高等几何试题(1).docx
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
高等几何试卷1
毕节学院课程试卷~ 学年度第 学期《高等几何》学院 级 专业 班 姓名 学号 得分主考教师： 试卷类型：（ 卷）阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的题号前；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。
（1， 0， 0），则（ABC ）= ；2、若（),4321P P P P =4，则（),3421P P P P = ；（),4231P P P P = ； （),4132P P P P = ；3、设(AB,CD)=21，则点偶 调和分割点偶 ； 4、过点（1，－i ，2）的实直线的齐次方程为： ；5、无穷远线的方程为： ；6、两个射影点列成透视的充要条件是 ；7、直线04321=-+x x x 上的无穷远点的齐次坐标为： 。
5、设λ，λ'分别表示两个一维基本形B A λ+与B A λ'+的坐标的参数，则变换式06342=-'-+'λλλλ是一个一维射影变换。
（ ）二、作图题：（15分）已知A ，B ，C 三点，求作点D ，使()1,2AB DC =。
（要求：写出作法并予以证明）三、解答证明题：（共40分）1、直线AB 与CD 交于M,AC 与BD 交于N, MN 分别交AD,BC 于K, H, 直线BK 交AC 于L, 求证:LH,CK,AM 交于一点. （10分）ABMCDKNLH2、已知A(1,2,-1),B(2,-3,1),C(1,9,-4),D(8,-5,1).（10分） （1）证明D C B A ,,,共线（2）将D C ,的坐标表示为B A λ+的形式 （3）求交比（AB,CD ）3、求射影变换1122233x x xx x x x ρρρ⎧'=+⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎩的不变点和不变直线。
高等几何习题集[1]2
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高等几何习题集习题1.11．证明：任一三角形都有一个内切椭圆，其切点为三边的中点，中心为三角形的重心；同时有一个外接椭圆以三角形的重心为中心。
2．平行于平行四边形ABCD 对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F ，证明：三角形AED 和CDF 的面积相等。
3．在椭圆的内接三角形的顶点作切线构成外切三角形，证明：如果这两上三角形有两对边平行，则第三对边也平行。
4．过三角形ABC 内任一点P 作DE//BC ，交AB 、AC 于E 、E ，作FG//CA 交BC 、BA 于F 、G ，作HK//AB 交BC 、CA 于H 、K ，证明：=++ABHK CA FG BC DE 常数。
5．设X 、Y 是三角形ABC 的边AB 、CA 上的动点，满足BX ：XA=CY ：Y A 。
证明：BY 与CX 的交点在一条定直线上。
6．设D 、E 、F 各是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA ，证明：CD E BFD AEF S S S ∆∆∆⋅=2。
7．将三角形的每边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，证明：此六边形的三双对顶点的连线共点。
8．在三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC = CE ：EA = AF ：FB = 1 ：n 。
设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明：1122++-=n n n S S ABC LKM )(∆∆ 。
9．设点D 、E 、F 分别位于三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上，且BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB ，三线AD 、BE 、CF 构成三角形PQR ，证明：三角形ABC 、DEF 和PQR 具有共同的重心。
10．过椭圆的弦AB 的中点C 任作二弦PQ 和ST ，PS 、QT 分别交AB 于M 、N ，证明：MC=CN 。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何试题.
高等几何试题一、填空题（每题 3 分，共 27分）1、两个三角形面积之比是（）。
2、相交于影消线的二直线必射影成（）。
3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（）。
4 、一点x （x1,x2,x3）在一直线u u1,u2,u3 上的充要条件是（）。
5、已知（p1p2, p3p4） 3,则（p4p3,p2 p1）=（），（p1p3,p2 p4）=（）。
6、如果四直线p1, p2 , p3 , p4满足（ p1 p2 , p3 p4 ） 1 ，则称线偶p3,p4和p1,p2（）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（）。
8、不在二阶曲线上的两个点 P（p1p2p3），Q（q1q2q3）关于二阶曲线S aij xixj0 成共轭点的充要条件是（）。
9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）。
二、计算题（每题 8 分，共 56分）221、计算椭圆的面积（椭圆方程：x2 y2 1 a,b 0 ）ab2、求共点四线l1:y k1x，l2: y k2x，l3:y k3x，l4: y k4x的交比。
x1 x13、求射影变换x2x2 的不变元素。
x3 x34、求二阶曲线6x12x22 24x32 11x2x3 0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、求双曲线x2 2xy 3y2 2x 4y 0 的渐近线方程。
6、求抛物线2x2 4xy 2y2 4x 1 0 的主轴和顶点。
7、求使三点O(0, )，E(1,1)，P(1, 1)顺次变到点O (2,3) ，E(2,5) ，P(3, 7) 的仿射变换。
三、已知A(1,2,3) ，B(5, 1,2) ， C (11,0,7) ，D(6,1,5) ，验证它们共线并求(AB,CD) 的值。
(8 分)四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
(9 分)答案1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1 u2x2 u3x3 05、3 26、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、S pq 0221、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为x2y21 abxx经过仿射变换其对应图形为2 2 2 xya在仿射变换①之下， A A ， B B ，O O ，所以VAOB对应VAOB ，其中 A A ，根据定理 3.6 推论 2，有椭圆面积圆面积S V AOB S V AOB所以椭圆面积1ab12 a 2因此所给椭圆的面积为ab 。
高等几何习题参考答案
高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。
二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。
三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。
四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。
五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。
六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。
其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。
七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。
八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
高等几何练习题(附参考答案)
1.求一个二维射影变换，它使点（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）,（0,0,1）分别变为（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,1）。
2. 求通过点（1,0,1），（0,1,1），（0,-1,0）且以031=-x x ，032=-x x 为切线的二次曲线的方程。
3.已知一个一维射影变换的三对对应点的参数为：0→1/2，2→5/8，1→3/5，求出此射影变换的参数对应方程和自对应点的参数。
4.给定二次曲线C: 02223222121=++-x x x x x ， (1)求点P(1,1)关于二次曲线(C)的极线以及x 轴关于的二次曲线(C)极点。
(2) 判断二阶曲线(C)的类型，并求二阶曲线(C)的过点(1,0,0)的直径及其共轭直径。
5.设四直线4321,,,l l l l 的方程分别为,023,02321321=-+=+-x x x x x x,0721=-x x ,0531=-x x ，求),(4321l l l l 的值。
6. 一个一维射影对应，它使直线l 上的点)1(1P ，)2(2P，)3(3P 顺次对应直线l '上的点)1(1-'P ，)2(2-'P ，)3(3-'P，请写出该一维射影对应的非齐次表达式与齐次表达式。
7.求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，12='+λλ所构成的二次曲线的方程。
8.已知二阶曲线c ：04228233231212221=+-++-x x x x x x x x x ， （1） 此二阶曲线什么类型的？其中心是什么？（2）试求此二阶曲线的渐近线。
9.求一仿射变换，使直线x+2y-1=0上的每一个点都不变，且使点（1,－1）变为点（－1,2）。
1．（15分）解：所求变换式为：3132121111x a x a x a x ++='ρ 3232221212x a x a x a x ++='ρ 3332321313x a x a x a x ++='ρ （3分） 将（1,0,1）→（1,0,0）,（0,1,1）→（0,1,0）,（1,1,1）→（0,0,1）,（0,0,1）→（1,1,1）代入上式可解得：1:1:1:1:0:1:1:1:0::::::::333231232221131211----=a a a a a a a a a （6分）∴所求变换式为：321x x x +-='ρ 312x x x +-='ρ 3213x x x x +--='ρ （6分）2.（15分）0222233332233113222221122111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a过点（1,0,1） 02331311=++a a a过点（0,1,1） 02332322=++a a a过点（0,-1,0） 022=a （6分）02331311=++a a a ，023323=+a a ，022=a ， ∴02312=+a a ，)(33131311a a a a +-=+ （0,1,1）在曲线上，切线032=-x x ，0)()()(333232232211312=+++++x a a x a a x a a∴01312=+a a ，)(33232322a a a a +-=+∴曲线方程为023323121=+--x x x x x x x 。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是欧几里得几何的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 所有直角都相等C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短答案：C2. 在平面几何中，一个三角形的内角和是多少？A. 180度B. 360度C. 90度D. 270度答案：A3. 以下哪个几何图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A4. 一个圆的面积公式是？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式是______。
答案：C = 2πr2. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是______平方厘米。
答案：503. 在直角坐标系中，点(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。
答案：(3,-4)4. 一个正方体的体积公式是______。
答案：V = a³三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是勾股定理？请给出其公式并解释其意义。
答案：勾股定理是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
公式为a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
这个定理说明了在直角三角形中，边长之间的关系。
2. 描述一下什么是相似三角形，并给出相似三角形的性质。
答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边的比例相等的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例，以及面积比等于对应边长比的平方。
3. 解释一下什么是圆的切线，并给出切线的性质。
答案：圆的切线是指在圆上某一点处与圆相切的直线。
切线的性质包括：切线与过该点的半径垂直，且在切点处只有一个切线。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个半径为5cm的圆，求其周长和面积。
高等几何测试题及答案
高等几何测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在三维空间中，以下哪个几何体的体积是最小的？A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体答案：D2. 以下哪个定理是关于直线与平面关系的？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 毕达哥拉斯定理D. 欧拉定理答案：B3. 在欧几里得几何中，以下哪个图形是不可测量的？A. 线段B. 角度C. 面积D. 体积答案：B4. 以下哪个几何概念与曲面的曲率有关？A. 向量B. 张量C. 标量D. 矢量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个球体的表面积公式是_______。
答案：4πr²2. 一个圆柱体的体积公式是_______。
答案：πr²h3. 欧拉特征数对于一个球体的值是_______。
答案：24. 一个圆锥体的侧面积公式是_______。
答案：πrl三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在三维空间中，任何两个不同平面的交线都是一条直线。
答案：略2. 解释并证明高斯-博内定理在曲面上的适用性。
答案：略四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算半径为3的球体的体积。
答案：4/3π(3)³ = 36π2. 计算底面半径为4，高为5的圆柱体的表面积。
答案：2π(4)² + 2π(4)(5) = 32π + 40π = 72π结束语：以上为高等几何测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握高等几何的基本概念和定理。
高等几何 习题和答案
Desargues透视定理
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
C
A L F V D E G
U
B
证法二 设 GL×UA=E, 我们只需证明C, E, F 三点共线. 由三 点形GBL与UDA有透视中心 V, 得对应边的交点 C, E, F 三点 共线, 即 LG, CF, AU 共点.
证法三 解析方法(略).
习题P58-1.6.2 已知射影平面上一条直线p以及不在p上的相异
两点 A,B, 不允许连结AB, 求作直线AB与p的交点C p
A
B
b, c, d为平面内四条直线, 不允许作a, b交点
和 c, d 交点, 求作一条直线 l, 使得l 通过这两个交点. ξ O η γ B C C’ B’ D E Q c
Desargues透视定理
二、应用举例
1、证明共线点与共点线问题
C
A L F V D E G
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
U
B
证法一 考察三点形LFA与GCU, 因为 LF×GC=B,FA×CU=D, AL×UG=V, 而显然 B,D,V 三点共线, 所以这一对对应三点形 满足 Desaugues 透视的定理的逆定理的条件, 其对应顶点的连 线 LG, CF, AU必定共点.
A’
高等几何_习题集(含答案)
《高等几何》课程习题集一、计算题11. 设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C 和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。
2. 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。
3. 求射影变换11221231234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。
4. 试求四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0顺这次序的交比。
5. 已知线束中的三直线a ，b ，c 求作直线d 使（ab ，cd ）=－1。
6. （i ）求变换：x'=21x x -，y'=21yx -的二重点。
（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。
7. 设P 1，P 2，P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2，求点P 3的坐标。
8. 在直线上取笛氏坐标为 2，0，1的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E (i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？9. 直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。
10. 设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点0,3,2；11. 从变换式112321233123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 12. 求四点(2，1，－1),(1，－1，1),(1，0，0),(1，5，－5)顺这次序的交比。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何试题
高等几何试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.菱形的仿射对应图形是( ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 2.在拓广平面上，直线2x -y +1=0上的无穷远点的齐次坐标为( )A.(1,2,0)B.(2,1,0)C.(1,-2,0)D.(2,-1,0)3.仿射几何的基本不变量是( ) A.简比 B.交比 C.距离 D.角度4.两个一维基本形F 与F ′的任意四对对应元素的交比相等是F ∧F ′的( )A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4类B.5类C.6类D.7类 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.仿射变换将正方形变为____________.7.经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是____________. 8.两射影点列成透视的充要条件是____________.9.在仿射平面上，若无穷远直线关于二次曲线Г的极点为有限点，则此点叫做Г的____________.10.常态无心二次曲线是____________.三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求仿射变换⎩⎨⎧-=+-=y x y y x x 24'43'的自对应点和自对应直线.12.求直线(1-i ,2+i ,3i )上的实点.13.求对合方程,两对对应点的参数各为2与2,1与4,并确定该对合所属类型. 14.求一射影变换,它使点(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)分别变为(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),使直线(1,1,1)变为直线(0,0,1).15.求点(1,-1,0)关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线.16.求二次曲线xy +x +y =0的渐近线方程.四、作图题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)（写出作法）17.给定共线四点A ，B ，C ，D,共线三点A ′,B ′,D ′求作点C ′,使得(A,B,C,D)∧ (A ′,B ′,C ′,D ′).题17图18.已知椭圆及其外一点P,求作它的两条切线.题18图五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)19.设三角形ABC 的顶点A,B,C 分别在共点的三直线α,β,γ上移动,且直线AB 和BC 分别通过定点P 和Q,求证CA 也通过PQ 上的一个定点.20.证明巴卜斯定理：设A 1,B 1,C 1三点在一直线上,A 2,B 2,C 2三点在另一直线上,B 1C 2与B 2C 1的交点为L,C 1A 2与C 2A 1的交点为M,A 1B 2与A 2B 1的交点为N,证明:L,M,N 三点共线.21.设三点形ABC 三边BC,CA,AB 分别与二阶曲线切于P,Q,R ，QR 与BC 交于点X ，求证(BC,XP)=-1.题21图。
高等几何试题及答案
试卷类型： A高等几何使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（ √ ） 共 6 页题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分一、 填空题（每小题4 分，共 20 分） 1、设 P 1 (1)， 2P (-1)， 3P ( )为共线三点，则 ( 1P 2P 3P ) 。
2、写出德萨格定理的对偶命题：。
3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。
4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：。
5、二次曲线的点坐标方程为 4xx x 2 0，则其线坐标方程为是 。
二、 选择题 （每小题 2 分，共 10 分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？ ( )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. u 12 2u 1u 2 8u 22表示( ) A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点名姓 号学 班 业专 系1 3 2┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 线┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 封┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 密┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点C. 以4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？ ( )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有 ( )：A. 三角形的垂心B. 梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4 类B.5 类C.6 类D.8 类三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
（）2.两直线能把射影平面分成两个区域。
（）3.当正负号任意选取时，齐次坐标(1,1,1)表示两个相异的点。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案试题一：已知三角形ABC中，AB = AC，D为BC边中点，AD的延长线交BC于点E，且DE = DC。
证明：∠ABC = ∠ACD。
解析：首先，根据已知条件可得到以下几个等式：AB = ACDE = DC我们需要证明∠ABC = ∠ACD。
为了证明这个等式，我们可以利用三角形的相似性。
设∠ABC = α，∠ACD = β。
根据三角形ABC中的角度和为180°，我们可以得到∠BAC = 180°- 2α。
同样地，根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠CAD = 180° - 2β。
接下来，我们分别观察三角形ABD和三角形ACD。
在三角形ABD中，根据角度和的性质可得∠BAD = 180° - ∠BDA - ∠ABD = 180° - (180° - 2α) - α = α。
同时根据三角形ABD中的角度和为180°，我们可以得到∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = α。
在三角形ACD中，根据角度和的性质可得∠CAD = 180° - ∠CDA - ∠ACD = 180° - (180° - 2β) - β = β。
同时根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠ACD = 180° - ∠ACD - ∠ACD = β。
由于 DE = DC，根据等腰三角形的性质可知三角形ACD和三角形CDE相似。
因此，我们可以得到以下等式：AC/CD = CD/DEAC/BC = BC/DC将已知条件代入上述等式，得到：AB/BC = BC/DCAB = AC由于 AB = AC，且 BC = BC，根据全等三角形的性质可知三角形ABC和三角形ACD全等。
因此，我们可以得到∠ABC = ∠ACD。
综上所述，已证明∠ABC = ∠ACD。
《高等几何》课程期末练习
《⾼等⼏何》课程期末练习《⾼等⼏何》课程期末练习⼀.选择与填空题1.⾮零向量a 与b 的内积0=?b a，那么（）.A. a 与b 平⾏ B . a 与b 垂直 C ．a 与b 线性相关 D.⽆法判定解选B ．由定义1.4，>垂直的充要条件是0=?b a ．2．若向量a 与b线性相关，那么（）.A ．存在实数21,k k ，使021=+b k a kB ．存在不全为0的实数21,k k ，使021=+b k a kC ．a 与b 不平⾏D ．a与b 垂直解选Ｂ．由向量的线性相关性定义即可得出．3.设a与b 是两个⾮零向量，则下列结论正确的是（）．A ．b a b a ≤?B ． b a b a =?C ． b a b a ≥?D ． b a b a >? 解选Ａ．因为1,cos >≤，所以b a b a b a b a ?>≤4．平⾏射影保持如下哪种关系和量不变（）。
A ．垂直关系B ．平⾏关系C ．长度D ．⾓度解选Ｂ．因为平⾏射影是仿射对应，由定理２．１，⼆直线的平⾏性是仿射不变性质．5．平⾏射影把（）.A.平⾏线投影为平⾏线B.把平⾏线投影为相交线C.保持线段的长度不变D.保持图形⾯积不变解选Ａ．因为平⾏射影是仿射对应，由定理２．１，⼆直线的平⾏性是仿射不变性质．6．在中⼼射影下，如下哪种量不变（）。
A ．⾓度B ．交⽐C ．⾯积D ．长度解选Ｂ．由定理４．８，两个点列经过中⼼投影交⽐不变．7．在中⼼射影下，（）. A.交⽐不变. B.平⾏线变成平⾏线.C.直⾓三⾓形变成直⾓三⾓形D.平⾏四边形变成平⾏四边形. 解选Ａ．由定理４．８，两个点列经过中⼼投影交⽐不变．8．点列之间的射影对应是由（）．A ．三对对应点唯⼀确定B ．两对对应点唯⼀确定C ．四对对应点唯⼀确定D ．⽆限对对应点唯⼀确定解选Ａ．因为已知两个⼀维图形的三对对应元素可以确定唯⼀⼀个射影对应．9．仿射变换把正⽅形变成( ).A ．正⽅形B ．矩形C ．平⾏四边形D ．不能确定解选Ｃ．由定理２．１，两直线间的平⾏性是仿射不变性．⽽⾓度不是仿射不变量．10．仿射对应下，哪些量不变。
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《高等几何》试题（１）1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1）的象为原点 .( 15 )2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 )3. 写出直线3x xx 轴,y10+2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.()14.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 )6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12)124 1 2 3 437.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 )8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 )9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )《高等几何》试题（２）1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 )2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使c i la i mb i(i 1,2,3). (10)4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2l 2的方程.(15)，求35.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应 . ( 10)7. 求两对对应元素 , 其参数为11,02, 所确定对合的参数方2程. ( 10 )8. 两个重叠一维基本形A B, A B 成为对合的充要条件是对应点的参数与满足以下方程:a b() d 0( ad b20) (15)《高等几何》试题（３）1.求仿射变换x 7 x y 1, y 4x 2 y 4的不变点和不变直线. (15 )2.求椭圆的面积 .( 10 )3.写出直线 2x1+3x2- x3=0, x 轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2 x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x1 0 ，且 (l1l 2 , l3 l 4 )2)，求 l 2的方程.(1536.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( 15 )7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 20 )[2005 — 2006 第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（ A）一、填空题（每题 3 分共 15 分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x y0 上的无穷远点坐标为3、过点（ 1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为5、二次曲线6x2y211y 24 0 过点 P(1,2) 的切线方程二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、 (7 分 ) 求一仿射变换，它使直线x 2 y 1 0 上的每个点都不变，且使点（1,-1 ）变为（ -1 ， 2）四、（ 8 分）求证 : 点A(1,2, 1), B( 1,1,2), C (3,0,5) 三点共线，并求t , s使 c i ta i sb i ,( i 1,2,3)五、 (10 分 ) 设一直线上的点的射影变换是x/3x 2证明变换有两个自对应点，且这两自x4对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（ 10 分）（1）求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2 x123x22x326x1 x2 2x1 x3 4x2 x30 的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。
（写出作法，并画图）八、（ 10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）已知A, B, P,Q , R 是共线不同点，如果 ( PA, QB)1,(QR, AB)1,求 ( PR, AB)《高等几何》试题（ B）一、填空题（每题 3 分共 15 分）x/7x y11、仿射变换/4x 2 y的不变点为y42、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线 [i ,2,1-i]上的实点为4、若交比( AB, CD ) 2 则 ( AD , BC )5、二次曲线中的配极原则二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、 (7 分 )经过 A( 3,2) 和 B(6,1)的直线 AB 与直线x 3 y 6 0 相交于P，求 ( ABP)四、（ 8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（ 10 分）已知直线L1 , L2, L3 , L4的方程分别为： 2x y 1 0,3x y 2 0,7 x y 0,5 x 10求证四直线共点，并求( L1 L2 , L3 L4 )六、 (10 分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（ 10分）求（ 1）二阶曲线x122x223x32x1x30过点 P(2,5,1) 的切线方程2（ 2）二级曲线u12u22 17u320在直线 L[1 ， 4， 1]上的切点方程八、（ 10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（ 10 分）已知二阶曲线（C）：2x124x1x26x1x3x320（1）求点P(1,2,1)关于曲线的极线（2）求直线3x1x26x30关于曲线的极点十、（ 10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（ C）一、填空题（每题 3 分共 15 分）6、直线x y 20x/2x y1在仿射变换/x y下的像直线y37、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为8、过点（ 1,-i ,2）的实直线方程为9、射影变换'230 自对应元素的参数为10、二级曲线 u12u2217u320 在直线上[1,4,1]的切点方程三、判断题（每题 2 分共 10 分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5 、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）三、 (7分 ) 已知OX轴上的射影变换x'2x 1，求坐标原点，无穷远点的对应点x3四、（ 8分）已知直线a,c, d 的方程分别为2x1 x2 x30, x1 x2 x3 0， x1 0且(ab, cd)2求直线 b 的方程。
3五、（ 10 分）已知同一直线上的三点A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为B, C , A 并判断变换的类型，六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
x1'x1x2七、（ 10 分）求射影变换x2'x2的不变点坐标x3'x3八、（ 10 分）叙述并证明帕斯卡定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）试证 : 双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F 调和共轭即 ( PP', EF )=-1[ 参考答案 ]高等几何标准答案（ A）一、填空题：（每空 3 分共 15 分）1、单比，交比 2 、（ 1,-3,0 ） 3、 x30 4、 2' 5(' ) 12 05、 12x1 7x226 x3 0二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线 x 2 y 10 上任取两点A(1,0), B(1,1)2分由 A(1,0)A(1,0), B(1,1)B( 1,1),(1, 1)(1,2)x' a x a y a设仿射变换为111213将点的坐标代入可解得y'a x a y a212223x'2x 2 y1y'3x 2 y37分22121四、证明：因为1120所以三点共线4分305由： t s3,2t s0,t2s5解得 t1, s2所以c i a i2b1,( i1,2,3)8分五、证明：令 x''3x2得 x2x 2 0解得 x11, x22 x由x x4即有两个自对应点4分设 k 与 k '3k2对应，有 ((1)( 2), kk ' )5 为常数 10 分k 42注：结果 有 2也对，不过顺序有别。
5六、证明：设两直线为：a : y k 1 xb 1, b : yk 2 x b 2相似变换为：x a x ' by ' ca 2b 2ybx 'ay 'd将变换代入直线a 的方程得： k 1'k 1ab同理可得 k 2 ' k 2 a b 5 分a k 1b a k 2b k 2 ' k 1'k 2 k 1即tana, btan ' '1 ''1 k2 k 1a ,b k 2 k 1即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、解：（ 1）设（ 5， 1， 7）为 P 点坐标， 二阶曲线矩阵为23 1 A=3 3 2121所以点 P 的极线为 S P =0S P (5,1,7)231 x 1即332x 2得 x =05分21 2 1 x 3（ 2）略 八（在后边）九、解：通过直线 a[1,3,1], b[1,5, 1] 的交点的直线的线坐标为[1 k,3 5k,1 k ]2分若此直线属于二阶曲线则有4(1 k)2(35k )2 2(1 k) 2即 27k 242k11 0 解得 k1, k11 10分39 十、解：设 P Ak 1B, Q A k 2B, R Ak 3 B(PA,QB)得1 ( PQ, AB) 1,(PA, QB)由( PQ, AB) 2k1 , k2k(AB, PQ)2k21由 ( qr , ab)1,得 ( AB,QR)k21 k3k2 k3所以 ( PR, AB)( AB, PR)k1210分k3八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。