人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷(解析版)

人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝1

2

∠ABE，∠BAC＝90º，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90º，∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，

∵BF ＝AB ,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，

∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF ＝EC ，

∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，

∴AB=BF=AC=3+x ，

∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，

∵∠BAC ＝90º，

∴222AB AE BE +=，

∴222

(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）

∴BF=3+x=3+1=4.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

2．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F .

（1）如图 1，求BFC ∠的度数；

（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：

2EAC EDF ∠=∠；

（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连接 HN ，若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.

【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.

【解析】

【分析】

（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，

GB GK DG ==，所以

DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以

2CAE EDF ∠=∠．

（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，

所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122

DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.

【详解】

（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以

CAE CGE ∠=∠，

由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，

设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=， 在AB 上截取AK AD =，连接KG ，

因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，

所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为

2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．

（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以