北师大版八年级数学期中知识点复习(供参考)
八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)
八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2∵BD=0.5，∴CD=2222.2222.25在RtECD中，5∴EC=1.5（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：尽限于直角三角形2、勾股定理的逆定理15.05.答：梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例5.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，算术平方根定义如果一个非负数某的平方等于a，即某2a那么这个非负数某就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2.无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即某2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2 -1,n2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积（3）判定三角形形状：a2+b2＞c2锐角~，a2+b2=c2直角~，a2+b2＜c2钝角~判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。
2022-2023学年北师大版八年级上册数学期中复习试卷含答案解析
2022-2023学年北师大新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．分别以下列各组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12；③2，2，3；④7，24，25；其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．52．36的平方根是（）A．±6B．6C．﹣6D．3．下列各式计算正确的是（）A．﹣＝5B．（﹣）2＝4C．＝±4D．4．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），点P（m，n）在直线y＝﹣3x+5上运动，设PO﹣PA 的值为w，则下面能够大致反映w与m的函数关系的图象是（）A．B．C．D．5．估计×的运算结果应在（）A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间6．已知直线y＝2x经过点（1，a），则a的值为（）A．a＝2B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝17．y关于x函数y＝﹣x+m的图象与x轴的交点是（﹣2，0），它与y轴的交点是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，0.5）D．（0，﹣0.5）8．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（）A．﹣2＜y＜0B．﹣4＜y＜0C．y＜﹣2D．y＜﹣49．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣7，3），点B的坐标为（3，3），则线段AB的位置特征为（）A．与x轴平行B．与y轴平行C．在第一、三象限的角平分线上D．在第二、四象限的角平分线上10．实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（）A．6B．﹣6C．2a﹣12D．无法确定二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．点A在直线y＝2x﹣4上运动，当线段OA最短时，OA的长度为．13．直角三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值为．14．如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A．B两点对应的实数是和﹣1，则线段BC的长为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A坐标为（3，0），顶点B的横坐标为﹣1，点E是AD的中点，则OE＝．三．解答题（共7小题，满分55分）16．（15分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．17．（5分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为300克/立方米；在海拔高度2000米的地方，空气含氧量约为240克/立方米．（1）求出y与x的函数表达式；（2）已知某山的海拔高度为1500米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？18．（6分）阅读下面问题：＝＝；＝＝＝＝﹣2；…试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值；（3）的值．19．（6分）已知5a+2的立方根是3，4b+1的算术平方根3，c是的小数部分，求a﹣b+c的值．20．（6分）如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）．（1）描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标；（2）连接AB、A1B、AA1，△ABA1的面积为；（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QB的长度最短．21．（8分）如图，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处．木杆折断之前有多高？22．（9分）已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q 不重合），则称点P为图形W关于点M的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）若点M的坐标为（2，0），则在P1（3，0），P2（4，2），P3（5，1）中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是；（2）点N的坐标为（2，t），若在直线y＝x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；（3）点G为正方形ABCD边上一动点，直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：①62+82＝100＝102，符合勾股定理的逆定理；②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理；③22+22≠32，不符合勾股定理的逆定理；④72+242＝252，符合勾股定理的逆定理．故选：B．2．解：36的平方根是±6，故选：A．3．解：A．﹣＝﹣5，故此选项不合题意；B．（﹣）2＝2，故此选项不合题意；C．±＝±4，故此选项符合题意；D.，根号下是负数无意义，故此选项不合题意．故选：C．4．解：∵点P（m，n）在直线y＝﹣3x+5上运动，∴当m＝0时，n＝5，即P（0，5），∴PO＝5，∵A点坐标为（3，4），∴PA＝＝，∴PO﹣PA＝5﹣＞0，故B错误，不符合题意；当m＝1时，n＝﹣3+5＝2，即P（1，2），∴PO＝＝，∵A点坐标为（3，4），∴PA＝＝2，∴PO﹣PA＝﹣2＜0，故C错误，不符合题意；在△POA中，根据三角形三边关系PO﹣PA＜OA，∵OA＝＝5，∴PO﹣PA＜5，故D错误，不符合题意；故选：A．5．解：原式＝+2＝3+2，∵≈2.236，∴7＜3+2＜8．故选：C．6．解：∵直线y＝2x经过点（1，a），∴a＝2×1＝2，故选：A．7．解：把交点（﹣2，0），代入y＝﹣x+m，得m＝﹣2，m就是一次函数与y轴交点的纵坐标，所以它与y轴的交点是（0，﹣2）．故选：B．8．解：一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，﹣4），∴b＝﹣4，与x轴点（2，0），∴0＝2k﹣4，∴k＝2，∴y＝kx+b＝2x﹣4，∴x＝（y+4）÷2＜1，∴y＜﹣2．故选：C．9．解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣7，3），点B的坐标为（3，3），∴点A与点B的纵坐标相同，∴线段AB与x轴平行．故选：A．10．解：∵由图可知4＜a＜8，∴a﹣3＞0，a﹣9＜0，∴原式＝a﹣3+9﹣a＝6．故选：A．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．解：当线段OA⊥直线y＝2x﹣4时，线段OA最短，则直线OA的解析式为：y＝﹣x，解得：，∴点A的坐标为（，﹣），∴OA的长度＝＝，故答案为：．13．解：直角三角形的三边长分别为2，5，x，不能确定5和x的值的大小，要分类讨论（1）x＞5，则存在x2＝22+52，解得x＝，（2）x＜5，则存在22+x2＝52，解得x＝，故答案为或．14．解：AB＝﹣（﹣1）＝+1，BC＝2AB＝2（+1）＝2+2，故答案为：2+2．15．解：过B点作BE⊥x轴于点E，则∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠DOA＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝DA，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，在△ABE和△DAE中，，∴△ABE≌△DAE（AAS），∴BE＝OA，AE＝DO，∵点A坐标为（3，0），顶点B的横坐标为﹣1，∴OA＝3，OE＝1，∴BE＝3，DO＝AE＝4，∴AB＝AD＝，∵点E是AD的中点，∴OE＝AD＝2.5．三．解答题（共7小题，满分55分）16．解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝2﹣+2﹣3＝﹣1；（3）原式＝＝2；（4）原式＝2﹣2+1++4﹣1﹣2＝6﹣3；（5）原式＝1+4﹣3+3＝5．17．解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b，解得k＝﹣0.03，b＝300，即y与x的函数表达式是y＝﹣0.03x+300；（2）将x＝1500代入y＝﹣0.03x+300得，y＝﹣0.03×1500+300＝﹣45+300＝255（克/立方米），即某山的海拔高度为1500米，该山山顶处的空气含氧量约为255克/立方米．18．解：（1）原式＝＝3﹣2；（2）原式＝＝﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝10﹣1＝9．19．解：由已知得：5a+2＝27，4b+1＝9，c＝﹣3，解得：a＝5，b＝2，c＝﹣3，所以：a﹣b+c＝5﹣2+﹣3＝．20．解：（1）如图所示，A1的坐标为（1，﹣3）；故答案为：（1，﹣3）；（2）如图所示，△ABA1的面积为×6×3＝9，故答案为：9；（3）如图，连接A2B，交y轴于Q，此时，QA+QB的长度最短．21．解：∵木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形，∴BC＝，∵AB＝6尺，AC＝8尺，∴BC＝＝10（尺），∴木杆的高度＝AB+BC＝6+10＝16（尺）．22．解：（1）设Q（x，y）是正方形ABCD上一点，则有，，解得：，∵（1，0）在正方形ABCD上，∴P1是正方形ABCD关于点M的倍点；同理可得：P2不满足条件，P3满足条件，∴正方形ABCD关于点M的倍点为P1，P3，故答案为：P1，P3；（2）设直线y＝x上存在的点的坐标为（a，b），正方形上的点的坐标为（x，y），则，解得：，∵点（a，b）在直线y＝x上，则a＝b，∴y﹣x＝2t﹣4，∵﹣2≤y﹣x≤2，即﹣2≤2t﹣4≤2，解得：1≤t≤3；（3）（3）直线y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣b；当x＝0时，y＝b，∵点G为正方形ABCD边上一动点，直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣b，0），F（0，b），若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，则，点G在线段AB上时，点G的横坐标为﹣1，纵坐标在﹣1～1之间，此时，﹣3≤﹣b≤﹣1且﹣3≤b≤3，即1≤b≤3；点G在线段BC上时，点G的纵坐标为﹣1，横坐标在﹣1～1之间，此时，﹣3≤b≤﹣1且﹣3≤﹣b≤3，即﹣3≤b≤﹣1；点G在线段CD上时，点G的横坐标为1，纵坐标在﹣1～1之间，此时，1≤﹣b≤3且﹣3≤b≤3，即﹣3≤b≤﹣1，点G在线段AD上时，点G的纵坐标为1，横坐标在﹣1～1之间，此时，1≤b≤3且﹣3≤﹣b≤3，即1≤b≤3，综上所述，b的取值范围是﹣3≤b≤﹣1或1≤b≤3．。
最新北师大版八年级数学上册期中考试重难点题型(含解析版)
八年级上册期中考试重难点题型汇编【举一反三】【北师大版】【知识点1】勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。
【知识点2】实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，记作：a 的算术平方根。
（2）性质：①当a ≥0；当a ＝a a =。
2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3a ，那么x 是a（2a =；②3a =3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
5．算术平方根的运算律： （a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b ＞0）。
【知识点3】位置的确定1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同，则AB ∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
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8
7.在平行四边形ABCD中, AD∥BC,AC⊥AB,AB=4,
AC=6, 则BD=__1_0_____.
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9
8.如图，平行四边形ABCD的周
长为= (16 4 7)cm .
A
D
6cm B
8cm C
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10
9.如图平行四边形ABCD，添加一
个条件使它成为一个矩形, 你会加
② 一个正方形的面积是7cm2，
则该正方形的边长是 7cm .
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7
6. ①平行四边形ABCD中, ∠B=105o, 则∠A=__7_5_o __, ∠D=__1_0_5_o_.
②将一个等腰直角三角绕着它的 斜边上的中点旋转180º, 所得的三角 形与原来的三角形拼成的图形是 __正__方__形_____。
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2
1. 5的平方根是____5_; 32的算术平方根是__3__; -8的立方根是___-2__.
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3
3
2. 3 的倒数是 3 ， 3 -1的相反数是 1 3，
︱ 2 - 3︱= 3 2 .
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4
3.
9=
16
3 4
,±
1.44 =±1.2 ,
3 64 = -4 ，
（B ）
A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm
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7.下列说法正确的是（ B ） A.两组对边分别平行的四边形是矩形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.有两个角是直角的四边形是矩形 D.有一个角是直角，一组对边平行的四 边形是矩形
北师大八年级数学上册总复习(知识点+例题)
北师大版八年级数学上册知识点及典型习题讲解目录《勾股定理》全章复习与巩固 (2)《实数和二次根式》全章复习与巩固 (8)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (16)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (24)《二元一次方程组》 (32)《平行线的证明》全章复习与巩固 (41)《勾股定理》全章复习与巩固要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形． 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.举一反三：a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用222BD AB BC =+例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？《实数和二次根式》全章复习与巩固要点一、平方根和立方根 类型 项目平方根立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论要点二、无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数532知识点2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
北师大版数学八年级上册知识点复习提纲
北师大版数学八年级上册知识点复习提纲第一章勾股定理1、勾股定理：若a，b，c分别为直角三角形的两直角边与斜边则满足a2+b2=c2。
2、直角三角形的判别法已知三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，另外有两锐角互余的三角形是直角三角形，一边上的中线等这一边的一半的三角形是直角三角形。
3、问题的转化（1）表面路径最短的问题,一般用侧面展开法,展成平面后,运用勾股定理. （2）空间距离问题,一般从立体图形中找到直角三角形并运用勾股定理.第二章实数1、无理数定义：无限不循环小数叫无理数。
2、算术平方根、平方根、立方根（1）正数a的平方根有两个，即+ ，其中叫做a的算术平方根。
0的平方根、算术平方根都是0，负数没有平方根。
（2）一个实数a的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0立方根是0。
3、实数（1）有理数和无理数统称为实数。
（2）实数和数轴上的点是一一对应的。
（3）在实数范围内许多有理数范围内学过的基础知识都适用。
①相反数实数a的相反数是-aa a＞0②绝对数实数a的绝对值：│a│=｛0 a=0-a a＜0③倒数实数a的倒数有（a≠0）④有理数范围内运算法则与运算律在实数范围内仍成立。
第三章图形的平移与旋转1、平移定义和规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样饿图形运动称为平移。
关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向。
（2）平移规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等。
（3）简单作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移的作图，就是把整个图案的每一个特征按一定方向和一定的距离平行移动。
2、旋转的规律（1）定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向。
（2）旋转的规律：经过旋转，图形上每一个点都饶旋转中心沿相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
八年级上册北师大版数学知识点(精品4篇)
八年级上册北师大版数学知识点(精品4篇）八年级上册北师大版数学知识点（1）轴对称一、知识框架：二、知识概念：基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等(等边对等角).③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(1条).⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(3条).基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.八年级上册北师大版数学知识点（2）全等三角形一、知识框架：二、知识概念：基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.八年级上册北师大版数学知识点（3）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.八年级上册北师大版数学知识点（4）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.。
北师大版八年级上册数学期中考试知识点
⎪⎩⎪⎨⎧-=<===>=a a a a a a ,00,0,02()a a =2北师大版八年级上册数学期中考试知识点梳理█第一章：勾股定理1、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
222c b a =+（直角三角形的一个性质）2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，它的三边分别是a 、b 、c ，若三边满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
(直角三角形的一个判别方法)█第二章：实数1、无理数：无限不循环小数2、平方根：（1）性质：a 正数有2个平方根，一正一负，其中我们把正的平方根叫做算术平方根。
2个平方根互为相反数。
b0的平方根是它本身。
c 负数没有平方根（2）a ±：a 的平方根；a ：a 的算术平方根；a -：a 的负的平方根。
（3）平方根等于其本身的数是：0 ；算术平方根等于其本身的数是：0、13、立方根：（1）性质：a 正数的立方根是正数；b0的立方根是0；c 负数的立方根是负数。
（2）a a =33 ()a a =33 33a a -=-（3）立方根等于其本身的数是：0、+1、－14、实数：（1）分类方法：1、有理数、无理数；2、正实数、0、负实数（2）实数和数轴上的点是一一对应的关系。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点都代表一个实数。
（3）实数中相反数、绝对值、倒数的意义和有理数相同（4）加法及乘法的各种运算律在实数范围同样可以使用。
（5）实数的加减运算 同类根式：化简后被开方数相同，根指数相同（6）实数的乘除运算：)0,0(≥≥=•b a ab b a )0,0(>≥=b a b a ba （7）实数的化简：a 、将一个数分成2个因数的乘积，一个可以被完全开方，另一个则不能被开方。
当数比较大时，我们可以利用分解因数的方法，逐步分解。
b 、分母有理化█第三章：平移与旋转1、平移（1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
期中考试考前复习-北师大版八年级上册数学
北师大版八年级上册数学期中考试考前复习靶向分层培优解答题专练（特殊的平行四边形）基础题型1.如图,在Rt△ABC中,ACB=90°,点点DE分别是边AB，AC的中点,延长BC至F,使CF=1BC.若AB=12,则EF的长是多少？22. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC，AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形3.如图,在菱形ABCD中，∠CBAD:∠B=1∶3,DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F.若△PDF的周长为4,则菱形ABCD的面积为多少？4. 如图,在RtΔABC中，AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则线段EF的最小值为多少？5.如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕.已知AB=6，BC=10.当折痕GH最长时,线段BH的长为多少？6.如图,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1，CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是多少？7.如图，O是矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC，CE∥BD。
(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠AOD=120°,DE=3,求菱形OCED的面积。
提升题型1.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上的一点，F是CB延长线上一点,连接CE,EF,AF,AE.若DE=DC,EF=EC,则∠AFE的度数为多少？AC,连2. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点D作DE∥AC且DE==12接CE,OE,连接AE交OD于点F.(1)求证:0E=CD; (2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°求AE的长.3. 已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,且AE=AD,DF⊥AE于点F。
(1)求证:CE=FE; (2)若FD=5CE=1,求矩形ABCD的面积。
新北师大版八年级数学上册期中复习专项训练
期中复习（第一章——第四章）一、勾股定理（一）、主要知识1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。
如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________ 【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。
2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。
（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为______________。
3、勾股定理的应用（二）、典型考题一.勾股定理中方程思想的运用例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2．已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的面积。
三.勾股定理中类比思想的运用例题3．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3（1）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明C BA四.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4=_____．五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？（三）、练习题1、如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B 与点C 的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ．5√21 B. 25 C. 10√5+5 D. 352、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处； （1）求证：B′E=BF ；（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．3、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°4、如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.5、如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB = a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为 ．AC第4题图A 时B 时45︒60︒A ′ BMAODC第3题第5题二、实数（一）、主要知识1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a .若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.（二）、典型考题类型一．有关概念的识别例题1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4类型二．计算类型题例题2．设，则下列结论正确的是（ ） A.B.C.D.类型三．数形结合例题3. 点A 在数轴上表示的数为，点B 在数轴上表示的数为，则A ，B 两点的距离为______例题4、已知实数、、在数轴上的位置如图所示 化简类型四．实数绝对值的应用实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数负无理数)0(>a3．绝对值： =a a 0a -)0(=a )0(<a例题5．化简下列各式： (1) |-1.4|= (2) |π-3.142| = (3) |-| =(4) |x-|x-3|| (x ≤3)= (5) |x 2+6x+10|= 例题6、化简：类型五．实数非负性的应用例题7．已知：=0，求实数a, b 的值。
北师大版八年级上册数学期中考试整理复习
课 题 八年级数学上册期中考试整理复习教学目标1.勾股定理，实数的复习2.函数的具体应用重点、难点1. 用数形结合的方法解决实际问题2. 易错题练习教学内容【温故知新】【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（kb-，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．【回归课本】1．若直角三角形的三边长为6，8，m ，则2m 的值为（ ）k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限第 象限第 象限 性质y 随x 的增大 而y 随x 的增大而而y 随x 的增大 而y 随x 的增大 而A ．10B ．100C ． 28D ．100或282．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ）A ．365B ．125C ．9D ．6那么化简2a b a --的结果是 ( ) 3．a 、b 在数轴上的位置如图所示，（A ）b a -2 （B ）b（C ）b - （D ）b a +-24．已知：5=a ，72=b ，且b a b a +=+，则b a -的值为（ ） （A ）2或12 （B ）2或－12 （C ）－2或12 （D ）－2或－12 5．下列四个数中，是负数的是（ ） A ．2- B . 2)2(- C .2- D .2)2(-6．在平面直角坐标系中，点P （－1，l ）关于x 轴的对称点在（ ）。
北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题(含答案) (1)
北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；米/分；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11、如图1，正方形OAB C，其中O是坐标原点，点A（3，1）．（1）直接写出点B、C的坐标；（2）对于两条直线l：y＝k x+b和l：y＝k x+b，若有k•k＝﹣1，则可得l⊥l．比111122221212如：l：y＝x+1和l：y＝﹣x+3，因为，所以l⊥l．112212连接AC、OB，已知AC交y轴于点M，证明：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）如图2，已知点D在第四象限，A D∥y轴，且A D＝3，P是直线OB上一点，连接PA、P D、A D，求△PAD的周长最小值．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）222（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．参考答案1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．【解答】解：（1）△BEF是等腰三角形．∵E D∥F C，∴∠DEF＝∠BFE，根据翻折不变性得到∠DEF＝∠BEF，故∠BEF＝∠BFE．∴BE＝BF．△BEF是等腰三角形；（2）∵矩形ABC D沿EF折叠点B与点D重合，∴BE＝DE，B G＝C D，∠EB G＝∠A D C＝90°，∠G＝∠C＝90°，∵AB＝C D，∴AB＝B G，设BE＝DE＝x，则AE＝AB﹣DE＝8﹣x，22在Rt△ABE中，AB+AE＝BE，222即4+（8﹣x）＝x，2解得x＝5，∴BE＝5，∵∠ABE+∠EBF＝∠ABC＝90°，∠GBF+∠EBF＝∠EB G＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，在△ABE和△M B F中，，∴△ABE≌△GBF（ASA），∴BF＝BE＝5，∴△EBF的面积＝×5×4＝10．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为（0，﹣3）；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝3，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+O F＝O B+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+O B＝6．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB、O C的函数表达式得：，，点C（4，4）；②直线AB的解析式：y＝﹣2x+12令y＝0，则x＝6，即OA＝6，S＝×OA×y＝×6×4＝12；△CO A C（2）O N是∠A O C的平分线，且AB⊥O N，则点A关于O N的对称点为点C，A O＝O C＝4，当C、Q、P在同一直线上，且垂直于x轴时，A Q+P Q有最小值CP，22设：CP＝OP＝x，则2x＝4＝16，解得：x＝2＝C P．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【解答】解：（I）如图1所示，过M作M E⊥x轴于E，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），∴M E＝|m|＝﹣m，∴S△AB M＝AB×M E＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（I I）设B M交y轴于点C，如图2所示：设P（0，n），当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△AB M＝﹣2m＝3，∵在y轴上有一点P，使得△B M P的面积＝△ABM的面积相等＝6，∵△B M P的面积＝△M P C的面积+△BP C的面积＝PC×2+PC×3＝3，解得：PC＝，设直线B M的解析式为y＝kx+d，把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，∴直线B M的解析式为y＝当x＝0时，y＝﹣∴C（0，﹣），O C＝x﹣，，，当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，﹣），即P（0，）；）或（0，）．）；综上所述，符合条件的点P坐标是（0，﹣5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABC D是正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝∠ABF＝∠BCE＝90°，∴∠EBC+∠AB O＝90°，∠AB O+∠BAF＝90°，∴∠EBC＝∠FAB，∴△ABF≌△BCE（ASA）．（2）解：如图2中，在Rt△E OF中，∵EF＝5，OF＝1，∴OE＝＝＝7，∵OB＝2，∴EB＝5，∵BF＝＝，∵△ABF≌△BCE，∴EC＝BF＝，在Rt△EBC中，B C＝＝2．∴正方形ABC D的边长为2．（3）解：如图3中，作D H⊥x轴于H，则△A D H≌△BA O（AAS）．可得A H＝O B＝2，①当DA＝DP时，∵⊥，1D H AP1∴A H＝H P＝2，1∴AP＝4．1②当A D＝AP时，＝＝AP AB22．2③当P＝A P DP M A时，由△A OB∽△，可得3＝，33∴＝，∴AP＝5，3综上所述，满足条件的AP的值为4或2或5．6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．【解答】（1）证明：∵△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝D C，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE+∠AC D＝90°，∠D CB+∠AC D＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：∵△ACE≌△BC D，∴∠EAC＝∠CBD，AE＝B D，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBD＝45°，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵CB＝3，∴AB＝6∵A D＝2，∴B D＝4，在Rt△AE D中，∵AE＝B D＝4，AD＝2∴DE＝＝2．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．【解答】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠E DA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AED（AAS），∴CE＝DE，A C＝A D＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，B D＝25﹣15＝10在Rt△BE D中22∴x+10＝（20﹣x），2∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当A D＝A C时，△AC D为等腰三角形∵AC＝15，∴A D＝A C＝15．②当C D＝A D时，△AC D为等腰三角形∵C D＝A D，∴∠D CA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠D CA+∠BC D＝90°，∴∠B＝∠BC D，∴B D＝C D，∴C D＝B D＝D A＝12.5，③当C D＝A C时，△AC D为等腰三角形，如图1中，作C H⊥BA于点H，则•AB•C H＝•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴C H＝12，在Rt△AC H中，A H＝＝9，∵C D＝A C，C H⊥BA，∴D H＝H A＝9，∴A D＝18．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+4交X轴和y轴于点A和点B ∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2∴A（2，0），B（0，4）（2）设点P（a，﹣2a+4）①如图，当点P在x轴上方时，则S△APC＝S△ABC﹣S△BPC∴4＝∴a＝，把a＝代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝∴P（，）②如图，当点P在x轴下方时则S△APC＝S△BP'C﹣S△AB C∴4＝∴a＝把a＝∴P'（，代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝﹣，，﹣）（3）当∠ABE＝°，设直线BE：y＝kx b45+如图，过点A作A D⊥AB交BE于点D，过点D作D H⊥x轴∵∠ABE＝45°，∴△BA D为等腰直角三角形，∴AB＝A D，∠BAD＝90°，∴∠BA O+∠DA H＝90°，∠DA H+∠A D H＝90°，∴∠BA O＝∠A D H，在△A OB与△D H A中，∴△A OB≌△D H A（AAS），∵OA＝2，OB＝4∴O H＝4，D H＝2∴D（6，2）∵B（0，4）∴．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为95米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b，∵1×（95﹣60）＝35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；（3）∵线段F G∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7＝490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米，由题意得，60x+70﹣95x＝28，解得，x＝1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70＝28，解得，x＝2.8．4分钟﹣7分钟，直线G H经过点（4，35）和点（7，0），则直线G H的方程为y＝﹣当y＝28时，解得x＝4.6，x+，答：两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴O C＝2，∵S△A O C＝10，∴OA•O C＝10，∴OA×2＝10，∴OA＝10，∴A（﹣10，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵点P（2，m）在直线AC上，∴m＝×2+2＝；（2）方法1、设直线B D的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），∵P（2，），，∴2k'+b'＝∴b'＝﹣2k+，∴直线B D的解析式为y＝k'x﹣2k'+令x＝0，，∴y＝﹣2k'+，∴D（0，﹣2k'+令y＝0，），∴k'x﹣2k'+∴x＝2﹣∴B'（2﹣＝0，，），∴OB＝2﹣）×，∵S△B OP＝（2﹣∵S△B OP＝S△D O P，，S△D O P＝（﹣2k'+）×2，∴（2﹣）×＝（﹣2k'+）×2，∴k'＝（舍）或k＝﹣，∴直线B D的解析式为y＝﹣x+方法2、设点D（0，m），B（n，0），∵S △B OP ＝S △D O P ，∴点 P （2，∴n ＝4，m ＝ ）是线段 B D 的中点， ，∴直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+（3）由（2）知，直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+， ∴D （0， ∴OB ＝4，O D ＝ ∴S △B O D ＝ OB •O D ＝ ×4×），B （4，0），，＝ 由（1）知，A （﹣10，0），直线 A C 的解析式为 y ＝ x+2，设 Q （a ， a+2），∴S △QA O ＝ OA •|y |＝ ×10×| a+2|＝|a+10|，Q ∵△QA O 的面积等于△B O D 面积，∴|a+10|＝ ∴a ＝﹣ 或 a ＝﹣ ∴Q （﹣ ， ）或（﹣，，，﹣ ）． 11、如图 1，正方形 OAB C ，其中 O 是坐标原点，点 A （3，1）．（1）直接写出点 B 、C 的坐标；（2）对于两条直线 l ：y ＝k x+b 和 l ：y ＝k x+b ，若 有 k •k ＝﹣1，则可得 l ⊥l ．比 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 如：l ：y ＝ x+1 和 l ：y ＝﹣ x+3，因为，所以 l ⊥l ． 1 1 2 2 1 2 连接 AC 、OB ，已知 AC 交 y 轴于点 M ，证明：AC 、O B 所在的直线互相垂直；（3）如图 2，已知点 D 在第四象限，A D ∥y 轴，且 A D ＝3，P 是直线 OB 上一点，连接 PA 、P D 、A D ，求△PAD 的周长最小值．【解答】解：（1）由图象的旋转知，点C的坐标为（﹣1，3），过点B作x轴的平行线，交过点C与x轴的垂线于点M，M N⊥x轴，交x轴于点N，∵∠NC O+∠CB M＝90°，∠BC M+∠M B C＝90°，∴∠M B C＝∠N C O，∠CN O＝∠B M C＝90°，C O＝CB，∴△CN O≌△BM C（AAS），∴CN＝B M＝3，C M＝O N＝1，∴点B的坐标为（2，4）；（2）把点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，则直线AC的表达式为：y＝﹣x+，同理得直线O B的表达式为：y＝2x，两直线的k乘值为﹣1，故：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）点A关于直线OB的对称点为C，连接C D，交直线OB于点P，则△PA D的周长最小，点D的坐标为（3，﹣2）、点C坐标为（﹣1，3），△PAD的周长＝AP+A D+P D＝3+CD，C D＝＝，故：△PAD周长的最小值为：3+．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：∵四边形OAB C为矩形，∴AB＝O C，∠B＝∠A O C＝90°，∴C D＝O C＝AB，∠D＝∠A O C＝∠B，又∠CE D＝∠ABE，∴△C D E≌△ABE（AAS），∴CE＝AE；（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，222可得（8﹣n）+4＝n，解得：n＝5，∴E（5，4）；（3）∵S△ACE＝•CE•AB＝×5×4＝10，∴S△P OA＝•OA•y＝10，P∴×8×y＝10，P∴y＝，P∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）设直线b的解析式为：y＝kx，把（2，2）代入y＝kx得，k＝1，∴直线b的解析式为：y＝x；设直线c的解析式为：y＝kx+b，把点（2，2），点（0，3）代入得，，∴，∴直线c的解析式为：y＝﹣x+3；（2）∵当x＝t时，y＝x＝t；当x＝t时，y＝﹣x+3＝﹣t+3，∴E点坐标为（t，﹣t+3），D点坐标为（t，t）．∵E在D的上方，∴DE＝﹣t+3﹣t＝﹣t+3，且t＜2，∵△P DE为等腰直角三角形，∴PE＝D E或P D＝D E或PE＝P D．t＞0时，PE＝DE时，﹣t+3＝t，∴t＝，﹣t+3＝∴P点坐标为（0，，），①若t＞0，P D＝D E时，﹣t+3＝t，∴t＝．∴P点坐标为（0，）；②若t＞0，PE＝P D时，即DE为斜边，∴﹣t+3＝2t，∴t＝，DE的中点坐标为（t，t+），∴P点坐标为（0，）．若t＜0，PE＝DE和P D＝D E时，由已知得DE＝﹣t，﹣t+3＝﹣t，t＝6＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在．③若t＜0，PE＝P D时，即DE为斜边，由已知得D E＝﹣2t，﹣t+3＝﹣2t，∴t＝﹣6，t+＝0，∴P点坐标为（0，0）综上所述：当t＝时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；当t＝时，△PD E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝﹣6时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：A G＝cm＞A G＝cm＞A G＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（C m）．15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；222（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【解答】解：（1）∵S AB C D＝2×ab+c2梯形S AB C D＝（a+b）（a+b）梯形∴2×ab+c＝（a+b）（a+b）2∴2ab+c＝a+2ab+b222∴c＝a+b．222（2）连接B D，如图：SSAB C D＝c2+a（b﹣a），AB C D＝ab+b2，四边形四边形∴c+a（b﹣a）＝ab+b，22∴c＝a+b．222（3）①设O C＝a，则AC＝4﹣a，又AB＝5，根据翻折可知：B D＝AB＝5，C D＝AC＝4﹣a，O D＝B D﹣O B＝5﹣3＝2．在Rt△C O D中，根据勾股定理，得（4﹣a）＝a+4，22解得a＝．∴C（0，），D（2，0）．答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．②如图：当点M在x轴正半轴上时，C M＝D M，设C M＝D M＝x，则x＝（2﹣x）+（），解得x＝2，22∴2﹣x＝，∴M（，0）；C D＝M D，＝4﹣＝，2+＝，∴M（，0）；当点M在x轴负半轴上时，C M＝C D，∵O M＝O D＝2，∴M（﹣2，0）；D C＝D M，＝4﹣＝，∴O M＝﹣2＝，∴M（﹣，0）．答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5），将点D的坐标代入y＝﹣4x+b并解得：b＝﹣4，故直线l：y＝﹣4x﹣4；2（2）直线l：y＝﹣4x﹣4，则点C（﹣1，0），2直线l：y＝﹣x+5，则直线l的倾斜角为45°，11过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．。
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新北师大版数学八年级上册复习知识点HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】新北师大版八年级上数学第一章到第七章知识点总结第一章 勾股定理【主要知识】1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。
如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。
2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。
（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为______________。
3、勾股定理的应用1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）A ．26B ．18C ．20D ．212、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ）①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17A 、4组B 、3组C 、2组D 、1组3、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形4、下列各组数：①，，；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。
其中是勾股数的有（ ）组A 、1B 、2C 、3D 、45、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )A 、 直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ）A ：5B ：10C ：25D ：57、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
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3.解或解集；能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
4．解不等式；求不等式解集的过程。
10、推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
八年级下册
前四章为
期中考试部分
第一章三角形的证明
1、等腰三角形
2、直角三角形
3、线段的垂直平分线4、角分线回顾与思考复习题
一、复习三角形全等（SAS、SSS、AAS、ASA、HL）
注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角
5.旋转不改变图形的大小和形状。
难点：作图及与坐标系结合求点的坐标
第四章因式分解
1、因式分解
2、提公因式法
3、运用公式法
回顾与思考
复习题
1.定义；把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做多项式的分解因式
注意；必须分解到每个多项式因式不能再分解为止;
（整式乘法与因式分解的过程互逆）
3.因式分解的方法；
A.提公因式法;B.运用公式法;C.十字相乘法
（2)解这个整式方程；
第三章位置与坐标
1确定位置
2平面直角坐标系
3轴对称与坐标变化
回顾与思考
复习题
1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，两条数轴的交点0称为直角坐标系的原点。
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如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
4、常见题型应用：
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则 。
（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b，则a＞b
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“ ”；被开方数a必须是非负数。
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则a≤0。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“ ”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a≥0，
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章勾股定理
1、勾股定理
（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）
（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2
∵BD=0.5，∴CD=2
∴EC=1.5
答：梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例5.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不
解：连结AC，在Rt△ADC中，
在△ABC中，AB2=1521
答：这块地的面积是216平方米。
点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
第二章实数
基本知识回顾
1.无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足 的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（3）判定三角形形状：a2+b2＞c2锐角~，a2+b2=c2直角~，a2+b2＜c2钝角~
判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状
（4）构建直角三角形解题
例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。
解：设两直角边为3x，4x，由题意知：
∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
中考突破
（1）中考典题
例.如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。
例1.
解：
点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“ ”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不，如 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
利用非负数解题的常见类型