平行四边形证明题练习
平行四边形(含答案)
平行四边形参考答案典型例题例1．证明：∵DM⊥AC, BN⊥AC,DM=BN,AM=CN ∴△ADM≌△CBN ∴AD=CB,∠DAM=∠BCN ∴AD∥CB ∴平行四边形ABCD是平行四边形例2.解：∵BC∥AD,BC=AD, ∴ED=BF∴四边形BFDE是平行四边形，所以EB与DF平行且相等①成立，因为ED=BF，四边形BFDE仍是平行四边形，所以EB与DF仍平行且相等②成立，只要ED=BF，就成立③成立。
∵∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD, ∠ABE=∠CDF∴∠EBF=∠EDF, ∠BED=∠BFD∴四边形BFDE是平行四边形，所以EB与DF平行且相等例3.解：PF∥AB,PE∥AC，则四边形AEPF是平行四边形，其周长为2(PE+PF)点P是BC的三等分点，则13PF CPAB CB==,23PE BPAC BC==, 又AB=AC，所以2(PE+PF)=2*12()33+AB=2AB例4.解：①连结AC，BD②将AD和BC四等分，连结对应分点③连结AC，取BC和AD的中点分别为E、F,连结AE、CF例5.解：CF=BE ∵DE∥BC EF∥AC ∴四边形EDCF是平行四边形∴CF=ED ∵BD平分∠ABC, ∠CBD=∠BDE ∴∠DBE=∠BDE ∴BE=ED ∴CF=BE例6.解：连结BD，则GF∥BD，HE∥BD, GF=HE=12BD，所以四边形EFGH是平行四边形例7.（1）证明：旋转90°时，EF⊥AC,又AB⊥AC 则AB∥EF,又AF∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形（2）∵AO=CO，∠AOF=∠COE, ∠OAF=∠OCE∴△AOF≌△COE ∴AF=CE（3）可能。
此时EF⊥BD,旋转的角度为∠AOF=90°-∠AOB, AC=2,AO=1=AB,所以∠AOB=45°，所以旋转的角度为45°双基练习1.19,112.1203.1444.185. 50°6.C7.D8.D9.解：∵∠AEB=∠DAE, ∠DAE=∠BAE∴AB=BE=BC-CE=3∴周长为2(AD+AB)=18巩固练习1.AO=CO或BO=DO2.C3.D4.C5.156.187.15,108.解：∵AO=CO,EO为公共边，∠AOE=∠COE∴△AOE≌△COE,∴AE=CE∴周长为CD+DE+CE=CD+AD=89.10.DF和AE相互平分。
平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，是平行四边形，E E 、F 分别是BC BC．．AD 上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．5．如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．．求证：△ABE≌△CDF．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： _________（2）请证明你的猜想．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．2222．已知如图所示，．已知如图所示，▱ABCD 的对角线AC AC、、BD 交于O ，GH 过点O ，分别交AD AD、、BC 于G 、H ，E 、F 在AC 上且AE=CF AE=CF，，求证：四边形EHFG 是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF 即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC AD=BC，，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE 和△CBF 中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE 和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD AB=CD，∠B=∠D，根据，∠B=∠D，根据SAS 证出△ABE≌△CDF 即可推出答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF 是证此题的关键．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析： 利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D，∴∠B=∠D，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴在：△ABE 与△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（ASA ASA ASA））点评： 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD 边的中点，根据AAS 即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（∴△EBC≌△EFD（AAS AAS AAS））， ∴BC=DF．点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE=DF BE=DF，，BE∥DF．解答： 解：由题意得：解：由题意得：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF．理由如下：，BE∥DF．理由如下：连接DE DE、、BF BF．．∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵E，∵E，F F 分别是OA OA，，OC 的中点，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析： 根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS 证出即可． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF 的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD 中，过AC 中点的直线交CD CD，，AB 于点E ，F ．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．解答： 证明：∵四边形ABCD ABCD 是平行四边形，是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF 和△COE 全等．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？考点： 等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析： 根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD 是平行四边形．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析： 连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，根据平行四边形性质求出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，根据平行四边形的，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF 是平行四边形即可．解答： 证明：连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OD=OB OD=OB OD=OB，，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE=BF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL 证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答： 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED 和Rt△CFB 中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL HL HL））， ∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 求出AE=DE AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC AF=DC，得出，得出AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，根据平行四边形的判定推，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵E 为AD 中点，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF 和△CED 中∵，∴△AEF≌△CED（∴△AEF≌△CED（AAS AAS AAS））， ∴AF=DC，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，，故四边形AFBD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD AF=DC=BD．．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．考点： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．分析： （1）证出平行四边形ABED ABED，，推出DE=AB DE=AB，，即可推出答案；（2）根据BE=AD BE=AD，，AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，推出DC=EC 即可证出答案．解答： 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED 是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，∴DC=EC，由（由（11）知：）知：DE=DC DE=DC DE=DC，，∴DE=DC=EC，∴△DEC 是等边三角形．点评： 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED 和DC=EC 是解此题的关键．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE DE、、BF BF，试判断四边形，试判断四边形DEBF 的形状，并说明理由．分析： （1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD 与BC 平行且相等，由AD 与BC 平行得到内错角∠DAF与∠BCA 相等，再由已知的AE=CF AE=CF，根据“SAS”得到△ADF ，根据“SAS”得到△ADF 与△CBE 全等；（2）由（）由（11）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF 与EB 相等且∠DFA 与∠BEC 相等，由内错角相等两直线平行得到DF 与BE 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状．解答： 证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（∴AD=BC，AD∥BC（11分）∴∠DAF=∠BCA（∴∠DAF=∠BCA（22分），∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE（（3分）∴△ADF≌△CBE（∴△ADF≌△CBE（44分）（2）四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（55分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE DF=BE DF=BE，，∴DF∥BE，∴四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（66分）点评： 本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG BE=DG、、DH=BF DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答： 证明：在平行四边形ABCD 中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，又∵AE=CG，AH=CF AH=CF AH=CF（已知）（已知）， ∴△AEH≌△CGF（∴△AEH≌△CGF（SAS SAS SAS））， ∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD 中，中，AB=CD AB=CD AB=CD，，AD=BC AD=BC（平行四边形的对边相等）（平行四边形的对边相等）， ∴AB﹣∴AB﹣AE=CD AE=CD AE=CD﹣﹣CG CG，，AD AD﹣﹣AH=BC AH=BC﹣﹣CF CF，，即BE=DG BE=DG，，DH=BF DH=BF．．又∵在平行四边形ABCD 中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： 平行且相等（2）请证明你的猜想．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： （1）BE 平行且等于DF DF；；（2）连接BD 交AC 于O ，根据平行四边形的性质得出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，得出平行四边形，得出平行四边形BEDF即可．解答： （1）解：）解：BE BE 和DF 的关系是：的关系是：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF，，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF BE=DF，所以四边形，所以四边形BFDE 是平行四边形，根据对角相等即可得证． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（AAS AAS AAS））； ∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评： 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD AB=CD，，根据线段的中点的定义得到EB=AB AB，，DF=CD CD，，即BE=DF BE=DF，，BE∥DF，得到平行四边形EBFD EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥CD，AB=CD AB=CD AB=CD，，∵E，∵E，F F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点，∴EB=AB AB，，DF=CD CD，，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴ED=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．分析： 根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF 平分∠CDB，平分∠CDB，BE BE 平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形．点评： 本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC OA=OC，，OB=OD OB=OD；然后由已知条件“点；然后由已知条件“点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点”可以证得OE=OF OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）． 又∵点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．考点： 全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．分析： 求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE AF=CE，连接，连接BE BE、、DF DF，根据，根据HL 证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF DE=BF，，得出平行四边形DEBF DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．，根据平行四边形的性质推出即可．解答： 解：解：BD BD 平分EF EF，理由是：，理由是：证法一、连接BE BE、、DF DF．．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BD 平分EF EF；；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG 和△DEG 中，∴△BFG≌△DEG（∴△BFG≌△DEG（AAS AAS AAS））， ∴EG=FG，即BD 平分EF EF．．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF DEBF，题目比较好，难度适中．，题目比较好，难度适中．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．考点： 三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．分析： 根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE∥BC，DE=DE=BC BC，，GF∥BC，GF∥BC，GF=GF=BC BC，，推出GF=DE GF=DE，，GF∥DE，GF∥DE，得出平行四边形得出平行四边形DEFG DEFG，，根据平行四边形的性推出即可．解答： 证明：∵BD、证明：∵BD、CE CE 是△ABC 的中线，∴DE∥BC，∴DE∥BC，DE=DE=BC BC，，同理：GF∥BC，同理：GF∥BC，GF=GF=BC BC，，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG 是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质得出OA=OC OA=OC，，AD∥BC，推出OE=OF OE=OF，，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO 和△CHO 中，∴△AGO≌△CHO（∴△AGO≌△CHO（AAS AAS AAS））， ∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG 是平行四边形．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
平行四边形证明题
1如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC．求证：四边形ADCE是平行四边形．2、如图，F、C是线段AD上的两点,AB∥DE，BC∥EF,AF=DC,连接AE、BD，求证：四边形ABDE 是平行四边形．3、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．4、如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证:四边形DEBF是平行四边形．5如图,已知□ABCD的对角线AC , BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ，F。
求证：四边形BFDE是平行四边形．．6、如图,平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD,垂足分别是E、F．求证:△ABE≌△CDF．7、已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．8、如图,在▱ABCD中，点E是DC的中点,连接AE，并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE和△CEF的面积相等（2）若AB=2AD，试说明AF恰好是∠BAD的平分线9、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点,且AE=CF．试说明：∠EBF=∠FDE．10如图,在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（)11、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF．12、如图，在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．(1)求证：AE=CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．13、如图,点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：BG=DE；14、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证:AP=EF．15、如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上,AE=AF．求证：CE=CF．15、如图，四边形ABCD是矩形,直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E,F，证明四边形AFCE是菱形．16、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF,DF∥BE，DF=BE．(1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．17、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长;（2）菱形ABCD的面积．18、如图，四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点．求证：EB=EC．19、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．20、在矩形ABCD中,已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．21、已知:矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°,AC=4cm,求矩形ABCD的周长．。
完整版)平行四边形典型证明题(已分类)
完整版)平行四边形典型证明题(已分类)1.在平行四边形ABCD中，平分线AE交DC于点E，已知∠DAE＝25°，求平行四边形ABCD各角的度数。
2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，交点G在ED和BC上，点D、C分别落在D′、C′的位置上，已知∠EFG=55°，求∠AEG的度数。
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BD上，且BE=DF，证明四边形AECF是平行四边形。
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且∠DAE=∠BCF。
1）证明AE=CF。
2）证明AE∥CF。
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上平分∠BAD，点F在AD上平分∠BCD，证明四边形AECF是平行四边形。
6.如图，点D、E、F分别是△XXX各边中点。
1）证明四边形ADEF是平行四边形。
2）已知AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积。
7.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°得到△CFE。
证明四边形DBCF是平行四边形。
8.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
1）证明AG＝C′G。
2）求△BDG的面积。
9.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，已知AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，已知∠1＝15°。
1）求∠2的度数。
2）证明BO＝BE。
11.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，CE∥BD，DE∥AC。
1）判断四边形OCED的形状，并证明。
2）已知AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积。
12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD 的平分线于点F。
(完整版)平行四边形证明典型题
平行四边形证明典型题1．如下图，已知平行四边形ABCD,E为AD上的点，且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°,求平行四边形ABCD各内角的度数.2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3，求它的四个内角的度数.3.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO。
4。
已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E使AE=AB，求证：CE⊥DF5.如图所示，已知平行四边形ABCD,直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F，求证:AE—DF=CG—BH6。
平行四边形ABCD中，E为DC中点,延长BE与AD的延长线交于F，求证:E为BF中点，D为AF的中点.7.如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF。
求证：△AEF为等边三角形.8。
如图所示,在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC9。
如图所示，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，F是CD中点,分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH,连结GF、EH，求证:GF∥EH10.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上,且AE=CF，AF与BE相交于G,CE与DF相交于H.求证:EF与GH互相平分11.在四边形ABCD中,AB∥DC，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.12。
如图所示，已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF。
求证:DEAF 为平行四边形.13。
已知:如下图，在四边形ABCD中,AB=DC,AE⊥BD，CF⊥BD,垂足分别是E、F，AE=CF,求证:四边形ABCD 是平行四边形.14.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm2，求平行四边形ABCD的面积.15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线，现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ,问桥应架在何处，才能使从A到B总的路程最短。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
平行四边形典型证明题
平行四边形证明题1.在口ABCD中，/ BAD的平分线AE交DC于E,若/ DAE= 25°,求口ABCD各角度数.2.如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G,点DC分别落在D'、C'的位置上，若/ EFG=55，求/ AEG度数.3•如图在口ABCD中，E, F为BD上的点，BE=DF，那么四边形AECF是什么图形？并证明4•如图，在口ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且/(1)求证：AE=CF . (2)求证：AE // CF CDAE= / BCF.5•如图，口ABCD中，AE平分/ BAD交BC于点E, CF平分/ BCD交AD于点F,求证：四边形AECF是平行四边形D6.如图，点D、E、F分别是△ ABC各边中点.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形.(2)若AB=AC=10 , BC=12，求四边形ADEF的周长和面积7•如图，在△ ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△ CFE .8.如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD = 8cm, AB = 6cm，先沿对角线点G.(1)求证：AG= C'G. (2) 求厶BDG的面积求证：四边形DBCF是平行四边形。
BD对折，点C落在点9•如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AO=3 , / OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分/ BAD，/ 1 = 15° . ( 1)求/ 2的度数.(2)求证：BO= BE .11.如图，0为矩形ABCD寸角线的交点，DE AC CE// BD(1)试判断四边形(2)若AB= 6, BC= 8,求四边形OCE啲面积.12.在厶ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN/ BC,设MN交/BCA的平分线于点E,交/ ACD的平分线于点F,求证：(1) E(=F0(2)当点0运动到何处时，四边形AECf是矩形?13.如图,BD是菱形ABCD勺对角线，点E,F分别在边CD,DA上,且CE=AF求证：/DBF=/ DBE.AAl ____ \一Nffc14.如图，在菱形 ABCD 中, E 为AD 中点，EF 丄AC 交CB 的延长线于 F.求证：AB 与EF 互相平分.17.已知：如图所示，△ ABC 中，E 、F 、D 分别是AB AC BC 上的点，且 DE// AC, DF// AB,要使四边形 AEDF 是菱形, 15.如图，在平行四边形 求证：四边形AFCE 是菱形.16.在口 ABCD 中，对角线 四边形AECF 是什么形状？并证明在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是___ —试证明：这个多边形是菱形4 / 7ABCD 中，0是对角线AC 与BD 相交于点0, BC18.如图，在正方形 ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接 AG 过B, D 两点分别作 BEL AG D 巳AG 垂足分别为 E, F 两点，求证：△ ADF ^A BAE19.如图，已知点 E 为正方形 ABCD 勺边BC 上一点，连结 AE 过点D 作DGLAE 垂足为 G 延长DG 交AB 于点F .求证：①BF =CE ②DF LAE20.如图，在正方形 ABCD 中 , M 为AB 的中点, 21.在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90DECF 为正方形,CD 平分/ ACB ，过点D 分别作DE 丄BC,DF 丄AC ，垂足分别为 E,F.求证: 四边形图6MN LMD22. 在厶ABC中，/ BAC=45 ° , AD丄BC于点D,将厶ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处，将△ ADC沿23. 如图，△ ABC中,AB=AC,AD是厶ABC的角平分线，点0为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD连接AE,BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形.(2)当厶ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并证明•24. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点，贝U PM+PN的最小值为多少？AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB,FC使其交于点M,判断四边形25.如图，在直角梯形ABCD中，/ ABC=90 , AD// BC, AD=4, AB=5 BC=6点P是AB上的一个动点，当PC+PD的值最小时，最小值为.6题图丿。
八下数学第十八章平行四边形证明题专项·练习
八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．（1）求证：DE=CF；（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC.（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B.3．已知：如图，点D在ΔABC的边AB上，CF//AB，DF交AC于E，EA=EC．（1）如图1，求证：CD=AF；（2）如图2，若AD=BD，请直接写出和ΔBDC面积相等的三角形．4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF//BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB=25，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD的面积是．5．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．6．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.（1）求证：BE=DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.7．如图，在ΔABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE // BC，EF // AB．（1）求证：ΔADE∽ΔEFC；（2）如果AB=6，AD=4，求SΔADESΔEFC的值．8．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．BC，9．如图，等边△ABC的边长是4,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12连接CD和EF .（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长.10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H.（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长.11．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；，BC＝2√15，求AC的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝1312．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标.（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长.13．如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC .（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；（2）在（1）的条件下，当∠DAO=度时，四边形AOCB是平行四边形.（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足14．如图，已知函数y= kx为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点EOD，求a、b的值；（1）若AC= 32（2）若BC∥AE，求BC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．16．如图.在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图），其中∠ACB=∠DFE=90°，发现四边形ABDE是平行四边形.如图，小华继续将图中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连结AE，BD，当点F与点C重合时停止平移.（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由.cm时，请判断四边形ABDE的形（2）如图，若BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，当AF=92状，并说明理由.参考答案与解析1．【答案】（1）证明：在△CDE 和△ECF 中，∵∠ACB=∠ECF=90°，点D 、E 是分别是AB 、BC 的中点．∴CD=BD=AD ，∴∠B=∠DCE ，∠CED=∠ECF=90°， 又∵∠FEC=∠B ．．∠FEC=∠DCE ，又∵CE=EC ．∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴DE=CF ；（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−62=8cm ， ∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥CF ，又DE=CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形，∴DE=12AC=12×6=3cm ，CE=12BC=12×8=4cm ， ∴S 四边形DCFE =DE ×CE=3×4=12cm ． 2．【答案】（1）证明：∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠OCA ＝∠OAC ，∠AOD ＝∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD ，∴180°﹣∠OCA ﹣∠OAC ＝180°﹣∠AOD ﹣∠ADO ， 即∠AOC ＝∠OAD ， ∴OC ∥AD ， ∵OD ∥AC ，∴四边形OCAD 是平行四边形；（2）解：∵AD 与⊙O 相切，OA 是半径， ∴∠OAD ＝90°， ∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠AOD ＝∠ADO ＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.3．【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DFC=∠ADF，∠DAC=∠ACF又∵EA=EC∴ΔADE≌ΔCFE(AAS)∴CF=AD又∵CF//AD∴四边形ADCF为平行四边形∴DC=AF（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（2）解：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA∵AD=BD，∴SΔADC=SΔBDC (等底等高面积相等)∵四边形ADCF是平行四边形，∴SΔADC=SΔCDF=SΔADF=SΔACFF (等底等高面积相等) ．故与ΔBDC面积相等的三角形为：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA．4．【答案】（1）证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC，∵DF=BE，∴ΔADF≅ΔCBE(SAS)，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD//CB，四边形ABCD是平行四边形（2）245．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中{DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，∴△AFD≌△CEB（SAS).（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA=12OC=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF .（2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF，∵OE=12OA=12OC=OF，∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC，即AC=2EF，∴k=ACBD =2EFEF=2，故当k=2时，四边形DEBF是矩形. 7．【答案】（1）证明：∵DE//BC，EF//AB，∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵AB＝6，AD＝4，∴DB＝6－4＝2，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF＝DB=2，∵△ADE∽△EFC，SΔADE SΔEFC =(ADEF)2=(42)2=4．8．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
八年级平行四边形几何证明汇总
1.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE ＝CF ，连接EF 、BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE ＝BF ，∠BEF ＝2∠BAC ． （1）求证：OE ＝OF ；（2）若BC ＝AB 的长．2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ， 求证：∠DHO ＝∠DCO．3．如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． （1）求证：△APB ≌△APD ；（2）已知DF ︰FA ＝1︰2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE ． （1）求证：AB ⊥AE ； （2）若BC 2=AD ·AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点。
BE =2DE ，延长DE 到点F ，使得EF =BE ，连接CF .（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积. C A6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF ＝DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．7．如图8，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O,AB=5,AO=4,求BD 的长. 8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD 。
北师大八年级下册-第六章-平行四边形证明题专项练习(包含答案)
北师大八年级下册-第六章-平行四边形证明题专项练习(包含答案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:DE=BF2.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:OA=OE.3.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD的度数4.如图(1),▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图(2)和图(3)),OE与OF还相等吗?若相等,请你说明理由.5.如图,点E为▱ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。
6.如图,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.(1)求证:CF=CD;(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.7.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?请说明理由.9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD 交于点G、H.(1)求证:四边形FBDH为平行四边形;(2)求证:FG=EH.10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.(1)线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?并说明理由;(2)如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗如果不成立,你能得出什么结论请说明你的理由.12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=3MN.14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.15.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证:BN=DN;(2)求△ABC的周长.17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.(1)AG与CG有怎样的位置关系?说明你的理由;(2)求证:四边形AECG是平行四边形.18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,求∠AMD'+∠BNC' 的度数20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 ㎝，BC＝26㎝，动点P从点A 开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形? （2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形? （3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．23.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE ＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．答案1.证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠ADE= ∠ADC,∠CBF= ∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA).∴DE=BF.证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.2.证法一:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.证法二:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.在△AOB和△EOD中,∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.4.题图(2)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE ≌△COF(AAS),∴OE=OF题图(3)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF5.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF= =76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD.(2)DE⊥AF.理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.9. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.(2)由(1)知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形, ∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.10.(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.11. (1)PE+PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.(2)(1)中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF 是平行四边形,∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.12. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC. ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.13. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.(3)如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°. ∴∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD= MN.1BC,又∵F、G分别是14.∵D,E分别为AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=2OB、OC的中点,1BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形. ∴FG是△BCO的中位线,∴FG∥BC,且FG= 215.∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行,同位角相等),又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.16. (1)证明:∵AN平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.(2)由△ABN≌△ADN知,AD=AB=10,点N为BD的中点,又M是BC的中点,∴MN为△BCD的中位线,∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.17. (1)AG ⊥CG.理由:∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,AF=CF,∴EF ∥BC,∴∠FGC=∠GCD,∵CG 平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG ⊥CG.(2)证明:由(1)知,FG= 21AC,∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF= 21BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG 是平行四边形.18. 结论:EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).证明如下:如图所示,连接AF 并延长交BC的延长线于点G,∵AD ∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF 和△GCF 中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,∴△ADF ≌△GCF(AAS),∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,∴EF ∥BG,EF= 21BG,即EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC). 19.四边形纸片ABCD 中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.∵将纸片折叠,使C,D 落在AB 边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°, ∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC （平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH ＝∠FBG ．又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴DE ＝BF ．又∵BG ＝DH ，∴．△DEH ≌△BFG （SAS ），∴EH ＝FG ，∠DHE ＝∠BGF ．∴∠EHG ＝∠FGH （等角的补角相等）．∴EH ∥FG ．∴四边形EGFH 是平行四边形21.由已知得AP ＝t ，CQ ＝3t ，PD ＝24－t ，BQ ＝26－3t ．（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD ＝CQ 时，即3t ＝24－t 时，四边形PQCD 为平行四边形，解得t ＝6．故当t ＝6时，四边形PQCD 为平行四边形． （2）如图3—38所示，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则CE ＝2．当QF ＝CE 时，即QF+CE ＝2CE ＝4时，四边形PQCD 是等腰梯形．此时有CQ －EF ＝4，即3t —（24一t ）＝4，解得t ＝7．故当t ＝7时，四边形PQCD 为等腰梯形．（3）若四边形ABQP 为矩形，则AP ＝BQ ，即t ＝26—3t ，解得t ＝213．故当t ＝213时，四边形ABQP 为矩形． 22.（1）证明：在△ABN 和△ADN 中， ∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ， 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6， 故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，∵在△AOE 和△COF 中，1234OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，由（1）得AE ＝CF ，由折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ），∴EI ＝FG ．。
中考考试重点-关于平行四边形的证明题
1.如图,四边形ABCD的对角线AC.BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF;(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特别四边形？请证实你的结论.2.已知：如图,在矩形ABCD中,点E,F 分离在AB,CD边上,BE=DF,衔接CE,AF.求证：AF=CE.3.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M.N分离是AD.BC的中点,BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形;(2)求证：BD=MN.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,P 是CD上一点,且AP和BP分离等分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数;(2)假如AD=5 cm,AP=8 cm,求△APB的周长.5.如图,在△ABC中,点D,E,F分离是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形;(2)求证：∠DHF=∠DEF.6.已知：如图,在平行四边形ABCD中,点E.F在AC上,且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.7.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC 是对角线,BE⊥AC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证：BE=DF.8.如图3-34所示,E,F分离为平行四边形ABCD中AD,BC的中点,G,H在BD上,且BG＝DH,求证四边形EGFH是平行四边形．9、如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC 上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,衔接AD,EC．（1）求证：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形．10.如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边B D延伸线上一点,贯穿连接AC.CE,使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC;⑵若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.11.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC 的等分线BF分离与AC.AD 交于点E.F.(1) 求证：AB＝AF;(2)当AB＝3,BC＝5时,求的值．12.已知,如图,在平行四边形ABCD中,延伸DA到点E,延伸BC到点F,使得AE ＝CF,衔接EF,分离交AB,CD于点M,N,衔接DM,BN.(1)求证：△AEM≌△CFN;(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．13.如图所示,已知在平行四边形ABCD 中,BE=DF,求证：AE=CF．14.已知：如图,在△ABC中,,D是BC的中点,,CE∥AD．假如AC=2,CE=4．（1）求证：四边形ACED是平行四边形;（2）求四边形ACEB的周长;（3）直接写出CE和AD之间的距离．15.如图,已知：AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．16.如图9,平行四边形ABCD中,AE.CF分离等分∠DAC.∠BCA,则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？17. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延伸线于F ,且AF=BD,贯穿连接BF（1）求证：D是BC的中点．（2）假如AB=AC ,试断定四边形AFBD的外形,并证实你的结论．18、如图,四边形ABCD是平行四边形,作AF∥CE,BE∥DF,AF交BE与G点,交DF 与F点,CE交DF于H点.交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．19.如图,在□ABCD中,为边上一点,且．（1）求证：;（2）若等分,,求的度数．20.如图,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,（14分）（1）若AE=3cm,AF=4cm,AD=8cm,求：CD的长．（2）若平行四边形的周长为36cm,AE=4cm,AF=5cm,求平行四边形ABCD的面积．21.如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分离为E.F．求证：四边形AECF是平行四边形．22.如图,在□ABCD中,点E.F分离是AD.BC的中点,分离衔接BE.DF.BD．（1）求证：△AEB≌△C FD;（2）若四边形EBFD是菱形,求∠ABD的度数．23.已知,如图,在▱ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于点G.求证:GF=GC.24.已知,如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分离是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.25.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延伸线上,且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．26.如图,四边形中,,点在的延伸线上,联络,交于点,联络DB ,,且.(1) 求证：;（2）当等分时,求证：四边形是菱形.27.已知：如图,在□ABCD中,E是CA延伸线上的点,F是AC延伸线上的点,且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF;（2）BE∥DF．28.如图,在□ABCD中,AC.BD交于点O,EF过点O,分离交CB.AD的延伸线于点E.F..求证：AE=CF.。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)证明题专题训练(含答案)
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形． 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。
八下平行四边形,证明题
八下平行四边形证明题1 ．如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°， CD ，点 E 是CD 的中点．求证：四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．如图， B ， E ， C ， F 在一条直线上，已知 AB ∥ DE ， AC ∥ DF ， BE ＝CF ，连接 AD ．求证：四边形 ABED 是平行四边形．3 ．如图，将▱ ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别至点 E 和点 F ，且使 BE = DF ．求证：四边形 AECF 是平行四边形．4 ．如图，▱ ABCD 中， E 是 AD 边的中点， BE 的延长线与 CD 的延长线相交于F ．求证： DC ＝ DF ．5 ．如图，△ ABC 中， D 是 AB 边上任意一点， F 是 AC 中点，过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于点 E ，连接 AE ， CD ．(1) 求证：四边形 ADCE 是平行四边形；(2) 若∠ B ＝ 30°，∠ CAB ＝ 45°，，求 AB 的长．6 ．如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ，点 F 在线段 BD 上，且DE ＝ BF ．求证： AE ∥ CF ．7 ．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ BAD 的平分线 AF 交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ．点 E 恰是 CD 的中点．求证：（ 1 ）△ ADE ≌△ FCE ；（ 2 ） BE ⊥ AF ．8 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，，点 E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的 2 倍的所有角．9 ．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．10 ．如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，点 F 是 CB 延长线上的一点，且 CF ＝ 3 BF ，连接 DB ， EF ．（ 1 ）求证：四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）若∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ 12cm ， DE ＝ 4cm ，求四边形 DEFB 的周长．11 ．已知：在菱形中，点 E ， O ， F 分别为 AB ， AC ， AD 的中点，连接，．求证：；12 ．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 延长线上， DF ⊥ AE 于点 F ，点 G 在 AE 上，且∠ ABG ＝∠ E ．求证： AG ＝ DF ．13 ．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边 BC 重合在一起，，，．交 AB 于点 E ；作交 AC 的延长线于点 F ．(1) 求证：四边形 AEDF 是正方形．(2) 当时，求正方形 AEDF 的边长．14 ．如图，矩形 ABCD 中， E 、 F 分别为边 AD 和 BC 上的点， BE ＝ DF ，求证：DE ＝ BF ．15 ．如图，点 E 、 F 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，且 AF ＝ CE ，求证： DE ＝BF ．16 ．已知：如图，▱ ABCD 中，延长 BC 至点 E ，使 CE = BC ，连接 AE 交 CD 于点O ．(1) 求证： CO = DO ；(2) 取 AB 中点 F ，连接 CF ，△ COE 满足什么条件时，四边形 AFCO 是正方形？请说明理由．17 ．在中， AE 平分∠ BAD ， O 为 AE 的中点，连接 BO 并延长，交AD 于点 F ，连接 EF ， OC ．(1) 求证：四边形 ABEF 是菱形；(2) 若点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∠ ABC ＝ 60°，求 OC 的长．18 ．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点(1) 求证：四边形 BDEG 是平行四边形；(2) 若菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，求 EG 的长．19 ．已知：如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC ，，点 E ， F 分别为垂足．(1) 求证：△ ABE ≌△ CDF ；(2) 求证：四边形 AECF 是矩形．20 ．已知：如图，在中， E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AF ＝CE ．求证：．参考答案：1 ．证明：∵∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°，∴ AB ∥ EC ，∵点 E 是 CD 的中点，∴，∵，∴ AB ＝ EC ，∴四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．证明：∵∴∠ B =∠ DEF ，∵，∴∠ ACB =∠ F ，∵ BE ＝ CF ，∴ BE+EC ＝ CF+EC ，即 BC=EF ，∴△ ABC ≌△ DEF ，∴ AB=DE ，∵，∴四边形 ABED 是平行四边形．3 ．证明：连接 AC ，设 AC 与 BD 交于点 O ．如图所示：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC ， OB = OD ，又∵ BE = DF ，∴ OE = OF ．∴四边形 AECF 是平行四边形．4 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AB ＝ DC ，∴∠ F ＝∠ EBA ，∵ E 是 AD 边的中点，∴ DE ＝ AE ，在△ DEF 和△ AEB 中，∵，∴△ DEF ≌△ AEB （ AAS ），∴ DF ＝ AB ，∴ DC ＝ DF ．5 ．(1)证明：∵ AB CE ，∴∠ CAD ＝∠ ACE ，∠ ADE ＝∠ CED ．∵ F 是 AC 中点，∴ AF ＝ CF ．在△ AFD 与△ CFE 中，，∴△ AFD ≌△ CFE （ AAS ），∴ DF ＝ EF ，∴四边形 ADCE 是平行四边形；(2)解：过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G ，∵∠ CAB ＝ 45°，∴，在△ ACG 中，∠ AGC ＝ 90°，∴，∵，∴ CG ＝ AG ＝，∵∠ B ＝ 30°,∴ ,∴ ,在 Rt △ BCG 中，，∴．6 ．证：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝ CB ， AD ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ CBF ，在△ ADE 和△ CBF 中，∴△ ADE ≌△ CBF （ SAS ），∴∠ AED ＝∠ CFB ，∴ AE ∥ CF ．7 ．证明：（ 1 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AD ∥ BC ，∴∠ D ＝∠ ECF ，∵ E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC ，在△ ADE 和△ FCE 中，，∴△ ADE ≌△ FCE （ ASA ）；（ 2 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝ CD ， AD ∥ BC ，∴∠ FAD ＝∠ AFB ，又∵ AF 平分∠ BAD ，∴∠ FAD ＝∠ FAB ．∴∠ AFB ＝∠ FAB ．∴ AB ＝ BF ，∵△ ADE ≌△ FCE ，∴ AE ＝ FE ，∴ BE ⊥ AF ．9 ．证明：∵平分，，，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形．10 ．（ 1 ）证明：∵点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线，∴ DE // BC ， BC ＝ 2 DE ，∵ CF ＝ 3 BF ，∴ BC ＝ 2 BF ，∴ DE ＝ BF ，∴四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）解：由（ 1 ）得： BC ＝ 2 DE ＝ 8 （ cm ）， BF ＝ DE ＝ 4cm ，四边形DEFB 是平行四边形，∴ BD ＝ EF ，∵ D 是 AC 的中点， AC ＝ 12cm ，∴ CD ＝ AC ＝ 6 （ cm ），∵∠ ACB ＝ 90°，∴ BD ＝＝ 10 （ cm ），∴平行四边形 DEFB 的周长＝ 2 （ DE + BD ）＝ 2 （ 4+10 ）＝ 28 （ cm ）．11 ．证明：∵四边形是菱形，∴，，∵点，，分别为，，的中点，∴在和中，，∴；12 ．证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，在和中，，，．13 ．证明：∵，∴∵∴四边形 AEDF 是矩形∵∴在和中∴∴四边形 AEDF 是正方形．(2)解：∵，，∴，设得解得：∴正方形 AEDF 的边长是．14 ．证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ，∠ A ＝∠ D ＝ 90 °，在 Rt △ ABE 和 Rt △ CDF 中，，∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ CDF （ HL ），∴ AE ＝ CF ，∴ DE ＝ BF ．15 ．证明：四边形是菱形，，，，在和中，，，．16 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC ， AD // BC ，∴∠ DAE =∠ E ，∵ CE = BC ，∴ CE = AD ，又∵∠ AOD =∠ COE ，∴△ AOD ≌△ EOC （ AAS ），∴ CO = DO ；(2)解：当 CO = EO ，∠ COE =90°时，四边形 AOCF 是正方形；理由如下：∵ CO = DO ，∴ CO = CD ，又∵ F 是 AB 的中点，∴ AF = AB ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD ， AB // CD ，∴ AF = CO ， AF // CO ，∴四边形 AFCO 是平行四边形，∵△ AOD ≌△ EOC ，∴ AO = EO ，∵ CO = EO ，∴ AO = CO ，∴平行四边形 AFCO 是菱形，∵∠ COE =90°，∴菱形 AFCO 是正方形．17 ．证明：在中，，∴∠ FAO =∠ BEO ，∵ O 为 AE 的中点，∴ AO=EO ，∵∠ AOF =∠ BOE ，∴△ AOF ≌△ BOE ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∵ AE 平分∠ BAD ，∴∠ BAE =∠ FAE ，∴∠ BAE =∠ AEB ，∴ AB=BE ，∴四边形 ABEF 是菱形；(2)解：过点 O 作 OG ⊥ BC 于 G ，∵点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∴ BE=CE =4 ，∵四边形 ABEF 是菱形，∠ ABC ＝ 60°，∴∠ OBE =30°，∠ BOE =90°，∴ OE =2 ，∠ OEB =60°，∴ GE =1 ，，∴ GC =5 ，∴ OC ．．18 ．证明：∵ AC 平分∠ BAD ， AB ∥ CD ，∴∠ DAC ＝∠ BAC ，∠ DCA ＝∠ BAC ，∴∠ DAC ＝∠ DCA ，又∵ AB ∥ CD ， AB ＝ AD ，∴ AB ∥ CD 且 AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵ AB ＝ AD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：连接 BD ，交 AC 于点 O ，如图：∵菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，∴ CD ＝ 13 ， AO ＝ CO ＝ 12 ，∵点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点，∴ EF ∥ BD （中位线），∵ AC 、 BD 是菱形的对角线，∴ AC ⊥ BD ， OB ＝ OD ，又∵ AB ∥ CD ， EF ∥ BD ，∴ DE ∥ BG ， BD ∥ EG ，∵四边形 BDEG 是平行四边形，∴ BD ＝ EG ，在△ COD 中，∵ OC ⊥ OD ， CD ＝ 13 ， CO ＝ 12 ，∴，∴ EG ＝ BD ＝ 10 ．19 ．证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，．(2)证明：，，四边形是平行四边形，，，在四边形中，，四边形是矩形．20 ．证明：在中，，∴∠ DAC =∠ ACB ，∵ AF ＝ CE ．∴△ ADF ≌△ CBE （ SAS ），∴∠ AFD =∠ BEC ，∴．。
平行四边形的证明题
平行四边形的证明题一•解答题(共30小题)1. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE丄BD于E, CF丄BD于F.(1)求证：BE=DF ;(2)若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状./\2. 如图所示，?AECF的对角线相交于点O, DB经过点0,分别与AE，CF交于B，D .求证：四边形ABCD是平行四边形.F D C虫R E3. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE丄BD，CF丄BD，垂足分别为E, F.(1)求证：△ ABECDF;(2)若AC与BD交于点0,求证：A0=C0 .4. 已知：如图，在△ ABC中，/ BAC=90 ° DE、DF是厶ABC的中位线，连接EF、AD .求证：EF=AD .“E一拥5. 如图，已知D是厶ABC的边AB上一点，CE// AB , DE交AC于点0,且0A=0C，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.C6. 如图，已知，？ABCD中，AE=CF , M、N分别是DE、BF的中点. 求证：四边形MFNE是平行四边形.D F C7. 如图，平行四边形ABCD , E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE , EC, CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形.D8. 在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.A B9. 如图所示，DB // AC,且DB= :AC，E是AC的中点，求证：BC=DE .10 .已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC，AD=24cm，BC=30cm,点P 自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P, Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？12. 已知：如图，在？ABCD中，对角线AC交BD于点0,四边形A0DE是平行四边形•求证：四边形AB0E、四边形DC0E都是平行四边形.13. 如图，已知四边形ABCD中，点E, F, G, H分别是AB、CD、AC、BD 的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分.15. 已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0, EF经过点0并且分别和AB , CD相交于点E, F,点G, H分别为0A, 0C的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.A16. 如图，已知在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H 分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG.(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)(17题图)17. 如图，在△ ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.(1)求证：AF=CE ;(2)如果AC=EF，且/ ACB=135。