导数习题课
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导数的基本公式及运算法则习题课
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝ ＝xx＋－11x＋－′1xx2－＋11x＋－1x＝2－1x＋2x1＋21. ′
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x ＝ex(sin x＋cos x)．
x2 ) ' 1 x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2 (1 x 2 ) 2
(4) y ' (2x3 ) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x 3 )'3(x sin x)'0
(完整版)导数公式运算习题课
1 xlna
⑧
1 x
⑨f′(x)±g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ⑪f′(x)g(xg)－2(xf)(x)g′(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
()
①y＝ln2，则y′＝12 ②y＝x12，则y′|x＝3＝－227 ③y
＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝xl1n2
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
① ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝427.
高中数学《导数与单调性》习题课 课件
★状元笔记 单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的单调递增区间， 使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的单调递减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝xl1nx； (2)f(x)＝xx2-+11； (3)f(x)＝x+2 1-x.
所以当 f(x)在[1，2]上为单调函数时 a 的取值范围是(-∞， 0)∪(0，52]∪[1，+∞)．
【答案】 a≤0 时，增区间为(0，+∞)； a>0 时，增区间为(0，1a)，减区间为(1a，+∞)．
题型三 求参数的取值范围
已知函数 f(x)＝x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(-23，0)内是减函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调减区间是(-23，0)，求 a 的值．
(4)f′(x)＝（2+cosx（）2c+ocsxo-ssxi）nx2（-sinx）＝（22c+ocsoxs+x1）2. 当 2kπ-23π<x<2kπ+23π(k∈Z)时，cosx>-12，即 f′(x)>0； 当 2kπ+23π<x<2kπ+43π(k∈Z)时，cosx<-12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ-23π，2kπ+23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ+23π，2kπ+43π)(k∈Z)上是减函数．
f(x)在(2，3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，可得
导数的概念习题课
丝罕见，那种粗俗的墨蓝色鸵鸟模样的神态好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。…………那个身穿狼狈的灵冰衫的大叔是
娜哥瓜乌
保镖。他出生在Ｄ．勒西日世界的钢条湖，绰号：八腿病鬼！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十
多公斤。此人最善使用的兵器是『紫风摇精牛肝矛』，有一身奇特的武功『蓝雨蚌圣剃须刀爪』，看家的魔法是『黄影缸魔钢筋语录』，另外身上还带
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率 ,它 反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以
x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
四、导函数
如果函数y f (x)在区间(a ,b)內每一点都可导，就说 函数y f (x)在区间(a,b)內可导。这时，对于(a,b)內每一
个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
x
若f (x0)存在, 过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所 代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化 率的本质
2. f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
第三节 高阶导数 习题课
四则 运算 法则
′ f ( x) f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x) (3) = 2 g( x) [ g( x)]
3.复 复 合函 数的 求导 法则
(4) ( f [ g( x)])′ = f ′(u) ⋅ g′( x) u= g ( x )
dy dy du = ⋅ dx du dx
ds(t ) v(t ) = dt
或
v = s′.
加速度a是速度 对时间 的变化率，即速度v对时 加速度 是速度v对时间 的变化率，即速度 对时 是速度 对时间t的变化率 的导数： 间t的导数： 的导数
d[v(t )] d ds(t ) a= = dt dt dt 或 a = (s′)' = s'' (t ).
y′ = a ,
n
y ′′ = 0
(n )
问题： 问题：(1) x
( )
=?
(x )
n
(n)
= n!
(ax ) = ? (ax ) ( ) (x ) = 0
n
(n)
n
n
( n+1)
=?
n+1
n n −1 ⑵ 若 y = a0 x + a1 x + L + a n−1 x + a n , y( n) = ? y( n+1) = ?
第二章 导数与微分
第一节 第二节 第三节 第四节 导数概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 第五节 函数的微分
求导公式与求导法则
(1) (c)′ = 0
1. 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式
′ f ( x) f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x) (3) = 2 g( x) [ g( x)]
3.复 复 合函 数的 求导 法则
(4) ( f [ g( x)])′ = f ′(u) ⋅ g′( x) u= g ( x )
dy dy du = ⋅ dx du dx
ds(t ) v(t ) = dt
或
v = s′.
加速度a是速度 对时间 的变化率，即速度v对时 加速度 是速度v对时间 的变化率，即速度 对时 是速度 对时间t的变化率 的导数： 间t的导数： 的导数
d[v(t )] d ds(t ) a= = dt dt dt 或 a = (s′)' = s'' (t ).
y′ = a ,
n
y ′′ = 0
(n )
问题： 问题：(1) x
( )
=?
(x )
n
(n)
= n!
(ax ) = ? (ax ) ( ) (x ) = 0
n
(n)
n
n
( n+1)
=?
n+1
n n −1 ⑵ 若 y = a0 x + a1 x + L + a n−1 x + a n , y( n) = ? y( n+1) = ?
第二章 导数与微分
第一节 第二节 第三节 第四节 导数概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 第五节 函数的微分
求导公式与求导法则
(1) (c)′ = 0
1. 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式
导数的四则运算法则(习题课)
北师大版选修 1-1
第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
导数计算习题课
法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
习题课(导数与微分)
利用 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必定连续，从而有 − + a + b = 1 = 1 (a + b + 1) f (1 ) = f (1 ) = f (1) 2 即 a=2 ′ ′ f − (1) = f + (1)
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ax + b ,
f (x) =
1 ( a+ b + 1) , 2
解y = − ln( 1 −源自x ), 令 u = 1 − x .
y = – lnu .
.
u′ −1 1 dy dy du = . =− = − = ⋅ ∴ y′ = 1− x u 1− x dx du dx
.
(4)复合函数求导练习 题 复合函数求导练习23题 复合函数求导练习
1
o o
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x (e
1 14 (ln(1 − x ))′ = − 1− x 3 o 3 15 (ln 2 x )′ = x
o o
.
21 (arcsin3 x )′ = 22 (e )′ = 2 xe
o x2 o
x2
3 1 − 9x2
16 (e 17
o o
o
3 x +1
)′ = 3e
3 x +1
2 (arctan2 x )′ = 1 + 4 x 2
0
√
).
( (
× ). √ √
).
(
).
(2)判断是非(是： √ 非： × )： 判断是非( 判断是非
.
已知 y = f ( x )在点 x 0 可导 ：
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) e . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 − h) − f ( x 0 ) f . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 + 3h) − f ( x 0 ) 1 g . f ′( x 0 ) = lim h 3 h→ 0
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课 PPT
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
高中数学第二章导数及其应用习题课用导数研究函数的单调性极值最值课件北师大版选择性必修第二册
若a≤0,则f'(x)=ln x-2ax+1>0在x>1时恒成立,从而f(x)在区间(1,+∞)上单调
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= 1x2+aln x.
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= 1x2+aln x.
导数习题课例题(带详解)
1：已知函数f (x )=ln 2(1+x)-21x x+. (1) 求函数()f x 的单调区间;（2）若不等式1(1)a a e n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求α的最大值.解: （1）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++ 设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠，函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当x ＞0时，()(0)0.g x g <=所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数. 当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞.（2）不等式1(1)n a e n ++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由111n+>知，1.1ln(1)a n n≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x=-∈+则 22222211(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（Ⅰ）知，22ln (1)0,1x x x+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =- 所以a 的最大值为11.ln 2- 2. 设 f (x ) = px －q x －2 ln x ，且 f (e ) = qe －pe－2（e 为自然对数的底数）(I) 求 p 与 q 的关系；(II) 若 f (x ) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III) 设 g (x ) = 2ex，若在 [1,e ] 上至少存在一点x 0，使得 f (x 0) >g (x 0) 成立, 求实数 p 的取值范围.解：(I) 由题意得 f (e ) = pe －q e －2ln e = qe －pe－2⇒ (p －q ) (e + 1e ) = 0 而 e + 1e≠0∴ p = q(II) 由 (I) 知 f (x ) = px －px －2ln xf’(x ) = p + p x 2 －2x = px 2－2x + px 2令 h (x ) = px 2－2x + p ，要使 f (x ) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 h (x ) 在 (0,+∞) 内满足：h (x )≥0 或 h (x )≤0 恒成立. ………… 5分① 当 p = 0时， h (x ) = －2x ，∵ x > 0，∴ h (x ) < 0，∴ f’(x ) = －2xx2 < 0，∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ② 当 p > 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = 1p ∈(0,+∞)，∴ h (x )min = p －1p只需 p －1p≥1，即 p ≥1 时 h (x )≥0，f’(x )≥0∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单调递增， 故 p ≥1适合题意.③ 当 p < 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1p∉ (0,+∞)只需 h (0)≤0，即 p ≤0时 h (x )≤0在 (0,+∞) 恒成立. 故 p < 0适合题意. 综上可得，p ≥1或 p ≤0另解：(II) 由 (I) 知 f (x ) = px －px －2ln xf’(x ) = p + p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2x要使 f (x ) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 f’(x ) 在 (0,+∞) 内满足：f’(x )≥0 或 f’(x )≤0 恒成立.由 f’(x )≥0 ⇔ p (1 +1x 2)－2x≥0 ⇔ p ≥2x +1x⇔ p ≥(2x +1x)max ，x > 0 ∵2x + 1x≤ 22x ·1x= 1，且 x = 1 时等号成立，故 (2x +1x)max= 1 ∴ p ≥1由 f’(x )≤0 ⇔ p (1 + 1x 2 )－2x ≤0 ⇔ p ≤ 2x x 2 + 1⇔ p ≤(2xx 2 + 1)min ，x > 0 而 2x x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时，2x x 2 + 1 → 0，故 p ≤0 综上可得，p ≥1或 p ≤0(III) ∵ g (x ) = 2ex在 [1,e ] 上是减函数∴ x = e 时，g (x )min = 2，x = 1 时，g (x )max = 2e 即 g (x ) ∈ [2,2e ]① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x ) 在 [1,e ] 递减 ⇒ f (x )max = f (1) = 0 < 2，不合题意。
导数与微分习题课
.
dx
− xy 2( 2 + 2 )
2
;
3 .
arctan
xy
−
(
−
)
,求
4. 2 + 2 =
.
dx2
1. = (
11
四、计算n阶导数
1. =
1+
; 2. = sin2 .
1−
2 ⋅ !
−1
;
−2
cos(2
+
).
(1 − )+1
2
五、
1
导数与微分
习题课
一、主要内容
dy
= ′ ⇔ dy = ′ dx ⇔ = dy + ()
dx
关
系
导
数
lim
→0
基本公式
高阶导数
微 分
dy = ′
高阶微分
求 导 法 则
2
二、典型例题
例1
解
设 () = ( − 1)( − 2) ⋯ ( − 100),
∵ (
) =
,
−1
( − 1)+1
∴ () =
3 1
1
=4+ (
−
)
2 −1 +1
1 ()
(−1) !
(
) =
,
+1
( + 1)+1
3
1
1
(−1) ! [
−
].
2
( − 1)+1 ( + 1)+1
9
课堂练习
dx
− xy 2( 2 + 2 )
2
;
3 .
arctan
xy
−
(
−
)
,求
4. 2 + 2 =
.
dx2
1. = (
11
四、计算n阶导数
1. =
1+
; 2. = sin2 .
1−
2 ⋅ !
−1
;
−2
cos(2
+
).
(1 − )+1
2
五、
1
导数与微分
习题课
一、主要内容
dy
= ′ ⇔ dy = ′ dx ⇔ = dy + ()
dx
关
系
导
数
lim
→0
基本公式
高阶导数
微 分
dy = ′
高阶微分
求 导 法 则
2
二、典型例题
例1
解
设 () = ( − 1)( − 2) ⋯ ( − 100),
∵ (
) =
,
−1
( − 1)+1
∴ () =
3 1
1
=4+ (
−
)
2 −1 +1
1 ()
(−1) !
(
) =
,
+1
( + 1)+1
3
1
1
(−1) ! [
−
].
2
( − 1)+1 ( + 1)+1
9
课堂练习
《导数习题课》课件
详细描述
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
THANKS
感谢观看
总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
THANKS
感谢观看
总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词
导数与微分习题课
18
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
导数的基本公式及运算法则习题课
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝1u·1x＝xl1nx. (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u·u′x＝eu·4x ＝4x·e2x2＋1.
例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u·u′x进行求导．
gf((xx))f(x)g(xg)(x)f2(x)g(x)(g(x)0)
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4) ， (5cos x) = 5(cos x) ，又(x4) = 4x3，
(cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0，
故f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
公 式 6 : (e x ) ' e x ;
公 式 7 : (lo g a x ) '
1
(a 0 , 且 a 1);
x ln a
公 式 8 : (ln x ) ' 1 ; x
需要使用导数的运算法则求导:
f(x)g(x)f(x)g(x)
f(x)•g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
推论 1 (cu(x)) = cu (x) (c 为常数).
20XX
感谢观赏 求简单复合函数f(ax＋b)的导数
求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复
相关主题
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例 1、求曲线 y e2x 在 x 0 对应点的切线、法线方程。
例
2、已知
f
(
x)
sin x,
x,
x 0 ，求 f (x) 。 x0
例
3、讨论函数
f
(Leabharlann x)x sin
1 x
,
x 0 在 x 0 处的连续性与可导性。
0,
x0
例
4、
y
esin
1 x
求 dy 。
dx
例 5、 y ln(x 1 x2 ) ，求 dy 。
教师备课纸
1
第二章 导数与微分 一、知识总结 1、导数、单侧导数的定义，几何意义，平面曲线的切线、法线的求法； 2、函数的求导法则：四则求导法则，复合函数求导法则； 3、高阶导数； 4、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数； 5、函数的微分；6、函数在一点处可导、可微、连续的关系。 二、典型例题讲解
dx
例 6、 y x2 sin 2x ，求 y(50) 。
例 7、求由方程 e yxye0 所确定的隐函数 y 的导数
例
8、求
x
y
sin t cos 2t
在相应于 t
4
点处的切线方程、法线方程。
例 9、计算由摆线的参数方程 xyaa((1t scionstt)) 所确定的函数 yf(x)的二阶导数。 例 10、 y xsin 3x ，求 dy 。