2021高考数学冲刺练习专题11 数学文化(解析版)
2021年中考数学专项训练： 数学文化(含答案)
一、选择题8.(2020·宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长尺，那么可列方程组为A ． 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-B ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=+=-C ． 4.50.51y x y x ⎩=-=⎧⎨+D ． 4.521y x y x ⎧⎨⎩=-=- {答案}A{解析}根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”得y ＝x ＋4.5；由绳子对折再量木条，木条剩余1尺得0.5y ＝x －1，所以所列方程组为 4.50.51y x y x ⎩=+=⎧⎨-，因此本题选A ． 10．（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）A ．1和1B ．1和2C ．2和1D ．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D ．7. （2020·盐城）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①)，是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为:（ ）A．1B．3C．4D．67．A，解析：本题考查“幻方”，可利用方程思想，由图可知对角线和为15，从而求出右下角的数为6，再列8+x+6＝15,则x＝1 因此本题选A．7.（2020·达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天数是（）A.10B.89C.165D.294{答案}D{解析}由“在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1”可知：最右侧一列绳子上的1个结代表1，右侧第二列绳子上的1个结代表5，右侧第三列绳子上的1个结代表25，右侧第四列绳子上的1个结代表125，所以孩子出生的天数=4＋3×5＋1×25＋2×125=294．13．（2020·随州）幻方是相当古老的数学问顾，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.将数字1-9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 .{答案}9{解析}本题考查了有理数的加减运算，解答过程如下：∵每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，∴左上角的数字为15-7-2=6，∴右下角的数字为15-6-5=4，∴m=15-4-2=9.（2020·山西）5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似第5题图{答案}D{解析}本题考查了数学文化，泰勒斯的测量原理是图形的相似．10．（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（）A. ()1552x x =--B. ()1552x x =++C. ()255x x =--D. ()255x x =++{答案} A{解析}本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 一元一次方程．设索为x 尺，杆子为(5x -)尺，根据题意得：12x =(5x -)5-．因此本题选A ． 10．（2020·临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（ ） A.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C.2392x y x y ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D.2392x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ {答案}B{解析}根据题目已知条件“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车”可知：实际乘坐车辆数和车辆总数相差2，即：23x y =-；同时，根据“每辆车乘坐2人，则有9人步行”可得：用总人数减去步行的9人，就是实际乘车人数，进而可以计算出车的总数，即：92x y -=；所以符合要求是B 选项. 5． （2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里【解析】设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里， 依题意，得：x +2x +4x +8x +16x +32x ＝378，解得：x ＝6．32x ＝192，6+192＝198，∴此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D ．二、填空题15．（2020·嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程 ．{答案}10406x x =+ {解析}本题考查了分式方程的应用，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解.第一次分得的钱为10x ，第二次分得的钱为406x +，因此本题答案为10406x x =+．（2020·江西）9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2513．（2020·襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为━或﹣﹣），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根━和1根﹣﹣的概率为__________．{答案}14．{解析}因为图中8卦里有2卦“恰有2根━和1根﹣﹣”，而28＝14，从而所示事件的概率为14，故答案为14．15．（2020·南通）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则可列方程为▲ ．{答案}x(x＋12)＝864{解析}设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是(x＋12)步．根据矩形面积＝长×宽，得：x(x＋12)＝864．故答案为：x(x＋12)＝864．16. (2020·湘潭)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||第13题图表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：6728，则表示的数是________．6708{答案}8167{解析}本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．根据算筹计数法来计数即可．根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：816718.（2020·株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）{答案}{解析}根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∠=45°，∴CE为直径，ECD由题意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∠⨯，∴CD=CE cos ECD=22∠=45°，∴ECD∴正方形CDEF周长为故答案：15．（2020·黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是尺．第15题图{解析}本题考查了勾股定理的实际应用．根据题意设这个水池深x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，即这个水池深12尺．因此本题答案为12．{答案}1212．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．三、解答题。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(十一)数学(文)试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（十一）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ） A. 34i - B. 34i +C. 34i --D. 34i -+【答案】A 【解析】试题分析：解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++-，故选A. 解法二：设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++=， 由复数相等得3425{430a b a b -=+=，解得3{4a b ==-，因此34z i =-，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.2.已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则AB =（ ）A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B ⋂=．故选A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．4.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)2,1x ∈-时，()242,20,01x x f x x x --≤≤⎧=<<⎨⎩，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A. 0 B. 1C.12D. 1-【答案】D试题分析：因为()f x 是周期为3的周期函数，所以2511134212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念. 5.函数11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间是（ ） A. 1(,1)eB. (1,2)C. (2,)eD. (,3)e【答案】C 【解析】∵函数112(0)2y lnx x x x =+-->， ∴211'102y x x=++>， ∴函数数1122y lnx x x =+--在定义域(0,+∞)上是单调增函数；又x =2时,1111222202222y ln ln =+--=-<，x =e 时,111122022y lne e e e e =+--=+-->，因此函数11ln 22y x x x=+--的零点在(2,e )内．故选C.点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在[],a b 上是连续的曲线，且()()0f a f b ⋅<.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.6.已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A. 20x y --=B. 20x y +-=C. 20x y -+=D. 20x y ++=【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ， 因为2PQ QF=，由抛物线的定义得2PQ QH =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 7.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，2413S S =，则48SS 等于( ) A.310B.18 C.19D.13【答案】A 【解析】 【分析】由2413S S =根据等差数列的前n 项和公式得到132a d =，代入48S S 即可求出结果． 【详解】设首项为1a ，公差为d ，2413S S =， 1121463a d a d +∴=+，即132a d =， 则418146663828122810S a d d d S a d d d ++===++，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题． 8.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 9.已知函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是A. 106⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 106⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. ()1+∞， 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数f （x ）在R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01141006log 14112aa a a a a⎧<<⎪-<∴<≤⎨⎪≥-⋅+⎩，. 故选B.【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10.圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. 55(,)32C. 55(,)42D. 1)【答案】C 【解析】 【分析】双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3，根据题意，圆心到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<，从而得到,a b 关系式，利用222+=a b c 得到,a c 关系，从而得到离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3 因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题. 11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当20x -≤<时，()1(0)x f x a a =->，且(2)8f =-，则(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=（ ）A. 10-B. 12-C. 4D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，以及(2)(2)f x f x +=-即可得出(8)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为8，而根据f （2）8=-及20x -<时，()1(0)x f x a a =->即可求出13a =，从而得出f （3）f =（1）2=-，f （4）f=（8）0=，f （5）f =-（1），f （6）f =-（2），f （7）f =-（3），这样即可求出f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）f +（7）f +（8）0=，而201932528=+⨯，从而得出f （1）f +（2）f +（3）(2019)12f +⋯+=-．【详解】(2)(2)(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=， 即函数()f x 是以8为周期的周期函数．由(2)(2)8f f -=-=，得218a -=，13a =， 故(1)(1)2?f f =--=-， (3)(1)2f f ==-， 过程一：(4)(0)0f f ==，(5)(1)2f f =-=，(6)(2)8f f =-=，(7)(3)2f f =-=，(8)(4)0f f =-=．或过程二：(5)(1)f f =-，(6)(2)f f =-，(7)(3)f f =-，(8)(4)f f =-，］ 故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++252[(1)(2)(8)](2017)(2018)(2019)f f f f f f =⨯++++++0(1)(2)(3)12f f f =+++=-.【点睛】函数基本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢基础知识，个别题型可借鉴草图快速求解．考生若能掌握以下考点，可事半功倍． 函数周期性的常用结论：函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； 若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； 若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； 若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .12.在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-，若60ACD ︒∠=，则t 的值为（ ）A.31- B. 31-C.32- D.31+ 【答案】A 【解析】【详解】根据题意，D 在线段AB 上，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，作DF BC ⊥ ，垂足为F ，若设AC BC a ==，由于(1)CD tCA t CB =+- ，得,(1)CE ta CF t a ==- ，根据题意60,30ACD DCF ∠=∠= ；cos60cos30CE CF = ，即132ta = ，31t -=，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中横线上）13.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,2)b =-,若a ∥b ，则代数式2sin cos sin cos θθθθ-+的值是 ．【答案】5 【解析】【详解】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得2sin cos 5cos 5sin cos cos θθθθθθ--==+-．考点：向量平行．14.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【解析】 【分析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆，1sin2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15.已知函数2log (1)y ax =-在(2,1)--上单调递减，则a 的取值范围是____________. 【答案】1a ≤-【分析】根据对数函数的性质以及一次函数的性质，分离参数a ，求出a 的范围即可． 【详解】若函数y=log 2（ax ﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减， 则a ＜0且ax ﹣1＞0在（﹣2，﹣1）恒成立， 即a ＜1x在（﹣2，﹣1）恒成立， 故a ≤﹣1， 故答案为：a ≤﹣1【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．解答时不要漏掉了函数的定义域，不要忽视了取等问题.16.已知四面体P ABC -中，4,PA AC PB BC PA ====⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比____________．【答案】16【解析】 【分析】求出四面体P ABC -中的体积和表面积，可得其内切球半径，由正弦定理求出PBC 所在的小圆的直径，则可得四面体P ABC -外接球半径，从而可得所求比值．【详解】如图，由PA ⊥平面PBC ，,PC PB ⊂平面PBC ，则,PA PC PA PB ⊥⊥，由已知及勾股定理得，AB PC PBC ==为等边三角形，ABC 为等腰三角形．所以，11143322P ABCPBC V S PA -⎡=⋅=⋅⨯⨯=⎢⎣⎦，表面积21114252222S ⎡⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦设内切球半径为r ，13V S =表面积r ⋅，所以，13,34r =⨯=；PBC 所在的小圆的直径4PD ==，因此大圆直径（外接球直径）为2224442,22R R=+==，故内切球半径与外接球半径的比为332422rR==，故答案为：32 16．【点睛】本题考查四面体的内切球与外接球问题，考查球的性质与棱锥的表面积、体积．考查学生的空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.【答案】（1）众数为75，中位数为73.33；（2）9 10.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出a=0.030．由此能求出众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，基本事件总数2510n C==，这两人的分数至少一人落在[50，60）包含的基本事件个数1122339m C CC=+=，由此能求出这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率．【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.0100.0150.0150.0250.005)101a+++++⨯=，解得0.030a=，所以众数为：7080752+=，[)40,70的频率为(0.010.0150.015)100.4++⨯=，[)70,80的频率为0.03100.3⨯=，中位数为：0.50.4701073.330.3-+⨯≈. （2）用分层抽样的方法从[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，[)40,50的频率为0.1，[)50,60的频率为0.15，[)40,50∴中抽到0.1520.25⨯=人，[)50,60中抽取0.15530.25⨯=人， 从这五人中任选两人参加补考， 基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[)50,60包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，所以这两人的分数至少一人落在[)50,60的概率910m P n ==. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率 18.在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值． 【答案】（1）52nn a -=（2）n的值为8或9【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2375a a a =，联立42a =即可解出答案（2）根据52nn a -=写出5n b n =-，求出292n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可．【详解】（1）232637225a a a a a ++=， 可得2223355352()25a a a a a a ++=+=， 由42a =，即312a q =，①，由01q <<，可得10a >，0n a >， 可得355a a +=，即24115a q a q +=，②由①②解得1(22q =舍去），116a =，则15116()22n nn a --==；（2）22log log 2n n b a ==55nn -=-，可得219(45)22n n n S n n -=+-=，92n S n n -=， 则127941222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221917117289(4)()2244216n n n n n --=+==--+， 可得8n =或9时，1212n S S S n++⋯+取最大值18． 则n 的值为8或9．【点睛】本题考查等比数列，等差数列前n 项和的最值问题，属于基础题．19.等腰ABC 的底边66AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点.点F 在BC 边上，且.EF AB ⊥现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AE ⊥．(Ⅰ)证明EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积，求()V x 的最值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）max ()126=V x 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；（Ⅱ）利用题意求得体积的函数()V x ，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值. 【详解】（Ⅰ）证明：∵EF AB ⊥，∴90BEF PEF ∠=∠=︒， 故EF PE ⊥，而AB PE E ⋂=，所以EF ⊥平面PAE ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得EF PE ⊥，又∵PE AE ⊥，AE EF E ⋂=，∴PE ⊥平面ABC ，即PE 为四棱锥P ACFE -的高. 由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ，∴BE EFBD CD=，3EF =，∴6EF x =，∴2211322ACFE ABC BEF S S S x x ∆∆=-=⨯-=． 而PE EB x ==，∴()313ACFE V x S PE x =⋅=（0x <<），26)(6)()V x x x x ='=+-， 当(0,6),()0,()x V x V x ∈'>单调递增，当()0,()x V x V x ∈'<单调递减， 所以6x =时，(x)V 取得极大值，也是最大值，()max (6)V x V ==20.设A 、B 是抛物线2:4E y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB ⋅=，（其中O 为坐标原点）． （1）求证：直线AB 必与x 轴交于一定点Q ，并求出此定点Q 的坐标；（2）过点Q 作直线AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析，902,⎛⎫⎪⎝⎭；（2）88. 【解析】 分析】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立24x my ty x=+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --=，由韦达定理得，12124,4y y m y y t +==-，根据94OA OB ⋅=，得()212129164y y y y +=，由此解方程即可得到本题答案； （2）由弦长公式，得AB ==CD ==，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ==，通过换元法，利用函数的单调性即可求得本题答案.【详解】（1）证明：易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120y y <，由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --= ， 则216160m t +>，且12124,4y y m y y t +==- ，由94OA OB ⋅=，得()()2212121212916360164y y y y y y y y +=⇒+-=，解得，1218y y =-或122y y =（舍去）， 所以418t -=-，可得92t =，即直线AB 的方程为92x my =+， 所以直线AB 恒过定点9,02Q ；（2）由（1）得，AB == ，同理，CD == ，因为AB CD ⊥，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ===，令221m mμ+=（2μ≥，当且仅当21m =时等号成立），则S =易知函数218121170y μμ=++在[2,)+∞上是增函数，所以当2μ=时，S取得最小值88，故四边形ABCD 面积的最小值为88.【点睛】本题主要考查与抛物线相关的定点问题和面积问题，考查学生的分析问题能力和转化求解能力，联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用韦达定理，是解决此类问题的常用方法. 21.设函数()2ln 2f x x x x =-+(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦，求k 的取值范围． 【答案】(I)()f x 的单调递增区间为()0,+∞ ；(II)92ln21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】(Ⅰ) 求出()'f x ，对()'f x 再求导，可得函数()'f x 增区间与减区间，()'f x 的最小值为ln20>，从而可得()f x 的单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)根据()f x 的单调性求出()f x 在[],a b 的值域，问题转化为()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭，两次求导，根据函数的单调性求出k 的范围即可． 【详解】(Ⅰ)令g(x)=()()210f x x lnx x '=--> ,()1'2g x x=-， 令()'0g x >，解得：12x >，令()'0g x <，解得：102x <<， 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， 则()g x 的最小值为1ln202g ⎛⎫=>⎪⎝⎭． 所以()()1'02f x g x g ⎛⎫=≥> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞ .(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭递增，()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦所以()()()()12,2,2f a k a f b k b a b =+=+≤<． 则()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，()2f x k x =+，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭ 求导，得()2232ln 41'(2)2x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪+⎝⎭，令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭则()()()2122'230x x G x x x x -+=+-=≥． 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，()10,102G G ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，G(x)()0,0F x <'<， 当()1,x ∈+∞时，G(x)()0,0F x >'> 所以()F x 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在()1,+∞上递增， 故()192ln211,210F k F k +⎛⎫⎛⎤<≤∴∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线222:13xC y +=．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C 、2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB ．【答案】（1）1:2cos C ρθ=，()222:12sin 3C ρθ+=；（2）1AB =-. 【解析】 【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，由直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可将曲线1C 、2C 的直角坐标方程转化为极坐标方程； （2）设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程求得1ρ和2ρ，由此可得出12AB ρρ=-.【详解】（1）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）化为普通方程为222x y x +=，所以曲线1C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为2233x y +=，化为极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=；（2）设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得12cos13πρ==，22212sin 33πρ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即22532ρ=，解得2ρ=所以1215AB ρρ=-=-． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用极坐标方程解决线段长度的计算问题，考查计算能力，属于中等题. 23.已知函数()3f x x =-.（1）若()(2)9f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈，使得(2)3f x x a ++≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）-1<t<5 （2）[-4,0] 【解析】 【分析】 （1）分33322t t <≤≤，和3t >三种情况分类讨论去绝对值，可得一元一次不等式，再通过解不等式得到t 的取值范围（2）当[]2,4x ∈时，可化简得62x a x +≤-，再根据存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，即可求得答案【详解】（1）由()()29f t f t +<可得3239t t -+-<323329t t t ⎧≤⎪∴⎨⎪-+-<⎩,或3323329t t t ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或33329t t t ≥⎧⎨-+-<⎩ 解得15t -<<（2）当[]x 2,4∈时，()f 223x x a x x a ++=-++ ∴存在[]x 2,4∈，使得62x a x +≤-即2x 6x a 62x -≤+≤-成立，∴存在[]x 2,4∈，使得636x a x a ≤+⎧⎨≤-⎩成立，∴6266a a +≥⎧⎨-≥⎩，则[]a 4,0∈-【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式，在解含有绝对值不等式时需要通过分类讨论去掉绝对值，然后再解不等式，需要掌握解题方法．。
2021年高三年级上学期11月周考考数学文科 含解析
2021年高三年级上学期11月周考考数学文科含解析第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2 B．16C． D．43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．4．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为（ ）A. B.C. D.5．圆与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离6．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．平面C. 直线与所成的角为定值D ．异面直线所成的角为定值 7．在四面体中，,2,2,SB 6AB BC AB BC SA SC ⊥=====面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）A．，，，B．，，，，，C．，，，，，D．，，9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．10．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（）A． B．C． D．11．以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．12．正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面所成角的余弦值是（）A. B.C. D.评卷人得分二、填空题13．已知平面平面，且，试过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于且，，，则的长为___________.14．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则 .15．半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．16．已知为等腰直角三角形，斜边上的中线，将沿折成的二面角，连结，则三棱锥的体积为__________.评卷人得分三、解答题17．（本题12分）一个四棱锥的三视图如图所示．（1）求证：PA⊥BD；（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（本题12分）直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（I）求圆的方程；（II）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．19．（本题12分）如图,在四棱锥中, 底面,底面是直角梯形,,,3,2,5AB DC AB AD AB CD PD AD⊥====, 是上一点.（1）若平面,求的值;（2）若是的中点, 过点作平面平面,平面与棱交于,求三棱锥的体积.20．（本题12分）已知点,直线与圆相交于两点, 且,求．（1）的值；（2）线段中点的轨迹方程；（3）的面积的最小值．21．（本题12分）一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．22．（本题12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）设，求点到平面的距离．答案1．C【解析】试题分析：根据判定定理“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”可知C正确.考点：空间点线面位置关系．2．D【解析】试题分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=考点：简单空间图形的三视图3．C【解析】试题分析：由三视图可得该几何体是三棱柱，底面是有一个角是30°斜边为4且斜边上的高为的直角三角形，可得三角形另外两边为2，，三棱柱的高为4，该几何体的表面积为． 考点：三视图．4．B【解析】试题分析：设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成的角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决5．D【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，显然两圆相离，故选D.考点：圆与圆的位置关系．6．D【解析】试题分析：，三角形底边长为定值，高等于也为定值，所以为定值.点到平面的距离为定值，故A 选项结论正确.由于所以平面，即B 选项结论正确.将平移到，则角就是异面直线所成的角，这个角是定值，故C 选项结论正确.综上所述，选D.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．7．D【解析】试题分析：如图所示，由于，其即为外接球的直径，即，表面积为.考点：几何体的外接球.【易错点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .8．C【解析】试题分析：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．考点：棱台的结构特征．9．C【解析】试题分析：几何体一个三棱锥与一个三棱柱的组合体，三棱锥的高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；三棱柱高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；因此体积为，选C.考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10．A【解析】试题分析：因为，因为，因为，所以，故选A ．考点：棱锥的结构特征．11．A【解析】试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.12．C【解析】试题分析：取的中点为,连,因为平面平面,故,又,故平面,则就是直线与平面所成角,因,故,故的余弦值为.应选C.D 1A BC考点：线面角的定义及求法.【易错点晴】本题以正方体这一简单几何体为背景,考查的是直线与平面所成角的余弦值的求法问题及直线与平面的位置关系等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件和线面角的定义,运用线面的垂直关系找出直线在平面的射影,进而确定就是直线与平面所成角,然后在直角中求出,故,故的余弦值为.13．或【解析】试题分析：第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有.考点：求两点距离.【思路点晴】本题主要考查公理二“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”的一个推论“两条相交直线确定一个平面”，在根据两个平面平行的性质定理“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行”可以判断出，根据平行线分线段成比例，或相似三角形对应边成比例，可求出的值.14．9【解析】试题分析：圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，解得：或（舍），故填：9.考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.15．1：2【解析】试题分析：，圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为考点：圆柱侧面积16．【解析】试题分析：为三棱锥的高，为二面角平面角，即,所以三棱锥的体积为考点：三棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．17．（1）详见解析（2）＝．【解析】试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D 的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝．试题解析：（1）由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PA．（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°．所以DP⊥OQ．所以OD＝，QD＝．所以＝．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系18．（I）（II）或【解析】试题分析：（1）由题意可得，A（0，3）B（-4，0），AB的中点（-2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y-=k（x-1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程试题解析：（I）直线与两坐标轴的交点分别为，．（2分）所以线段的中点为，．（4分）故所求圆的方程为．（6分）（II）设直线到原点距离为，则．（8分）若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或．（11分）所以直线的方程为或．（12分）考点：直线和圆的方程的应用19．（1）（2）【解析】试题分析：（1）连接交于,由线面平行的性质定理，可得线线平行，再根据平行得相似，，再由得即得比例关系（2）设平面与平面的交线分别为，由线面平行的性质定理，可得线线平行：，，，根据是的中点,可确定为三等分点，最后根据等体积法求三棱锥体积试题解析：（1）连接交于,在中, 过作交于,平面平面平面,33,2,2AB BO PEAB CDCD DO ED==∴===.（2）过作交于,过作交于,则平面即为平面,则平面与平面的交线与平行, 即过作交于是的中点,, 则,又,则到平面旳距离为,则.考点：线面平行性质定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()114482446224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．试题解析：（1）直线的方程,即:, 圆圆心到的距离即：，化简得，．①（2）设点的坐标为,则代入①得即：为所求的轨迹方程．（3）()()()()()1144824462446426224ADP b S a a b a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+≥--=,当时, 面积最小, 最小值为．考点：直线与圆的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．21．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据正视图是底面边长为的平行四边形，侧视图是个长为，宽为的矩形，得到该几何体是一个平行六面体，其底面是边长为的正方形，高为，即可求解体积；（2）由（1）看出的几何体，知道该平行六面体中，面，面，得到侧棱长，表示几何体的表面积，得到结果．试题解析：（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，所以．（2）由三视图可知，该平行六面体中平面，平面，∴，侧面，均为矩形，．考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．22．（1）见解析，（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．试题解析：（1）证明：（方法一）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．又，∴平面平面．∵平面，∴平面．（方法二）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴，且．又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面平面，∴平面（2）解：（方法一）∵四边形为直角梯形，．∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．∴，即．又∵平面，∴．又，∴平面，面平面，∴平面平面过作于点，则平面，即为点到平面的距离．∵，∴，∴，点到平面的距离为（方法二）设点到平面的距离为．∵，∴，∴．由方法一得，平面 ，∴，∴12232117172FC CD AF FC AF d AC AC CD ====． 考点：线面平行及点到平面的距离．21219 52E3 勣C40696 9EF8 黸38994 9852 顒N31488 7B00 笀U-v.37124 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2021宝安区高考数学最后冲刺题——数学文化
数学文化 一、单项选择1.棣莫弗公式[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ，i sin n θ）（i 为虚数单位，r ＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，|z |=|OZ |,也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数z 0=a+2i 1+i（i 是虚数单位，R a ）是纯虚数，其对应的点为0Z ,Z为曲线|z |=1上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ） A.21 B.1 C.23D.2 3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（ ） A ．B ．C ．D ．4.明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度。
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试(十一)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试（十一）数学（文）试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x Zx ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A. []2,1-- B. [)1,2-C. {}2,1--D. {}1,2-【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得集合A B .【详解】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数z 满足93z z i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A 【解析】 【分析】先设(,)z a bi a b R =+∈，再根据复数相等列方程，解得z ，最后根据复数几何意义确定选项. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，229393z z i a bia b i494333a a z i b b ⎧=⎧⎪+=∴∴=+⎨⎨==⎩⎪⎩,对应的点为(4,3)，位于第一象限， 故选： A【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，且3a =，b为单位向量，则2a b +=（ ）A.B. C. 19D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算2219a b +=，得到答案. 【详解】()222222=4496419a b a b a a b b +=++⋅+=++=，故219a b +=.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A.B.53C.52D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程0bx ay -=，再由圆C ，求得圆心为(0,5)C ，半径2r ，利用直线与圆相切，即可求得52c a =，得到答案．【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心(0,5)C ，半径2r，则圆心到直线的距离为2255()a a d c b a -==+-，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了1% C. 新农村建设后，养殖收入没有增加D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】D 【解析】 【分析】设新农村建设前农村的经济收入为a ，可得新农村建设后农村的经济收入为2a ，然后计算出新农村建设前后农村的种植收入、其他收入、养殖收入和第三产业收入，由此可判断各选项的正误. 【详解】设新农村建设前农村的经济收入为a ，可得新农村建设后农村的经济收入为2a ，则新农村建设前，农村的种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ，第三产业收入为0.06a . 新农村建设后，农村的种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，第三产业收入为0.56a . 对于A 选项，新农村建设后，种植收入增加，A 选项错误；对于B 选项，新农村建设后，其他收入增加了0.11100%150%0.04a a ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，新农村建设后，养殖收入增加了，C 选项错误；对于D 选项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查饼图的应用，考查数据分析能力，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223a =，123111132a a a ++=则 3S =（ ） A.269B.133 C.139D. 6【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由223a =且123111132a a a ++=得到关于1a 和q 的方程组，求得1a 和q ，进而用等比数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为223a =且123111132a a a ++=， 所以1211123111132a q a a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得1293a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1213a q =⎧⎪⎨=⎪⎩当129a =，3q =时，()33213269139S -==-； 当12a =，13q =时，331213261913S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 所以，3269S =. 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力，属于基础题.7.海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c()()(),2a b S p p a p b p cp；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为△ABC 满足sin :sin :sin 2:A BC =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为（）A. B. C. D. 12【答案】C 【解析】 【分析】用正弦定理将三角形的三个内角正弦值的比转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.【详解】在△ABC 中，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C == 设2a x =，3=b x ，c =，且10a b c ++=+ ∴2310x x +=+ 解得2x =，即4a =，6b =，c = 且+c572a b p ，∴S 57574576572763.故选：C.【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题. 8.函数()()()2sin xx e e x f x x e ππ-+=-≤≤的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称， 据此可排除B 选项，考查函数()xxg x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，26c 3=，则角C (= )A.π3B.π6C.3π4D.π4【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA 3=，结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】b a cosC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC =，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，∴cosA =，可得：tanA =()A 0,π∈，πA 3∴=，可得：sinA =， 又a 2=，c =， ∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角，πC 4∴=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题． 10.设函数32()ln2x f x x x，则使得(2)(43)0f x f x +->成立的x 的取值范围是（ ）A. (-1，1)B. 1(,1)2C. (1,14) D. 15(,)44【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的单调性和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于x 的不等式组，解出即可． 【详解】解：因为32()ln2x f x x x，所以函数的定义域为()2,2-又3322lnln22x x f x x x f x xx所以()f x 为奇函数，因为24122x y x x 在()2,2-上单调递增，ln y x =在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可得2ln 2x y x+=-在定义域上单调递增，又3y x =在定义域上单调递增，所以32()ln2x f x x x 在定义域上单调递增，故由(2)(43)0f x f x +->， 得：(2)(34)f x f x >-，则2342222342x xx x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩， 解得：112x <<， 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 11.已知函数()sin(),(0,),22f x x ππωϕωϕ=+∈<，1(0)2f =，则下列结论正确的是（ ） A. 存在2(0,)3x ∈，使得()1f x =成立 B. 存在4(0,)3x ∈，使得()0f x =成立C. 存在0m >，使得()f x 在(0,)m 上单调递减D. 若存在0x >，使得()1f x =，则必有23x >【答案】D 【解析】 【分析】先由1(0)2f =，求出6π=ϕ，则()sin()6f x x πω=+，对A ，D 解得23x k πωπ=+，对B 得6x k πωπ=-，对C 得42233k x k πππωπ+≤≤+，k Z ∈，结合x 的范围，(0,),2πω∈看是否存在k Z ∈符合题意. 【详解】由1(0)2f =，则1sin 2ϕ=，又2πϕ<，得6π=ϕ，则()sin()6f x x πω=+，对A ，由sin()6x πω+1=，则2,62x k k Z ππωπ+=+∈，即23x k πωπ=+，k Z ∈若2(0,)3x ∈，又(0,),2πω∈则(0,)3x πω∈，即0233k πππ<+<，得106k -<<，又k Z ∈，k 不存在，A 错；对B ，由sin()6x πω+0=，则,6x k k Z πωπ+=∈，即6x k πωπ=-，k Z ∈若4(0,)3x ∈，又(0,),2πω∈则2(0,)3x πω∈，即2063k πππ<-<，1566k <<，又k Z ∈，k 不存，B 错； 对C ，由322,262k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈，则42233k x k πππωπ+≤≤+， 若(0,)x m ∈，又(0,),2πω∈则02m x πω<<，则2034223k m k πππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得16843k m k⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，又k Z ∈，故1k ≤-，43m ≤-，C 错误；对D ，由上面分析得23x k πωπ=+,k Z ∈，若0x >，又(0,)2πω∈，则23k ππ+0>，得16k >-，即0k ≥，又12ωπ>，得23k x ππω+=，得243x k >+，0k ≥，得23x >，D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，将相位整体代入解方程或不等式，根据条件进行逻辑推理判断正误，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD =O ，E 是线段B 1C （含端点）上的一动点，则 ①OE ⊥BD 1； ②OE //面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 的体积不是定值； ④OE 与A 1C 1所成的最大角为90°． 上述命题中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定和性质，面面平行的性质，三棱锥等积转换，异面直线所成角，对命题逐个分析，得到结果.【详解】利用1BD ⊥平面1AB C ，可得OE ⊥BD 1，所以①正确； 利用平面1//AB C 平面11AC D ，可得OE //面A 1C 1D ，所以②正确；根据11A BDE E A BD V V --=，且底面1A BD ∆的面积为定值，且E 到平面1A BD 的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以③不正确；当E 在1B 处时，OE 与A 1C 1所成的的角为90°，所以④正确； 所以上述命题中正确的个数为3， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有空间关系的判定，三棱锥等积转换，平行关系和垂直关系的判定和性质，属于简单题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】265【解析】 【分析】先根据平均数计算出m 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. 【详解】依题意12674,45m m ++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦[]126944955=+++=. 故答案为265. 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知,x y满足122 yxxx y≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，且2z x y=-的最大值等于__________.【答案】1【解析】【分析】先作可行域，则可确定0y>，化简目标函数22z x y x y=-=-，再根据目标函数表示的直线含义，确定最大值取法，计算即得结果.【详解】作可行域，如图阴影部分，所以0y>，因此22z x y x y=-=-，从而直线2z x y=-过点(1,1)A时z取最大值，为2111z=⨯-=故答案为：1【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本求解能力，属基础题.15.函数()xf x e ax=-有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_________【答案】0a<或a e=【解析】【分析】由题()0f x=，则xeax=，构造函数()xeg xx=，利用导数研究函数的性质，作出示意图，数形结合，由()y g x=与y a=只有一个交点，求得a的范围.【详解】当0x=时，()xf x e=无零点，由题()0f x=，则xeax=，0x≠构造函数()x e g x x =，则2(1)()x e x g x x '-=，则函数在()(),0,0,1-∞递减，在(1,)+∞递增，当1x =时，(1)g e =， 当x →-∞时，()0g x →，当0x <且0x →时，()g x →-∞，当0x >且0x →时，()g x →+∞，由此可画出()g x 的示意图如图所示，再用y a =直线去截，可知当0a <或a e =时，两图象有一个交点，即()f x 有一个零点. 故答案为：0a <或a e =【点睛】本题主要考查了函数零点的概念及其应用，其中解答中涉及到函数零点的个数的判定，分离变量，构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值，数形结合解决问题，属于中档题.16.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过点2F 且斜率为(0)k k >的直线l与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆圆心为1O ，半径为1r ，12BF F △的内切圆圆心为2O ，半径为2r ，则直线12O O 的方程为：______；若123r r =，则k =______ 【答案】 (1). x a = (2). 3【解析】 【分析】利用三角形的内心及双曲线的定义，可得1O 的横坐标与2O 的横坐标相等，从而可求出直线12O O 的方程；利用正切函数的定义及二倍角公式，并结合题意，即可求出直线的斜率.【详解】12AF F △的内切圆圆心为1O ，边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 则AM AN =，11MF EF =，22EF NF =，由122AF AF a -=，得()122AM MF AN NF a +--=，则122MF NF a -=， 即122EF EF a -=，设1O 的横坐标为0x ，则()0,0E x ， 所以()002x c c x a +--=，解得0x a =， 同理可得，2O 的横坐标也为a ， 所以直线12O O 的方程为x a =. 设直线l 的倾斜角为θ，则222OF O θ∠=，12902O F O θ∠=︒-，在12O EF △中，1122tan tan 902r O F O EF θ⎛⎫∠=︒-= ⎪⎝⎭，所以12tan 902r EF θ⎛⎫=⋅︒- ⎪⎝⎭，在22O EF △中，2222tan tan2r O F O EF θ∠==，22tan 2r EF θ=⋅， 结合123r r =，可得22tan 903tan 22EF EF θθ⎛⎫⋅︒-=⋅ ⎪⎝⎭， 即cot3tan22θθ=，解得tan2θ=则直线的斜率为22tan32tan 11tan 123k θθθ====--故答案为：x a =.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质、直线斜率的定义、正切函数的定义及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3321S a =-，12()n n a a n N *+=∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T 【答案】（1）12n n a ；（2）2n T n =.【解析】 【分析】（1）根据12n n a a +=，知{}n a 为公比为2的等比数列，再由条件求出1a ，求得{}n a 的通项公式； （2）由()21log n n n b a a +=⋅，求得21n b n =-，再用等差数列前n 项和公式求出n T【详解】（1）由12()n n a a n N *+=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以2q.又因为3321S a =-，所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为12n na .（2）由（1）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-== 【点睛】本题考查了等比数列的定义及通项公式，等差数列的前n 项和公式，属于容易题.18.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2=2CB GF =，BF CF =.（1）求证：AB CG ⊥；（2）若四边形BCGF 3，求三棱锥B ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点为D ，根据平几知识证得四边形CDFG 为平行四边形，再根据等腰三角形性质得DF BC ⊥，即有CG BC ⊥，根据面面垂直性质定理得CG ⊥平面ABC ，即得结果；（2）根据四边形BCGF 的面积求得233CG =，再根据等体积法以及锥体体积公式求结果. 【详解】证明：取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ， 平面ABC平面BCGF BC =，平面EFG平面BCGF FG =，∴//BC FG .∵2CB GF =，∴//=CD GF CD GF ，，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB平面ABC ，∴CG AB ⊥. (2)由(1)知，CG ⊥平面ABC . ∵直角梯形BCGF 3 ∴()1232CG+⋅=，∴233CG =∴112323333B ACE E ABC G ABC ABC V V V S CG ---∆===⋅⋅==.【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理、等体积法求锥体体积，考查综合论证与求解能力，属中档题.19.十九大报告要求，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元； 方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元.扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：记x 表示1台机器在三年使用期内的保养次数. （1）用样本估计总体的思想，求“x 不超过3”的概率；（2）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？ 【答案】（1）2225；（2）第二种. 【解析】 【分析】（1）用x 不超过3的机器台数除以50即可.（2）分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），除以50得每台每年的平均费用，选择平均费用小的那种方案即可.【详解】解：（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过3次的台数共44台， 故“x 不超过3”的概率为110191422=5025P +++=. （2）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为507000142004200222003355600⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=（元）.所以每年每台平均费用为71123元. 在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为50705041002002353300⨯+⨯+⨯=（元）.所以每年每台平均费用为70663元. 因为7112706633>， 所以扶贫办应选择第二种方案更合算.【点睛】考查计算频率和平均数，解决的关键是读懂题意用好公式；中档题. 20.已知函数2()(,),()(1)x f x x ae b a b R g x x a x =++∈=++． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()()h x xf x ，当0,1x a <≤时，证明：()()g x h x >．【答案】（1）在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a-+∞上为减函数；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据a 分类讨论，最后结合导函数符号确定单调性；（2）构造差函数()()()F x g x h x =-，转化研究()x H x x a ae =+-符号，利用导数确定()H x 单调性，再根据单调性证得不等式.【详解】解：（1）()1x f x ae =+'当0a ≥时，()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数当0a <时，由()0f x '>可得1ln()x a <-，由()0f x '<可得1ln()x a>- 则函数()f x 在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a-+∞上为减函数 （2）证明：令()()()F x g x h x =-则22()(1)()()xxF x x a x xf x x ax axe x x a ae =++-=+-=+-' 令()xH x x a ae =+-，则()1xH x ae =-'∵0x <，∴01x e <<，又1a ≤，∴110x x ae e -≥->∴()H x 在(,0)-∞上为增函数，则()(0)0H x H <=，即0x x a ae +-< 由0x <可得()()0xF x x x a ae =+->，所以2(1)()x a x xf x >'++．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21.平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,2,3,0Q F -，动点P 满足||3||PQ OF PF ⋅=.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若点M 为（1）中轨迹E 上一动点，(,0)(0)A a a ≠，直线MA 与E 的另一个交点为N ；记11t AM AN=+，若t 值与点M 位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”.是否存在 “稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212y x =；（2）答案不唯一，答案见解析. 【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，运用向量的坐标运算并化简，求得动点P 的轨迹E 的方程；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，与轨迹E 联立，并表示出根与系数的关系，将11t AM AN =+化简得2t =2122212(||||)(1)()y y m y y ++⋅，分0a <和0a >去绝对值，看是否存在t 值与点M 位置无关.【详解】解：（1）设(,)P x y ，则(3,2),(3,0),(3,)PQ x y OF PF x y由||3||PQ OF PF ⋅=可知：22933(3)()x x y ，化简得212y x =即动点P 的轨迹E 的方程为：212y x =（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,12x my a y x=+⎧⎨=⎩ 得212120y my a --=.21212144480,12,12m a y y m y y a ∆=+>+==-.则11t AM AN =+=+=则2t =2122212(||||)(1)()y y m y y ++⋅ ①当0a <时，1212120,y y a y y =->∴同号，2221222222212()1114411(1)1()11441y y m t m y y m a a m+∴=⋅=⋅=-+++，不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”. ②当0a >时，1212120,y y a y y =-<∴异号.又22212121222221212()()4111()1()y y y y y y t m y y m y y -+-∴=⋅=⋅++ 222221111444813(1)11441a m a m a a m -+=⋅=+++ 当且仅当1103a -=,即3a =时，t 与m 无关，此时的点(3,0)A 为“稳定点”.【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，还考查了学生分析问题的能力，运算能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x --=，22(2)4x y -+=（2【解析】 【分析】 （I ）将2ty代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离.【详解】解：（I ）将2t y =代入3x =+，整理得30x --=， 所以直线l的普通方程为30x --=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （II ）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2213242t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=于是122p t t t +==. 设()00,P x y，则0093,2241,224x y ⎧⎛=+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎩则9,4P ⎛⎝⎭. 所以点P 到原点O. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()11f x x x =+--的最大值为M . （1）求M 的值；（2）已知a 、b 、c 为正数，且a b c M ++=，证明: 2228a b cb c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）2M =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得M 的值； （2）由2a b c ++=得出2a b c b b -+=，利用基本不等式得出2a b b-≥，同理可得出2b c c -≥，2c a -≥，再利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()()11112f x x x x x =+--≤++-=，即2M =；当1x ≥时，等号成立（2）由已知条件得2a b c ++=，2a b c b b -+∴=≥同理可得2b a c c c c -+=≥，2c b a a a a-+=≥ 由不等式的基本性质可得2228a b c b c a ---⋅⋅≥，当且仅当23a b c ===时等号成立. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文(含解析)
2021年高三数学下学期第十一次大练习 文（含解析）1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ． （1，2）D ．【答案】C 【解析】因为集合，，所以=（1，2）。
3. 执行右边的程序框图，若输出的是，， 则判断框内的应是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2，髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。
5. 已知数列的前项和为，且，则等于A.B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】当；。
6. 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】222211sin140cos50sin(250)cos70sin70cos701222 cos155sin25cos25sin25cos50cos50 -==== --。
7. 函数的大致图像是A B C D【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B。
8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为A． B． C． D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。
9.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十一)数学(文科)
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11M x Z x =∈-≤≤，(){}20|N x Z x x =∈-≤，则MN =（ ） A. {}1,2-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2 【答案】B【解析】【分析】化简集合，再求交集即可.【详解】{}{}|1,0,111M x Z x =-=∈-≤≤，(){}{}20|0,1,2N x Z x x ==∈-≤ M N ={}0,1故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若341i z iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A. 32 B. 2 C. 52 D. 3【答案】C【解析】【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．3.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A. 2B. 3C. 8D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a ba b a b ⋅∴<>=== 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.4.已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，且1471692a a a ，，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，解得121q a ==，， 则3312S 712-==-． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D【解析】【分析】 本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==> 13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．6.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由(1)f的正负可排除D.【详解】()21e1cos cos 1e1exx xf x x x-⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，()1ecos()1exxf x x----=-=+e1cose1xxx-+()f x=-，故()f x为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef-=<+，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.8.已知实数,x y满足约束条件121x yx yy a+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y=-的最大值为2，则a的值为（）A. -1 B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a--，1(,)2aB a+，(0,1)C-，目标函数3z x y=-可化为3y x z=-，当直线过点B时z最大，所以3(1)22aa+-=，解得1a=，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期2T π=B. 函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 曲线()y g x =关于直线6x π=对称 【答案】C【解析】【分析】 根据左右平移和112g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得()g x 解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则sin 2112g πϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ()g x 最小正周期22T ππ==，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π=时，3262x ππ+=且3cos 02π=，所以2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6x π=时，262x ππ+=且cos 02π=，所以,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1，在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ，在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 4π B. 39160π C. 19180π+ D. 19280π+【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，再求出矩形ABCD 的面积，根据几何概型的计算公式进行求解.【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为(())()()()()2222211111S 1123524444πππππ=-•+••+••+••+••()92514444πππππ=-++++ 38191142ππ=+=+， 矩形ABCD 的面积为1S 5840=⨯=， 故此点取自阴影部分的概率为19121924080ππ++=， 故选D.【点睛】本题考查了几何概型的问题，几何概型往往以长度、面积、体积为测度，熟记几何概型的计算公式是关键. 12.设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A. 23B. 34C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________．【答案】6【解析】【分析】首先计算出样本间隔为18，在区间[]181,288中共有108人，然后进行计算即可．【详解】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题.14.已知圆22:(3)(1)3C x y -+-=及直线:220l ax y a +--=，当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________.【答案】0x y -=【解析】【分析】由题得直线l 过定点P （2，2），当直线l 垂直于过点P 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l 的斜率即可求解方程【详解】由l ：:220l ax y a +--=得a （x -2）+y -2=0 ∴不论a 取何值，直线l 恒过点P （2,2） ∵221123+=< ∴点P （2,2）在圆C 内故当直线l 垂直CP 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时1,1CP l k k =-∴=,故直线l 的方程为0x y -= 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______. ①存在某个位置，使得CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值），由余弦定理可得NC 是定值． 对于③，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立． 对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π． 【详解】对于①：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则NE ∥AB 1，NF ∥MB 1，如果CN ⊥AB 1，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值）， 由余弦定理可得NC 2＝NE 2+EC 2﹣2NE •EC •cos∠NEC ，所以NC 是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，易得AD 中点H 就是三棱锥B 1﹣AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确． 故答案为②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________. 【答案】442+ 【解析】 【分析】由4c =，42sin a A =，利用正弦定理求得4C π=.，再由余弦定理可得22162a b ab =+，利用基本不等式可得(82222ab ≤=+-，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为4c =，又42sin sin c a C A== 所以2sin 2C =，又C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 222a b ab C a b ab ab =+-=+≥， 所以(82222ab ≤=+-，当且仅当a b =时等号成立，即1sin 42ABC S ab C ab ∆==≤+即当a b ==时，ABC∆面积的最大值为4+. 故答案为4+.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）69nn +. 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果； （2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，则：1124545252a d a d +=⎧⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩， 所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-，所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．则1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．18.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DF 平面PBE ； （Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离． 试题解析：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=， ∵5PE BE ==，23PB =，∴6PBE S ∆=，∴6d =．点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.19.近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A 指标x 和B 指标y ，数据如下表所示：城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A 指标2 4 5 6 8 B 指标34445（1）试求y 与x 间的相关系数r ，并说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系（若||0.75r ≥，则认为y 与x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测当A 指标为7时，B 指标的估计值.（3）若某城市的共享单车A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+内现已知C 省某城市共享单车的A 指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，，a y bx =-相关系数()()niixx yyr --=∑参考数据：2s ==0.55≈0.95≈.【答案】（1）0.95r ≈，y 与x 具有较强的线性相关关系；（2）0.3 2.5y x =+，B 指标的估计值为 4.6；（3）城市的交通管理部门需要进行治理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,x y ，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论；（2）利用（1）中的数据求出,b a ，求出线性回归方程，即可求出7x =时，y 的值； （3）分别求出3,3x s x s -+的值，13与3x s +对比，即可得出结论. 【详解】（1）由题得2456855x ++++==，3444545y ++++== 所以()()516i i i x xy y =--=∑，()52120i i x x=-=∑，()5212i i y y=-=∑则0.95r ==≈.因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系. （2）由（1）得60.320b ==，40.35 2.5a =-⨯=， 所以线性回归方程为0.3 2.5y x =+. 当7x =时，0.37 2.5 4.6y =⨯+=， 即当A 指标为7时，B 指标的估计值为4.6. （3）由题得(3,3)(1,11)x s x s -+=-，因为1311>，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.【点睛】本题考查两个变量间的相关性判断、线性回归直线方程及应用，考查计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为25y x =+或25y x =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k xkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，结合韦达定理可得到参数值. 【详解】（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，即(1212y y x x++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-+++ 0=，整理解得k =或k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()()21ln (0)2a f x x x x a =--+>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a e <<，试判断()f x 的零点个数.【答案】（1）当1a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）1 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导后对a 进行分类讨论，找到()0f x '>和()0f x '<的区间，即为()f x 的单调区间. （2）由（1）可知1a e <<时，()f x 有极大值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭和极小值()1f ，研究他们的正负，并且找到令()0f x >的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()11111x ax f x a x x x--=--+='，令()0f x '=，则11x =，21x a=， （i ）若1a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， （ii ）若01a <<，则11a>， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， （iii ）若1a >，则101a<<， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， 综上所述：当1a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）当1a e <<时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()f x 的极小值为()110f =-<，()f x 极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()1ln 122a g a a a=---，其中()1,a e ∈， ()()2222211112102222a a a g a a a a a--+='=+-=>,所以()g a 在()1,e 上是增函数， 所以()()e 1e 2022e g a g <=--<， 因为()()2114414ln494ln4ln40222a f =--+>⨯-+=+>，所以有且仅有1个()01,4x ∈，使()00f x =. 所以当1a e <<时，()f x 有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：4cos ρθ=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点()3,0P，求11PM PN-的值. 【答案】（1）22(2)4x y -+=0y --=；（2）13【解析】 【分析】（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l参数方程为普通方程；（2）先化直线l 的参数方程为标准式，再代入曲线C 方程，最后根据参数几何意义求解． 【详解】解：（1）曲线:4cos C ρθ=，24cos ρρθ∴=，∴曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即22(2)4x y -+=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ∴直线l0y --=（2）直线l的参数方程为：132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入224x y x +=，得230t t +-=，121t t ∴+=-，123t t =- ∴2121121212||||||111||||||||||311t t t t t PM P t t t t t N --+=-===． 【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属于中档题．23.已知函数()12f x x a a x =--+-（Ⅰ）若()13f <，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2,3a x R ≥∈，判断()f x 与1的大小关系并证明. 【答案】（Ⅰ）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()1f x ≥，证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定a 的范围即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．【详解】（I ）因为()13f <，所以123a a +-<.① 当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤; ② 当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<; ③ 当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<;综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ （II ）()1f x ≥ ，因为2,3a x R ≥∈, 所以()12f x x a a x =--+- ()()1213311x a a x a a ≥----=-=-≥【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
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专题
11 数学文化
一、选择题
1. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =， BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A ．0,0)2
a b a b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>
C ．20,0)ab a b a b ≤>>+
D ．0,0)2a b a b +≤>> 【答案】D
【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a b r +=，又22
a b a b OC OB BC b +-=-=-=，则()()22
222224
42
a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤．故本题答案选Ｄ． 2. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试】
瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式V ﹣E +F ＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball ）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）
A ．180
B ．120
C ．60
D ．30
【答案】C 【解析】依题意，设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ，
则201232F =+=， 每条棱被两个面公用，故棱数512620902
E ⨯+⨯==， 所以由2V E
F -+=得：90322V -+=，解得60V =．
故选：C ．
3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A ．932
B ．516
C ．3
8 D ．716
【答案】C
【解析】设小正方形的边长为1
高为
2
；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为
，大正方形的边长为
，
所以1223P 8+⨯⨯==， 故选C ．
1.【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调】
南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778
【解析】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，
则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，
由题意得89101234
43a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778
d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金
778． 2. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即(1)(2)1F F ==，*()(1)(2)(3,)F n F n F n n n N =-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满足11c b =，22c b =，*1(3,)n n n c b b n n N -=-≥∈，则1232019...c c c c ++++的值为_____．
【答案】3
【解析】记“兔子数列”为{}n a ，则数列{}n a 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b 为{}1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,，
可得数列{}n b 构成一周期为6的数列，
由题意得数列{}n c 为{}1,1,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,------，
观察数列{}n c 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的
所以()()123201912320182019c c c c c c c c c +++
+=+++++ 1113=++=． 故答案为：3．。