普通物理第八章稳恒电流

电阻。R的倒数G（1/R）称为电导。在国际单位制中，电阻
的单位为欧姆（符Ω），电导的单位为西门子（符号S）。 电阻的量纲为 I 2 L2MT 3 。电导的量纲为 I 2 L2M 1T 3 。
二、电阻
一般金属导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有 关。实验指出，对由一定材料制成的横截面均匀的导体的 电阻
表征电源的另一个重要参量是电源的内阻r，当有电流 通过电源时，电阻r对电流也有阻碍作用，电势在r上也有
由电源的电动势ε＝A／q和q＝It
P I
将该式与电阻的功率P＝IU相比较，可以看出ε与U相当，
事实上，当电源无内阻时，ε在数值上就等于电源的端电压 。
二、闭合电路的欧姆定律
如图所示一闭合电路，外电路中
(3)电源两端的电压称作路端电压，它是电源向电路提供能 量(也称为放电)时的电压，UAB＝IR ＝ε-Ir。
为e，电子“漂移”运动速度的平均V值为 ，单位体积内自
由电子数为n。试证电流密度的J 量 n值eV
。
解: 在金属导体中，取一微小截面△S ， △S的法线与电场方
向平行．通过△S的电流强度△ I，等于每秒内通过截面△S
的所有自由电子的总电量（绝对值）.以△S为底面积，以V
为高作小柱体。显然，柱体内的自由电子数等于每秒内通过
电流强度是电流密度的通量。
三、稳恒电流的连续性方程
在导体内任取一个闭合曲面S，因为闭合曲面S的法线正方 向总是规定向外的，所以通过该闭合曲面的j 通量，就是面 内向外流出的电流强度，亦即单位时间内向外流出的电量。 根据电荷守恒定律，从曲面内流出的电量应等于面内电量的 减少量。设闭合曲面内的电量为q
一、电动势
为了形成稳恒电流，必须有一种装置，它能为电路提供一种 非静电力，从而把正、负电荷再分开以维持电势差不变。在电 路上，把能够提供这种非静电力的装置叫电源。从能量的角度 讲，电源是一种向电路提供能量的装置，干电池、蓄电池、发 电机等都属于电源。电源是一种能量转换装置，它的作用是通 过非静电力对电荷作功，把其它形式的能量转换为电路所需的 电能。不同的电源，非静电力的形式不同，所以能量转换的方
j dS dq
s
dt
该式称为电流连续性方程。对于稳恒电流，由于I 的大小和 方向都不随时间发生变化，这样形成电流的电场就必须是 一个稳定场，产生电场的电荷就必须是一个稳定的分布， 这样对于任一闭合曲面S，必有
s j dS 0
此即为稳恒电流的连续性方程，也叫电流的稳恒条件。
如果取导体的两个截面S1和S2以及导体的侧面构成一个 闭合曲面，则由上式知，单位时间内通过S1面的电量一定等 于单位时间内通过S2的电量，即
弦规律的变化时，称为正弦交流电。
二、电流密度
电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。当遇到电
流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的情况时，导体的不
同部分电流的大小和方向都可能不一样。有必要引入能够细致
描述电流分布的物理量——电流密度矢量，即需引入一个描述
空间不同点电流的大小的物理量。
dI j n
大小： I dq dt
单位（SI）：安培（A）
方向：规定为正电荷运动方向。电流强度是标量，通
常所说的电流方向是指正电荷在导体内移动的方向，
并非电流是矢量。
当I = dq/dt =常数时，即电流强度的大小和方向都不随时 间发生变化时，这种电流称为稳恒电流，也叫直流电流；当 I 随时间发生周期性变化时，称为交变电流；当I随时间作正
ln rB r
r
rA
式中的r以米计，E 和J 的方向都是沿径向向外的。
8.3 电流的功和功率 焦耳—楞次定律及其微分形式
一、电流的功和功率
设有一段导线AB ，电阻为R，其两端A、B间的电势差
为U1-U2，通过的电流强度为I。我们知道在稳但电流的情形 下，在时间t 内，通过导线内任一横截面处的电量 q 都等于 It。这里，在时间t内，导线内电场力对各处运动电荷所作的 功的总和，相当于一个量值为q的电荷从A点移到B点时，电 场力对q所作的功。所以其量值为
dR dr dr S 2rl
对于从内到外的一系列圆柱形薄层来说，各层相应的电阻 是相互串联的，因此可求得漏电电阻值为
R dR rA dr ln rB
rB 2l r 2l rA
代入数据后，得
R 1.00 109 ln 2 1.10 108
2 1.00
按欧姆定律，求得漏电总电流
8.1 稳恒电流 电流密度
一、电流 电流强度
1、电流 电荷的定向移动，简称电流。
形成传导电流的条件是： ①物体中存在可以自由移动的电荷，即载流子（电子或 离子）； ②存在电场。
按习惯，规定正电荷流动的方向为电流的方向。
2、电流强度
电流的强弱用电流强度来描述，其定义为：单位时间 内通过某导体横截面的电量。
dSdl dSdl dS
因
J
dI
nˆ
dS
J E
1
所以
w J 2 1 (E)2 E2
上式称为焦耳一楞次定律的微分形式。它说明：在导体内某
点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，也与导体
的电导率成正比。它像欧姆定律的微分形式一样，是对任意
一点都是成立的。
8.4 电动势 闭合电路和一段含源电路的欧姆定律
A q(U1 U2 ) It(U1 U2 ) 单位：J焦耳
即电流的功，简称电功。
相应的功率为
A p t I (U1 U2 ) 单位：W瓦特
*电流的功是外电源所供能量的量度。
电流通过电阻时产生的热量由实验得出为
Q I 2 Rt
该式叫电热定律，也叫焦耳—楞次定律。
意义：电流通过一段固定不动的导体时放出的热量（简称 电热），与电流通过的时间。导体的电阻和电流强度的平 方三者的乘积成正比。
求介质内各点处的场强、漏电流的电流密度以及该介质的漏 电电阻值。
解：设圆柱形电容器内、外极板间的漏电总电流为I，由于
漏电电流（从内极板流向外极板）是沿径向对称分布的，而 在距离圆柱轴线r处，总电流所通过的截面积S=2πrl，所以 该处电流密度的大小应为
JI I
S 2rl
对于r—r+dr的圆柱形薄层来说，相应的电阻为
dI dU R
而
dI jdS
R dl
dS
E dU dl
所以
jdS Edl 1 EdS EdS dl dS
即
j E
称作欧姆定律的微分形式。它表明导体中任意一点的电流 密度与该点的电场强度成正比，且同方向。
例8—2 长度l=1.00m的圆柱形电容器，内外两个极板的半径分别
为rA=5×10-2m， rB=1×10-1 m，所充非理想电介质的电阻 率为ρ=1×109Ω·m。设两极板间所加电压UA-UB=1000v。
I
UA
UB R
2l(U A ln
UB) rB
1000 1.10108
9.06106 A
rA
求得漏电的电流密度之值
J (U A U B ) 1 J 1.44106 1 A m2
ln rB r
r
rA
式中的r以米计，应用欧姆定律的微分形式，可求得介质中各 点处场强的大小为
E J (U A U B ) 1 1.44103 1 A m1
A q
_
FK q
dl
_ EK
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dl
+–
式中 EK
FK q
表示非静电力场，数值上等于单位正电荷受
的非静电力，方向和正电荷受的非静电力的方向相同。
电动势是一个标量，其单位和电势的单位相同，为伏特 (V)，其大小只取决于电源本身的性质，与电源外电路的 连接方式无关。为了使用方便，常规定电动势的方向为电 源内部电势升高的方向，也即从负极指向正极。
截面△S的自由电子数。因此
I (nVS)(e) neVS
则电流密度的量值
J I neV S
8.2 一段电路的欧姆定律及其微分形式
一、欧姆定律
当导线的温度一定时，导线中的电流强度与导线两端 的电势差成正比，亦即
称为欧姆定律。
I U1 U2 R
R是比例系数，与导线的材料及几何形状有关，称为导线的
称为闭合电路的欧姆定律。
关于闭合电路的欧姆定律应注意以下几点：
(1)当R→∞时，外电路开路，I＝0，此时电路上没有电流
；当R＝0时，外电路短路，I＝ε/r，由于一般r很小，I很大
，所以极易烧毁电源，应注意避免发生这种情况。
(2)对 IR Ir式变形可得IR＋Ir－ε＝0，其中IR是电压
，若将ε看作无内电阻电源的端电压，则这一关系可理解为 ，在稳恒电路中，从电路的某一点出发，绕电路一周，各个 元件的电压之和为零，这是一个很重要的结论，在分析电路 时经常用到。
对稳恒电流有： S j dS 0
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变。不随 时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场称
稳恒电场。
l E dl 0
静电场
产生电场的电荷始终 固定不动
静电平衡时，导体内电 场为零，导体是等势体
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
维持静电场不需要 能量的转换
有一电阻R，称为外电阻，ε为电源
A
R
B
的电动势。当电路中通有电流I 时， 在时间t 内，流过任一截面的电量为
r
q=It，电源所作的功为εq 。根据能量
守恒和转换定律，电能将在整个电路
中全部变为焦耳一楞次热。因此
q It I 2 Rt I 2rt
IR Ir
I
Rr
式中r 为电源的内电阻，R+r 为闭合电路的总电阻，上式
dS
dI dS
导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点场强方向垂 直的单位截面积的电流强度。
方向：该点场强（电流）的方向。单位（SI）:安培·米-2 量纲：IL-2
电流密度和电流强度的关系
j
dI
n
dS
dI jdS j cosdS j dS
I S j dS
dI dS dS
穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿过该截面 的通量。
电源有两个电极，一个叫正极，一个叫负极。电源工作
时就是靠非静电力作功不断地把正电荷从负极推向正极， 其能力的大小用电源的电动势ε来表示，其定义为：把单位 正电荷从电源的低电位(负极)推向高电位(正极)非静电力所 作的功。设电源对正电荷q施加的非静电力为Fk，则从电源
A _ FK dl
所以电源的电动势
第八章 稳恒电流
本章主要讨论导体内形成的不随时间改变的稳恒电流。 要在导体内维持一稳恒的电流分布（电流场） ，必须在其中 建立一稳恒电场。所以我们首先说明稳恒电场与电流分布之 间的定量关系：欧姆定律的微分形式。导体内的稳恒电场虽 然有与静电场相同的性质，但它是依靠电源（例如化学电池 ）来维持的。电源的作用是使稳恒电流在闭合回路中进行， 一方面电源要不断作功，将其他形式的能量转化为电能，另 一方面，电流在回路中产生热效应或以其他形式消耗电能。 因此，电路中的功能关系或能量转换关系也是本章的重点内 容—焦耳—楞次定律。
稳恒电场
电荷分布不随时间改变 但伴随着电荷的定向移动
导体内电场不为零，导 体内任意两点不等势
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
稳恒电场的存在总要 伴随着能量的转换
例8—1 金属导体中的传导电流是由大量自由电子定向漂移
运动形成的。自由电子除了无规则的热运动外，在电场的
影响下，将沿着场强的反方向漂移设电子的电量的绝对值
R l
S 该式称为电阻定律。
当导体的横截面积不均匀或电阻率不均匀时，导体的电阻
R
dR
dl dS
式中ρ是一个仅与导体材料有关的物理量，称为这种材料 的电阻率。电阻率的倒数γ（1/ ρ ）称为电导率。
三、欧姆定律的微分形式
在通有电流强度I 的导体中，沿电流线方向任取一个小 圆柱体，通过的电流强度为dI，长度为dl，横戴面积为dS， 使圆柱体的轴线和它所在处的电场强度E的方向一致，面积 dS垂直于E。沿电场方向圆柱体两端的电势为U和U＋dU， 圆柱体电阻为R，电流密度矢量为j。则
其电热功率为
p dQ I 2 R dt
二、焦耳——楞次定律的微分形式
电热功率密度：当导体内通有电流时,单位体积导体中每秒所放
出的热量称为热功率密度，以 表w示之。设小圆柱体的电阻率
为ρ，则它的电阻R为ρdl/dS ，又其体积为dSdl，所以，由热
功率密度的定义得
w Q (dI )2 R ( dI )2
I1 I2
这是稳恒电流连续性方程的另一种表达形式。
这一方程可以推广到三根或三根以上载流导线连结在一点
的情况．分别在三根载流导线中，选取横截面S1 、 S2和 S3 ，也可得连续性方程为
I1 I2 I3
四、稳恒电场
S
j
dS
dq dt
I S j dS
——电流的连续性方程
稳恒电流：导体内各处的电流密度都不随时间变化