大学生数学竞赛辅导材料

浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分)1．求极限lim x →。

2．求积分|1|D xy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。

3．设2x yx e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。

4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x xxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。

5．设211arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。

6．求积分12121(1)x x x e dx x ++-⎰。

2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）一．计算题7．求2050sin()lim x x xt dt x→⎰。

8．设31()sin x G x t t dt =⎰，求21()G x dx ⎰。

9．求2401x dx x∞+⎰。

10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。

浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题1．计算：()()200cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----⎰。

2．计算：20cos 2004x dx x x πππ+-+⎰。

3．求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y xy Ω=+≤上的最大、小值。

4．计算：()3max ,D xy x d σ⎰⎰，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。

5. 设()1tan 1x f x arc x-=+，求)0()(n f 。

天津市竞赛题 1.证明⎰⎰+≤⎰+02022021cos 1sin dx x x dx x x ππ.2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f .3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设,1tan 12k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞→ 4. 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。

5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。

6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。

7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有()()⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞+10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。

8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞→lim 存在并求其值。

9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。

北京市竞赛试题(2008、2007、2006).______,111,1.11=-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,)()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设._____)]11(1[lim ,1)0,1()(.3=++-=∞→nn n f y x f y 则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.______lim .411=∑=∞→+n k nk n k n e ___.__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22方程，域内可y x f z y x o y x y x f y x f z =+=+++=+=ρρ._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕111101线.7z z y x -=-=-直.____d )cos(d 1||||.822=+-=++⎰Ly y x x y x y x x L 的正向一周，则为封闭曲线设.______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223=∂∂-=--=M M z y x z y x z y x A ll A k j i A 的方向导数方向处沿在点则其散度设向量场._______,)1(.102222=++=+'+''++=γβαγβα则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y._________d )cos 1(sin .52π2π22=⎰++-x x x x2.3.4.5.6.全国第一届预赛题首届预赛一、填空题（20分）第二届预赛第三届预赛第三届决赛一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题：(1) xx x x x x 222220sin cos sin lim -→ (2) [()]61311tan 21lim x e x x x x x +--++∞→ (3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy ∂∂ (4) 求不定积分()dx e x x I x x 111+-+=⎰ (5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积二、（本题13分）讨论dx x x x x 220sin cos α+⎰∞+的敛散性，其中α是一个实常数.三、（本题13分）设)(x f 在),(∞+-∞上无穷次可微，并且满足:存在0>M ，使得M x f k ≤)()(，),(∞+-∞∈∀x ，),2,1( =k ,且0)21(=n f ，),2,1( =n 求证：在),(∞+-∞上，0)(≡x f四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）设D 为椭圆形12222≤+by a x )0(>>b a ，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点），0(c - (其中222b a c -=)垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、（本题12分）设连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --=（其中(,)0F u v =有连续的偏导数）唯一确定, L 为正向单位圆周. 试求：22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+-+⎰第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+. 2.证明广义积分0sin x dx x+∞⎰不是绝对收敛的 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

4.过曲线)0y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标。

二、（满分12）计算定积分2sin arctan 1cos x x x e I dx xππ-⋅=+⎰专项练习题一.求极限1. )0,(2lim >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→b a b a nnnn 2.xx x x x c b a c b a 11110lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++→)0,,(>c b a3. )14(tan lim nnn +∞→π 4. )2(lim 11-+∞→nnn ba n5. )ln sin )1ln((sin lim x x x -++∞→6. ()()xx x x sin sin 1tan 1lim1010--+→ 10.()n n n +∞→2sin lim π11. )211()211)(211(lim 22n n +++∞→ 12. )11()311)(211(lim 222nn ---∞→13 ∑++=∞→nk n k k k 1)2)(1(1lim ， 14.∑+++=∞→nk n k k k 12)!2(13lim15 nn n 2642)12(531lim ⋅⋅-⋅⋅∞→16.设a x ,1均为正数,)(211nnn xax x +=+,求nn x∞→lim17.设6,411+==+nn a aa .求nn a∞→lim18.设12,011++=>+nnn x x x x ,求nn x∞→lim .19. xx e x x sin cos 11lim 30---+→, 20.)2(sin 1lim633x xe x x --→,21.)arcsin 1(sin 1lim 2x x x x -→, 22.1ln lim1+--→x x xx xx , 23.x e x xx -+→10)1(lim ， 24.210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→,25.)1arctan (arctan lim 2+-∞→n an a n n二.求导数1. 1.()xxxx x y arcsin sin cos += 2.()xxxx yln ln =3.设645)3()2()1(---=x x x y,求())2(4y4. 求下列函数的n 阶导数:1)14-=x xy 2) ax x y sin 2=3) x x y 44cos sin +=4) 652++=x x xy 5)xx y +=15、是否存在),(∞-∞上的可导函数)(x f 使得53421))((xx x x x f f --++=，若存在，请举出一个例子；若不存在，请给出证明。

三. 不定积分1).⎰+42xx dx , 2).⎰+86xx dx, 3)⎰+)1(6x x dx,4)dx x x ⎰-20082)1(, 5).dx x x x ⎰+-+112426, 6)⎰-214xx dx ,7)⎰+2)1(xe dx , 8)⎰-dx e x1, 9)dx x x x⎰++2)ln 1(ln 1,10)dx xx x⎰cos sin tan ln , 11)dx x x x x ⎰-+3cos sin cos sin , 12) dx x x x⎰-)1(arcsin , 13)dx x x x x ⎰+-sin 2cos 5sin 3cos 7, 14)⎰+xx dxsin 22sin , 15)⎰+2)cos sin (x b x a dx ,16)⎰+xb x a dx 2222cos sin , 17)dx x x⎰62cos sin ,18)dx x x⎰43sin cos , 19)⎰-2522)(x a dx , 20))1(12>⎰-x x x dx , 21)dx x x ⎰-32)1(arcsin , 22)dx x xx ⎰+1arctan 2, 23)dx x x ⎰+)1ln(, 24) dx e xex x⎰-2)1( 25)dx x x 22)]1[ln(⎰++, 26)dx x x x ⎰+)1(arctan 22, 27) ⎰-+21xx dx, 28)dx xx ⎰-2ln 1ln .四、求下列定积分的值:1)[]dx x x x x)1ln(cos 2112+++⎰-, 2)dx x n ⎰-π2sin 1,3)dx x n⎰--112)1(, 4)⎰+-44sin 1ππx dx,5)dx xxx ⎰+π052sin 1cos sin , 6)dx x x x x ⎰---21010cos sin 4cos sin π,7)dx x x ⎰π0sin 2002sin , 8)dx xx ⎰π0sin 2003sin ,9)dx x x⎰+402cos 1π, 10)dx xx ⎰+-402sin 12sin 1π11)dx xx ⎰+π2cos 1, 12)dx e e xx ),max(112⎰--,13) dx a x x ⎰-10, 14) dx x ⎰+π2cos 1. 15)dx x ⎰-π0sin 1 16) dx x x ⎰-122。