图与网络规划
网络计划图的绘制
GanttProject
适用范围
适用于中小型项目，尤 其是需要绘制甘特图的 项目。
优点
完全免费，无需购买许 可证；功能强大，支持 甘特图、任务分配、工 时记录等功能；操作简 单，易于上手。
缺点
相对于大型企业级项目 管理软件，功能较为基 础；定制性相对较弱。
Smartsheet
适用范围
适用于企业级项目管理，提供团队协作和任务管理功能。
解决方案
对关键路径上的活动进行重点关注和优 先处理，确保关键活动按计划进行。同 时，为关键路径上的活动预留一定的缓 冲时间，以应对不可预见的风险。
时间延误问题
问题描述
时间延误是指实际完成时间晚于计划完 成时间的情况，可能导致项目无法按时 交付。
VS
解决方案
加强进度监控，及时发现并解决延误问题 。对于已延误的活动，采取赶工、并行作 业等措施，尽量挽回延误的时间。同时， 分析延误原因，总结经验教训，优化后续 计划安排。
优点
界面友好，易于操作；支持甘特图、任务分配、工时记录 等功能；支持团队协作，方便团队成员共同参与项目管理。
缺点
需要购买许可证，成本较高；对于小型项目而言，可能存 在功能冗余的情况。
THANKS
感谢观看
03
网络计划图的应用
项目管理
项目进度管理
网络计划图可以清晰地展示项目的各个阶段和任务，帮助项目经理 更好地掌握项目进度，及时调整资源分配，确保项目按时完成。
资源优化配置
通过分析网络计划图，项目经理可以了解各项任务之间的关系和依 赖性，从而合理分配人力、物力和财力等资源，提高资源利用效率。
风险管理
背景
随着现代项目管理理论的不断发展，网络计划图在各类工程项目、企业管理、 日常任务管理等领域得到了广泛应用，成为一种重要的管理工具。
图与网络计划评审方法(六七章).jsp
图为网络图（赋权图）
点：表示所研究的事物对象； 边：表示事物之间的联系。 （2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。 （3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为 多重边。
2014-10-26
e0
e1
v1 e5 e3 e4
v0
e2
v2
e6 v3
e7
v4
--8--
--第6章 图与网络分析--
无向图： G= V,E
--19--
E
C
D
2014-10-26
思考题
• 一个班级的学生共计选修A、B、C、D、E、F六门 课程，其中一部分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、E，还有一部 分人同时选修 A 、 B ，期终考试要求每天考一门课， 六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连 续参加考试，试设计一个考试日程表。
Ｖ4
e4
e5
e1 e2
Ｖ2 Ｖ3
v1 ,v2 ,v3 ,v6 ,v7
Ｖ5
是简单链，
e3 e6
是初等链，
v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v1 v4 ,v1 ,v2 ,v3 ,v5 ,v7 ,v6 ,v3 ,v4
是简单圈，
15
e7 e8
Ｖ6
e9
是初等圈，
Ｖ7
w ， vi ,v j ,则称该图为一个赋权图。记作 G= V,E, 。
赋 权 图 ： 设 图 G= V,E ,若对其边集E定义了一个实值函数
称 w vi ,v j , vi ,v j E为边 v i ,v j 的权。
如某工厂内连接六个车间的道路网如入所示，已知每条路长，要求沿道路 架设连接六个车间的电话线路，使电话总长最短。
运筹学网络计划
运筹学网络计划运筹学网络计划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何有效地利用网络资源，以达到最优化的目标。
网络计划在各种工程项目管理中都有着广泛的应用，如建筑工程、交通运输、信息技术等领域。
通过网络计划的合理安排和优化，可以有效地提高项目的执行效率，降低成本，确保项目顺利完成。
本文将介绍运筹学网络计划的基本概念、常用方法和实际应用。
1. 基本概念。
运筹学网络计划是一种用网络图来描述工程项目中各项活动之间的先后关系和时间要求的方法。
在网络图中，活动用结点表示，活动之间的先后关系用边表示。
网络计划主要包括两种图，即顶点表示活动，弧表示活动之间的先后关系的顶点活动网和以弧表示活动，以顶点表示事件的弧事件网。
通过网络图的构建和分析，可以清晰地了解项目中各项活动之间的关系，为项目的合理安排和优化提供依据。
2. 常用方法。
在运筹学网络计划中，常用的方法包括关键路径法（CPM）和程序评审技术（PERT）。
关键路径法主要用于确定项目的关键路径和最短工期，通过对各项活动的时序关系进行分析，找出影响整个项目工期的关键活动和关键路径。
程序评审技术则是在不确定性条件下对项目进行时间和成本的评估，通过对活动时间的概率分布进行分析，找出项目的风险点和潜在的延误活动。
这两种方法在实际项目管理中经常结合使用，以确保项目能够按时完成，并且在预算范围内。
3. 实际应用。
运筹学网络计划在实际项目管理中有着广泛的应用。
以建筑工程为例，通过网络计划可以清晰地了解各项施工活动之间的先后关系，合理安排施工进度，确保工程按时交付。
在交通运输领域，网络计划可以帮助优化交通流量，提高交通运输效率，减少交通拥堵。
在信息技术领域，网络计划可以帮助合理安排软件开发和测试的时间，确保项目按时上线。
总之，运筹学网络计划在各种工程项目管理中都发挥着重要作用，为项目的顺利进行提供了强大的工具支持。
结语。
运筹学网络计划作为运筹学的重要分支，对于工程项目管理具有重要意义。
网络优化图及网络(运筹学)
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
施工计划横道图与网络图
5
6
墙面、柱子造型制作及安装，对墙面进行修补及粉刷涂料
10
10
强弱电改造及预留开关、墙插及总开关
20
11
亚克力板pvc板、立体字等材料制作、运输及现场安装
20
12
吊顶制作安装、装饰线条及踢脚线安装
20
13
顶部灯具安装，灯带安装，天花音响等安装
20
14
墙面灯箱片安装
施工计划横道图
序号
项目
名称
工作
天数
4.4-
4.8
4.9-
4.10
4.14-4.18
4.19-4.28
4.29-5.18
5.19-5.24
5.25-5.26
5.27-5.28
备注
1
与甲方现场交底对接
5
2
进行现场墙面预处理，封门窗，现场进行布局规划及放样
5
3
新建隔墙
2
4
现场墙面基层处理，施工材料采买及运输
20
15
功放机、电源时序器、调音台、空调机、LED电子屏、麦克风等设备的采购安装与调试
6
16
现场建筑垃圾清除与打扫
6
17
展台制作运输摆放到指定地点
2
18
对展厅进行自检与整改
2
施工计划网络图
施工组织设计横道图、网络图
施工组织设计横道图、网络图引言概述：施工组织设计是建筑工程管理中非常重要的一个环节，它通过绘制横道图和网络图来规划和安排施工活动，以确保工程能够按时按质完成。
横道图和网络图是施工组织设计中常用的工具，它们能够清晰地展示工程活动的先后顺序和关联关系，帮助项目团队有效地进行施工计划和资源分配。
一、横道图的设计1.1 确定关键路径：横道图是一种以时间为轴线，以活动为节点，以箭线表示活动之间的先后关系的图表。
在设计横道图时，首先要确定每个活动的持续时间和依赖关系，然后找出最长的路径，即关键路径。
1.2 制定时间表：在确定了关键路径之后，可以根据每个活动的持续时间和依赖关系，制定出整个工程的时间表。
时间表能够帮助项目团队合理安排工作进度，确保工程按时完成。
1.3 调整资源：在设计横道图时，还需要考虑资源的分配和调整。
根据每个活动的资源需求和可用资源量，合理安排资源的使用顺序和时长，以确保工程能够高效地进行。
二、网络图的设计2.1 确定活动顺序：网络图是一种以活动为节点，以箭线表示活动之间的逻辑关系的图表。
在设计网络图时，首先要确定每个活动的先后顺序和依赖关系，以确保工程活动能够按照正确的顺序进行。
2.2 确定活动持续时间：在确定了活动顺序之后，需要对每个活动的持续时间进行估算和确认。
活动持续时间的准确性对整个工程的进度控制至关重要，因此需要认真考虑每个活动的完成时间。
2.3 优化资源利用：设计网络图时还需要考虑资源的利用效率。
根据每个活动的资源需求和可用资源量，合理安排资源的使用顺序和时长，以确保工程能够高效地进行。
三、横道图与网络图的比较3.1 精度和灵活性：横道图在活动的顺序和持续时间方面更为准确，但缺乏灵活性；而网络图在活动的逻辑关系和资源利用方面更为灵活，但精度较低。
3.2 可视化效果：横道图以时间为轴线，清晰展示活动的先后关系；网络图以活动为节点，直观展示活动的逻辑关系。
3.3 应用范围：横道图适用于规模较大、时间较长的工程项目；网络图适用于规模较小、时间较短的工程项目。
网络计划
网络计划图
(9) 网络计划图的布局
尽可能将关键路线布置在网络计划图的中心位置，按工作的先后顺序将 联系紧密的工作布置在邻近的位置。为了便于在网络计划图上标注时间等 数据，箭线水平线或具有一段水平线的折线。在网络计划图上附有时间坐 标或日历进程。
网络计划图
(10) 网络计划图的类型
① 总网络计划图，以整个项目为计划对象，编制网络计划图。供决策 领导层使用；
例2 试画出如下工序信息的网络A
E B,D,C
F E
紧后工序
解：
1 2
E
3
D C
B
6
A
7 4
B
5
5
B
1
A
F
2
E
3
D
C
6
A
7
1
F
2
E
3
D
6
C
7
5
4
这三个图都符合上表工序间紧前、紧后关系的要求，且虚工序个数已经最少； 实际上，还可作出更多。
网络计划图
例3 试画出如下工序信息的网络计划图。
网络计划图
解：
4 C
5
1 A 2 B D 6 E F 3 G H 7 8 I K 10 9 J 11 L M 12 N 13
工作代号 工作名称 持续时间 工作代号 工作名称 持续时间
网络计划图
3. 双代号网络计划图的绘制
以下通过例题来说明双代号网络计划图的绘制。
例1 开发一个新产品，需要完成的工作和先后关系，各项工作 需要的时间汇总在逻辑关系表中，见表11-1。要求编制这项目的 网络计划图和计算有关参数。
网络计划图
表11-1 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 工作名称 产品设计和工艺设计 外购配套件 锻件准备 工装制造1 铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3 装配与调试 工作代号 A B C D E F G H K L 工作持续时间（天） 60 45 10 20 40 18 30 15 25 35 紧后工作 B,C,D,E L F G, H H L K L L /
工程进度计划与措施及施工网络图
工程进度计划与措施及施工网络图本工程施工将按“项目法”全面组织施工，按ISO9001质量体系进行质量管理。
我们遵循：全面推行现场标准化管理，确保施工安全，科学划分施工段，抢赶结构施工工期，合理穿插设备管线安装及装饰，全面落实完成质量、安全、进度、文明施工目标。
第一节、施工组织施工组织主要分为人员组织、机械设备组织、材料组织等三部分，这些组织内容安排是否合理将直接影响整个施工的生产过程能否顺利完成。
针对本工程我公司对这三大组织的安排主要为：1、人员组织人员组织主要分为两大类：施工管理层及施工劳务层。
（1）、施工管理层人员组织我公司本着科学管理、精干高效、结构合理的原则，选配具有改革开拓精神、施工经验丰富、服务态度良好、勤奋实干的工程技术人员和管理干部组成本工程项目部。
项目机构设置详见附录《项目管理组织机构图》、《质量保证体系》、《安全管理体系》。
本工程将选派具有国家一级注册建造师资格的陈润坤同志担任本工程的项目经理，并且常驻施工现场。
该同志技术水平高、责任心强，完全可以承担本工程的管理工作，项目部在施工管理上，将严格按项目法组织施工，项目部的成立、运行、解除执行我公司的《项目管理办法》，全面执行责任承包制，贯彻国家和地方有关法律、法规和政策，对本工程从合同签订→施工准备→施工过程→竣工验收整个过程进行组织、指挥、管理、全面协调、全面控制创造有利条件。
（2）、施工劳务层人员组织本工程配备的劳务层，划分为三大类：第一类为专业化强的技术工种，月平均配备人员约为50人，其中包括塔吊工、机械工、机修工、维修电工、电焊工等，这些人员均为我公司曾经参与过类似工程的施工，具有丰富的经验，持有相应岗位操作证的人员，平均技术等级为4.5级。
第二类为普通技术工种，月平均配备人员约为300人，其中包括木工、钢筋工、混凝土工、瓦工、架子工、油漆工、防水工等，其平均技术等级为4级，并以施工过类似工程施工人员为主进行组建，此类人员的来源为集团公司的劳务公司和长期与我公司合作的成建制施工劳务队伍。
如何绘制网络计划图
1
网络图实例
1
2
3
对生产 任务划分 领域调研
工作 或活动
饲料车间 4 饲料车间 5 饲料车间
需求分析
建模
模型审核
酒精车间 6 酒精车间 7 酒精车间
需求分析
建模
模型审核
节点 或事件
8 模型汇总、9
发布
华润酒精生产领域建模的网络图
2
网络计划的优点
1. 通过网络计划够直观的了解整个项目（计划）及各部分之 间的关系。
8
2024/10/15
9
2. 能够准确估计项目（计划）的完成时间。 3. 便于跟踪项目（计划）进度，抓住关键环节。 4. 能够使参加项目的相关人员了解各自的工作任务。
网络计划是一种有效的项目 时间管理方法。
3
网络图的绘制原则（1）
1. 网络图中的箭线必须从左至右排列，不允许出现循环。
20
10
循环
X
30
4
2024/10/15
5
网络图的绘制原则（2）
2. 两个节点之间只允许有一条箭线连接。
10
20
10
20
虚活动不消耗时间
15 和资源的活动，在
实际项目中并不存 在，为表达活动之
间的关系而引入的。
6
网络图的绘制原则（3）
3. 箭头事件的编号必须大于箭尾事件的编号，编号可以不连 续，而且最好是跳跃式的。
4. 完整的网络图必须有且仅有一个起始节点和一个终止节点。
20
2200
1100
40 制原则（4）
5. 网络图一般有唯一的最初活动和唯一的最终活动。 6. 网络图一般的画法是从左至右，从上到下，尽量避免箭线
管理运筹学第4章：网络规划
所求的最短路距离为： 1 + 4 + 2 = 7
13
4.4
网络最大流问题
一、问题的提出
交通网络中要研究车辆的最大通过能力；生产流水线网络上产品的最大加工能力； 供水网络中通过的最大水流量；信息网中信息最大传送能力等等。 弧容量cij：网络的组成弧都具有确定的通过能力(有时称为硬件能力)； 弧流量fij： 实际通过弧的流量 (有时称为软件能力)；
第四章：网络规划
4.1 图
一、起源
1736年瑞士数学家欧拉（E.Euler）在求解七桥一笔画难题时，就用了点线图来分析论证： 每个点均有奇数条边时，一笔画问题无解。 (前苏)哥尼斯堡城中的普雷格尔河
C
A B D
A
D
C
B
1
e13 e1
V2 V1
V8
e11 e6 e4
e9
V6
V9
e10 e7 e8
8
3、最小部分树求法 ① 避圈法：将连通图所有边按权从小到大排序，每步从未选的边中选一条权最小的边逐条衔接， 但不能成圈。 ② 破圈法：在连通图中任取一圈，去掉一条权数最大的边，在余下的图中重复以上步骤， 直至无圈为止。
例：某工厂内联结六个车间的道路网如下图示，巳知每条道路的长度，要求沿道路架设联结六个
四、连通图：
任意两点之间可由一条链连接起来相通的图叫连通图。否则，称为非连通图。 如：上图就不是连通图，因为点V9与任何点之间均没有链连接起来相通。
4
五、子图和部分图：设G1={V1，E1}， G2={V2，E2}， G={V，E}
1、子图： 若V2V1，E2 E1，则称G2是G1的一个子图 。 真子图：若V2V1，E2 E1，则称G2是G1的一个真子图 。 2、部分图：若V2=V1，E2 E1，则称G2是G1的一个部分图，即包含原图全部顶点的子图。 3、零图： 若E=ф，则称G为零图，即由许多孤立点构成的图。 4、空图： 若V=ф 和E=ф ，则称G为空图。
网络计划图
2010-3-1
&&&&&&**##王丰民制作版权所有 &&&%%￥￥#@@
2
（二）应用
应用范围很广：不仅适用于按期组织生产的单件小批生产 类型和新产品试制，而且是用于按量组织生产的大量大批 生产类型中的生产技术准备工作，还可适用于制定长期计 划、编制工程预算、组织物资供应等工作，它特别适用于 一次性的大规模工程项目，如：电站、油田、建筑工程等。 工程项目越大，协作关系越多、生产组织越复杂，网络计 划技术就越能显示出其优越性。 我国20世纪80年代初期开始推广这种技术。在宝钢建设、 航天工程、大型实验、第11届亚运会等工程中都得到了成 功的应用。
决策关键线路法 DCPM
搭接网络 计划技术
流水网络 计划技术
随机网络计划技术 QGERT
国内外网络计划技术发展概况
风险型随机网络计划技术 VERT
2010-3-1 &&&&&&**##王丰民制作版权所有 &&&%%￥￥#@@ 14
网络计划技术在计算机上发展过程
• 网络计划技术五十年代中期出现于美国，网络计划技术的发展和计算机的应用是分不开的。 许多网络计划问题的提出和算法的解决，许多工程管理中的实际应用都离不开计算机，随着 计算机及其软件技术的发展，网络计划技术的应用也得到了进一步的普及。大概过程如下： • 国外早期开发的网络计划软件是在大型计算机上运行，主要用于国防和土木建筑工程，由网络 计划专家和专业人员操作，软件成本很高，一般都超过10万美元。 • 80年代以后，微机开始普及起来，83年有了微机上使用的网络计划软件，这之后经历了几次变革：
运筹学 图与网络规划
习题九9.1 十名学生参加六门课程的考试。
由于选修内容不同，考试门数也不一样。
下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：学生考试课程 A B C D E F1 ⊙⊙⊙2 ⊙⊙3 ⊙⊙4⊙⊙⊙5⊙⊙⊙6 ⊙⊙7⊙⊙⊙8 ⊙⊙9 ⊙⊙⊙10⊙⊙⊙规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。
学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
9.2 求下图的最小生成树和最大生成树：V1 6 V26 6 2 2V6 7 V7 3 V38 3 4 3V5 1 V49.3 下图表示某生产队的水稻田，用堤埂分割为很多小块。
为了用水灌溉，需要挖开一些堤埂。
问最少挖开多少堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田。
9.4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：9.5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：v3 3 v51 5 4v1 24v2 2 v49.6最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。
每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。
假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。
说明解决思路和方法，不必求解。
年份 1 2 3 4 5价格20 21 23 24 26使用年限0－1 1－2 2－3 3－4 4－5费用8 13 19 23 309.7 试将下述非线性整数规划问题归结为求最长路的问题。
要求先根据这个问题画出网络图，扼要说明图中各节点、连线及连线上标注的权数的含义，再用标号法求数值解。
max z ＝（x1＋1）2＋5x2x3＋（3x4－4）2＋x2＋x3 ＋x4 ≤3xx j≥0，且为整数（j＝1,2,3,4）9.8 用标号法求下图所示的最大流问题，弧上数字为容量和初始可行流量：v 1 （7，4） v 3（8，8） （3，1） （8，6）v s （3，3） （3，0） v t（9，4） （2，2） （9，6）v 2 （5，5） v 49.9 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图所示，拟合建一所小学。
运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案
一、判断题1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（）正确答案：×2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（）正确答案：×3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（）正确答案：√4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。
（）正确答案：×二、选择题1.关于图论中图的概念，以下叙述（）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B2. 关于树的概念，以下叙述（）正确。
A.树中的点数等于边数减1B.连通无圈的图必定是树C.含n个点的树是唯一的D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B3. 一个连通图中的最小树（）。
A.是唯一确定的B.可能不唯一C.可能不存在D.一定有多个。
正确答案：B4.关于最大流量问题，以下叙述（）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的B.达到最大流的方案是唯一的C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D5. 图论中的图，以下叙述（）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
正确答案：C6. 关于最小树，以下叙述（）正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B.最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C.一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D.一个网络的最小树一般是不唯一的。
正确答案：B7.关于可行流，以下叙述（）不正确。
图与网络分析-(共34张PPT)
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
网络进度计划图
智能化和自动化
智能化：利用AI技术进行进度预测和优化，提高效率和准确性 自动化：实现进度计划的自动生成和更新，减少人工干预 集成化：与其他项目管理工具集成，提高协同工作效率 移动化：支持移动设备访问和操作，提高工作灵活性和便捷性
动态化和实时化
动态化：网络进度计划图可以实时 更新，反映项目进度的变化
优点
直观明了：可以清晰地展示项目进度和任务关系 易于修改：可以根据实际情况调整进度和任务 便于沟通：可以方便地与团队成员进行沟通和协作 提高效率：可以更好地规划和管理项目，提高工作效率
缺点
容易产生偏差： 网络进度计划 图在实施过程 中容易受到各 种因素的影响， 导致实际进度 与计划进度产
生偏差。
智能化：网络进度计划图可以自动 生成，减少人工操作
添加标题添加标题添源自标题添加标题实时化：网络进度计划图可以实时 显示项目进度，提高项目管理效率
集成化：网络进度计划图可以与其 他项目管理工具集成，提高项目管 理的协同性
集成化和标准化
集成化：将多个网络进度计划图整合到一个系统中，实现 信息共享和协同工作
确定非关键活动： 非关键路径上的 活动是非关键活 动
确定活动顺序：根 据关键活动和非关 键活动的关系，确 定活动的顺序
确定工作持续时间
确定工作持续时间的方法：根据经验、历史数据、专家意见等 工作持续时间的影响因素：资源、人员、技术、环境等 工作持续时间的估算方法：类比法、参数估计法、模拟法等 工作持续时间的调整：根据实际情况进行调整，确保计划的可行性和准确性
绘制网络图
确定项目任务：列出所有需要完成的任务，并确定它们的顺序和依赖关系。
绘制网络图：使用绘图工具（如Microsoft Project、Edraw Max等）绘制网络图，包括任务 节点、任务关系和任务时间。
网络计划图精华版
2.2 计算关系式
注意：工作总时差往往为若干项工作共同拥 有的机动时间。
2.2 计算关系式
（2）工作自由时差FF
工作自由时差是指：在不影响其紧后工作最 早开始的前提下，工作所具有的机动时间。
在非确定网络计划中是指估计工期完成可能 性最小的线路。
其它工作的最迟开始时间LSi-j=LFi-j-Di-j；当有 多个紧前工作时，最迟完成时间 LF=min(紧后工作 的LS)，或表示为：
LFi-j=mink(LFj-k-Dj-k)
2.2 计算关系式
3、工作时差 工作时差是指工作有机动时间。常用的有两
种时差：工作总时差和工作自由时差。
（1）工作总时差TFi-j TFi-j是指在不影响工期的前提下，工作所具有 的机动时间，按工作计算法计算。
上顶
工作代号
a b c d e
所需时间（周）
3 4 1 6 4
紧前工作
/ a a c b,d
1.2 双代号网络计划图
步骤1、2可用上表表示。
根据表所示的工作及它们之间的关系可作出 网络图。
1a 2 3
b 4
e 4
5
4
c 1
3
d 6
1.2 双代号网络计划图
例2 某项研制新产品工程的各个工作与所需时 间及它们之间的相互关系见下表。作出该项工程的 网络计划图。
第1节 网络计划图
网络计划图概念：
网络计划技术是应用有向网络图来表达 一项计划中每项工作的先后顺序和相互的逻 辑关系；然后计算时间参数，找出计划中关 键线路和可利用的机动时间；再按照一定的 优化目标，不断改善和优化计划安排，使计 划达到整体优化；并在计划的执行过程中， 通过检查、控制、调整保证计划目标的按期 实现。
网络拓扑结构图设计及其方案说明
[设备清单]Cisco 2600路由器一台Cisco 2900XL交换机若干台Cisco PIX防火墙一台网线：若干箱制线嵌：若干个正版软件：Microsoft ISA[方案设计]一.使用一台路由器实现内网与外网的连接其功能实现：1、实现内网与外网的连接2、实现内网中不同VLAN的通信3、实现NAT代理内网计算机连接Internet4、实现ACL提供内外网的通信的安全二. 使用多台交换机实现VLAN的规划1、按部门或场所划分vlan1)vlan1：经理；2) vlan2：人事部；3)vlan3：销售部；4)vlan4：策划部；5）vlan5：技术部2、vlan之间的通信1）实现有通信需要的vlan之间的通信，如vlan2与vlan3，vlan5等；2）使用上述路由器实现vlan之间的通信；3）使用ACL提供valn间通信的安全；一、IP地址规划：1、考虑内网中机器较多，并考虑到公司规模日益庞大故使用10.0.0.0/8私有地址并将其进行子网划为/24；2、不同vlan给予不同子网ip，如vlan2可为10.31.0.0/24子网;3、通过DHCP服务器动态分配所有ip;二、win2003域规划：为方便管理和提高网络安全性，将内网中部分计算机实现win2003域结构网络：1、创建一个win2003域，如：；2、将经理办公用机，各部门用机，等所有员工用机加入所建域；3、创建额外域DC提供AD容错功能和相互减轻负担功能；三、服务器规划1、文件打印服务器（win2003系统）：用于连接多台打印设备，并将这些打印机发布到活动目录1）实现域中所有计算机都可方便查找和使用打印机；2）实现打印优先级，使得重要用户，如部门领导可优先使用打印机；3）实现打印池功能，使得用户可优先自动使用当前空闲打印机；4）实现重定向功能，使得当一打印设备故障，如缺墨缺纸，可自动被重定向到其它打印设备打印；5）实现打印机使用时间限制：如管理人员可24小时使用，普通员工只可上班时间使用；2、DHCP服务器（linux AS4.0系统）：用于为内网客户机分配ip，考虑到效率和可靠性1）根据所需使用子网，实现多个作用域，并将这些作用域加入进一个超级作用域，为不同子网内的客户机分配相应；2）实现为客户机分配除ip之外的其它设置，如网关IP，DNS IP，等等；3）实现地址排除：将各服务器所使用地址在作用域内排除；4）实现保留：为需要的用户，如网络系做网络相关实验的老师，保留特定的IP,使其可长期使用该IP而不与其他人冲突；5）实现DDNS的支持，能够自动更新DNS数据库。
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∞
• 例5.2 在图5.14中，试求：
（1）各点到v6的最短路； （2）v1到各点的最短路。
图5.14 例5.2图
• 我们根据题意可以写出上述网络的距离 矩阵为
0 5 2 ∞ ∞ ∞
∞ 0 4 3 ∞ ∞
∞ 4 0 ∞ 3 ∞ W ∞ 2 5 0 5 ∞
∞ ∞ 4 2 0 4
∞ ∞ ∞ 2
• 图论（Graph Theory）已经成为运筹学 的一个重要分支，是建立和处理离散数学 模型的一个重要工具。
• 人们对图和网络的研究可以追溯到18世 纪50年代。
• 1736年，“哥尼斯堡七桥问题”被欧拉 （E Euler）用一篇题为“依据几何位置的 解题方法”的论文解决。
• 在随后的200多年里，人们也一直致力于图 和网络的研究，特别是在20世纪中期以后， 随着离散数学和计算机技术的发展，图和网 络的研究更是得到了飞速发展。
• 以后每次都检查刚得到固定标号那点， 对其所有关联边的终点修改临时标号，然 后从一切临时标号中选出最小的把它改为 固定标号，同时选出相应的弧，具体过程 如图5.8～图5.13所示。
• 从图5.13可以看出，从点s到点t的最短路 径为s→②→⑤→⑥→t，最短路长度为28。
图5.9 例5.1（3）图
min{T(vj), P(vi)＋wij} = >T(vj)
（3）从一切vj∈T中选取并令 min{T(vj)} = T(vr) = >P(vr)
选取相应的弧（vi, vr）。
• 再令S∪｛v r｝=>S, T\｛vr｝=>T。
（4）若T =φ，则停止。
• 即P(vj)为vs到vj的最短路径，特别P(vt)即vs 到vt的最短路长，而已选出的弧即给出vs到 各点最短路；否则令vr = >vi，返回步骤 （2）。
1．符号定义和相关规定
• 它们的含义为 P(vj)：从始点vs到vj的最短路长； T(vj)：从始点vs到vj的最短路长上界。
2．狄克斯屈标号法的基本步骤
（1）令S = {vs}为固定标号点集， T = V \{vs}为临时标号点集。
• 可得 P(vs) = 0
T(vj) = ∞ vj∈T
（2）检查点vi，对其一切关联边（vi, vj） 的终点vj∈T计算并令
1．网络的距离矩阵
• 设一个网络N中有n个节点，其中任意两 点vi与vj之间都有一条边（vi, vj），其权数 wij＞−∞。
• 若vi与vj不相邻，则虚设一条边（vi, vj） 并令其权数为wij=∞。
• 如此可以定义一个矩阵：
W=(wij)n×n （5-1） 称为网络N的直接距离矩阵，简称距离矩阵。
图5.5 链
5．连通图
• 在一个图中，若任意两点之间至少存在 一条链，则称该图为连通图，否则就是不 连通图。
图5.6 不连通图
5.2 最短路径问题
• 最短路径问题通常分为如下两类。
（1）从始点到其他各点的最短路径。 （2）所有任意两点间的最短路径。
• 本节主要介绍求最短路径的两种算法： 狄克斯屈标号法和距离矩阵摹乘法。
• 目前，网络分析的理论已经在工程设计、 管理科学、交通规划、通信网规划等众多领 域得到广泛的应用，并取得了丰富的成果。
5.1
有向图
5.2
最短路径问题
5.3
网络最大流问题
5.4
网络规划的应用案例
5.5 网络规划问题的Excel处理
5.1 有向图
• 5.1所示为某连锁超市7个门店之间的道路 交通示意图，①、②、③、④、⑤、⑥、 ⑦分别表示7个门店，各门店之间的连线称 为道路。
• 选出最小标号：min｛T(2)，T(3)，T(4)｝=7。
• 将T(4)改为P(4) = 7，其弧为（s, ④）。
• 在图5.7中④的数字7加上方框，在图5.7中 ②旁写上数字9，在图5.7中③旁写上数字13。
• 如图5.8所示，图中带箭头的线即为所选弧。
图5.7 例5.1（1）图
图5.8 例5.1（2）图
（1）节点。
图5.1 某超市7个门店的道路交通示意图
（2）边。 （3）图。
（4）网络。
图5.2 网络示意图
5.1.2 无向图与有向图
1．无向图 2．有向图
图5.3 有向图
3．混合图
图5.4 混合图
5.1.3 端点，关联边，相邻，次，链
1．端点和关联边 2．相邻 3．次，奇点，偶点 4．链
图5.10 例5.1（4）图
图5.11 例5.1（5）图
图5.12 例5.1（6）图
图5.13 例5.1（7）图
5.2.2 距离矩阵摹乘法
• 距离矩阵摹乘法是基于这样的事实：如 果节点vs到节点vj的最短路径总是沿着某一 特定路径先到达节点vi然后再沿边（vi，vj） 到达节点vj，则这一特定路径肯定也是节点 vs到节点vi的最短路径。
• 例5.1 求图5.7中始点s到终点t的最短路径 ②、③、④ 修改临时标号：
点②：min｛T(2)，P(1)＋w12｝=min｛∞,0 + 9｝=9T(2) 点③：min｛T(3)，P(1)＋w13｝=min｛∞,0 + 13｝=13T(3) 点④：min｛T(4)，P(1)＋w14｝=min｛∞,0 + 7｝=7T(4)
第5章 图与网络规划
学习目标
了解图论和网络分析中常见的概念和术语。 学会最短路问题的狄克斯屈标号法；最短 路问题的距离矩阵摹乘法；最大流最小截集 问题的福特—福尔克逊标号法；网络的中心 和重心的求法；多端网络问题的转化。
• 在日常生活中，各种各样的网络图随处 可见，如道路交通图、电话网络图、电路 图等。
5.2.1 狄克斯屈标号法
• 该法是狄克斯屈在1959年提出的，适用 于所有权数均为非负（即一切wij≥0）的网 络，能够求出任意一点vs到其他各点的最 短路径，该法为目前求这类网络最短路径 的最好算法。
• 狄克斯屈标号法可用于计算两节点之间 或一个节点到所有节点之间的最短路径。
•是 也 标它从必号的v是的1基到从方本vv法n1的思到，最路v从n短−是始1的路：点最径若开短，（始路则v，1径,（v逐2，v,…步1,因v向,2此v,…n外-可1,,收vv采nn缩）-用1） 从始点到其他各点的最短路径。