-=-，由15142021n -≤得，21353n ≤．因此135n ≤， 1351351341351151358102S ⨯=⨯+⨯=． 故选：D ．4．5．（2021·南京市宁海中学高二期末）意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2357959k a a a a a a a ++++++=，则k =（ ） A ．2020B ．2021C ．59D ．60 【答案】D【分析】 利用21n n n a a a ++=+化简得出235795960a a a a a a a ++++++=，即可得出结果. 【详解】由于21n n n a a a ++=+，则2357959795945a a a a a a a a a a a +++++=++++++67959585960a a a a a a a ++++==+==，因此，60k =.故选：D. 6．（2021·全国高三专题练习（文））我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．32盏B ．64盏C ．128盏D ．196盏 【答案】C【分析】根据等比数列前n 项和公式，计算首项.【详解】设最底层的灯数为1a ，公比12q =， 177112254112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，解得：1128a =.故选：C7．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进11尺，以后每天进度是前一天的2倍.小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A．3天B．4天C．5天D．6天【答案】B【分析】设两只老鼠在第n天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得2n的范围，即可得解.【详解】设两只老鼠在第n天相遇，则大老鼠第n天打洞的厚度成以2为公比的等比数列，小老鼠第n天打洞的厚度成以12为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得111221011212n n--+≥--，整理得()229220n n-⋅-≥，可得2n≤（舍去）或()28,16n≥，所以，两鼠穿透此墙至少在第4天.故选：B.8．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是单数，1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分舟妹已唱出其中一种分法，即{}3,99,99,99，那么，所有分法的种数为（）A．6B．9C ．10D ．12【答案】D【分析】 设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >，由已知条件可得出3300n m +=，分析出n 为3的倍数，设()*3n t t N=∈，求出t 的可能取值，然后列举出所有的分法，由此可得出结果. 【详解】设少的1群狗有n 条，多的3群狗每群有m 条，m 、n *∈N ，且m n >.根据题意，3300n m +=，则n 一定是3的倍数，可设()*3n t t N =∈，由m n >，得075n <<，则0375t <<，即025t <<.由n 为奇数，则t 为奇数，即{}1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23t ∈，于是分配方法有以下12种：{}3,99,99,99、{}9,97,97,97、{}15,95,95,95、{}21,93,93,93、{}27,91,91,91、{}33,89,89,89、{}39,87,87,87、{}45,85,85,85、{}51,83,83,83、{}57,81,81,81、{}63,79,79,79、{}69,77,77,77.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查分配问题，根据题意得出m 、n 的等式以及n 的可能取值是解题的关键，本题是数学文化题，在解题时要充分理解题中的信息，将题意转化为等式或不等式来求解.9．（2020·重庆高三月考）我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余税金的15，第5关收税金为剩余税金的16”5关所税金之和，恰好重1斤．则在此问题中，第3关收税金为（ ）斤A．110B．310C．13D．910【答案】A【分析】依题意求出最初持有金子数量，即可得解；【详解】解：第一关后，剩余金为原来的一半，第二关后，剩余金为原来的三分之一，第三关后，剩余金为原来的四分之一，第四关后，剩余金为原来的五分之一，第五关后，剩余金为原来的六分之一，故最初持有金子的六分之五是1斤，最初持有金子1.2斤，第三关使得整体持有金子从原来的三分之一变到四分之一，减少了0.1斤，故选：A．10．（2020·六盘山高级中学高三月考（理））天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么2021年时为（）A．己亥年B．戊申年C．庚子年D．辛丑年【答案】D【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以10和12为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.【详解】由题意可知，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949到2021经历72年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则7210=7 (2)÷，则2021年的天干为辛，7212=6÷，则2021年的地支为丑。
2021年高三(下)第11次月考数学试卷(文科) 含解析
2021年高三（下）第11次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，A）∩B=（）则（CuA． {2} B． {4，6} C． {l，3，5} D． {4，6，7，8}2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A． 100 B． 150 C． 200 D． 2503．已知向量=（x，2），=（2，x），则“x=2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A． 2 B． 4 C．D．167．执行如图所示的程序框图，若输出S的值是11，则输入n的值是（）A．7 B． 6 C． 5 D． 48．在△ABC中，=3，D，则=（）A．﹣1 B．C．D． 19．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1）D．x2f（x2）＞x1f（x1）10．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆引切线PQ，且满足|PQ|=|PA|，若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，则圆P半径的最小值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11．复数z=的虚部为．12．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．13．已知直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则实数k=．14．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为．15．记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}是递增等比数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=2log2a n﹣1，记数列的前n项和为S n，求使S n＞成立的最小正整数n的值．17．已知某保险公司每辆车的投保金额均为2800元，公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 xx 3000 4000车辆数500 150 200 100 50（1）试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）保险公司在赔付金额为xx元、3000元和4000元的样本车辆中，发现车主是新司机的比例分别为1%、2%和4%，现从新司机中任取两人，则这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率是多少？18．如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC=CD=AD=2，E为AD中点，现将△ABE 沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．（1）求证：BE⊥AD（2）若F为AD的中点，求三棱锥B﹣ACF的体积．19．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若y取最大值时A=θ+，且a=，cosB=，D为AC中点，求BD的值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2是抛物线y2=4x的焦点，过点F2垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=mx﹣αlnx﹣m，g（x）=，其中m，α均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，α＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求a的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1、t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．xx学年湖南省株洲二中高三（下）第11次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（C u A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．解答：解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．3．已知向量=（x，2），=（2，x），则“x=2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若∥，则2×2﹣x2=0，即x2=4，解得x=2或x=﹣2，即“x=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量关系的等价条件是解决本题的关键．4．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线离心率为，根据双曲线的离心率公式算出b=a，结合双曲线的渐近线公式即可得到该双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的方程为，∴c=，结合离心率为，得e===，化简得b=a∴该双曲线的渐近线方程为y=±，即故选：B点评：本题给出双曲线的离心率，求它的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A． 2 B． 4 C．D．16考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC 中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．解答：解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7．执行如图所示的程序框图，若输出S的值是11，则输入n的值是（）A．7 B． 6 C． 5 D． 4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1，S=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=1，i=2；当i=2，S=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=2，i=3；当i=3，S=2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4，S=4时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=7，i=5；当i=5，S=7时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=11，i=6；当i=6，S=11时，满足输出条件，故进行循环的条件应为：i≤5，即输入n的值是5，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．在△ABC中，=3，D，则=（）A．﹣1 B．C．D． 1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用，表示，然后进行平面向量的数量积运算求值．解答：解：由已知得到=1，=3，=，，则====﹣1；故选：A．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；关键是正确利用向量表示所求，进行数量积的运算．9．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1）D．x2f（x2）＞x1f（x1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确；利用导数判断函数在（0，+∞）上是增函数，故有＞，化简可得x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．解答：解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+∞）上是增函数，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，可得[f（x1）﹣f（x2）]＜0，故（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故A不正确．由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）＞f（），故B不正确．∵已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，则′==＞0，∴函数在（0，+∞）上是增函数，故有＞，化简可得x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．故选C．点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题．10．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆引切线PQ，且满足|PQ|=|PA|，若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，则圆P半径的最小值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得：|PQ|2=|PO|2﹣1=a2+b2﹣1，又PQ=PA，可得2a+b﹣3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b﹣3=0的距离最小，进而解决问题．解答：解：由题意可得：过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，所以|PQ|2=|PO|2﹣1=a2+b2﹣1．又因为|PA|2=（a﹣2）2+（b﹣1）2，并且满足PQ=PA，所以整理可得2a+b﹣3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以两圆相切或相交，即圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b﹣3=0的距离最小，并且距离的最小值为，所以圆P的半径的最小值为﹣1．故选：A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，以及两点之间的距离公式．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11．复数z=的虚部为4．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，求得z后即可求出虚部．解答：解：由题意得，z===3+4i，∴复数z=的虚部为4，故答案为：4．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算：分母实数化，是基础题．12．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数的奇偶性先求出函数f（x）在x＜0时的解析式，再将x=﹣1代入即可．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2+2x，（x＜0），∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查了求函数的解析式，函数的奇偶性问题，求出函数的解析式是解题的关键，本题是一道基础题．13．已知直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则实数k=﹣1．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线l1、l2的参数方程化为普通方程，再由l1与l2垂直，斜率之积为﹣1，求出k 的值．解答：解：直线l1的参数方程（t为参数）化为普通方程是y=﹣x+2；直线l2的参数方程（s为参数）化为普通方程是y=﹣2x+5；又l1与l2垂直，所以，﹣•（﹣2）=﹣1解得k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了直线的参数方程的应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．14．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，即a+4b=8，∴8=a+4b=4，∴即ab≤4，当且仅当a=4b=4，即a=4，b=1时取等号．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．15．记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．考点：归纳推理．专题：计算题；压轴题．分析：通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A﹣B．解答：解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：点评：本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}是递增等比数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=2log2a n﹣1，记数列的前n项和为S n，求使S n＞成立的最小正整数n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由x2﹣10x+16=0，解得x=2，8，可得a1，a3，再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）数列b n=2log2a n﹣1=2n﹣1，可得==，再利用“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性即可得出．解答：解：（1）由x2﹣10x+16=0，解得x=2，8．∵a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根，且a1＜a3．∴a1=2，a3=8．设等比数列{a n}的公比为q＞0，则8=2q2，解得q=2．∴．（2）数列b n=2log2a n﹣1=2n﹣1，∴==，∴数列的前n项和为S n=++…+=1﹣．由使S n＞，可得，化为2n+1＞6，解得，其最小正整数n=3．∴使S n＞成立的最小正整数n的值为3．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知某保险公司每辆车的投保金额均为2800元，公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 xx 3000 4000车辆数500 150 200 100 50（1）试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）保险公司在赔付金额为xx元、3000元和4000元的样本车辆中，发现车主是新司机的比例分别为1%、2%和4%，现从新司机中任取两人，则这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率是多少？考点：互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（2）先计算从新司机中任取两人的方法总数，及这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和方法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）==0.1，P（B）==0.05，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.1+0.05=0.15．（2）由已知，样本车辆中车主为新司机的有1%×200+2%×100+4%×50=6人，计赔付金额为xx元、3000元和4000元的分别为：A，B，C，D，E，F，则从新司机中任取两人共有=15种不同的取法，分别为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BD，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的事件有：CD，CE，CF，DE，DF，EF，共6种，故这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率P==点评：本题主要考查了用频率来表示概率，古典概率的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC=CD=AD=2，E为AD中点，现将△ABE 沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．（1）求证：BE⊥AD（2）若F为AD的中点，求三棱锥B﹣ACF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明BE⊥平面AED，即可证明⊥AD（2）若F为AD的中点，利用等体积转换，即可求三棱锥B﹣ACF的体积．解答：（1）证明：∵AE⊥DE，BE⊥ED，AE∩DE=E∴BE⊥平面AED，∵AD⊂平面AED，∴BE⊥AD（2）解：△ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2，∴S△ABC==2∵E到平面ABC的距离为，F为AD的中点，∴F到平面ABC的距离为，∴三棱锥B﹣ACF的体积==．点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥B﹣ACF的体积，正确转化是关键．19．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若y取最大值时A=θ+，且a=，cosB=，D为AC中点，求BD的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面积y=PN•NM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．（Ⅱ）当=时，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD 中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA．解答：解：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，==sinθ．∴MN=0N﹣0M=．∴矩形PNMQ的面积y=PN•NM==3sinθcosθ﹣==﹣，．（Ⅱ）当=时，y取得最大值，θ=．∴A==．∵cosB=，∴=．由正弦定理可得：，∴==2．sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=．由正弦定理可得：，∴==．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=+12﹣2××=13．∴BD=．D为AC中点，求BD的值．点评：本题综合考查了直角三角形的边角关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2是抛物线y2=4x的焦点，过点F2垂直于x 轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求得抛物线的焦点，由题意可得，椭圆C过点（1，±），代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x1，0）满足条件，设P（x0，y0），则Q（2，2k+m），联立直线l方程和椭圆方程，运用判别式为0，求得m，k的关系，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定值．解答：解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则由题意可得，椭圆C过点（1，±），则，解得，∴椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x1，0）满足条件，设P（x0，y0），则Q（2，2k+m），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，即3+4k2=m2，m≠0．此时x0=﹣=﹣，y0=kx0+m=，则P（﹣，），∴=（﹣﹣x1，），=（2﹣x1，2k+m），∴=（﹣﹣x1）（2﹣x1）+（2k+m）=（4x1﹣2）•+x12﹣2x1+3，∴当4x1﹣2=0即x1=时，x12﹣2x1+3=．∴存在点M（，0），使得为定值．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和点满足椭圆方程，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=mx﹣αlnx﹣m，g（x）=，其中m，α均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，α＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求a的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1、t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．解答：解：（1）g′（x）=，令，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，所以在[3，4]上f′（x）=＞0，所以f（x）在[3，4]上是增函数．设h（x）=，所以在[3，4]上h′（x）=＞0，所以h（x）在[3，4]上为增函数．设x2＞x1，则恒成立，变成恒成立，即：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1）恒成立，即：f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）．设u（x）=f（x）﹣h（x）=，则u（x）在[3，4]上为减函数．∴u′（x）=1﹣≤0在[3，4]上恒成立．∴恒成立．设v（x）=x﹣，所以v′（x）=1﹣=，因为x∈[3，4]，所以，所以v′（x）＜0，所以v（x）为减函数．∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=．∴a≥，∴a的最小值为：．（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g （e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．∵f（x）=mx﹣2lnx﹣m；∴当m=0时，f（x）=﹣2lnx，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x）=，由于f（x）在（0，e]上不单调，所以，即；①此时f（x）在（0，）递减，在（，e]递增；∴f（e）≥1，即me﹣2﹣m≥1，解得；②所以由①②，得；∵1∈（0，e]，∴f（）≤f（1）=0满足条件．下证存在t∈（0，]使得f（t）≥1；取t=e﹣m，先证，即证2e m﹣m＞0；③设w（x）=2e x﹣x，则w′（x）=2e x﹣1＞0在[，+∞）时恒成立；∴w（x）在[，+∞）上递增，∴w（x）≥＞0，所以③成立；再证f（e﹣m）≥1；∵f，∴时，命题成立．所以m的取值范围是：[，+∞）．点评：本题用到的知识点有：1．极值的定义．2．用倒数求函数单调区间，判断单调性的方法．3．单调函数定义的运用．4．会对式子做适当变形，从而解决问题．A28022 6D76 浶34719 879F 螟37845 93D5 鏕l 25789 64BD 撽r28468 6F34 漴38738 9752 青37760 9380 鎀27660 6C0C 氌27213 6A4D 橍23195 5A9B 媛U。
2021年高考数学(文)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 05(解析版) 含解析
2021年高考数学（文）冲刺卷（新课标Ⅰ卷） 05（解析版）含解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【命题意图】本题考查集合中元素的互异性、集合运算，容易题.【答案】AB z z x y x A y A==+∈∈=，【解析】当时，；当时，，当时，，所以{}|,,{0,1,2,3,4}故选A.2．已知向量，向量，则（）A． B． C． D．【命题意图】本题考查向量的数量级、向量的坐标运算，容易题.【答案】C【解析】,所以，故选C.3．已知复数满足，则=（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查复数的运算与复数的模的定义，容易题.【答案】B4．在区间上随机取两个实数，使得的概率为（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查几何概型、线性规划，中档题.【答案】D【解析】由组成了正方形区域如下图所示，表示在正方形内且在直线下方的部分，所以，故选D.5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、抛物线的标准方程与几何性质，中档题.【答案】A.6．的角所对的边分别是（其中为斜边），分别以边所在的直线为旋转轴，将旋转一周得到的几何体的体积分别是，则( )A．B．C．D．【命题意图】本题考查旋转体的概念及旋转体的体积、运算能力，中档题.【答案】D【解析】以边为旋转轴的几何体的体积，以边为旋转轴的几何体的体积，以边为旋转轴的几何体的体积，所以()()222222244244222212311999()91a b cV V a b a b Vb a a bππππ++=+==，故选D.7．已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．【命题意图】本题考查等差、等比数列的定义与性质，容易题.【答案】C8．已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像( )A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，中档题.【答案】C【解析】因为，所以，其图像向左平移个单位后得到函数2()()sin[2()]sin[2]cos2333g x f x x x xπππϕϕ=+=++=++=的图像，且，所以，所以，所以点是函数的一个对称中心，故选C.9．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【命题意图】本题考查算法和程序框图，容易题.【答案】C10．设函数,则 ( )A．7 B.9 C.11 D.13【命题意图】本题考查分段函数的表示方法、函数求值，中档题.【答案】A【解析】：，因为，所以所以，,故选A.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）（B）（C）（D）【命题意图】本题考查三视图、多面体的表面积，中档题.【答案】A12．已知函数有两个极值点，，且，则（）A．B．C．D．【命题意图】本题考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，难题．【答案】D【解析】函数的定义域为，，又因为函数有两个极值点，且，,所以，所以，令，其中，则，在区间上，，所以在区间上单调递增，所以对任意，有，所以，故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．数列中，，，（，），则．【命题意图】本题考查数列的递推关系，数列的周期性，中档题.【答案】【解析】因为，，所以，，，，……，所以数列是以6为周期的周期数列，所以.14．若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为 .【命题意图】本题考查导数的几何意义、直线方程，中档题.【答案】15．实数满足，则的最大值为 .【命题意图】本题考查线性规划，中档题.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如下图所示，三角形ABC为所求，目标函数化为，当经过点B（1,2）时，最大值为4。
专题11 弦图模型巩固练习(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)
弦图模型巩固练习1．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将平行四边形ABCD的四边DA、AB、BC、CD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH为平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，根据平角的定义得到∠HCG＝∠EAF，根据启动建设性的性质得到EF＝CH，同理EH＝GF，于是得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，∵∠HCG＝180°﹣∠BCD，∠EAF＝180°﹣∠BAD，∴∠HCG＝∠EAF，∵BF＝DH，∴AF＝CH，∴△HCG≌△F AE（SAS），∴EF＝GH，同理EH＝GF，∴四边形EFGH为平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．2．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．＜√2．请完成其证明．（3）利用图2中的直角梯形中线段BC与AD的大小关系，可以证明a+bc【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）利用S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE +S Rt △DEC +S Rt △AED 进行证明即可；（3）在直角梯形ABCD 中，BC ＜AD ，由于已证△AED 是直角三角形，那么利用勾股定理有AD =√2c ，从而可证a+b c＜√2．【解答】解：（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2． （2）∵Rt △ABE ≌Rt △ECD ， ∴∠AEB ＝∠EDC ， 又∵∠EDC +∠DEC ＝90°， ∴∠AEB +∠DEC ＝90°， ∴∠AED ＝90°．∵S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE +S Rt △DEC +S Rt △AED ， ∴12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2， 整理，得a 2+b 2＝c 2．（3）∵AD =√2c ，BC ＜AD ， ∴a +b ＜√2c ，即a+b c＜√2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．3．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式a 2+b 2＝c 2，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为S ＝c 2，又可表示为S ＝4×12ab +（b ﹣a ）2， ∴4×12ab +（b ﹣a ）2＝c 2． ∴ a 2+b 2＝c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2＝c2．【分析】（1）化简可得结论；（2）根据四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积＝大正方形的面积，即可证明；（3）如图3，作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．ab+（b﹣a）2，【解答】证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×12ab+（b﹣a）2＝c2．∴4×12∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2＝c2；×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），（2）证明：由图得，大正方形面积=12整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；（3）如图3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×12ab+12c2+12(a+b)(b−a)，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，矩形和正方形的面积，三角形的面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．4．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b 与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图3），利用上面探究所得结论，求当a＝3，b ＝4时梯形ABCD的周长．（3）如图4，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．【分析】（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD ，由（1）中结论求出AC 的长，再根据△ABC 的面积不变列式，即可求出高BD 的长．【解答】（1）证明：由图得，12×ab ×4+c 2＝（a +b ）×（a +b ）， 整理得，2ab +c 2＝a 2+b 2+2ab ， 即a 2+b 2＝c 2；（2）解：∵a ＝3，b ＝4， ∴c =2+b 2=5，梯形ABCD 的周长为：a +c +3a +c ═4a +2c ＝4×3+2×5＝22； （3）解：如图，BD 是△ABC 的高．∵S △ABC =12AC •BD =12AB ×3，AC =√42+32=5， ∴BD =3AB AC =3×35=95．【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 5．（1）问题情境：勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为（a +b ）的正方形，使中间留下一个边长为c 的空白正方形，画出边长为（a +b ）的正方形，再移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a 和b 的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即 c 2＝a 2+b 2；（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美国总统伽菲尔德在1876年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明： （3）问题拓展：已知Rt △ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，求证：a+b c≤√2．【分析】（1）结合图形可知得到c 2＝a 2+b 2；（2）可以利用梯形减去两个黑色直角三角形的面积，整理可得到c 2＝a 2+b 2，可证得结论； （3）可把不等式两边平方，再结合勾股定理可证得．【解答】（1）解：在图1中，白色部分为边为c 的正方形，其面积为c 2， 在图2中，白色部分为边长分别为a 和b 的两个正方形，其面积和为a 2+b 2， 而a 、b 、c 是直角三角形的三边，所以有c 2＝a 2+b 2，故答案为：c 2＝a 2+b 2；（2）证明：∵S 白三角形＝S 梯形﹣2S 黑三角形， ∴12c 2=12（a +b ）（a +b ）﹣2×12ab ，即c 2＝a 2+b 2；（3）证明：∵0≤（a ﹣b ）2， ∴2ab ≤a 2+b 2，∴a 2+b 2+2ab ≤2（a 2+b 2）， ∵a 2+b 2＝c 2， ∴（a +b ）2≤2c 2， ∴(a+b c)2≤2，∴a+b c≤√2．【点评】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． 6．综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究：定义：如图1，在正方形ABCD 中，以BC 为直径作半圆O ，以D 为圆心，DA 为半径作AĈ，与半圆O 交于点P 我们称点P 为正方形ABCD 的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD 无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O的切线．证明：连接OP，OD．由作图可知，DP＝DC，OP＝OC，又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．（SSS）∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圆O的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接OE．请判断∠BOE和∠CDO的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD之间的数量关系；（3）如图4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点E，F，G，H为正方形ABCD的四个“奇妙点”连接AG，BH，CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写岀一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=1 2∠PDC，于是得到∠BOP＝∠PDC，根据全等三角形的性质得到∠POE=∠BOE=12∠BOP．于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到PD＝DC，PE＝BE，根据线段的和差即可得到结论；（3）如图4，连接OE，OD，根据三角函数的定义得到BEBO =OCDC=12，于是得到BE=12BO=12×12BC=14BC，根据正方形的性质即可得到结论；（4）答案不唯一，根据图形即可得到结论．【解答】解：（1）∠BOE＝∠CDO，理由如下：∵PD＝DC，OD＝OD，OP＝OC，∴△OPD≌△OCD（SSS），∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=12∠PDC，∴∠POC+∠PDC＝360°﹣∠OPD﹣∠OCD＝180°，∴∠POC+∠BOP＝180°，∴∠BOP＝∠PDC，在Rt△POE和Rt△BOE中，∵OE＝OE，OP＝OB，∴△POE≌△BOE（HL），∴∠POE=∠BOE=12∠BOP．∵∠CDO=∠PDO=12∠PDC，∴∠BOE＝∠CDO；（2）线段DE，BE，CD之间的数量关系是DE＝BE+CD，理由：由（1）知，△OPD≌△OCD，△POE≌△BOE，∴PD＝DC，PE＝BE，∵DE＝PE+PD，∴DE＝CD+BE；（3）如图4，连接OE，OD，由（1）可知，∠BOE＝∠CDO，又∵∠B＝∠OCD＝90°，点O为BC的中点，∴tan∠BOE＝tan∠CDO，∴BEBO =OCDC=12，∴BE=12BO=12×12BC=14BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB；∴BE=14（4）答案不唯一，如图5，连接DE，∵点E是正方形ABCD的“奇妙点”，∴DE＝CD，∵DF⊥CE，∴EF＝CF，CE，∴EF=12∴设EF＝a，则CE＝2a，a×2a＝a2，正方形EFGH的面积＝a2，∴△ABH的面积=12等等．∴△ABH的面积＝正方形EFGH的面积；同理正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．7．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝40．3【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．ab＝c2﹣2ab，【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，1×（3+1）×3×42×4×3×4=12＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，，∴x+4y=403∴S2＝x+4y=40．3．故答案为：403【点评】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方word可编辑文档法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝40求出是解决问题的关键．11。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题
11 数学文化
一、选择题
1. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =， BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A ．0,0)2
a b a b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>
C ．20,0)ab a b a b ≤>>+
D ．0,0)2a b a b +≤>> 【答案】D
【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a b r +=，又22
a b a b OC OB BC b +-=-=-=，则()()22
222224
42
a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤．故本题答案选Ｄ． 2. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试】
瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式V ﹣E +F ＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball ）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）
A ．180
B ．120
C ．60
D ．30
【答案】C 【解析】依题意，设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ，
则201232F =+=， 每条棱被两个面公用，故棱数512620902
E ⨯+⨯==， 所以由2V E
F -+=得：90322V -+=，解得60V =．
故选：C ．
3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A ．932
B ．516
C ．3
8 D ．716
【答案】C
【解析】设小正方形的边长为1
高为
2
；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为
，大正方形的边长为
，
所以1223P 8+⨯⨯==， 故选C ．
1.【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调】
南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778
【解析】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，
则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，
由题意得89101234
43a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778
d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金
778． 2. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即(1)(2)1F F ==，*()(1)(2)(3,)F n F n F n n n N =-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满足11c b =，22c b =，*1(3,)n n n c b b n n N -=-≥∈，则1232019...c c c c ++++的值为_____．
【答案】3
【解析】记“兔子数列”为{}n a ，则数列{}n a 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b 为{}1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,，
可得数列{}n b 构成一周期为6的数列，
由题意得数列{}n c 为{}1,1,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,------，
观察数列{}n c 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的
所以()()123201912320182019c c c c c c c c c +++
+=+++++ 1113=++=． 故答案为：3．。