10第三章一元函数微分学(中值定理及罗必塔法则)
微积分中的微分中值定理和洛必达法则
微积分中的微分中值定理和洛必达法则微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的极限、导数和积分，以及它们之间的关系。
微分中值定理和洛必达法则是微积分学的两个重要的定理，它们在计算函数的极限值和导数时非常有用。
下面，我们将介绍微分中值定理和洛必达法则的定义和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它表述了函数在某个区间上的导数至少在一个点等于该区间两个端点的函数值之差除以区间的长度。
这个定理有两个不同的版本，分别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，它表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)至少存在一个点c，使得$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用罗尔中值定理，因为罗尔定理可以将f(x)的在a和b处的导数相等的情况排除掉。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的加强版，它表明，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一个点c，使得$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用拉格朗日中值定理，因为拉格朗日定理只能刻画单个函数的增量，而柯西定理刻画的是两个函数的比值所对应的增量。
二、洛必达法则洛必达法则是微积分学中的重要工具之一，它用于计算一些不定形式的极限，可以有效地避免不必要的推导和繁琐的计算。
它的基本思想是将一个复杂的极限转化为一个简单的比值的形式，然后计算这个比值的极限。
下面，我们介绍一下洛必达法则的具体应用方法：1. 分子分母都趋于无穷或者零如果一条极限式子的分子和分母都趋于正无穷或负无穷或者都趋于零，那么我们就可以利用洛必达法则计算它的极限。
微分中值定理及洛必塔法则
05
微分中值定理及洛必塔 法则的推广
推广形式
广义微分中值定理
将传统的微分中值定理从闭区间上的连续函数推广到更广泛的函数 类，如半开半闭区间、无界区间等。
多重中值定理
在多维空间中，研究多元函数的微分中值定理，揭示了函数在各个 方向上的变化情况。
非标准分析中的微分中值定理
在非标准分析的框架下，对微分中值定理进行重新定义和证明，适 用于超实数域。
06
微分中值定理及洛必塔 法则的习题解答
经典习题解析
经典习题1
证明在闭区间上连续的函数在该区间上可导。
经典习题2
求函数在某点的导数。
经典习题3
利用微分中值定理证明不等式。
经典习题4
利用洛必塔法则求极限。
习题解答技巧
技巧1
技巧2
熟练掌握微分中值定理和洛必塔法则的基 本形式和应用条件，确保在解题过程中正 确运用。
02
微分中值定理和洛必塔法则都 是基于极限的思想，通过局部 的函数性质来推断整体的性质 。
03
微分中值定理和洛必塔法则都 涉及到函数的导数，导数的性 质在这两个定理中扮演着重要 的角色。
应用对比
微分中值定理主要用于证明一些关于函 数的不等式、等式或解决一些与极值相 关的问题，而洛必塔法则主要用于求解 一些极限问题。
应用举例
• 应用举例：微分中值定理的应用非常广泛， 例如在求解某些微分方程时，可以利用微 分中值定理来找到方程的解；在研究函数 的单调性、极值等问题时，也可以利用微 分中值定理来帮助分析；此外，在求函数 的近似值、误差估计等方面，微分中值定 理也有着重要的应用。
02
洛必塔法则
定义与性质
定义
洛必塔法则是微分学中的基本定理之一，它 给出了函数在某点的导数的计算方法。具体 来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$ 处可导，且$g'(x)$在$x_0$处不为零，那么 $lim_{{x to x_0}} frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，且 等于$frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
第三章一元函数微分学本章主要内容...
第三章 一元函数微分学本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.I 基本概念与主要结果一 导数与微分1 导数定义1 设函数在点某领域内有定义，若极限)(x f y =0x 00)()(lim 0x x x f x f x x −−→ 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. f 0x f 0x )(0x f ′等价形式：.lim )()(lim )()(lim )(00000000x y hx f h x f x x f x x f x f x h x ΔΔ=−+=Δ−Δ+=′→Δ→→Δ 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数.左导数：设函数在点的左领域)(x f y =0x ),(00x x δ−上有定义，若左极限)0()()(lim 000<Δ<−Δ−Δ+−→Δx xx f x x f x δ 存在，则称该极限为函数在点左导数，记作f 0x ).(0x f −′类似可定义右导数：xx f x x f x f x Δ−Δ+=′+→Δ+)()(lim )(0000（δ<Δ<x 0）. 左右导数统称为单侧导数.可导的充要条件：在点可导f 0x ⇔f 在点的左右导数存在，且相等. 0x 有限增量公式：设在点可导，则)(x f 0x x y xx f x x f x f x x ΔΔ=Δ−Δ+=′→Δ→Δ00000lim )()(lim)(， 由此得 ).()(0x o x x f y Δ+Δ′=Δ称之为在点的有限增量公式. 注意，此公式对f 0x 0=Δx 仍旧成立.若函数在区间I 上每点都可导，则称为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间，则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数.f f 2 导数的几何意义函数在点可导的充要条件是：曲线f 0x )(x f y =在点存在不平行于轴的切线.))(,(00x f x y 若函数在点可导，则曲线)(x f y =0x )(x f y =在点的切线方程为))(,(00x f x ).)(()(000x x x f x f y −′=−注 此说明：可导一定存在切线，但存在切线未必可导.3 导数与连续的关系（1）在点可导，则在点连续，但反之不成立.f 0x f 0x （2）在点的左（右）导数存在，则在点左（右）连续.f 0x f 0x 4导函数的两大特性：（1）无第一类间断点；)(x f ′（2）具有介值性.)(x f ′其证明参看例1和例2.5 求导法则（1）四则运算法则设函数在)(),(x v x u x 可导，则)()(),()(x v x u x v x u ⋅±在x 可导，当时，0)(≠v v )()(v v x u 在x 可导，且 )()())()((x v x u x v x u ′±′=′±；)()()()())()((x v x u x v x u x v x u ′+′=′；.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u ′−′=′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ （2）复合函数求导的链式法则设)(x u ϕ=在点可导，在点0x )(u f y =)(00x u ϕ=可导，则复合函数))((x f y ϕ=在点可导，且0x ).())(()))(((00x x f x f ϕϕϕ′′=′（3）反函数求导法则设为)(x f y =)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在点某领域内连续，严格单调，且0y 0)(0≠′y ϕ，则在点)(x f )(00y x ϕ=可导，且.)(1)(00y x f ϕ′=′ 6 参数方程求导法则设函数由参数方程 )(x f y =,),(),(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，若)(t x ϕ=具有反函数，)(),(t t φϕ可导，且0)(≠′t ϕ，则.)()(t t dx dy ϕφ′′= 7 基本初等函数求导公式c c ,0=′为常数； ；1)(−=′αααx x x x cos )(sin =′； x x sin )(cos −=′；x x 2sec )(tan =′； ；x x 2csc )(cot −=′x x x tan sec )(sec =′； x x x cot csc )(csc −=′；211)(arcsin x x −=′； 211)(arccos x x −−=′； 211)(arctan x x +=′； 211)(arccot xx +−=′； a a a x x ln )(=′； ；x x e e =′)(ax x a ln 1)(log =′； .1)(ln x x =′ 8 微分定义2 设函数在点某领域内有定义，若)(x f y =0x y 在点的改变量可以表示为0x y Δ)(x o x A y Δ+Δ=Δ，其中A 是与无关的常数，表示x Δ)(x o Δx Δ的高阶无穷小量，则称函数在点可微，并称为)(x f y =0x x A Δ)(x f y =在点的微分，记作0x )d (d 0x A x A y x x =Δ== 或 )d ()(d 0x A x A x f x x =Δ==. 9 可微与可导的关系函数在点可微的充要条件是：在点可导.f 0x f 0x 10 一阶微分形式的不变性对函数，不论是自变量，还是中间变量，都有)(u f y =u.d )(d u u f y ′=此性质常用来求函数的导数.11 近似计算与误差估计.)()()(000x x f x f x x f Δ′+≈Δ+绝对误差：x x f y Δ′≈Δ)(0.相对误差：.)()(00x x f x f y y Δ′≈Δ 12 高阶导数函数一阶导数的导数，称为二阶导数，记作)(x f y =)(x f ′)(x f ′′；一般地，阶导数的导数称为阶导数，记为1−n n )()(x f n 或 n n n n dxy d dx x f d =)(. 二阶以及二阶以上导数都称之为高阶导数.高阶导数运算法则（1） .)()())()(()()()(x v x u x v x u n n n ±=±（2） Leibniz 公式 ∑=−=nk k n k k n n x v x u C x v x u 0)()()()()()]()([. 若干简单函数的阶导数： n n n x n x −+−−=ααααα)1()1()()("；)2sin()(sin )(πn x x n +=； )2cos()(cos )(πn x x n +=； )1,0(ln )!1()1()(log 1)(≠>−−=−a a a x n n n n x a ； n n n x n x )!1()1()(ln 1)(−−=−； n x n x a a a )(ln )()(=；.)()(x n x e e =高阶导数的计算经常用到数学归纳法.13 高阶微分函数的一阶微分的微分，称为二阶微分，记作；一般地，阶微分 )(x f y =dy y d 21−n y d n 1−的微分，称为n 微分，记作，即y d n .)())(()()(1)1(1n n n n n n dx x f dx x f d y d d y d ===−−−二阶以及二阶以上的微分都称为高阶微分.注 （1）高阶微分不在具有形式不变性；（2）符号意义各不相同，，表示)(,,222x d x d dx 22)(dx dx dx dx =⋅=x d 2x 的二阶微分，而表示的微分.)(2x d 2x 二 微分中值定理1 极值定义3 若函数在点的某领域内对一切f 0x )(0x U )(0x U x ∈，都有))()(()()(00x f x f x f x f ≤≥，则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.f 0x 0x 注 极值是函数的局部性质，因此，极大值未必大于极小值.定理1（极值的第一充分条件）设函数在点连续，在某领域内可导.f 0x ),(00δx U （1）若当),(00x x x δ−∈时，0)(≤′x f ，当),(00δ+∈x x x 时，，则在点取得极小值；0)(≥′x f )(x f 0x （2）若当),(00x x x δ−∈时，0)(≥′x f ，当),(00δ+∈x x x 时，，则在点取得极大值.0)(≤′x f )(x f 0x 定理2（极值的第二充分条件）设函数在点的某领域f 0x ),(0δx U 内一阶可导，在处二阶可导，且0x x =.0)(,0)(00≠′′=′x f x f（1）若0)(0<′′x f ，则在取得极大值；f 0x （2）若，则在取得极小值.0)(0>′′x f f 0x 注 仿定理2，由Taylor 定理可以给出借助于更高阶导数的极值判别充分条件.2 Fermat 定理设函数在点某领域内有定义，且在点可导，若为的极值点，则必有f 0x 0x 0x f .0)(0=′x f注（1）使得0)(=′x f 的点x 称为的驻点或稳定点.f （2）极值点未必是稳定点，稳定点未必是极值点. 对于可导函数来说，极值点一定是稳定点. 对于一般函数来说，极值点必为的稳定点或不可导点.f （3）最值点未必是极值点，只有当最值点落在区间内部（即不是区间的端点）时，最值点才是极值点，此性质常用来寻找导数为零的点.（4）最值点必为极值点或区间的端点，或者说，最值点必为稳定点、不可导点或区间端点.3 Rolle 中值定理若函数满足如下条件：f （1）在闭区间上连续；f ],[b a （2）在开区间内可导；f ),(b a （3），)()(b f a f =则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(=′ξf注（1） 几何意义：若函数满足上述条件，则在曲线f )(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线（x 轴）.（2）此定理可推广为：若函数在开区间（有界或无界区间）内可导，且f ),(b a )(lim )(lim x f x f bx a x −+→→=， 其中极限可以是有限数，或，或∞+∞−，在内至少存在一点),(b a ξ，使得.0)(=′ξf4 Lagrange 中值定理若函数满足下列条件：f （1）在闭区间上连续；f ],[b a （2）在开区间内可导，f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.)()()(ab a f b f f −−=′ξ 注（1） 几何意义：若函数满足上述条件，则在曲线f )(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线.（2）几种不同的表示形式：b a a b f a f b f <<−′=−ξξ),)(()()(；10),))((()()(<<−−+′=−θθa b a b a f a f b f ；10,)()()(<<+′=−+θθh h a f a f h a f ；.)()()(ξf a f b f a b ′−=− 特别注意最后一式在解题中的应用.若令，则中值定理又可写成0,x a x b ==).())(()(00x f x x f x f +−′=ξ5 Cauchy 中值定理若函数满足下列条件：)(),(x g x f （1）在闭区间上连续；],[b a （2）在开区间内可导；),(b a （3）在开区间内不同时为零；),(b a g f ′′,（4），)()(b g a g ≠则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：若在直角坐标平面uv 内的曲线参数方程],,[),(),(b a x x f v x g u ∈⎩⎨⎧== 满足上述条件，则曲线上至少存在一点))(),((ξξv u ，使得该点的切线平行于曲线两端点的连线.6 Taylor 定理（公式）若函数在点存在阶导数，则称由这些导数构造的次多项式f 0x n n ∑=−=n k k n x x k x f x T 000)()(!)()( 为函数在点处的Taylor 多项式，中的各项系数f 0x )(x T n ),,2,1(!)(0)(n k k x f k "=称为Taylor 系数. 带Peano 型余项的Taylor 公式：若函数在点存在直至阶导数，则有f 0x n ).)(()()(0n n x x o x T x f −+=带Lagrange 型余项的Taylor 公式：若函数在上存在直至阶的连续导数，在内存在阶导数，则对任意给定的f ],[b a n ),(b a 1+n ],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ，ξ介于x 与之间，使得0x .)()!1()()()(10)1(++−++=n n n x x n f x T x f ξ 当时，上述两个公式又称为Maclaurin 公式.00=x 注意比较两种不同类型余项的Taylor 公式的条件与结论，前者给出了定性的描述，后者给出了定量的刻画，注意它们在不同场合的应用.几种常见函数的Maclaurin 公式：)(!!212n nxx o n x x x e +++++="； )()!12()1(!5!3sin 1212153−−−+−−+++−=n n n x o n x x x x x "； )()!2()1(!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +−+++−="； )(32)1ln(32n nx o n x x x x x ++++−=+"； )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++−−++−++=+ααααααα""；).(1112n n x o x x x x+++++=−" 注意以上几个公式在不定式极限计算中的应用.7 微分中值定理之间的关系（1）； Rolle Lagrange Cauchy Taylor ⇒⇒⎭⎬⎫（2）微分中值定理的推广设函数在区间上连续，在内可导，定义h g f ,,],[b a ),(b a )()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =，则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.0)()()()()()()()()()(=′′′=′ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F特别地，若令1)(,)(≡=x h x x g ，即得Lagrange 中值定理（若再有)()(b f a f =，便是Rolle 中值定理）；若令，便得Cauvhy 中值定理的另一形式：1)(≡x h )].()()[()]()()[(a g b g g a g b g f −′=−′ξξ若附加Cauchy 中值定理的条件，可得到Cauchy 中值定理一样的形式.8 应用（1）判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数问题；（2）对于给定的可微函数得到某些中值公式，并证明某些等式或不等式；（3）推倒某些可微函数的整体性质，如单调性，有界性，最值，一致连续性，以及某些导函数的极限等问题；（4）求解某些不定式极限问题（L ’Hospital 法则，等价无穷小替换）；（5）研究函数曲线的形态，如曲线的单调性，凹凸性，渐进线，极值等，描绘某些函数的图象；（6）近似计算，方程近似求解等.中值定理的灵活运用是本章重点和难点. 如果要解决的问题中含有未知的“ξ”，首先应分析题目中所给函数的条件，若仅有连续性条件，则只能用闭区间上连续函数的性质，而不能使用微分中值定理；若有可微性条件，往往要用到微分中值定理；若函数二阶可导，往往要两次使用罗尔或拉格朗日中值定理，或直接使用泰勒公式；若存在三阶或三阶以上导数，则泰勒公式是首选. 其次，要对所证明的等式或不等式进行适当的恒等变形，使之符合定理的形式.三 凸函数1 凸函数的几种定义及其等价关系：定义1 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x ∈∀21,，)1,0(∈∀λ，有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ−+≤−+，称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ−+≥−+，则称为f I 上的凹函数. 式中的不等号改为严格不等号时，称之为严格凹函数. 下面仅就凸函数进行讨论.定义2 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x ∈∀21,，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+. 称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义3 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x n ∈∀,,1"，有2)()()(211x f x f n x x f n ++≤++"". 称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义4 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x n ∈∀,,1"，，有1,01=≥∀∑=ni i i λλ)()()(21111x f x f x x f n n n λλλλ++≤++"".称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时称为严格凸函数.定义5 设函数在区间I 有定义且可导，如果曲线)(x f )(x f y =的切线保持在曲线的下方， 称函数为I 上的凸函数；若除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称之为严格凸函数.)(x f 定义 6 设函数在区间I 有定义且可导，如果)(x f )(x f ′单增，称函数为I 上的凸函数.)(x f 注 定义1与定义4等价；定义2与定义3等价；当连续时，定义1至定义4均等价；当函数可导时，以上6个定义均等价.)(x f 由定义6立得定义7 若函数在I 存在二阶导数，则为凸函数)(x f )(x f ⇔0)(≥′′x f .（辽宁师大） 2 凸函数的性质与定理定理1 设函数在I 有定义，则下列条件等价：)(x f 321321,,,x x x I x x x <<∈∀，（1）为I 上的凸函数；)(x f （2）13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−； （3）23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−；（4）23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−；（5）曲线上三点所围成的有向面积)(x f y =))(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 0)(1)(1)(121332211≥x f x x f x x f x . 推论1（清华大学）若函数为I 上的凸函数，则)(x f 321321,,,x x x I x x x <<∈∀，13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−2323)()(x x x f x f −−≤.推论2 若函数为I 上的凸函数，则)(x f I x ∈∀0，过的弦的斜率0x 00)()(x x x f x f k −−=是x 的增函数，且当函数为严格时凸函数时，斜率严格单调递增.k 推论3 若函数为I 上的凸函数，则I 上任意四点)(x f v u t s <<<，有uv u f v f s t s f t f −−≤−−)()()()(.事实上也是充分条件.推论4 若函数为I 上的凸函数，则)(x f I x ∈∀0，在的左右导数均存在，皆为增函数，且0x .int ),()(I x x f x f ∈∀′≤′+−.推论5 若函数为I 上的凸函数，则在内连续.)(x f )(x f I int 定理2（中国科技大学）设函数在区间I 有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得，有)(x f )(x f R I x ∈∃∈∀α,0D I x ∈∀)()()(00x f x x x f +−≥α.证 （1）必要性因为为凸函数，由推论4知：，)(x f D I x ∈∀0)(0x f −′存在，且0)()(x x x f x f −−单增趋于（），由此，任取)(0x f −′−→0x x )(0x f −′≥α，则当0x x <时，有)()()(00x f x x x f +−≥α.同理，当)(0x f +′≤α时，则当时，有0x x >)()()(00x f x x x f +−≥α.而，所以存在)()(00x f x f +−′≤′α：)()(00x f x f +−′≤≤′α，I x ∈∀，有)()()(00x f x x x f +−≥α.（2）充分性设是定义域上的任意三点，由已知条件，对，存在321x x x <<2x α，使得，有I x ∈∀)()()(22x f x x x f +−≥α.分别令可得31,x x x x ==23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤≤−−α.由定理1知为凸函数.)(x f 推论1 设函数在I 内可导，则为凸函数的充要条件是：有)(x f )(x f ,0D I x ∈∀)())(()(000x f x x x f x f +−′≥.推论2 若函数为I 凸函数，则在曲线)(x f ,0D I x ∈∀)(x f y =上，过点可作一直线l ，使曲线位于直线l 之上.))(,(00x f x 若为严格凸函数，则除点外，曲线严格地位于直线l 的上方. f ))(,(00x f xII 典型例题与方法一 导函数的两大特性1 导函数无第一类间断点例1（南京大学）设函数在内处处可导. 证明：中的点或为的连续点，或为的第二类间断点.)(x f ),(b a ),(b a )(x f ′)(x f ′证 只需证明：若在点)(x f ′),(0b a x ∈左右极限存在，则)(x f ′在该点连续. 由已知条件知函数在点)(x f ),(0b a x ∈可导，由右导数定义及微分中值定理得)(),(lim )()(lim)()(0000000x x f x x x f x f x f x f x x x x <<′=−−=′=′+→+→+ξξ. 由假设在点存在右极限，根据上式可得)(x f ′0x )0()(lim )(000+′=′=′+→x f f x f x x ξ.同理可证：若)(x f ′在点存在左极限，则必有0x )0()(lim )(000−′=′=′−→x f f x f x x ξ.因此，在点连续，从而无第一类间断点.)(x f ′),(0b a x ∈思考题1（西安交大2003）设在内可导，证明： )(x f ),(b a （1），在处不可能发生第一类间断； ),(0b a x ∈∀)(x f ′0x （2）当在内单调时，)(x f ′),(b a )(x f ′必在内连续.),(b a 思考题2（武汉大学）若函数在可导，)(x f ),(b a )(x f ′在内单调，则在内连续.),(b a )(x f ′),(b a 思考题3（北京大学）设在上连续，在内可导，且存在极限)(x f ],[b a ),(b a l x f a x =′+→)(lim ，则右导数存在，且.)(l a f =′+思考题4（中科院）设⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,)(x x x x f 证明：不存在一个函数以为其导函数.)(x f 2 导函数具有介值性例2（G. Darboux 定理）（西安交大，武汉大学，北京师范大学,北航2001）若函数在上可导，且，则)(x f ],[b a )()(b f a f ′<′c ∀：)()(b f c a f ′<<′，),(b a ∈∃ξ，使得c f =′)(ξ.提示： 作辅助函数cx x f x g −=)()(，则在可导，且)(x g ],[b a 0)()(,0)()(>−′=′<−′=′c b f b g c a f a g .只需证明：),(b a ∈∃ξ，使得0)(=′ξg .事实上，由于0)()(lim)(<−−=′+→ax a g x g a g a x ，则当a x >而充分接近时，a )()(a g x g <. 同理可证：当b x <而充分接近时，. 这样的最小值点b )()(b g x g <)(x g ξ必落入内，从而为的极值点，由Fermat定理知),(b a )(x g 0)(=′ξf .严格证明请读者自己给出.例3（武汉大学）设有界函数实数集R 上二次可微. 证明：)(x f R x ∈∃0，使得0)(0=′′x f .证法一 若在R 上变号，由导函数的介值定理知)(x f ′′R x ∈∃0，使得. 若在R 上不变号，不妨设，此表明0)(0=′′x f )(x f ′′0)(>′′x f )(x f ′严增，因此存在.由泰勒定理得0)(,≠′∈c f R c 2))((21))(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ， 其中ξ介于x 与之间. 由 知c 0)(>′′x f 0)(>′′ξf . 于是，若0)(>′c f ，令+∞→x 得，若+∞→)(x f 0)(<′c f ，令−∞→x 得+∞→)(x f ，这与有界矛盾，故在R 上变号，从而结论成立.)(x f )(x f ′′证法二 若R b a ∈<∃，使得)()(b f a f ′=′，由Rolle 定理知结论成立. 若，则在R 上严格单调. 事实上，若不然，则,,R b a ∈∀)()(b f a f ′≠′)(x f ′321x x x <<∃,有)()()(321x f x f x f ′>′<′ 或 )()()(321x f x f x f ′<′>′，由导函数的介值定理知：),,(),,(3221x x b x x a ∈∈∃有)()(b f a f ′=′，与假设矛盾，故在R 上严格单调. 不妨设严格单增，则存在)(x f ′0)(,≠′∈c f R c . 若，则当0)(>′c f c x >时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(+∞→+∞→−′+=x c x f c f x f ξ.若，则当0)(<′c f c x <时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(−∞→+∞→−′+=x c x f c f x f ξ.由此得在R 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真. )(x f二 导数与可微问题1 显函数求导问题例4（武汉大学2003）设dt t t x F x∫−=1ln )(，求).(x F ′解 由左右导数定义得xdtt t dt t t x F x F F x x x ∫∫−−→→+−=−=′++10100ln ln lim)0()(lim )0(xdt t t xdt t t x x x x ∫∫++→→==0000ln limln lim0ln lim 0==+→x x x ；同理可求： 所以,0)0(=′−F .0)0(=′F例5（北京大学2002）设x x x x f arcsin 1)(2+−=，求).(x f ′解 .121111)(22222x x x x x x f −=−+−−−=′例6（人民大学2001）设2111arcsin)1()(xxe x x xf x +−++=−，求 ).1(f ′解 记1)1()(−+=x exx x g ，则212ln 41)1ln(21)(ln +−++=x x x x g ，两边关于x 求导得]2141)1(21)[()(−++=′x x x g x g ， .0)1(=′g222222112)1(211)1(11)11(arcsinx x x x x x x xx ++−−+−⋅+−−=′+−， 22)11(arcsin 12−=+−=x x x ， 所以，.22)1(−=′f 例7（北京科技大学1998）设，0>x ∫=2sin )(x xdu uuxx f ，求).(x f ′ 解 0,0>∃>∀αx ，使得，在矩形区域上，)1,(,22+∈ααx x ]1,[]1,[22+×+αααα)sin (,sin u uxx u ux ∂∂ 均连续，所以xx x x x du u ux x f x xx 23sin 2sin )sin ()(2−⋅+′=′∫xx x uxdu x x23sin sin 2cos 2−+=∫x x x x x x x 2323sin sin 2sin sin −+−=.sin 2sin 323xx x −=例8（西北工业大学）设)))((()(,1)(2x f f f x f xx x f n "=+=（个），求n f ).(x f n ′解 由数学归纳法易证：.,1)(2+∈+=Z n nx x x f n于是.)1(111)1()(3222222nx x nxnx nx nx nxx x f n +=++−+=′+=′思考题5 求下列函数的导数： （1）（复旦大学1999）；)sin(sin x x xy =（2）（复旦大学1998）； xx y cos tan =（3） （华东师大1998）⎩⎨⎧≥+<=,0),1ln(,0,cos 2x x x x y （4）1ln arctan 22+−=x x xe e e y （山东大学）；（5）x x x y arcsin 12+−=（北京大学2002）； （6）∫++=tudu e y sin 111)1( （北京化工大学）；（7）)12sin(212x x x y +++−= （广西大学）. 2 分段函数求导问题例9 设.0)0(=f 证明：在点)(x f 0=x 处可微的充要条件是：存在在点处连续的函数，使得0=x )(x g )()(x xg x f =，且).0()0(g f =′证 由导数的定义易证充分性成立，只证必要性. 令⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 则由题设及导数定义得)0()0()(lim)(lim)(lim 00f xf x f x x f xg x x x ′=−==→→→， 即在处连续，且由的定义得)(x g 0=x )(x g )()(x xg x f =.例10（中科院2003，湘潭大学）设为自然数，在m ),(+∞−∞上定义函数为f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f m（1）当为何值时，在点m )(x f 0=x 处连续； （2）当为何值时，在点m )(x f 0=x 处可导； （3）当为何值时，在点m )(x f ′0=x 处连续. 解（1）要使0)0(1sin lim )(lim 00===→→f x x x f m x x ， 当且仅当.2≥m （2）由导数定义得xx x f x f m x x 1sin lim )0()(lim100−→→=−， 要使在处可导，即上式极限存在，当且仅当，且f 0=x 2≥m .0)0(=′f（3）当时，0≠x ,1cos 1sin)(21x x xmx x f m m −−−=′ （*） 要使连续，当且仅当极限)(x f ′)0()(lim 0f x f x ′=′→成立. 由（2）知，因此，由（*）式知，当且仅当2≥m 02>−m ，即.3≥m 思考题6（山东大学）试作一函数在),(+∞−∞内二阶可微，使得)(x f ′′在处不连续，其余处处连续.0=x 思考题7（华东化工学院） 确定常数，使函数b a ,⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 处处连续，且可微.例11（内蒙古大学）讨论函数⎩⎨⎧∈+∈−=,\),1(,),1()(Q R x x x Q x x x x f的连续性和可微性.解 首先证明：在处连续. 事实上)(x f 0=x 0)0(=f ，且)1,0(U x ∈∀时，有x f x f 2)0()(≤−，因此，)1(2,0<=∃>∀δεδε，当),0(δU x ∈时，有ε<−)0()(f x f ，所以，在处连续.)(x f 0=x 下证在任意点处不连续. 事实上，分别取收敛于的有理点列{和无理点列，有)(x f 00≠=x x 0x }n a {}n b ),1()1(lim )(lim 00x x a a a f n n n n n −=−=∞→∞→),1()1(lim )(lim 00x x b b b f n n n n n +=−=∞→∞→显然当时，00≠x )1()1(0000x x x x +≠−，由海涅定理（归结原则）知极限不存在，从而不连续，当然不可微.)(lim 0x f x x →最后证明：在点处可微. 事实上，当)(x f 0=x 0≠x 时，有x xxx f x f x f =−=−−)(1)0()(，从而有1)0()(lim=−→xf x f x ，即.1)0(=′f 例12（哈尔滨工大）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=,0,,0,cos )()(x a x xxx g x f 其中具有二阶连续导数，且)(x g .1)0(=g（1）确定的值，使在点a )(x f 0=x 连续； （2）求；)(x f ′（3）讨论在点处的连续性. )(x f ′0=x 解（1）由洛必达法则得)0()sin )((lim cos )(lim)(lim 00g x x g xxx g x f x x x ′=+′=−=→→→， 要使在处连续，必须使)(x f 0=x ).0(g a ′=（2）当时，0≠x 2cos )()sin )(()(x xx g x x g x x f +−+=′；当时，由定义及洛必达法则得0=x xg x xx g x f x f f x x )0(cos )(lim )0()(lim )0(00′−−=−=′→→ 2)0(cos )(limxg x x x g x ′−−=→ xxg x g x 2sin )0()(lim+′−′=→.21)0(21+′′=g 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+′′≠+−+′=′.0),1)0((21,0,cos )()sin )(()(2x g x x xx g x x g x x f （3）由于2cos )()sin )((lim)(lim x xx g x x g x x f x x +−+′=′→→xxx g x x g x x g x x 2sin )(sin )()cos )((lim−′−+′++′′=→2cos )(limxx g x +′′=→)1)0((21+′′=g 所以，在处连续.)(x f ′0=x例13（中科院2002，西安电子科技大学）设为二次连续可微函数，且 定义函数)(x f .0)0(=f ⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 证明：连续可微.)(x g 证 当时，0≠x 2)()()(x x f x f x x g −′=′；当时，0=x 200)0()(lim)0()(lim)0(x f x x f x g x g g x x ′−=−=′→→ xf x f x 2)0()(lim 0′−′=→).0(21f ′′= 且有)0()0(212)(lim )()(lim)(lim 020g f x x f x xx f x f x x g x x x ′=′′=′′=−′=′→→→， 即在处连续，当时，)(x g ′0=x 0≠x )(x g ′显然连续，所以)(x g ′连续可微.思考题8（云南大学，吉林大学）设在)(x f R 上有二阶连续的导数，且. 令0)0(=f ⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 证明（1）在)(x g R 上连续；（2）在)(x g R 上可微； （3）在)(x g ′R 上连续. 3 抽象函数的导数与可微问题例14 设在领域),0(δU 内函数满足g f ,)()(x g x f ≤，且 求.0)0()0(=′=g g ).0(f ′解 由已知条件得0)0()0(=≤g f ，即 于是，有.0)0(=f ),0(0δU x ∈∀.)0()()()()0()(0xg x g x x g x x f x f x f −=≤=−≤由得0)0(=′g 0)0()(lim=−→xg x g x ，从而由两边夹定理得0)0()(lim=−→xf x f x ，即.0)0(=′f 例15 设函数)(x ϕ在a x =处连续，分别讨论下列函数在a x =处是否可导： （1）)()()(x a x x f ϕ−=； （2）)()(x a x x f ϕ−=； （3）.)()()(x a x x f ϕ−=解（1）可导. 由)(x ϕ在a x =处连续及导数定义得).()(lim )()(lim)(a x ax a f x f a f a x ax ϕϕ==−−=′→→ （2）因为)()(lim )()(lim )(a ax x a x a x a f x f a f a x ax ϕϕ=−−=−−=′++→→+； 同理可得).()(a a f ϕ−=′− 所以当0)(=a ϕ时，)()(a f a f −+′=′，可导；否则不可导.（3）类似（1）可得)()(a a f ϕ=′，所以可导.例16（人民大学2001）设函数连续，)(x f )0(f ′存在，并且满足：.,,)()(41)()()(R y x y f x f y f x f y x f ∈∀−+=+（1）证明：在R 上可微； )(x f （2）若,21)0(=′f 求 ).(x f 解（1）令得0==y x)0(41)0()0(2f f f −=，解之得 由存在知存在极限.0)0(=f )0(f ′).0()(limf hh f h ′=→ 从而，，由假设条件可得R x ∈∀hx f h f x f h f x f h x f h x f h h )()()(41)()(lim )()(lim 00−−+=−+→→ )()(41)(41)(lim20h f x f x f h h f h −+⋅=→ ， )](41)[0(2x f f +′=所以，，即在R 上可微.)](41)[0()(2x f f x f +′=′)(x f （2）记，则有)(x f y =)41(212y y +=′， 整理得dx y y d =+2)2(1)2(， 两边积分得c x y +=2arctan ，即).tan(21c x y +=注意到，由此得0)0(=y 0=c ，故所求函数为.tan 21)(x x f y == 例17（中科院2003） 设函数在点f 0=x 连续，且满足.)()2(limA xx f x f x =−→求证：存在，并且)0(f ′.)0(A f =′证 由极限定义知，0,0>∃>∀δε，当时，有),0(0δU z ∈ε<−−A zz f z f )()2(，即.)()2(εε+<−<−A zz f z f A任取，令，则有),0(0δU x ∈n m x z m,,2,1,2"==−)(2)()2()(2εε+<−<−−−A xz f z f A m m m m ，.,,2,1n m "=将上述式相加得n ).)(21()2()())(21(εε+−<−<−−−−−A xx f x f A n n n令，则由在处连续得∞→n f 0=x εε+≤−≤−A xf x f A )0()(，即ε≤−−A xf x f )0()(，由导数定义知.)0(A f =′.例18 设函数在点处连续，且)(x f a )(x f 在点处可导，证明：在点a 处也可导.a )(x f 解 若，由连续函数的保号性知，存在点的某领域，使得时，，从而有0)(>a f a )(a U )(a U x ∈0)(>x f ax a x a x x f ax a f x f a x a f x f =→→′=−−=−−)()()(lim )()(lim ，即在点可导.)(x f a 同理可证：当时，在点a 也可导.0)(<a f )(x f 当时，由0)(=a f )(x f 在点可导，可设其导数为A ，则有a ax x f ax a f x f A ax ax −=−−=→→)(lim)()(lim，由此知：当时，可得；当时，可得+→a x 0≥A −→a x 0≤A ，故.0=A 即,0)(lim=−→ax x f ax则0)(lim=−→a x x f ax ，所以 0)(lim )()(lim=−=−−→→ax x f a x a f x f a x a x . 4 隐函数的求导问题例19（浙江大学2001）设可微函数)(x y y =满足方程x x e ye y y x 7sin 2−+−=，求).0(y ′解 方程两边关于x 求导得,7cos 2sin 2−+′+−′−=′x e x y e ye e y y y y x x将代入原方程得 再将0=x .0)0(=y 0,0==y x 代入上式得72)0()0(−+′−=′y y ，故.25)0(−=′y5 参数方程求导例20（华东理工大学）设，，求∫=21ln )(t udu u t x ∫=122ln )(tudu u t y .dxdy 解 由参数方程求导公式得.ln 2ln 222225t t t t t dtdx dt dy dx dy −=−== 例21（北京化工大学）已知∫++=tudu e y sin 111)1(，其中)(x t t =是由⎩⎨⎧==,sin ,2cos v t v x 所确定，求.dxdy解 由所给参数方程可得2221sin 21t v x −=−=，从而有.4)1(cos 4)1(cos sin 11sin 11t e t t e t dtdx dt dy dxdy t t +++−=−+== 6 反函数求导例22（厦门大学）已知为不等于零的常数，求的反函数的二阶导数.k ke x f x,)(=′)(x f 解 记，其反函数记为)(x f y =)(y x ϕ=，则)(1)(x f y ′=′ϕ， 于是.1)]([)())(1())(1()(223x e k x f x f dxdy x f dx d x f dy d y −=′′′−=′=′=′′ϕ 7 高阶导数与高阶微分例23（中国地质大学2002）设)(x f ′′存在，且满足方程)(y x f y +=，求.,22dxy d dx dy 解 方程两边关于x 求导得)1)((y y x f y ′++′=′， （1）解之得.)(1)(y x f y x f y +′−+′=′（2）由（1）式继续关于x 求导得y y x f y y x f y ′′⋅+′+′++′′=′′)()1)((2，解之方程，并将得（2）式代入化简可得.))(1()(3y x f y x f y +′−+′′=′′注 求二阶导数，往往并不是直接求一阶导数的导数，而是转化为含有一阶导数的方程两边求导问题，这样往往能大大降低计算量.例24（复旦大学1998）已知，其中)()()(2x a x x f ϕ−=)(x ϕ′在a x =的某领域内连续，求).(a f ′′解 由于)()()()(2)(2x a x x a x x f ϕϕ′−+−=′，所以 由导数定义及.0)(=′a f )(x ϕ′的连续性假设得)]()()(2[lim )()(lim)(a a x x ax a f x f a f a x ax ϕϕ′−+=−′−′=′′→→).(2a ϕ= 例25 已知⎩⎨⎧−=−=),cos 1(),sin (t a y t t a x 求.,22dx yd dx dy 解 由参数方程求导公式得ttt a t a dx dy cos 1sin )cos 1(sin −=−=， )cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos )((2222t a t t t t dtdx dx dydt d dxdy dx d dx y d −−−−=== .)cos 1(12t a −−= 注 求参数方程表示的函数的二阶导数，通常情况下并不是直接套用公式，而是求一阶导数（它是参数的函数）关于参变量的导数，再除以自变量关于参变量的导数. 这种方法也适用于更高阶的导数.例26（北京工业大学）设x x x f ωsin )(=，求证：.,2,1),cos 2sin ()1()(122)2("=−−=−n x n x x x f n n n n ωωωω解 当时，1=n x x x x f ωωωcos sin )(+=′，x x x x f ωωωωsin cos 2)(2−=′′，即时，结论成立. 假设时结论成立，即1=n k n =)cos 2sin ()1()(122)2(x k x x x f k k k k ωωωω−−−=，则当时，有1+=k n ]sin 2cos sin [)1()(2122)12(x k x x x x f k k k k k ωωωωωω++−=++，]cos sin )12([)1(122x x x k k k k ωωωω+++−=]sin cos cos )12([)1()()1(21212)22(x x x x k x f k k k k k ωωωωωω++++−++−=，]cos )1(2sin [)1(12)1(21x k x x k k k ωωωω++++−−=由数学归纳法知结论成立.例27（华中科技大学）设x x f arctan )(=，求).0()(n f 解法一 当1<x 时，有∑∞=−=+=′022)1(11)(n nn x x x f ， 从而的Maclaurin 展式为)(x f ∑∞=++−=01212)1()(n n nn x x f ，因此，⎩⎨⎧+=−==.12,)!2()1(,2,0)0()(k n k k n fkn 解法二记 ，则)(x f y =211x y +=′，即.1)1(2=′⋅+y x上式两边关于x 求导得02)1(2=′+′′⋅+y x y x .利用Leibniz 公式，上式两边求阶导数得n .0)1()1(2)1()1()2(2=+++++++n n n y n n xy n y x例28（南京大学）求 ).0()ln (2>x x x d n解 记，则x x y ln 2=x x x y +=′ln 2，3ln 2+=′′x y ，",2xy =′′′， .3,1)!3(2)1(21)(≥−−=−−n xn y n n n所以，⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=+=−−.)!3(2)1(,2,)3ln 2(,1,)1ln 2()ln (2122n n n n dx x n n dx x n dx x x x x d注 求高阶导数或高阶微分通常有四种方法：数学归纳法，Leibuniz 公式，递推公式法和幂级数方法.思考题9（同济大学）试用数学归纳法证明：.)1()(11)(11x n n n xn e xe x+−−= 例29（华东师大2000）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,sin )(x x xxx f 求).0()(n f解 由的幂级数展开式得：当x sin 0≠x 时，""++−+++−=)!12()1(!5!31sin 242n x x x x x n n，从而由幂级数的逐项可微性，有0)0()(lim)0(0=−=′→xf x f f x ，31)(!32lim )sin (lim )0()(lim)0(000−=+−=′=′−′=′′→→→x x o x x x x x f x f f x x x ， 031)(10131lim )0()(lim )0(2200=+++−=′′−′′=′′′→→xx o x x f x f f x x ， 51)(51lim )0()(lim)0(00)4(=+=′′′−′′′=→→x x o x x f x f f x x ， 由数学归纳法易证：.,2,1,2,11)1(,12,0)0()("=⎪⎩⎪⎨⎧=+−−==k k n k k n f kn 思考题10（浙江大学2002）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=−.0,0,0,)(21x x e x f x 求).0()(n f 8 其它相关问题例30（湖北大学2001）设为可导函数. 证明：若)(x f 1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =， 则必有0)1(=′f ，或 .1)1(=f证 由复合函数求导法则得)(2)(22x f x x f dx d′⋅=， )()(2)(2x f x f x f dxd ′=， 由已知条件得)()()(2x f x f x f x ′=′，将代入上式得1=x 0)]1(1)[1(=−′f f ，从而可得0)1(=′f ，或 .1)1(=f例31（四川大学1999）函数xe y −=在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？解 函数xey −=在处连续，不可导，有极大值，极大值为1. 事实上，连续，0=x ue y =x u −=连续，由复合函数连续性定理知xe y −=在0=x 处连续. 又⎪⎩⎪⎨⎧<=>=−,0,,0,1,0,x e x x e y x x （1）由洛必达法则（或等价无穷小替换）得1lim 1lim )0(00−=−=−=′−→−→+++x x x x e x e y ； 1lim 1lim )0(00==−=′−−→→−xx x x e xe y ， 即，所以函数在处不可导. 由（1）式知，函数在时单调递增，在时单调递减，所以在处取得极大值，极大值为)0()0(−+′≠′y y 0=x 0<x 0>x 0=x .1)0(=y例32（北京科技大学，东北师大）设在点)(x f a x =某领域有定义，且在该领域内可导，计算极限.0,0,)()(lim≠≠+−+→βαβαtt a f t a f t解 由导数定义得tt a f t a f t )()(limβα+−+→ta f t a f t a f t a f t t βββααα)()(lim)()(lim00−+−−+=→→ ).()(a f ′−=βα 注（1）不能使用洛必达法则；（2）只要在f a x =处可导，结论仍然成立.例33（武汉大学）社函数在点的某领域内有定义. 证明：到数存在的充要条件是：存在这样的函数，它在内有定义，在点连续，且在内成立等式：)(x f 0x )(0x U )(0x f ′)(x g )(0x U 0x )(0x U ).()()()(00x g x x x f x f −+=证 充分性显然，下证必要性.令⎪⎩⎪⎨⎧=′≠−−=.),(,,)()()(00000x x x f x x x x x f x f x g 则容易验证满足题目中的条件，所以命题成立.)(x g例34 设函数定义在R 上，证明：)(x f （1）若是奇函数，则奇数阶导数是偶函数，偶数阶导数是奇函数；)(x f （2）若是偶函数，则奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数；)(x f （3）若是奇函数，则（是正整数）； )(x f 0)0(,0)0()2(==n ff n （4）若是偶函数，则)(x f .,2,1,0,0)0()12("==+n f n 证（1）若是奇函数，则)(x f R x ∈∀，有)()(x f x f −−=，两边求导得)()(x f x f −′=′，)()(x f x f −′′−=′′，一般地，我们有.,2,1,2),(,12),()()2()12()("=⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−=−n n k x fn k x f x f n n k 由奇偶函数的定义知结论成立.（2）若为偶函数，则)(x f R x ∈∀，有)()(x f x f −=，仿上可得.,2,1,2),(,12),()()2()12()("=⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−n n k x fn k x f x f n n k 由奇偶函数的定义知结论成立.（3）由奇函数的定义得)0()0(f f −=，所以.0)0(=f 同时，由已证结论（1）立得.0)0()2(=n f（4）由（2）立得.0)0()12(=+n f 例35（人民大学2001）设,cos 1sin 1)(2425x x xx x f +⋅+= 求.)(),0(11)6()6(∫−dx x f f 解 容易验证为奇函数，由上题结论知也为奇函数，所以)(x f )()6(x f .0)(,0)0(11)6()6(==∫−dx x f f例36（东北师大）证明：若在R 上连续，且对任意)(x f R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f =+，则在R 上可微.)(x f 证 若，或，则命题显然成立. 若不恒为零，也不恒等于1，则，使得，由此得0)(≡x f 1)(≡x f )(x f R x ∈∃00)(0≠x f 0)()()()(000≠−=+−=x f x x f x x x f x f ，从而 由归纳法，对任意正整数，有.0)(≠x f m m f m f ))1(()(=，m f m f 1))1((1(=， 从而对任意正有理数pq （既约分数），有 p qf p q f ))1(()(=. 于是，对任意正数r ，必存在正有理数列{}n r ，使得)(∞→→n r r n ，故连续可得)(x f .))1(())1((lim )(lim )(r r n n n f f r f r f n ===∞→∞→ （1） 又，所以)0()()0()(000f x f x f x f =+=1)0(=f ，这样，对任意正数r ，有)()()()0(1r f r f r r f f −=−==，由此得.))1(()(1)(r f r f r f −==− （2） 又，综合（1）式和（2）式得：0))1((1)0(f f ==R x ∈∀，有x f x f ))1(()(=.而不恒等于1，所以，故为指数函数，当然在R 上可微.)(x f 1)1(≠f )(x f例37 设函数在（0，+∞）上有定义，且对任意f ),0(,+∞∈y x ，都有).()()(y f x f xy f +=证明：若存在，则在上可导，并求)1(f ′f ),0(+∞).(x f ′证 在等式中令，得1=y .0)1(=f R x ∈∀，令x y Δ+=1（10<Δ<x ），得)1()()(x f x f x x x f Δ++=Δ+，)1()()(x f x f x x x f Δ+=−Δ+，于是，xf x f x x x f x x x f x Δ−Δ+=Δ−Δ+⋅)1()1()()(， 令得 0→Δx )1()(f x f x ′=′， 即xf x f )1()(′=′. 例38 设,1)(,)(x x q x x p −==)(x f 为多项式，且R x x q x f x p x f ∈∀≥≥),()(),()(. 证明：21)21(>f . 分析：借助几何图形分析. 证 由假设知，因此，只需证明.1112)2()2(−−−=≥p f 112)2(−−≠f 假设，则当时，有 112)2(−−=f 12−>x 1)2(,122)(22)(11111≥′⇒=−−≥−−−+−−−−f x x p x x f ； 同理，当时，有12−<x 1)2(,122)(22)(11111−≤′⇒−=−−≤−−−−−−−−f x x q x x f ， 这与可导相矛盾，从而结论成立.)(x f 例39（吉林大学）设函数在闭区间上连续，)(x f ],[b a )()(b f a f =，且在内有连续的右导数. 证明：),(b a ),(b a ∈∃ξ，使得0)(=′+ξf .证法一 由)(x f +′在内连续知，只需证明),(b a )(x f +′在内变号，用反证法. ),(b a 假设在内不变号，不妨设)(x f +′),(b a 0)(>′+x f . 由于0)()(lim )(0>−+=′+→+hx f h x f x f h ，。
一元函数的微积分学中值定理
一元函数的微积分学中值定理微积分学是高等数学中的一门重要课程，其中涉及到的中值定理是其基础和核心内容之一。
中值定理是一元函数微积分学中最基本的定理之一，它是微积分中的“桥梁”，也是微积分学的重要手段之一。
本文将从中值定理的基本概念、证明方法以及实际应用等方面，对中值定理进行简要探讨。
中值定理的基本概念中值定理是一元函数微积分学中的基本定理，主要运用于连续函数、可导函数的研究中，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
其中，最为基本的中值定理就是拉格朗日中值定理，它是一元函数微积分学中最常用的中值定理之一。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这就是拉格朗日中值定理。
通过这个定理，我们可以证明函数在某个区间上的平均斜率与某一点的切线斜率相等，从而在对一元函数进行微积分时，可以更加准确地求解函数的极值、最大值、最小值等等问题。
中值定理的证明方法中值定理的证明方法从不同的角度有所不同，以下是拉格朗日中值定理的几种证明方法：方法一：使用罗尔定理证明。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，但$f(a)=f(b)$，则存在一个$\xi \in (a,b)$满足$f'(\xi)=0$。
显然，$f'(\xi)(b-a)=0$，根据拉格朗日中值定理的结论，$f(b)-f(a)=0$，那么就存在向$\xi$的切线平行于$x$轴的平面，即$f'(\xi)=0$。
方法二：使用泰勒展开式证明。
将$f(x)$在$x_0$附近做泰勒展开：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\eta)}{2!}(x-x_0)^2$，其中$\eta$是$x_0$和$x$之间的一个点。
一元微积分A：中值定理
' F 内可导,且 ( x ) 在(a , b ) 内每一点处均不为
零，那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) , 使等式
f (b ) f (a ) f ( ) ' 成立. F (b ) F (a ) F ( )
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释: 在 曲 线 弧 AB 上 至 少有一点 C,在该点处的 A 切线平行于弦 AB . o a
y
C
y f ( x)
B
D
1
2 b
x
证明：作辅助函数
F ( x) f ( x) b a ( f (b) f (a)) x.
在[1,3]上连续, 在( 1,3)上可导,
f ( x ) 2( x 1),
(1)
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
几何解释:
在曲线弧 AB上 至 少有一点 C,在 该 点 处 的切线是水平的 .
y
A
C
y f ( x)
例2. 不用求出函数 f ( x) x( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，判别方程 f ( x) 0 根的个数。
例3.证明方程 3ax2 2bx a b 有一个小于1的正根。
至少
二、拉格朗日中值定理
(Lagrange’s Mean-value Theorem)
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
( 1 1 x
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
高等数学 第三章 一元函数微分学的应用
第三章 一元函数微分学的应用在第二章中，我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数的性态，例如判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法，最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理教学目的：1、理解微分中值定理；2、掌握微分中值定理的使用；3、理解泰勒中值定理 重点和难点：重点：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理； 难点：微分中值定理的使用教学方法：课堂讲授，注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容：定理1（罗尔中值定理） 若)(x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得.0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的，如果有一个不满足，定理的结论就可能不成立。
罗尔中值定理的几何意义是：若)(x f y =满足定理的条件，则其图像在[a,b]上对应的曲线弧AB 上至少存在一点具有水平切线。
定理2（拉格朗日中值定理） 若)(x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.拉格朗日中值定理的几何意义是：若)(x f y =满足定理的条件，则满足定理条件的曲线弧AB 上至少存在一点具有平行于弦AB 的切线。
拉格朗日中值定理可改写为，)10()(<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 0称为有限增量公式.推论1 若函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 则)(x f 在区间I 上是一个常数.推论2 函数)(x f 及)(x g 在区间I 上可导, 若对任一I x ∈，有)(')('x g x f =，则Cx g x f +=)()(对任意I x ∈成立，其中C 为常数. 例1、求证).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π例2、证明不等式2121arctan arctan x x x x -≤-其中)(21x x <.例3、设函数)6)(4)(2()(---=x x x x x f ，试判断方程0)('=x f 在),(+∞-∞内有几个实根，并指出它们所属区间.例4、若0)(>x f 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，则),(b a ∈∃ξ，使得).()()(')()(lna b f f b f a f -=ξξ 定理3（柯西中值定理） 若)(),(x g x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=--显然，若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了。
微分中值定理的基本内容
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。
它包括：（1）拉格朗日定理内容：如果函数f(x) 满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
[中值定理]分为：微分中值定理和积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于a-b分之一倍的f(a)-f(b)ξ（2）罗尔定理内容：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f^\prime(\xi)=0。
补充如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明，弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.：（3）柯西中值定理内容：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立（4）费马中值定理内容：设函数f(x)在ξ处取得极值且f(x)在点ξ处可导则f'(ξ)=0.推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到且f(x)在点c处可导则f'(c)=0.（5）泰勒公式内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
一元函数微分学总结
例5. 设 y
( x 1)3 4 2 x
5
( x 3)
2
求y' .
1 2 解 取对数 ln y 3ln x 1 ln(2 x) ln x 3 4 5
1 3 1 2 等式两边对 x 求导数: y' y x 1 4(2 x ) 5(x 3)
sinx ). 则有: y' x (cosxlnx x 解法2: 作指数对数恒等变形:
y x e = esinxlnx , y = (esinxlnx ) = esinxlnx (sinx lnx)
sinx
ln( xsinx )
=x
sin x
1 (cosx lnx sinx ). x
则曲线 y = f (x) 在
是曲线y = f (x) 的拐点.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二﹑典型例题分析与解答
例6. 已知 解: 应填−1. 注释: 本题考查导数的定义. 则
机动
目录
上页
下页
返回
结束
e , x 1 例7. 设 f ( x) 在 x 1处可导,求 a, b. ax b, x 1 解: x 1 处连续且可导,即 f ( x) 在
由
例8. 设f (x)可导, F ( x) f ( x)(1 | sinx |) 则 f (0) 0 是F (x)在x=0可导的( A ). (A) 充分必要条件 ; (B) 充分条件但非必要条件; (C) 必要条件但非充分条件; (D) 既非充分条件又非必要条件. 解: 直接计算解此题. 由于F ( x) f ( x)(1 | sinx |)= f ( x) + f ( x) | sinx |, 而f (x)可导, 所以F (x)的可导性与 f ( x) | sinx | 的可导性相同.
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义
第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。
一元微分学微分中值定理应用
一元微分学（2）——应用例（）连续开拓，费马定理设函数()f x 在[,]a b 上连续可微，()()0f a f b +-''==，()()f a f b <，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()f f a f aξξξ-'=-.分析 结论即[]()()()()0f a f f a ξξξ'---=，即()()0x f x f a x a ξ='-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的分子.为此，令辅助函数()()()f x f a F x x a-=-，连续开拓为()(),(,],()()0,.f x f a x a b x a g x f a x a +-⎧∈⎪-=⎨⎪'==⎩则()g x 在[,]a b 上连续，()0g a =，()0g b >,无法应用洛尔定理，但是因为()g b -'()()lim x b g x g b x b →--=-（0型）=lim ()x b g x →-'（罗比达法则）[]2()()()()lim ()x b f x x a f x f a x a →-'---=-（代入()g x '）[]2()()()()()f b b a f b f a b a -'---=-（因为()f x 在[,]a b 上连续可微，()0f b -'=）[]2()()()f b f a b a --=-0<. 由点单调的定义，存在()x U b -∈，使得()()0()g x g b g a >>=.这说明，a ，b 都不是()g x 在[,]a b 上的最大点，从而最大点在(,)a b 内取得，根据费马定理，结论成立.凑微分，拉格朗日中值定理，费马定理例（）设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶连续可微，且（1）()1f x ≤；（2）22(0)(0)4f f '+=，（其实本质是()()22(0)(0)4f f '+=） 则存在ξ∈(,)-∞+∞，使得()()0f f ξξ''+=.分析 首先，条件22(0)(0)4f f '+=等价于22(0)(0)4f f '+=，结论()()0f f ξξ''+=等价于同乘以2()f ξ'，即[]2()()2()()0x f x f x f x f x ξ=''''+=.[][]{}22()()0x f x f x ξ=''+=.上述分析说明，考察函数[][]22()()()g x f x f x '=+是否满足洛尔定理或费马定理即可.证明 令[][]22()()()g x f x f x '=+ 22()()f x f x '=+.在(,)-∞+∞上，由已知，(0)4g =.0x ∀>，函数()f x 在[,0]x -，[0,]x 上满足拉格朗日中值定理条件.存在1ξ(,0)x ∈-，使()112()(0)()0f x f x f f x x ξ≤--'≥=--，得212()1g x ξ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.存在2ξ(0,)x ∈，使()122()(0)()0f x f x f f x x ξ≤-'≥=-，得222()1g x ξ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.观察可见，当2x =时， 1()24(0)g g ξ≤<=， 2()24(0)g g ξ≤<=.所以()g x 在12[,](2,2)ξξ⊂-上的最大值不在端点取得，而在内部处取得，根据费马定理，最大点12(,)ξξξ∈，满足()(0)4g g ξ≥=，且()0g ξ'=.()(0)4g g ξ≥=即[][]22()()4f f ξξ'+≥，又知()1f x ≤，可以推出[][]22()()()f g f ξξξ'=-2413≥-=说明 ()0f ξ'≠.又()0g ξ'=即 2()()2()()0f f f f ξξξξ''''+=. 约去()f ξ'，得()()0f f ξξ''+=.高阶导数f ''，导函数介值性，零点定理例（） 设f ''在(,)a b 存在，且(,)a b ξ∀∈，()0f ξ''≠，则必然存在12,(,)x x a b ∈，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-,(,)a b ξ∈即对于在(,)a b 内严格下凸或严格上凸的连续曲线来说，(,)a b 内任意一点的切线总可以在(,)a b 内找到一条与之平行的弦.分析 对于在(,)a b 内严格下凸或严格上凸的连续曲线来说，(,)a b 内的弦有无穷多条.(,)a b ξ∀∈，总有跨越(,())f ξξ的、斜率()f ξ'的弦.即(,)a b ξ∀∈，存在,c d ，使得 (,)(,)c d a b ξ∈⊂，这里，()()cd f d f c k d c-=-.这些弦，不外.①正好()cd k f ξ'=，取2x d =，1x c =，结论成立.②()cd k f ξ'≠， 对于.②()cd k f ξ'≠，不外()cd k f ξ'>和()cd k f ξ'<两种情况.对于第一种情况，()cd k f ξ'>，取1x c =，寻找从(,())c f c 出发的旋转弦中，斜率等于()f ξ'的弦.即将()()cd f d f c k d c -=-一般化为()()cx f x f c k x c-=-（d 一般化为x ），考察函数()()()f x f c f x cξ-'--是否存在零点.鉴于()()lim[()]()()x c f x f c f f c f x c ξξ→+-'''-=--存在，现将()()()f x f c f x cξ-'--连续开拓到[,]c d 上.令()()(),,()()(),f x f c f x c g x x cf c f x cξξ-⎧'-≠⎪=-⎨⎪''-=⎩ 则[,]()c d g x C ∈，且()()()0g c f c f ξ''=-<，（(,)c d ξ∈，f '严增） ()()0cd g d k f ξ'=->，由零点定理，存在2(,)(,)x c d a b ∈⊂，使得2()0g x =.结论成立.对于第二种情况， ()cd k f ξ'<，取2x d =，寻找从(,())d f d 出发的旋转弦中，斜率等于()f ξ'的弦.即将()()cd f d f c k d c -=-一般化为()()xd f d f x k d x-=-（d 一般化为x ），考察函数()()()f d f x f d xξ-'--是否存在零点.令（寻找从(,())d f d 出发的弦）()()(),,()()(),f x f d f x d h x x df d f x dξξ-⎧'-≠⎪=-⎨⎪''-=⎩， 则()h x 在[,]c d 上满足零点定理条件，存在1(,)(,)x c d a b ∈⊂，使得结论成立.例（） 设f ''在(,)-∞+∞存在，且(,)ξ∀∈-∞+∞，()0f ξ''>，则必然存在12,(,)x x ∈-∞+∞且ξ介于12,x x ，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-.分析 本题与上一题有不同，上一题要证明存在12,(,)x x ∈-∞+∞，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，但没有要求ξ介于12,x x 之间.根据已知，函数为严格下凸函数，往证存在跨越(,())f ξξ的弦与(,())f ξξ处的切线平行，当然就要与直线()y f x ξ'=平行，如下图所示.因此，只要在图示最大四边形左右两边相等，最大四边形就是平行四边形，上下两边平行得证.而左右两边的长度函数为()()()g x f x f x ξ'=-，x)x ξ(,)ξ∀∈-∞+∞，存在(,)a b ，使 (,)a b ξ∈.令()()()g x f x f x ξ'=-，则()g x 连续，可导，且()()()g x f x f ξ'''=-，()()()0g f f ξξξ'''=-=.因(,)ξ∀∈-∞+∞，()0f ξ''>，故()f x '严格单调增加，ξ是()g x 的极小点.从而存在12,(,)x x ∈-∞+∞且ξ介于12,x x ，使得12()()g x g x =.【事实上，ξ为极小点，则在某个[,]ξδξδ-+中，()()g g x ξ≤. 若()()g g ξδξδ-=+，取12,x x ξδξδ=-=+即可；若()()g g ξδξδ-≠+，不妨设()()g g ξδξδ-<+，则发生（极小值）()()()g g g ξξδξδ≤-<+）.根据连续函数的介值定理，存在2(,)x ξξδ∈+，使2()()g x g ξδ=-，取1x ξδ=-即可】. 因12()()g x g x =，故1122()()()()f x f x f x f x ξξ''-=-，移项整理得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-推广的洛尔定理，高阶导数f ''，导函数介值性，凸凹性.例（） 设f ''在(,)a +∞存在，(0)()0f a f +=+∞=，则存在(,)a ξ∈+∞，使得()0f ξ''=.分析 函数f 满足推广的洛尔定理，但是，函数f '不一定满足推广的洛尔定理.本题涉及高阶导数，常利用凸凹性或泰勒公式，结合反证法讨论问题.证明 反证法.设(,)x a ∀∈+∞，()0f x ''≠.则由导函数介值性，必然f ''在(,)a +∞上保号.不妨设(,)x a ∀∈+∞，()0f x ''>.则f '在(,)a +∞上严格单调增加，f 在(,)a +∞上严格下凸.而由已知，f 满足推广的洛尔定理，故存在1ξ(,)a ∈+∞，使得1()0f ξ'=.由1()0f ξ'=及f '在(,)a +∞上严格单调增加，得1x ξ∀>，1()()0f x f ξ''>=.任意取定01x ξ>，则01()()0f x f ξ''>=，且曲线()y f x =在任一点的切线之上. 即0x x ∀>，000()()()()()f x f x f x x x x '>+-→+∞→+∞.与()0f +∞=矛盾.例（） 设函数[0,1]()f x C ∈，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-.x分析 结论即()()0f f ξξξ'+=，即[]()0x xf x ξ='=，令()()g x xf x =，用洛尔定理. 洛尔定理，常值k 法设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶连续可微，[0,1]τ∈，证明：存在(0,1)θ∈，使得21()()(1)()(1)()2f x h f x h f x h f x h τττττθ''+=++-+-+.分析 显然，0,1τ=时结论成立.(0,1)τ∈时，把含中值的项()f x h θ''+改为k ，证明存在(0,1)θ∈，使k ()f x h θ''=+即可.21()()(1)()(1)02f x h f x h f x h k τττττ⎡⎤+-++-+-=⎢⎥⎣⎦.将该式一般化，将τ改写为变量t ，设立辅助函数21()()()(1)()(1)2g t f x th tf x h t f x h t t k ⎡⎤=+-++-+-⎢⎥⎣⎦.[0,1]t ∈.因为()g t 满足(0)(1)()0g g g τ===，两次使用洛尔定理，得 存在(0,1)θ∈，使得()0g θ''=.得()k f x h θ''=+.故结论成立.例（） 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可微，()()0f a f b ==，证明：对每个(,)x a b ∈，存在(,)a b ξ∈，使得()()()()2f f x x a x b ξ''=--. 分析（原样采自苏州大学谢惠民本上册） 固定(,)x a b ∈，令2()()()f x k x a x b =--，往证(,)a b ξ∃∈，使得k =()f ξ''.构造[,]a b 上的函数()g t =()f t -12k ()t a -()t b -，()g a =0，()g b =0， 从k 的定义还知()g x =0在[,]a x ，[,]x b 上分别使用Rolle 定理，然后在两个中值点组成的区间上再使用一次Rolle 定理，∃1ξ介于ξ和η，使得1()g ξ''=0.()g x ''=()f x ''-k ，故1(,)a b ξ∃∈，1()f ξ''-k =0，知结论成立.用相同的方法，我们可以轻松地设立辅助函数，之后，反复运用Rolle 定理，证明类似问题：1.设函数f 在[,]a b 三阶可导，()f a =()f a '=()f b =0，则[,]x a b ∀∈，(,)a b ξ∃∈，使得 ()f x =13!()f ξ'''2()x a -()x b -； 2.设函数f 在[,]a b 五阶可导，1()3f =2()3f =(1)f =(1)f '=(1)f ''=0，则[0,1]x ∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得 ()f x =15!(5)()f ξ12()()33x x --3(1)x -；3. 设函数f 在[,]a b 三阶可导，则(,)a b ξ∃∈，使得311()()()[()()]()()212f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--.3的结论与上述各例的结论相比，只是把一般性的结论应用于b 点而已，因此，在3的证明中，只要在设立辅助函数时，将结论中的b 改为x 即可.当然，3也可以用柯西中值定理来证 令1()()[()()(()())]2F x f x f a x a f a f x ''=-+-+ 3()()G x x a =-，[,]x a b ∀∈()()()()0F a F a G a G a ''====连续使用柯西中值定理两次，注意用上面的零元素做减数即可. 与3相近的问题还有3.1 设函数f 在[,]a b 二阶可导，则(,)a b ξ∃∈，使得21()2()()()()24a b f a f f b b a f ξ+''-+=-. 3.2设函数f 在[,]a b 可导，,a b 同号，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()af b bf a f f b aξξξ-'=--.()()af b bf a k b a-=-，分离变量,a b 得项到等式两边经变形后为 ()()f b k f a k b b a a +=+，令()g x =()f x kx x+即可） 例 设函数f 在[,]a b 连续，(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-例3. 设函数f 在[,]a b 二阶可导，则(,)c a b ∀∈，(,)a b ξ∃∈，使得()()()1()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b c b a c a c b ξ''++=------.法1 记()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b c b a c a c b ++=------，则()()()()()()()()()0b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-----=，（*）往证1()2f ξ''=k ， 将（*）式看成是自变量x b =的情形，令()g x =()()()()()()()()()x c f a a x f c c a f x k a x a c x c -+-+-----，则()0,g b =又()()0,g a g c ==在[,]a c ，[,]c b 上分别使用Rolle 定理，得到()g x '的两个零点，再由Rolle 定理，∃ξ(,)a b ∈，()g ξ''=0. 而()()()2()g x c a f x k a c ''''=-+-，故k =1()2f ξ''， 将k 代入（*）中，知结论成立.法 2 要证()()()1()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b c b a c a c b ξ''++=------，左边通分，分子分母中的c 改为x 后，分子分母分别令为函数(),()F x G x ,则()()0F a F b ==，()()0G a G b ==.根据柯西中值定理，121212()()()()()(),(,);,(,)()()()()()()F F F c F a F b F c a c c bG c G a G G b G c G ξξξξξξ''--=∈=∈''--.代入()()0F a F b ==，()()0G a G b ==后，两式合一即为1212()()()()()()F F F cG c G G ξξξξ''-=''-. 再次应用柯西中值定理，并代入()()(),()2()F x b a f x G x a b ''''''=-=--，以及(),()F cG c 表达式，结论成立.法3 将f 在c 处展成2阶泰勒公式21()()()()()()2f f a f c f c a c a c ξ'''=+-+-， 22()()()()()()2f f b f c f c b c b c ξ'''=+-+-，推出12()()()1()()()()()()()()2f a f b f c c a b c f f a b a c b c b a c a c b b a b a ξξ--⎡⎤''''++=+⎢⎥--------⎣⎦，而由导函数的介值性，12()()()c a b cf f f b a b aξξξ--''''''+=--.零点定理（介值性），洛尔定理例 设函数[0,1]()f x C ∈，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明：存 在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=. 分析 易见，需要令()()g x f x x =-.则[0,1]()g x C ∈，且11(0)0,(),(1)122g g g ===-.根据零点定理，存在11(,1)2ξ∈，使得1()0g ξ=.在1[0,]ξ上应用洛尔定理，结论成立.介值性，洛尔定理例（） 设函数[0,3]()f x C ∈，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =，证明：存在(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=.分析 易见，(0)(1)(2)13f f f ++=是函数()f x 在[0,2]上的介值（连续区间上若干个函数值的平均数，必然是函数在该连续区间上的介值）.根据介值性，存在1(0,2)ξ∈，使得1(0)(1)(2)()13f f fg ξ++==.又(3)1f =，在1[,3]ξ上应用洛尔定理，结论成立.积分因子，洛尔定理例 设函数[,]()a b f x C ∈，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：(,)α∀∈-∞+∞， 存在(,)a b ξ∈，使得()()f f αξξ'=.分析众所周知，()()0f x f x λ'+=的积分因子是xe λ.()()f f αξξ'=即()()0f f ξαξ'-=，该类方程的积分因子为x e α-，结论式等价于()0xx e f x αξ-='⎡⎤=⎣⎦. 令()()x g x e f x α-=.应用洛尔定理，即得结论.例（） 设函数()f x 在[0,)+∞上连续可微，且有n 个互异的零点，证明：(,)α∀∈-∞+∞，函数()()f x f x α'+在[0,)+∞上至少存在1n -个互异的零点.分析 ()()0f x f x α'+=的积分因子为xe α，结论是函数()0xe f x α'⎡⎤=⎣⎦的零点问题.令()()x g x e f x α=.多次应用洛尔定理即可证明.例 设函数[,](),()a b f x g x C ∈，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明： 存在(0,1)ξ∈，使得()()()0f g f ξξξ''+=.分析 本题结论的积分因子为()g x e，结论式等价于()()0g x x e f x ξ='⎡⎤=⎣⎦. 令()()()g x g x e f x =.应用洛尔定理，即得结论. 积分因子的一个自由练习例（） 设函数()f x 在[,]a b 上连续可微，()()f x f x '≠，证明：存在某个在[,]a b 上连续可微的函数()g x ，使得()()()()0g x f x g x f x ''+≠.分析 从()()f x f x '≠联系到()()0f x f x '-=，该方程的积分因子为xe -，当然()()x x e f x e f x --'≠.即()()0x x e f x e f x --'-≠.()()()0x x e f x e f x --''+≠把xe -取成()g x 即可.积分中值定理，洛尔定理例（） 设函数()f x 在[0,1]上可导，且120(1)2()0f xf x dx -=⎰，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-.分析 结论即()()0f f ξξξ'+=，即[]()0x xf x ξ='=，令()()g x xf x =，用洛尔定理.但是，需要寻找函数()()g x xf x =的等值点.在[0,1]上，(0)0g =，(1)1(1)g f =⋅.由已知，(1)1(1)g f =⋅1202()xf x dx =⎰.根据积分中值定理，存在110,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得 (1)g =121110(1)2()()()f xf x dx f g ξξξ===⎰.在1[,1]ξ上应用洛尔定理，结论成立.例（） （北京大学，1999年硕士研究生试题）设函数[0,1]()f x C ∈，在(0,1)内可导，且1788()(0)f x dx f =⎰，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=.分析 根据积分中值定理，存在17,18ξ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得使得 17188()()f x dx f ξ=⎰.而已知1788()(0)f x dx f =⎰，在1[0,]ξ上应用洛尔定理，结论成立.分部积分，上限函数，积分第一中值定理，洛尔定理 例（） （2000年硕士研究生数学（三）、数学（四）试题，6分）设函数[0,]()f x C π∈，且0()0f x dx π=⎰，()cos 0f x xdx π=⎰.则存在12,ξξ(0,)π∈，且12ξξ≠，使得12()()0f f ξξ==.分析 应用零点定理的条件似乎很不明显，如果能把结论式视为()()xag x f t dt =⎰有12()()0g g ξξ''==，问题可看成函数()g x 的三个零点间运用洛尔定理的结果.定积分()baf x dx ⎰最常见的一般化是将上限b 改成变量x ，建立上限函数，总有()()0a ag a f t dt ==⎰.令()()xg x f t dt =⎰.则(0)0g =，且由已知()0f x dx π=⎰，即()0g π=.由根据分部积分法，可将()cos 0f x xdx π=⎰与上限函数()g x 联系起来.0()cos f x xdx π=⎰（余弦在变号，改成正弦就好处理了） 0cos ()xdg x π=⎰00cos ()()sin x g x g x xdx ππ=⋅--⎰()sin g x xdx π=⎰因为sin x 在[0,]π上连续不变号，根据积分第一中值定理，存在()10,ξπ∈，使得10()sin ()sin g x xdx g xdx ππξ=⎰⎰12()g ξ=.综上，存在()10,ξπ∈，使得0()cos f x xdx π=⎰12()g ξ=.于是，(0)0g =，1()0g ξ=，()0g π=.根据洛尔定理，存在12,ξξ(0,)π∈，且12ξξ≠，使得12()()0g g ξξ''==.即12()()0f f ξξ==.多元函数，一维化，洛尔定理例（） 设函数(,)f x y 在2R 上一阶连续可微，且(1,0)(0,1)f f =，则在单位圆上至少存在两点，满足(,)(,)x y yf x y xf x y =.分析 将单位园用极坐标实现一维化，令1cos ,1sin x y θθ=⋅=⋅，[0,2]θπ∈.(,)(cos ,sin )()f x y f g θθθ==.则()(cos ,sin )g f θθθ=[0,2]C π∈，在()0,2π可导.又对应于点(1,0)，(0)(2)(1,0)g g f π==，对应于点(0,1)(0,1)2f g π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由于(1,0)(0,1)f f =，从而(0)(2)2g g g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.根据洛尔定理，存在12,ξξ(0,2)π∈，且12022πξξπ<<<<，使得12()()0g g ξξ''==.而()(cos ,sin )(sin )(cos ,sin )cos x y g f f θθθθθθθ'=-+(,)()(,)x y f x y y f x y x =-+，这说明，在单位圆上至少存在两点，满足(,)(,)x y yf x y xf x y =.多元函数，一维化，拉格朗日中值定理例（） 设函数(,,)f x y z 在3R 上一阶连续可微，且3(,,)x y z R ∀∈，(,,)(,,)(,,)0x y z yf x y z xf x y z f x y z a -+≥>.则当动点(,,)x y z 沿着曲线Ccos ,sin ,x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩0t ≥ 趋于无穷时，(,,)f x y z →+∞.分析 由于方程中cos ,sin x t y t =-=都是有界函数，所以，动点(,,)x y z 沿着曲线C 趋于无穷，指的是t 无穷大，又0t ≥，所以指t →+∞. 一维化，(,,)(cos ,sin ,)()f x y z f t t t g t =-=.根据多元复合函数可微性定理，()g t 在0t ≥时可导，0t ∀>，由拉格朗日中值定理， 存在(0,)t ξ∈，使得()(0)()t g t g g t ξ'-=.而()sin cos 0t t x y z g tf tf f a ξξ'⎡⎤=++≥>⎣⎦.()(0)g t g at ≥+→+∞.洛尔定理，拉格朗日中值定理，判定单调性例（） 设函数[,]()a b f x C ∈，在(,)a b 内可导，且()f x '严格单调增加，()f a =()f b ，则(,)x a b ∀∈，()()()f x f a f b <=（或()()()f x f b f a <=）.分析 ()f x '严格单调增加时，函数()f x 严格下凸.当曲线的两端等高时，当然就有结果了.但是，怎么从已知条件入手呢？从()f a =()f b 知，函数满足洛尔定理的条件.法1不用洛尔定理，形式更简捷些.从()()f a f b =知， (,)x a b ∀∈，分别在[,]a x ，[,]x b 上应用拉格朗日中值定理，得1()()()f x f a f x a ξ-'=-，2()()()f x f b f x bξ-'=-.因为12ξξ<，()f x '严格单调增加，所以12()()f f ξξ''<.得()()f x f a x a --()()f x f b x b -<-()()f a f b =()()f x f a x b-- 移项整理，得()11()()0f x f a x a b x ⎛⎫-+<⎪--⎝⎭. 由于第二个因式取正值，故()()f x f a <.法2 根据洛尔定理，存在1(,)a b ξ∈，使得1()0f ξ'=.(,)x a b ∀∈，x 要么落在1ξ左边，要么落在1ξ右边，要么与1ξ重合.（1）1x ξ<时，在[,]a x 上应用拉格朗日中值定理，结合()f x '严格单调增加，得()()f x f a -()()f x a ξ'=-1()()f x a ξ'<- 0=.结论成立.（2）1x ξ>时，在[,]x b 上应用拉格朗日中值定理，结合()f x '严格单调增加，得()()f b f x -()()f b x ξ'=-1()()f b x ξ'>- 0=.11x结论成立.（3）1x ξ=时，在1[,]a ξ上应用拉格朗日中值定理，结合()f x '严格单调增加，得1()()f f a ξ-1()()f a ξξ'=-11()()f a ξξ'<- 0=.1()()f f a ξ<.结论成立.拉格朗日中值定理，洛尔定理例（） 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可微，且在[,]a b 上，()f x 不恒为0，(,)c a b ∈，且()()()0f a f c f b ===，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''>.分析 不妨设0x 是使()f x 非0的点，则由已知，0,,x a c b ≠. 若0(,)x a c ∈，则在0[,]x c 上应用拉格朗日中值定理，得1()0f ξ'<.在[,]c b 上应用洛尔定理，得2()0f ξ'=.012x c b ξξ<<<<. 再在12[,]ξξ上应用拉格朗日中值定理，得()0f ξ''>，结论成立. 若0(,)x c b ∈，换成靠左边的两个区间，从左到右，分别使用洛尔定理和拉格朗日中值定理，类似可证，结论成立.拉格朗日中值定理例（） 设函数[,]()a b f x C ∈，且在(,)a b 内二阶可导，则存在(,)a b ξ∈，使得2()()2()()()24a b b a f b f f a f ξ+-''-+=.分析 法1在每个中括号中使用拉格朗日中值定理，很难得出结论.()2()()2a b f b f f a +-+ ()()()()22a b a b f b f f f a ++⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 假若在每个中括号中使用拉格朗日中值定理，则存在1ξ(0,)2a b +∈，2ξ(,)2a bb +∈， 使得()2()()2a b f b f f a +-+[]12()()2b af f ξξ-''=-⋅. 如果再次使用拉格朗日中值定理，则存在(,)a b ξ∈，使得a()2()()2a b f b f f a +-+12()()2b af ξξξ-''=-. 这很难整理成结论所以，为了便于得到结论，不能对()()()()22a b a b f b f f f a ++⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别使用拉格朗日中值定理.为了使上式转化成一个函数在两点的函数值之差，需要统一端点的表示.先看被减数，如果可被看成函数在一点的函数值，我们再把减数也用这个函数表示.要想使()()2a b f b f +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表为函数在一点的函数值，需要将b 与2a b +统一起来，由于b 可被看成22a b b a+-+（中点加上半个区间长），即 ()()2a b f b f +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()222a b b a a b f f +-+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. 这相当于函数()()()2b a g x f x f x -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦在2a b x +=时的函数值. 要想把减数()()2a b f f a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表为()()2b a f x f x -⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的形式，取x a =恰好可以达到目的.于是，()()()()22a b a b f b f f f a ++⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()222a b b a a b f f +-+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()2b a f a f a -⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦若令()()()2b a g x f x f x -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，则()2()()2a bf b f f a +-+ ()()()()22a b a b f b f f f a ++⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()222a b b a a b f f +-+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()2b a f a f a -⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦()()2a b g g a +=-拉格朗日中值定理()()22b a b af f ξξ--⎡⎤''+-⎢⎥⎣⎦ 拉格朗日中值定理2()()2b a f ξ-''. 结论成立.分析 法2 如果要用2阶泰勒定理，需要()f x '在[,]a b 上连续这一条件. 带拉格朗日型余项的泰勒公式，导函数介值性定理讨论.将()f a ，()f b 于2a b+处展成二阶的带拉格朗日型余项的泰勒公式，联立消去f '项，然后用导函数介值性定理讨论（见泰勒公式内容）.导函数介值性，拉格朗日中值定理例（） 设函数()f x 在[1,1]-可微，(0)1,(1)(1)0f f f =-==，证明：[1,1]μ∀∈-， 存在(1,1)ξ∈-，使得()f ξμ'=.分析 若应用洛尔定理或费马定理，令()()g x f x x μ=-，则(0)0,(1),(1)g g g μμ=-==-.难以发现应用洛尔定理的条件..如果说明1,1-恰巧是()f x '在某两点的函数值，这样[1,1]μ∀∈-，μ就是()f x '的介值，用导函数介值性来证明.那么，哪两点的到数值分别是-1和1呢？观察可见1(0)(1)f f =--，1(1)(0)f f -=-， 说明在[1,0]-，[0,1]上分别应用拉格朗日中值定理即可.证明 在[1,0]-，[0,1]上分别应用拉格朗日中值定理，得11(0)(1)()f f f ξ'=--=，21(1)(0)()f f f ξ'-=-=.12101ξξ-<<<<.整理，得1()1f ξ'=，2()1f ξ'=-.[1,1]μ∀∈-，恰可表为 211()()1f f ξμξ''-=≤≤=.由导函数的介值性，12[,](1,1)ξξξ∈⊂-，使得()f ξμ'=.拉格朗日中值定理，定积分不等式 例（函数积分模-平均值问题）（） 设函数()f x 在[,]a b 上连续可微，且()()0f a f b ==，则2[,]4()max ()()bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰（或[,]sup ()x a b f x ∈'）.分析 由于左边含有区间长b a -，所以，先把积分在中点2a b+处进行区间可加，然后添入零元，运用拉格朗日中值定理，将问题转化到导函数上去.证明22()()()a b bba b aaf x dx f x dx f x dx++=+⎰⎰⎰22()()()()a b ba b af x f a dx f x f b dx ++=-+-⎰⎰拉格朗日中值定理2122()()()()a b ba b x x af x a dx f x b dx ξξ++''=-+-⎰⎰2[,]2max ()a bb a b a x a b f x x adx x bdx ++∈⎡⎤'≤-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰2[,]()max ()4x a b b a f x ∈-'≤.二阶导函数积分模的下界估计问题用连续函数介值性，最值点，费马定理，拉格朗日中值定理，定积分不等式 例（）（Lyapunov 不等式） 设函数()f x 在],[b a 上二阶连续可微，且()()0f a f b ==，且(,)x a b ∀∈，()0f x ≠，证明()4()ba f x dx f xb a''>-⎰.（且4b a -是最佳下界，最佳下界的证明？） 证明 根据连续函数的介值性，可知(,)x a b ∀∈，()f x 定号.不妨设()0f x >.又因为()()0f a f b ==，所以，()f x 在],[b a 上的最大值必在(0,1)内取得.记最大值点为0x ∈(,),a b 则0()0f x >.在0[0,]x ，0[,1]x 上分别应用拉格朗日中值定理，得010()()()()f x f a f x a ξ'-=-， 020()()()()f b f x f b x ξ'-=-.102a x b ξξ<<<<.由定积分性质，2221112100()()()()1|()()|()()()()()baf x f x f x f x dx dx dx dx f f f x f x f x f x f x ξξξξξξξξ''''''''''>≥≥=-⎰⎰⎰⎰00000()()1()f x f x f x b x x a -=---00()()b a x a b x -=--. 由于00()()x a b x b a -+-=-，故当且仅当二者相等时（与端点等距的点，即中点）处乘积最大，故02b ax +=.于是，()4()()()22b a f x b a dx b a b a f x b aa b ''->=++---⎰注1 结论改成21()1()()2b a f x dx b a b a f x ''>--⎰，左边是涉及二阶导数的积分平均值（积分模）. 注2 特别地，取[,][0,1]a b =，结论即10()4()f x dx f x ''>⎰.注3 若作一般化，则是二阶导函数积分模的下界估计的一般结论.设函数()f x 在],[b a 上二阶连续可微，且()()0f a f b ==，则()|()|()()ba b af x dx f x x a b x -''≥--⎰，进而[,]4()sup |()|b a x a b f x dx f x b a ∈''>-⎰. 结论改成11()|()|()()b a f x dx f x b a x a b x ''≥---⎰，积分平均值（可见积分模的意义）证明 注意到()()()()()()()()()()x xxaaaf x f a f t dt f a f t d t a f x x a f t t a dt'''''=+=+-=---⎰⎰⎰分部积分得()1()()()x a f x f x f t t a dt x a x a'''=----⎰ 同理，得()1()()()x b f x f x f t t a dt x b x b'''=----⎰， 两式相减后，取绝对值，得|()|()()()()()()x b b a x a f x b a f t dt f t dt f t dt x a b x -''''''≤+=--⎰⎰⎰. 证毕.进而，由于00()()x a b x b a -+-=-，故仅当二者相等时处乘积最大，故02b ax +=（与端点等距的点，即中点）时，()()x a b x --最大，最大值为2()()()222b a b a b a a b ++---=. 于是， 2|()|()|()|()4|()|()()()2f x b a f x b a f x b a x a b x b a --≥=----， 所以，4|()||()|()()()()b a f x f x b a f t dt b a x a b x -''≤≤---⎰（最右端为常数）.这说明，()b a f t dt ''⎰是4|()|f x b a-得一个上界，从而（上确界不超过上界）[,]4sup |()|()b x a b a f x f t dt b a ∈''≤-⎰，改写即[,]2sup |()|1()()2b x a b a f x f x dx b a b a ∈''>--⎰. 二阶导函数均方模的下界估计（积分学解决）例（Zmorovic 不等式）设函数()f x 在],[b a 上二阶可微，则()22312|()|()2()()2baa b f x dx f b f f a b a +⎧⎫''≥-+⎨⎬⎩⎭-⎰. 其中，()312b a -不能再改进.从模（平均值）的角度看，结论即()224112|()|()2()()2b a a b f x dx f b f f a b a b a +⎧⎫''≥-+⎨⎬-⎩⎭-⎰. 证明222()()()()()()()()222a b a b a b a a a a b a b b af f a f x dx f x d x a f f x x a dx+++++-'''''-==-=--⎰⎰⎰分部积分222()()()()()()()()222b b b a b a b a b a b a b b af b f f x dx f x d x b f f x x b dx+++++-'''''-==-=--⎰⎰⎰分部积分相减，并取绝对值22()2()()|()()||()()|2a bb a b a a bf b f f a f x x b dx f x x a dx +++''''-+≤-+-⎰⎰根据柯西-施瓦兹不等式，≤=.由于从均值不等式可知，()2222()a b a b +≤+，故22⎫⎣⎦⎪≤⎪⎭2|()|b af x dx ''=⎰.即结论成立.例 设函数()f x 在],[b a 上二阶连续可微，且()()0f a f b ==，()1,()0f a f b ''==，则24|()|baf x dx b a''≥-⎰. 改写即（积分模）()2214|()|b a f x dx b a b a ''≥--⎰. 证明 注意到满足()()0,()1,()0f a f b f a f b ''====的函数()22()()()x a b x g x b a --=-有24|()|bag x dx b a''=-⎰（这个说明很繁琐，略），只要证明22|()||()|b b a a f x dx g x dx ''''≥⎰⎰即可. 2220|()()||()||()|2()()bbbbaaaaf xg x d x f x d xg x d xf xg x d x''''''''''''≤-=+-⎰⎰⎰⎰ 222|()||()|2|()|2()()b b b ba a a a f x dx g x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤''''''''''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰[]22|()||()|2()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x g x dx ⎡⎤''''''''''=---⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 而尾项[][]()()()()()()bba af xg x g x dxg x d f x g x ''''''''''-⋅=⋅-⎰⎰分部积分[][]()()()|()()()b baag x f x g x f x g x g x dx '''''''''=⋅---⋅⎰[]0()()()b af xg x g x dx '''''=--⋅⎰（()g x '''为常数，提取后恰好积分为0），故2220|()()||()||()|b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤''''''''≤-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，即22|()||()|bbaaf x dxg x dx ''''≥⎰⎰，结论成立.数值积分梯形公式估计的几个证明例（南京大学2010考研试题，属于数值积分梯形公式的估计问题，微分学解决） （1） 设)(x f 在],[b a 上3阶可导，则存在),(b a ∈ξ，使得3()()1()()()[]()()212f a f b f b f a b a b a f ξ''+'''=+---.（2）设f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有二阶导数，则存在),(b a ∈ξ，使得3()()1()()[]()()212baf a f b f x dx b a b a f ξ+''=---⎰．证明 （1）结论可改成3()()()()()[]12()()12f a f b f b f a b a f b a ξ''+⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭'''=--，分子恰好是一般化，将b 改为x 之后，函数 设)]()()[(21)()()(x f a f a x a f x f x F '+'---=在,b a 处的函数值之差， 分母恰好是一般化，将b 改为x 之后，函数3()()G x x a =-在,b a 处的函数值之差，故令)]()()[(21)()()(x f a f a x a f x f x F '+'---=，3()()G x x a =- 则有)]()([21)()(x f a f x f x F '+'-'=')()(21x f a x ''--，()()()F x x a f x '''''=-，显然0)()(==a G a F ，0)()(='='a G a F ，两次利用柯西中值定理可得)()()()()()()()()()(1111a G G a F F G F a G b G a F b F '-''-'=''=--ξξξξ1()()()2()32()a f F G a ξξξξξ'''--''==''⋅-1()12f ξ'''=-， 于是结论得证.（2）()()()[]2f a f b b a +-的几何意义是连接(,()),(,())a f a b f b 的弦与横轴，,x a x b ==共同围成的曲边梯形的面积.证明 令⎰=xadt t f x F )()(，则0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''.利用（1）的结果，得存在),(b a ∈ξ，使得3()()1()()()[]()()212F a F b F b F a b a b a F ξ''+'''=+---,即3()()1()()[]()()212baf a f b f x dx b a b a f ξ+''=---⎰.其实，有更一般的结论（积分学解决）例（积分学解决）设)(x f 在],[b a 上2阶连续可微，则()()1()()[]()()()22bbaaf a f b f x dx b a f x x a b x dx +''=----⎰⎰.进一步的，(,)a b ξ∃∈，使3()()1()()[]()()212baf a f b f x dx b a b a f ξ+''=---⎰.证明 从1()()()2ba f x x ab x dx ''--⎰入手.因 ()()()()()()bbaaf x x a b x dx x a b x d f x '''--=--⎰⎰分部积分（）()=0()()()b af x b x x a dx'----⎰()()()()()()]2()bbaab x x a d f x b a f a f b f x dx =----+-⎰⎰再次分部积分（）=()[， 故结论成立.进一步的，因结论中的1()()()2baf x x a b x dx ''---⎰中()()x a b x --连续不变号，由积分中值定理，(,)a b ξ∃∈，使得31111()()()()()()()()2226b b a a f x x a b x dx f x a b x dx f b a ξξ''''''---=---=-⋅-⎰⎰.即结论式成立.另一个更一般的结论是（微分学解决，导函数的介值性）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可微，过(,()),(,())a f a b f b 的弦所在的直线为()l x ，则(,)a b ξ∃∈，使得1()()()()()2f x l x x a b x f ξ''-=---，21|()()|()|()|8f x l x b a f ξ''-≤-.证明 过(,()),(,())a f a b f b 的弦所在的直线为()()()()()()()f b f a x a b xl x f a x a f b f a b a b a b a---=+-=+---改写，将()f x 类似表出，()()()x a b xf x f x f x b a b a --=+--. 推出 ()()[()()][()()]x a b xf x l x f x f b f x f a b a b a---=-+---. 因函数()f x 在(,)a b 内二阶可微，故将x 作为展开中心（展开之处），而端点可导性未知，只能选作被展开点.根据泰勒公式，211()()()()()()2f a f x f x a x a x f ξ'''=+-+-221()()()()()()2f b f x f x b x b x f ξ'''=+-+-代入()()f x f b -，()()f x f a -，121()()()()[()()]2x a b xf x l x x a b x f f b a b aξξ--''''-=---+--因,0,x a b x b a b a -->--1x a b x b a b a --+=--，故12[()()]x a b xf f b a b a ξξ--''''+--是1()f ξ''与2()f ξ''间的介值.根据导函数的介值性，(,)a b ξ∃∈，使得12()()()x a b xf f f b a b aξξξ--''''''=+--.于是， 1()()()()()2f x l x x a b x f ξ''-=---，1|()()|()()|()|2f x l x x a b x f ξ''-=--.由于()()x a b x b a -+-=-，故当且仅当二者相等时处乘积最大，故2b ax +=时（与端点等距的点，即中点），()()x a b x --最大，最大值为2()()()222b a b a b a a b ++---=， 故 2211|()()|()|()|()|()|228b a f x l x f b a f ξξ-''''-≤=-. 注 特别地，再假设在(,)a b 内|()|f x M ''≤，则21|()()|()8f x l x b a M -≤-.例（） 设函数()f x 在[,]a b 上可微，在(,)a b 内二阶可微，且()()0f a f b ==，且 ()0f a +'>，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''<.分析 这其实是凸性的表现，因为曲线两端等高，但是，()0f a +'>，使得曲线在a 右侧点递增.证明 因为()0f a +'>，故存在()U a + ,使得()U a +内，()()f x f a >. 故存在0()x U a +∈ ，0()()f x f a >.在0[,]a x ，0[,]x b 上分别应用拉格朗日中值定理，得010()()()0f x f a f x a ξ-'=>-，020()()()0f x f b f x bξ-'=<-.继续在12[,]ξξ上应用拉格朗日中值定理，知结论成立. 费马定理，对导函数应用拉格朗日中值定理，有界性例（） 设函数()f x 在[0,]a 上二阶可微，[0,]x a ∀∈，0M ∃>,使()f x M ''≤.且()f x 在[0,]a 上最大值在内点取到，证明：(0)()f f a Ma ''+≤.分析 找特殊点. ()f x 在[0,]a 上最大值在内点取到，根据费马定理，存在0(0,)x a ∈， 使得0()0f x '=.对()f x '在0[0,]x ，0[,]x a 上分别应用拉格朗日中值定理，得(0)()f f a ''+1020()()()f x f a x ξξ''''=+-Ma ≤.另法 将(0)f '，()f a '分别在()f x 在[0,]a 上最大值点0x 展开到一阶的带拉格朗日型余项的泰勒公式，联立可证.例（gronwall 戈龙瓦定理） 设函数()f x 在[0,)+∞上可微，(0)0f =，且存在0A >,使得[0,)x ∀∈+∞，()()f x A f x '≤.证明：[0,)x ∀∈+∞，()0f x ≡.法1 用反证法.设存在0[0,)x ∈+∞，0()0f x ≠，不妨设0()0f x >.则由局部保号性，存在某个左邻域0()U x -，处处()0f x >.从而在0()U x -内，{}()0x f x >非空有下界0，故{}0()inf()0x U x x f x η-∈=>存在.由局部保号性，()0f η=. 【附：()0f η=的证明.若不然，设()0f η≠，不外有两种可能：要么（1）()0f η>；要么（2）()0f η<. 若（1）()0f η>，则由局部保号性，在η的某个左邻域中，存在函数的正值点，下确界应取在η的以左、更小的点处，与{}0(0,)inf()0x x x f x η∈=>矛盾.若（2）()0f η<，则由局部保号性，在η的某个右邻域中，存在函数的负值点，下确界应取在η以右、更大的点处，与{}0(0,)inf()0x x x f x η∈=>矛盾.】于是，η的右侧，()0f x >，即0(,),()0x x f x η∀∈>. 因()[ln ()]()f x A f x f x ''≥=，故0(,),x x η∀∈ln ()f x '有界. 而导函数在有限区间有界时，函数在有限区间有界（导函数有界的函数必然一致连续.再由柯西准则可知，函数在端点处的单侧极限存在，进而可对函数连续开拓，推出函数有界）故ln ()f x 在0(,)x η内有界.但是，由lim ()()=0lim ln ()x x f x f f x ηηη→+→+=⇒=-∞连续已证，与l n ()f x在0(,)x η内有界矛盾.法2 只要再证(0,)x ∀∈+∞（0处(0)0f =已知），()0f x ≡即可.显然，函数()f x 在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理.()()(0)f x f x f =-1()x f x ξ'=1()x A f x ξ≤1()(0)x A f f x ξ=-22()x x A f x ξξ'=222()x x A f x ξξ≤222()x A f x ξ≤()n n nx A f x ξ≤≤ .由于()f x 在[0,)+∞上可微，故()f x 在[0,]x 上必然有界.即0M ∃>,使()nx f M ξ≤.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
5o
若函数是Βιβλιοθήκη 0,型可采用代数变形，化成
0 0
或
型；若是 1
,00
,0
型可采用对数或指数变形，化成
0 0
或
型.
例 3 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
f (0) (x3 x2 ) x0 0
∴ f (x) 满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f ( ) 3 2 2 0
解得： 1
2 3
,
2 0
∵2 0 不在（-1，0）内，舍去；
∴
2 3
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理： 如果函数 f(x)满足：
在(a, b)内至少存
10 在[a, b]上连续， 20 在(a, b)内可导；
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
1
x
lim x1 1
ln x 1 ln x
x
lim
x 1
1 x2
x
1 x
1 2
.
例4．求下列极限
定理： f (x) 和 g (x) 满足条件：
lim f (x) 0 (或）
xa
1o lim g(x) 0 (或）； xa
2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；
3o
lim
xa(
)
f (x) g ( x)
A,
（或）
则：
lim
xa()
f (x) g(x)
lim
xa()
f (x) g ( x)
A,
（或）
☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比 的极限.
2o 若不满足法则的条件，不能使用法则.
0
即不是 0 型或 型时，不可求导.
3o 应用法则时，要分别对分子、分母
求导，而不是对整个分式求导.
4o 若 f (x) 和 g(x) 还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
条件？若满足，求出 的值.
解：∵ f (x) x3 x2 是初等函数，在[-1，0]上有定义； ∴ f (x) x3 x2 在[-1，0]上连续。
∵ f (x) 3x2 2x 在（-1，0）内有定义； ∴ f (x) x3 x2 在（-1，0）内可导。
又 f (1) (x3 x2 ) x1 0
ex ex （1） lim
x0 tan x
解：lxim0
ex ex tan x
lim ex ex 0 x0 sec2 x
2
0
ln x
（2）
lim
x
xa
,
a0
1
解：
lim
x
ln x xa
lim
x
x ax x 1
lim
x
1 axa
0
（3）
1 lim ( x0 x
1
ex
) 1
解： 1 1
ln ln x
1
e e e 1 lim x x
lim x x ln x
0
1.0 在 [ a , b ]上
2
0 .
在
(
a
,
b
)内
连 可
续 导
；
;
在 ( a , b )内 至 少
存在一点,
3
0 .
f
(a)
f (b).
使 得 f ( ) 0.
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C, 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f (x)
o a 1
2 b x
例 1 函数 f ( x ) x 3 x 2 在[-1，0]上是否满足罗尔定理的
ln
y
ln(ln
1
x) x
ln ln
x
lim ln y lim ln ln x x
x
x x
1
lim x ln x lim 1 0
x
1
x x ln x
1
所以
lim y lim (ln x) x 1
x
x
解法2：(指数法）
1
ln ln x
lim (ln x) x lim e x
x
( 0 ) x
第三章 一元函数微分学
§3.2 中值定理及导数的应用 一 中值定理
1.罗尔定理 2.拉格朗日定理
二 罗必塔法则
三 导数的应用
1.切线方程和法线方程 2.函数的单调性
3.函数的极值 4.函数的最值 5.函数的凹凸性及拐点 6.曲线的渐近线
一 中值定理
1.罗尔（Rolle）定理： 如果函数 f ( x)满足
F (t) tan t, t [0, x], x (0, )
设：
2
∵ F (t) tan t 是初等函数 ，在[0,x]上有定义，
∴ F (t) tan t 在[0,x]上连续。
F (t) sec 2 t 1
∵
cos2 t 在（0,x）内有定义
∴ F (t) tan t 在（0,x）内可导。
∴
2 证毕.
二 洛必达法则（ 0 型及 型未定式 ） 0
0 型及 型未定式的极限：
0
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数f (x) 与
F (x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限
lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通常把 xa F (x)
( x)
这种极限称为 0 或 型未定式. 0
ex 1 x
lim( ) lim
x0 x ex 1 x0 x(ex 1)
ex 1
ex
lim
lim
0 0
x0
ex
1
xe x
0 0
x0
ex
ex
xe x
lim 1 1 x0 2 x 2
1
（4） lim (ln x) x x
(0未定式） 1
解法1：(对数法） 设 y (ln x) x
在一点，使得： f ( ) f (b) f (a)
ba
f (b) f (a) f ()b a
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
例2
证明：当 0
x
2
时，不等式 x
tan x 成立.
证明：（采用中值定理证明）
∴ F (t) tan t 满足拉格朗日定理的条件，
F ( )
由定理可得：
1
cos 2
F (x) F (0) x0
tan x x
x cos 2 tan x,
(0, x),
x
(0,
2
)
∵ 0 cos 2 1, tan x 0
∴ x cos2 tan x tan x
x tan x, 0 x