勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理

命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么

。 勾股定理的逆定理

命题2如果三角形的三边长a ，b ，c 满足

，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）

以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每

个直角三角形的面积等于2

1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，

∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.

∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.

∴

∴.

【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.

即，整理得.

【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.

∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于

.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴

ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于

∴.∴.

【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别

为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答

到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，

你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过

反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠G AD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.

【证法5】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90o，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.

∴AD∶AC=AC∶AB，即.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，

从而有

.∴，即

【证法6】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线

上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.

∴∠HEF=180o―90o=90o.

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.

又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.

∴.∴.

【证法7】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.

如图，以B为圆心a为半径作圆，

交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.

因为∠BCA=90o，点C在⊙B上，

所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

===，

即，∴.

【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

==r+r=2r,即，∴.

∴，

即，

∵，

∴，又∵

====，

∴，

∴，