图与网络规划

（1）节点。
图5.1 某超市7个门店的道路交通示意图
（2）边。 （3）图。
（4）网络。
图5.2 网络示意图
5.1.2 无向图与有向图
1．无向图 2．有向图
图5.3 有向图
3．混合图
图5.4 混合图
5.1.3 端点，关联边，相邻，次，链
1．端点和关联边 2．相邻 3．次，奇点，偶点 4．链
5.2.1 狄克斯屈标号法
• 该法是狄克斯屈在1959年提出的，适用 于所有权数均为非负（即一切wij≥0）的网 络，能够求出任意一点vs到其他各点的最 短路径，该法为目前求这类网络最短路径 的最好算法。
• 狄克斯屈标号法可用于计算两节点之间 或一个节点到所有节点之间的最短路径。
•是 也 标它从必号的v是的1基到从方本vv法n1的思到，最路v从n短−是始1的路：点最径若开短，（始路则v，1径,（v逐2，v,…步1,因v向,2此v,…n外-可1,,收vv采nn缩）-用1） 从始点到其他各点的最短路径。
• 图论（Graph Theory）已经成为运筹学 的一个重要分支，是建立和处理离散数学 模型的一个重要工具。
• 人们对图和网络的研究可以追溯到18世 纪50年代。
• 1736年，“哥尼斯堡七桥问题”被欧拉 （E Euler）用一篇题为“依据几何位置的 解题方法”的论文解决。
• 在随后的200多年里，人们也一直致力于图 和网络的研究，特别是在20世纪中期以后， 随着离散数学和计算机技术的发展，图和网 络的研究更是得到了飞速发展。
1．符号定义和相关规定
• 它们的含义为 P(vj)：从始点vs到vj的最短路长； T(vj)：从始点vs到vj的最短路长上界。
2．狄克斯屈标号法的基本步骤
（1）令S = {vs}为固定标号点集， T = V \{vs}为临时标号点集。
• 可得 P(vs) = 0
T(vj) = ∞ vj∈T
（2）检查点vi，对其一切关联边（vi, vj） 的终点vj∈T计算并令
图5.5 链
5．连通图
• 在一个图中，若任意两点之间至少存在 一条链，则称该图为连通图，否则就是不 连通图。
图5.6 不连通图
5.2 最短路径问题
• 最短路径问题通常分为如下两类。
（1）从始点到其他各点的最短路径。 （2）所有任意两点间的最短路径。
• 本节主要介绍求最短路径的两种算法： 狄克斯屈标号法和距离矩阵摹乘法。
• 例5.2 在图5.14中，试求：
（1）各点到v6的最短路； （2）v1到各点的最短路。
图5.14 例5.2图
• 我们根据题意可以写出上述网络的距离 矩阵为
0 5 2 ∞ ∞ ∞
∞ 0 4 3 ∞ ∞
∞ 4 0 ∞ 3 ∞ W ∞ 2 5 0 5 ∞
∞ ∞ 4 2 0 4
∞ ∞ ∞ 2
∞
图5.10 例5.1（4）图
图5.11 例5.1（5）图
图5.12 例5.1（6）图
图5.13 例5.1（7）图
5.2.2 距离矩阵摹乘法
• 距离矩阵摹乘法是基于这样的事实：如 果节点vs到节点vj的最短路径总是沿着某一 特定路径先到达节点vi然后再沿边（vi，vj） 到达节点vj，则这一特定路径肯定也是节点 vs到节点vi的最短路径。
min{T(vj), P(vi)＋wij} = >T(vj)
（3）从一切vj∈T中选取并令 min{T(vj)} = T(vr) = >P(vr)
选取相应的弧（vi, vr）。
• 再令S∪｛v r｝=>S, T\｛vr｝=>T。
（4）若T =φ，则停止。
• 即P(vj)为vs到vj的最短路径，特别P(vt)即vs 到vt的最短路长，而已选出的弧即给出vs到 各点最短路；否则令vr = >vi，返回步骤 （2）。
• 选出最小标号：min｛T(2)，T(3)，T(4)｝=7。
• 将T(4)改为P(4) = 7，其弧为（s, ④）。
• 在图5.7中④的数字7加上方框，在图5.7中 ②旁写上数字9，在图5.7中③旁写上数字13。
• 如图5.8所示，图中带箭头的线即为所选弧。
图5.7 例5.1（1）图
图5.8 例5.1（2）图
• 目前，网络分析的理论已经在工程设计、 管理科学、交通规划、通信网规划等众多领 域得到广泛的应用，并取得了丰富的成果。
5.1
有Biblioteka Baidu图
5.2
最短路径问题
5.3
网络最大流问题
5.4
网络规划的应用案例
5.5 网络规划问题的Excel处理
5.1 有向图
• 5.1所示为某连锁超市7个门店之间的道路 交通示意图，①、②、③、④、⑤、⑥、 ⑦分别表示7个门店，各门店之间的连线称 为道路。
• 例5.1 求图5.7中始点s到终点t的最短路径 及其长度。
• 先给始点s的3条关联边的终点②、③、④ 修改临时标号：
点②：min｛T(2)，P(1)＋w12｝=min｛∞,0 + 9｝=9T(2) 点③：min｛T(3)，P(1)＋w13｝=min｛∞,0 + 13｝=13T(3) 点④：min｛T(4)，P(1)＋w14｝=min｛∞,0 + 7｝=7T(4)
• 以后每次都检查刚得到固定标号那点， 对其所有关联边的终点修改临时标号，然 后从一切临时标号中选出最小的把它改为 固定标号，同时选出相应的弧，具体过程 如图5.8～图5.13所示。
• 从图5.13可以看出，从点s到点t的最短路 径为s→②→⑤→⑥→t，最短路长度为28。
图5.9 例5.1（3）图
1．网络的距离矩阵
• 设一个网络N中有n个节点，其中任意两 点vi与vj之间都有一条边（vi, vj），其权数 wij＞−∞。
• 若vi与vj不相邻，则虚设一条边（vi, vj） 并令其权数为wij=∞。
• 如此可以定义一个矩阵：
W=(wij)n×n （5-1） 称为网络N的直接距离矩阵，简称距离矩阵。
第5章 图与网络规划
学习目标
了解图论和网络分析中常见的概念和术语。 学会最短路问题的狄克斯屈标号法；最短 路问题的距离矩阵摹乘法；最大流最小截集 问题的福特—福尔克逊标号法；网络的中心 和重心的求法；多端网络问题的转化。
• 在日常生活中，各种各样的网络图随处 可见，如道路交通图、电话网络图、电路 图等。