高等数学 一元微积分的应用共60页文档
一元微积分应用 共62页
(3) 计算面积
A2A1 2 0 31 2(1 co )2d s 3 21 2(3 co )2d s
3(12co s1co 2s )d
0
2
2
3
9(1cos2)d
2
5
4
平面图形的面.积 由对,称 求性 出上半部 A1,则 分 A2 的 A1. 面积
r3co s (1)求积分区 联间 立方程组
3
O
r1co s
x
r3co s
r1co s
cos 1
2
3
(2) 微分元素
当 0 3 时 ,曲r 边 1 c为 o ,dsA11 2(1co)s2d. 当 3 2时 ,曲边 r 3 c为 o , sdA11 2(3co)s2d.
(3) 计算面积
A 1 ( 2 x x )d x 2 ( 2 x x 2 )d x 7 .
0
1
6
如 何 判 定 积 分 变 量
1.用平行与y轴的直线穿过所求区域[a,b]，若与边界线的 焦点有且仅有2个时，选择积分变量x，这时我们把该区域 称为x型区域，若超过两个时需要分区域进行求解.
A 2 O
(2 )微分 d A 元 [2 ( x ) 素 x 2 ]d x.
y x2 B xy2
1
x
(3) 计算面积
A 1 [2 (x ) x 2 ] d x [ 2 x x 2 x 3 ]1 4 1 .
2
23 2 2
例1 求曲y 线 x2与直x线 y2所围成的平积 面 . 图
于是, 所求面积为
b
一元微积分应用(物理)资料
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
y
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
0
0
a2 2 (1 2 cost cos2 t) d t 3 a2. 0
3 极坐标系中平面图形的面积
r r( ) d
O
x
求由曲线r r( ) 及射线r , r ( ) 所围成的平面图 形的面积时, 取 为积分变量, 则积分区间为[, ]. 剩下的问
(3) 计算面积
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。
题是求微分元素和计算积分值.
一元微积分应用三
回忆泰勒中值定理的构建过程
设 f (x) 在 U(x0 )内有直到 (n 1) 阶的导数, 则
f (x)
n k 0
f
(k ) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
Rn (x) ,
其中
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1) !
(
x
x0
)n
1为拉格朗日余项
.
由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新得幂级数, 且她与原幂级 数具有相同得收敛半径 、 如有必要,可对她连 续进行逐项求导和逐项积分、
就就是说, 在收敛区间内幂级数得和函数 有任具意阶得导数及任意次得可积性、
幂级数得性质多好啊 ！
如何将函数表示为幂级数?
怎么做？
二、泰勒级数
x2n2 ) d
x
n1
x 0
2n 2n
1
x
2n
2
d
x
n1
x 2 n 1 2n
1 x
n1
x2 2
n
2
x x2
故
n1
2n 1 2n
x2n2
d dx
2
x x2
2 x2 (2 x2)2
取 x 1, 得
n1
2n 1 2n
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
幂级数的解析运算
由幂级数在其收敛区间内得逐项可导性, 得
n1
x 2 n 1
2n 1
n1
x 2 n 1
2n 1
n0
x 2n2
1
高等数学 第4章 一元函数积分学及其应用
x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
成立, 则称x x0时, f x有右极限A.记作:
f
x0
0
lim
xx0 0
f
x
A.
极限存在的充要条件(38
题)
定理3：
lim
x x0
f x
A
f x0
0
f x0
0
A
注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。
8
4. x 时函数 f (x) 的极限
自变量的绝对值x 无限增大x 时, 函数值f x无限接近 于确定的数值A f x A, 则A就叫做函数f x当x 时的
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。
一元函数微积分的应用及算法
f ( x)
＋
0
－
0
＋
f ( x)
单调增加区间为(, 1)和(3, ), 单调减少区间为(1,3).
二、函数的极值
概念引入
y f ( x)在点c1 , c4处的函数值f (c1 ), f (c4 )比它们 左右邻近各点的函数值大, 而在C2 , C5处的函数 值f (c2 ), f (c5 )比它们邻近各点的函数值都小.
2
1 x 1 (15) (arct anx) dx. 2 1 x
dx.
(14) (arccosx)
1
dx.
一、导数的应用
定理 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.
f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调增加; (1)如果在(a,b)内， f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调减少. (2)如果在(a,b)内，
练习：求下列函数的导数
例1 求 y x3 2 的导数.
解 y ( x3 2) ( x3 ) (2) 3x2 .
例2 求 y x 2 sin x 的导数. 解 y ( x2 sin x) ( x2 ) sin x x2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
解 设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为Vcm 得
3
函数最大值和最小值
V x(24 2 x) 2 (0 x 12) V (24 2 x) 2 x 2(24 2 x)(2)
(24 2 x)(24 6 x) 12(12 x)(4 x). 令V ' 0 ,得 x1 12, x2 4.
如果当x x0 (或x )时,函数f ( x)的绝对值无限增大,
一元微积分几何应用
x [a, a].
y
h
微分元素:
d V h a 2 x 2 d x.
y
a
O
x
a a
a
a2 x2 d x
x
计算体积:
令 x a cos
V h
正劈锥的体积等于 同底、同高的圆柱 体体积的一半.
1 h a 2 sin 2 d h a 2 . 0 2
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的体积 . 类似于上面的作法可得 :
积分区间:
y [c, d ] .
微分元素: d V x 2 d y. d V ( ( y )) 2 d y. 计算体积:
V d V y 2 d x.
a a b b
例8 解
x2 y2 求椭圆 2 2 1 绕 x 轴, 绕 y 轴旋转一周所生成的 a b
a
(1 2 cos t cos 2 t ) d t 3 a 2 .
二、旋转体的体积
y A
O
1
计算连续曲线 y f ( x) 在区间
[a, b] 上的一段弧 AB 与直线 x a,
y f ( x)
B
x b 以及 x 轴所围成的平面图形 绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
6.4 一元微积分的几何应用
----面积、体积、弧长
一、平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法
五、旋转体的侧面积
注意 在应用微分元素法时 , 要求所计算的量 A 具有可加性 :
即在区间 [a , b] 上, 量 A 总等于它在该区间的各 个子区间上部 分量 A 的和 .
一元微积分物理应用
x (a, b], x 0.
当x 很小时, 可视物体在区间
f (x)
O
[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
x x x b x
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
W f ( x)x.
于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.
1 b a f ( x) d x. ba
[ xi 1 , xi ] 的长度 ba xi n
f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为
y
b a
f ( x) d x ba .
若 f ( x) C ([a, b]), 则
y
b a
?
O
取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压
1
x 0 .5 x x
x
力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气
体作的功为 W F ( x)x .
由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故
k PV
x 0
9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .
由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做
y
y f (x)
的功为:
积分区间: x [a, b].
微分元素: d W f ( x) d x.
b b
W
O a
b x
变力作功的几何表示
功的计算 : W d W f ( x) d x.
a a
例1
直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,
第五章 一元函数微积分的应用
第五章 一元微积分的应用5.1 函数图象的几何性质一 基本概念定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有0()()f x f x <（0()()f x f x >）， 则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值． 定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++<1212()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（1）则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．公式（1）可以改写为：1212()()()f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()f x x f x f x αβαβ+>+ （2） 其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点； 定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。
注1 极值点和最值点的区别和联系：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点． 注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．二 基本方法1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值； 在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===L ，而()0()0n fx ≠，则(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点． 2 求函数()y f x =的单调区间（1）求函数()f x 的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．3 求函数()y f x =在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x L ，则函数()y f x =在[,]a b 的最大值与最小值分别为12max{(),(),,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =L ；12m in{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =L 。
高数一元微分学应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求函数旳极值、最大最小值、判断函数旳单调性、 判断函数旳凸凹性以及求函数拐点旳措施。
▪ 能利用函数旳单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关旳数学模型旳措施。能熟练求解
有关变化率和最大、最小值旳应用问题。 ▪ 懂得平面曲线旳弧微分、曲率和曲率半径旳概念，并能计算
而 lim f (x) lim (sin x x) ,
x
x
lim f (x) lim (sin x x) ,
x
x
由连续性,曲线 y f (x) 与 x 轴至少有一个交点.
综上所述, 曲线 y f (x) 与 x 轴有且仅有一个交点,
即方程 sin x x 在 (, )内有且仅有一个实根 .
将 (1) 式两边关于 t 求导, 得
d y 2 x d x ,
dt
dt
故在 x 200时, 圆板面积的增加率为
d y 2 200 0.01 4 (cm/ 秒).
dt
例6 向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3/分, 求当水深 5 米时水表面上
2. 导数在物理学中旳简朴应用
请点击
(1) 求物体运动旳速度、加速度或变量旳变化率 .
(2) 求变量间旳有关变化率 .
1. 导数在几何中的简单应用 (1) 求曲线 y f (x) 在某点处的切线方程和法线方程.
设函数 f (x) 可微, 则曲线 y f (x) 在点 M (x0 , y0 ) 处 :
故 f (x) [3, ) ,
由此可得 : {xn} , (n 3) .
三、函数旳极值
函数旳极值是个局部性旳概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
高等数学-一元函数积分学的应用
⾼等数学-⼀元函数积分学的应⽤⽬录⼀元函数积分学的应⽤⼏何学中的应⽤1.平⾯图形的⾯积（1）⼀般形式<1>设平⾯图形是由两条曲线y=f1(x)，y=f2(x)及两条直线x=a，x=b所围成的，其中f1(x)，f2(x)均在[a,b]上连续，且f2(x)≥f1(x)，则该平⾯图形的<2>设平⾯图形是由两条曲线x=g1(y)，x=g2(y)及两条直线y=c，y=d所围成的，其中g1(y)，g2(y)均在[a,b]上连续，且g2(y)≥g1(y)，则该平⾯图形（2）参数⽅程形式A=∫b a|f(x)|d x=∫βα|ψ(t)|ϕ′(t)d t（3）极坐标⽅程形式曲边扇形：由连续曲线r=r(θ)与θ=a,θ=b（a<b）所围成的平⾯图形称为曲边扇形A=12∫βαr2(θ)dθ2.⽴体体积（1）A(x)为截⾯⾯积函数，且在[a,b]上连续，则V=∫b a A(x)d x（2）旋转体的体积x=a,x=b,绕x轴旋转：V=π∫b a f2(x)d xy=a,y=b,绕y轴旋转：V=π∫b a g2(y)d yx=a,x=b,绕y轴旋转：V=2π∫b a xf(x)d x题⽬：教科书P253 例6.2.9 例6.2.103.平⾯曲线的弧长（1）⼀般形式设函数y=f(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则曲线y=f(x)在区间[a,b]上的弧长为s=∫b a√1+f′(x)d x （2）参数⽅程形式s=∫b a√ϕ′2(t)+ψ′2(t)d t（3）极坐标形式s=∫b a√r2(θ)+r′2(θ)dθPS：注意s≠∫b a r(θ)rmdθ，因为⽆法保证误差为Δx的⾼阶⽆穷⼩4.平⾯图形的曲率曲率定义：设曲线弧MN两端点处切线改变⾓为Δα，曲线弧MN的长度为Δs，称⽐值|ΔαΔs|为曲线弧MN的平均曲率，记为¯K|limN→MΔαΔs|=|dαd s|=K为曲线在M处的曲率曲率计算：（1）⼀般形式若函数y=f(x)⼆阶可导，则曲线在点M(x,y)处的曲率为K=|f″（2）参数⽅程形式K=\frac{|\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)|}{[\phi'^2(t)+\psi'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}曲率圆：如果曲线上点M处的曲率不为0，就称R=\frac{1}{K}为曲线在M处的曲率半径，并在M处凹向法线上取点C(x_1,y_1)使|CM|=R，则C为曲率中⼼，以 C为圆⼼，R为半径的圆为曲率圆5.旋转体的侧⾯积（1）⼀般形式设函数y=f(x)在[a,b]上具有连续导数，且f(x) \geq 0，则由x轴，直线x=a，x=b，以及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体的侧⾯积为S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}{\rm d}xPS：圆台侧⾯积S=\pi l(R+r)（2）参数⽅程形式S=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}{\rm d}t题⽬：1.x^2+y^2=R^2，（R>0），x \in [x_1,x_2] \subset [-R,R]，将该图形绕x轴旋转形成球台，则侧⾯积为S=2\pi R(x_2-x_1)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。
高等数学一元微积分导数在经济学中的应用
高等数学一元微积分导数在经济学中的应用一、经济学中的常见函数作业 P143, 2, 4, 8, 10. 例 5. 某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后得出总利润（元）与每月产量（吨）的关系为，试确定每月生产20吨， 25吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。
解：边际利润函数为上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高. 边际利润（5）边际需求定义若是需求函数，则需求量对价格的导数称为边际需求函数。
的反函数是价格函数，价格对需求的导数称为边际价格函数。
由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格函数互为倒数，即解：它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位. 当时的边际需求为定义 3. 弹性概念设函数在点处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从到两点间的平均相对变化率，或称两点间的弹性。
注意：两点间的弹性是有方向性的。
记作，或即弹性函数的定义对一般的，若可导且，则有是的函数，称为的弹性函数（简称弹性）函数在点处的弹性反映了的变化幅度对变化幅度的大小的影响，也就是对变化反应的强烈程度或灵敏度。
表示在点处，当产生1%的改变时，近似地改变。
由弹性的定义边际函数平均函数弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。
常见函数的弹性（a , b , c , ?为常数）（1）常数函数的弹性（2）线性函数的弹性（3）幂函数的弹性常见函数的弹性（a , b , c , ?为常数）（4）指数函数的弹性（5）对数函数的弹性（6）三角函数的弹性，弹性的四则运算函数弹性的图解方案对于给定的函数的几何意义知（如图所示），由边际函数又平均函数为则注：常用符号表示需求的价格弹性的绝对值 1. 需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为三、经济学中常见的弹性函数解：例1 某需求曲线为，求 P 20时的弹性。
14-一元微分学应用(一)
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微分学一元微积分的应用(一)——函数的单调性、极值主讲:邹为.1用导数在几何中的简单应.2应用导数在物理学中的简单.)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy.)2(点处的交角求两条相交的曲线在交.)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加.)2(求变量间的相关变化率由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:, )( 则内可导在区间若函数I x f0)(>'x f )(I x f ↑)(I x f ↓ . )( 0)(单调性的分界点的点可以作为函数x f x f =' 0)(<'x f观察下面的图形, 你能得出什么结论？O x y ⋅O xy ⋅)( 不存在的点也可作为使得函数的导数x f ' . 函数单调性的分界点综上所述, 可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 ,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 ,在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法提供了判断函数单调性的方法 )( 0)( )( 不存在的点或的导数使得函数x f x f x f '='. 分界点可以作为函数单调性的. 82 的单调性讨论x x y +=),0()0 ,( :∞+-∞ 定义域282x y -=')4(222-=x x得令 , 0 ='y , 2 , 221-==x x xy 'y )2 , (-∞-2-0) ,2(-02) ,0(2) ,2(∞+++--00例1解xx y 82 ,+=函数综上所述) (2, , )2 ,( ；内单调增加在∞+--∞. )2 ,0( , )0 ,2( 内单调减少在- 列表可使问题明朗化. ) ,( sin 内有且仅有一个实根在证明：方程∞+-∞=x x ,) ,( sin )( ∞+-∞∈-=x x x x f 令, 01cos )( X)X,- ≤-='x x f 内在（],[)(sin )( X X x x x f -↓-=从而. )( , 轴最多有一个交点与曲线就是说x x f y =例2证0)(,0)(0X , )) ,(()( >-<>∞+-∞∈X f X f C x f 使，而且我们知存在则. )( ,轴至少有一个交点与曲线由连续性x x f y = , )( ,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述x x f y =. ) ,( sin 内有且仅有一个实根在即方程∞+-∞=x x0)()(<-X f X f. )3( 是单调减少的数列证明：≥=n n x n n ,) ,3[ ,)( 1∞+∈=x x x f x 令21ln 1)(xx x x f x -⋅=', 3 时当≥x , 0)(<'x f ,)( ) ,3[∞+↓x f 故. )3( , }{ :≥↓n x n 由此可得利用函数处理数列例4证函数的极值是个局部性的概念..)( )( )U( 00的大小与内比较在x f x f x 我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 — 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 — 可利用高阶导数三、函 数 的 极 值定理. 0)( )( 00='x f x x f 处取极值的必要条件是在点可微函数费 马Pierre de Fermat(1601－1665) 费马，法国数学家. 出身于一个商人家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,1637写下了著名的算术》时年费马研究丢番图的《: 费马大定理. , , )2( z y x n z y x n n n 的正整数不存在满足>=+费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .. )( 0)( 0的驻点的点称为函数使x f x f =' . ,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知.极值函数在驻点处不一定取, 0 , 0 ='=y x 处在点,3x y =例如 . 0不是极值此时但=x y y x O. 点也是极值可疑点使得函数导数不存在的) ,( || ,∞+-∞∈=x x y 例如,0 处不可导在点=x . 0 恰好是它的极小点但=x yx O 极值可疑点. 0)( :的点驻点='x f 不存在的点)(x f '首先考察下列函数的图形:O xy 0x δ+0x δ-0x O x y 0x δ+0x δ-0x 极大点极小点极大点极小点不是极值点O xy 0x δ+0x δ-0x O x y 0x δ+0x δ-0x O x y0x δ+0x δ-0x 不是极值点O x y0x δ+0x δ-0x极小点不是极值点O xy 0x δ+0x δ-0x O x y 0x δ+0x δ-0x O x y0x δ+0x δ-0x 极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？对于不连续函数比较复杂，我们主要讨论连续函数判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右两侧函数的单调性.对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号., )(Uˆ , ))(U()( 00内可微在设x x C x f ∈,)( 0的极值可疑点为点x f x ;0)( , )1(0>'<x f x x 时若, 0)( , 0<'>x f x x 时.)( , )( 00为极大值的极大点为则x f x f x ;0)( , )2(0<'<x f x x 时若, 0)( , 0>'>x f x x 时.)( , )( 00为极小值的极小点为则x f x f x (单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理证 : , )(Uˆ0由已知条件可知x x ∈∀ , ] ,[ , ; ] ,[ , 0000上在时上在时x x x x x x x x <> . )( 条件满足拉格朗日中值定理函数x f , ,0时于是x x >使, ) ,(01x x ∈∃ξ))(()()(010x x f x f x f -'=-ξ使, ) ,(02x x ∈∃ξ))(()()(020x x f x f x f -'=-ξ, 0时x x <由定理中 (1) 的条件, 得,0时x x >, )()(0x f x f <, 0时x x <,)()(0x f x f <O xy0x . )( , )( 00为极大值的极大点为故x f x f x 由定理中(2) 的条件, 得,0时x x >, )()(0x f x f >, 0时x x <, )()(0x f x f >O x y0x .)( , )( 00为极小值的极小点为故x f x f x)U( , 00内就是在是否为函数的极值点判别点x x. )( )( 0的大小与比较函数值x f x f 泰勒公式也体现了想想还有哪一个公式中?比较关系的与 )( )(0x f x f, )1( )U( )( 0则阶导数内有直到在设+n x x f . )()(!)()(000)(x R x x k x f x f n n k k k +-=∑=)( )(!2)())(()()( 200000x R x x x f x x x f x f x f n ++-''+-'=- 即看这一部分))((o )(!2)()()(202000x x x x x f x f x f -+-''=-, , ))(U()( 00有二阶导数在设x x C x f ∈则即的驻点为且 , ) 0)( ( )( 00='x f x f x ; )( , 0)( )1(00的极大点为时x f x x f <'';)( , 0)( )2(00的极小点为时x f x x f >''. )( , 0)( )3(00的极值点是否为不能判定时x f x x f =''此时应另找其他方法.什么方法？定理. )1()( 322的极值求-=x x f , ) ,( )(∞+-∞∈x x f 的定义域：3312)1)(1( 342)1(32)(-+=⋅-='-x x x x x x f ,0 , 0)( =='x x f 得驻点令, )( , 1 , 1 不存在时又x f x x '=-=. 1 , 0 , 1 ==-=x x x 极值可疑点为故列表讨论单调性, 判别极值:例5解. 12)( 3的极值求x x x f -=, ) ,( )(∞+-∞∈x x f 的定义域：123)(2-='x x f )2)(2(3-+=x x 0)( ='x f 令,2 , 2 =-=x x 驻点,6)( x x f =''又,012)2(<-=-''f ,16)2( , 2 =--=f x 极大值为极大点故,012)2(>=''f ,16)2( , 2-==f x 极小值为极小点例6解. 1)1()( 32的极值求+-=x x f , ) ,( )(∞+-∞∈x x f 的定义域：22)1( 6)(-='x x x f 得驻点令 , 0)( ='x f , 1 , 0 ,1==-=x x x 1)(5)1( 6)( 22--=''x x x f 又,06)0( >=''f , )( 0 的极小点是x f x =∴. 0)0( =f 极小值,0)1( , 0)1( =-''=''f f 而怎么办？例7解首先看看函数的图形.O xy1-1由图形可知:1±=x 不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述.1 )( 处在该题也可通过讨论函数±=x x f. 左右两边的单调性来做22)1( 6)(-='x x x f -11--++所以有：X=-1,+1不是极值点怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？回忆以前学过的知识：,) ] ,[ ()( b a C x f ∈若上必在则 ] ,[ )( b a x f 取到它的最大值和最小值 .内在如果 ) ,( )( b a x f 取得其最大值和最小值 , 则这些最值一定是函数的极值 .)(x f 的最大值和最小值可能在区间的端点, , 处取得b x a x ==也可能在区间内部取得.温故而知新求一个连续函数在] ,[b a 上的最大值和最小值 , 只要先求出函数内的在 ) ,( )(b a x f 一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值 , 其中最大者就是函数在区间)(x f .] ,[ 上的最小值区间b a 最小者就是函数, ] ,[上的最大值b a 在 )(x f求最值的几个特殊情况, )( )1(] ,[b a x f ↑若 , )( 为最大值则b f .)(为最小值a f , )( )2(] ,[b a x f ↓若 , )( 为最大值则a f .)(为最小值b f , ) ] ,[ ()( )3(b a C x f ∈若) ,( 内只有唯一点一个在b a 极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .实际判断原则, I 0x 可疑点上只有唯一的一个极值在区间 I )( 上在区间函数而由实际问题可以断定x f )( )(0的最必为函数值，则点小存在最大x f x. )(值点小大 ) I ()( ，且在处理实际问题时：若C x f. ]2 ,2[ 52)( 24上的最大和最小值在求-+-=x x x f x x x f 44)(3-=')1)(1(4-+=x x x ,0)( ='x f 令:得极值可疑点)( , 1 , 0 , 1驻点==-=x x x 计算函数值:; 4)1( , 5)0( , 4)1(===-f f f , 13)2( , 13)2(==-f f ( 端点值 )例8解: 2] ,2[ )( 上的最大值和最小值为在故-x f 13} 13 ,13 ,4 ,5 ,4max{max ==y 4} 13 ,13 ,4 ,5 ,4min{min ==y. 2 , 2 : =-=x x 最大值点为.1 , 1 : =-=x x 最小值点为没有什么新的东西则表示获利以 , Q yx p Q -=由经验公式, 得20030x p -=于是)5(25000 )20030(x x x Q +--= 05200)20030( =---='x x Q 令得唯一极值可疑点, )( 2500册=x 解。