练习册第五章习题参考答案

cos 1 ,cos 2 ,cos 1 ,
2
2
2
, ,cos .
34
3
6.已知向量a i 5 j k与b 3i j k共线,则
15, 1
5
.
解
5 1 , 15, 1 .
31
5
7.设M1(3,5, 3), M2(3, 3,5),且点M使M1M 3MM2,
y z
1 4
或
2
x x
y z
1 .
2
二.3.求过直线 2xx
y z 1 0且垂直于x y z 1 0
2
y
z
0
的平面方程.
解 设所求平面方程为
2x y z 1 ( x y z 1) 0,
1 (2 ) 2 (1 ) (1) (1 ) 0,
1,
4
所求平面方程为 : 3x y z 1 0.
各分点与点A连接,试以AB c, BC a表示D1A,
D2 A,D3 A和D4 A.
解
1 D1 A AD1 ( AB BD1 ) (c 5 a),
D2 A
AD2
(c
2 5
a),
A
3
D3 A
AD3
(c
a ), 5
D4 A
AD4
(c
4 5
a).
c
B
D 1
a D2 D3
D4
C
3.设a {3,5,8},b {2,4,7},c {5,1,4},
二.5.设一直线过点P (2, 1, 2)且与两直线
L1 :
x1 1
y1 0
z
1
1
与L2
:
x2 1
y1 1
z3 3
同时相交,求此直线方程.
解 设所求直线与L1相交于A(1 t,1,1 t ), 与L2相交于B(2 r,1 r, 3 3r), 则 PA (1 t,2,1 t), PB (r,2 r,5 3r)
解 n M0M (1,2,2),所求平面方程为 1 ( x 1) 2( y 1) 2(z 1) 0,
x 2y 2z 3 0
二.2.求过点M
0
(0,1,
2)且与直线
x
1
1
y1 1
z 平行 2
的直线方程.
解 所求直线方程为 x y 1 z 2 , 1 1 2
或
x 2 y
二.4.求两平面x y 2z 2与x 2 y z 8
的平分面方程.
解 平分面上的点M ( x, y, z)到两平面的距离相等,
|
x
y
2z
2
|
|x
2y
z
8
| ,
6
6
x y 2z 2 ( x 2 y z 8),
得两个平分面: 1 : y z 2 0, 2 : 2x y z 10 0.
一.填空题p5
1.过点(3,0,1)且与平面3 x 7 y 5z 12 0平行的 平面是 3x 7 y 5z 4 0 .
2.过点(3,1,2)且包含z轴的平面是 x 3 y 0 .
3.通过点M0
(2,
9,
6)且垂直于向量OM
的平面方程
0
是 2x 9 y 6z 121 .
证明
|| a b ||2 || a ||2|| b ||2 sin2(aˆ, b). (a b)2 || a ||2|| b ||2 cos2(aˆ, b),
|| a b ||2 (a b)2 || a ||2|| b ||2 .
§5.2向量的乘法运算p.3完成
§5.3平面与直线p.5
则OM
(3, 1, 3)
.
解
设M ( x, y, z),则由M1M
3
MM
得
2
( x, y, z) (3,5,3) 3[(3, 3,5) ( x, y, z)],
4( x, y, z) (3,5,3) 3(3,3,5) (12,4,12),
( x, y, z) (3,1,3).
8.设 || a || 6,且a与x轴, y轴, z轴正向的夹角依次为
| 5a b | 5 | a | | b | sin
6 5 3 1 1 5 3 .
22
三.证明题
三.1.设a1,a2 ,a3 ,b1,b2 ,b3为任意实数,试利用向量有关知识 证明不等式 : a12 a22 a32 b12 b22 b32 | a1b1 a2b2 a3b3 | . 证明 令 a (a1,a2 ,a3 ),b (b1,b2 ,b3 ),则
(1)求 4a 3b c; (2)求 Pr jx; (3)求在y轴上的分量; (4)求的方向余弦; (5)求与平行的单位向量.
解 (1) 4a 3b c
4{3,5,8} 3{2,4,7} {5,1,4}, {13,7,15}.
(2)求 Pr jx 13;
(3) 在y轴上的分量为7 j; (4) 的方向余弦为 13 , 7 , 15 ;
解 设A( x, y, z),则AB (2,1,7) ( x, y, z) (4,4,7),
( x, y, z) (2,1,7) (4,4,7) (2,3,0).
5.向量a i 2 j k与各坐标轴的夹角分别
是
,,
.
343
解 a i 2 j k 2( 1 i 2 j 1 k), 22 2
d | M0M s |.
解
|s|
M0
| M0M s || M0M | | s | | sin |,
d
d | M0M | | sin |,
M
s
| M0M s |. |s|
§5.3平面与直线p.4完成
§5.4--§5.4曲面与曲线p.7
一.填空题p7
1.球面x2 y2 z2 2x 4 y 4z 0的 中心是 (1,2,2) ,半径R 3 .
A r1
r3
G
D
B r2
OG OC CG r3 CG, O
1
1
OG
3 (r1
r2
r3 )
( AG 3
BG
CG ),
G是ABC的重心, AG BG CG 0,
1 OG 3 (r1 r2 r3 ).
§5.1向量及其运算p.1完
§5.2向量的乘法运算p.3
一.填空题
1.与a (2,1,2)共线且满足a x 18的向量 x 2a (4,2,4) .
, 和 ,则a (3,3,3 2).
.
33 4
解 a 6(cos ,cos ,cos ) (3,3,3 2).
334
二.计算题(p1)
二.计算题
1.设 {1,1,1}, {2,3,5}, {2,1,2},
(1)求 || ||,|| ||,|| ||; (2)求 , ,的单位向量 0 , 0 , 0;
2.若向量a 3b垂直于向量7a 5b,a 4b垂直于向量
7a 2b,决定向量a和b间的夹角.
(a
3b)
(7a
5b)
0
7
|
a
|2
16a
b
15
|
b
|2
0 ,
(a 4b) (7a 2b) 0 7 | a |2 30a b 8 | b |2 0
2a b | b |2,| a || b |,
2.在Oz轴上与点A(4,1,7), B(3,5, 2)等距离的
点是
(0,0, 14) . 9
解 设所求点的坐标为(0,0, z),则
42 12 (z 7)2 32 52 (z 2)2,
z 14 ,所求点为(0,0, 14).
9
9
3.与三坐标轴正向成等角的单位向量是 1 (1,1,1) . 3
a12 a22 a32 b12 b22 b32 | a | | b | | a | | b | | cos(aˆ, b) | | a b || a1b1 a2b2 a3b3 | .
2.证明: 对任意的向量a,b,都有 || a b ||2 (a b)2 || a ||2|| b ||2 .
解 设所求向量为 (cosa,cosb,cosc),则
cosa cosb cosc, cos2 a cos2 b cos2 c 1, cosa cosb cosc 1 ,
3
1 (1,1,1).
3
4.向量AB的终点为B(2,1,7),且在x轴, y轴, z轴上的 投影依次为4,4,7,则起点A的坐标是 (2,3,0) .
4.平面2x 2 y z 5 0与各坐标面的夹角余弦分
别是
2,2,1 333
5.平面ax by cz 1(abc 0)与三个坐标面围成的
四面体体积V
1
6 | abc |
.
6.直线 2xx
y z 1 的对称式方程是 yz4
x1 y1 z1
x5 (3
y 2 3
z)
2 1
3
2
第五章向量代数与空间解析几 何
§5.1向量及其运算p.1
一.填空题
1.点M (4, 3,5)到Ox轴,Oy轴,Oz轴及原点O的距离分别是 d(M, x) 34 d(M, y) 41 , d(M,z) 5 , d(M,O) 5 2 .
解 d(M , x) (3)2 52 34. d(M , y) 42 52 41. d(M , z) 42 (3)2 5. d(M ,O) 42 (3)2 52 5 2.
2 | a | | b | cos | b |2 | a | | b |,
cos 1 , .
2
3
3.设 || a ||
3 ,||
b
||
1,(a
ˆ,
b)
6
, 计算以a
2b与a
3b
为邻边的平行四边形面积.
解 | (a 2b) (a 3b) |
ห้องสมุดไป่ตู้
| a a 3a b 2b a 6b b |
PA, PB共线 1 t 2 1 t , r 2 r 5 3r
r 5, 4
PB ( 5 , 3 , 5) 1 (5, 3,5), 44 4 4
所求直线方程为 x 2 y 1 z 2 . 5 3 5
三.证明题p6
三.设M0是直线L外的一点,M是直线L上的任意一点,
且直线L的方向向量为s,证明:点M0到L的距离
2.同时垂直于a (2,2,1)与b (4,5,3)的单位向量是
1 (1,2,2) 3
.
3.以a (1,3,1)和b (2,1,3)为两边的平行四边形
的面积S 3 10 .
4.已知a (2,1,1),b=(3,0,1),
则sin(aˆ, b)
1 11 165 2 15 30
.
5.已知
|
a
|
5,|
b
|
8,
且(aˆ,
b)
3
,
则
||
a
b
||
7
.
6.已知a (1,1,4),b (1,2,2),则Pr j a b
3 .
(aˆ, b)
3 .
4
7.设a (3,5,2),b (2,1,4),又a b与z轴垂直,则
, 满足关系式 2
.
二.计算题p3
1.a (2,3,1),b (1,1,3),c (1,2,0),计算 : (1) (a b)c (a c)b; (2) (a b) (b c); (3) (a b) c. 解 (1) (a b)c (a c)b
(2 1 (3)(1) 1 3)c (2 1 (3)(2))b 8(1,2,0) 8(1,1,3) (0,8,24);
(2) (a b) (b c) (3 4,4) (2,3,3) (0,1,1);
(3) (a b) c (2,3,1) (1,1,3) c (8,5,1) (1,2,0) 2.
443 443 443
(5)求与平行的单位向量为 ( 13 , 7 , 15 ).
443 443 443
三.证明题p2
三.设ABC的重心为G,O是坐标原点,OA r1,OB r2,
OC
r3 ,求证:OG
1 3 (r1
r2
r3 ).
C
证明 OG OA AG r1 AG,
OG OB BG r2 BG,
(3)用 0 , 0 , 0表示 , , . 解 (1) || || 3, || || 38, || || 3;
(2) 0
1 (1,1, 2),
0
3
0 1 (2, 1, 2);
3
1 (2, 3,5), 38
(3) 3 0, 38 0 , 3 0 .
2.ABC的边BC五等分,分点依次为D1, D2, D3, D4,再把
1 3.
7.点(3,1,1)关于平面6x 2 y 9z 96 0的对称
点是 (9,5,17)
.
8.过点(0,2,4)且同时平行于平面x 2z 1和 y 3z 2的直线方程是
x y2 z4
2 3
1
x 2z - 8 0
(
y
-
3z
10
) 0
.
二.计算题p5
二.1.求过点M0(1,1, 1)且垂直于M0与M (2, 1,1)连线 的平面方程.