高考文科数学真题及答案全国卷

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。
【解析】利用|PF|＝ ，可得xP＝ .
∴yP＝ .∴S△POF＝ |OF|·|yP|＝ .
故选C.
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为()．
【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。
【解析】由f(x)＝(1－cosx)sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈ 时，f(x)＞0，排除A.
4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ，则C的渐近线方程为()．
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵ ，∴ ，即 .
∵c2＝a2＋b2，∴ .∴ .
∵双曲线的渐近线方程为 ，
∴渐近线方程为 .故选C.
5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()．
A．p∧qB． p∧qC．p∧ q D． p∧ q
【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
【解析】由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴?x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有 p∧q为真命题．故选B.
【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。
【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝ .
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，
即ta·b＋(1－t)b2＝0.
∴ ＋1－t＝0.
∴t＝2.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件 则z＝2x－y的最大值为______．
当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cosx(1－cosx)＝－2cos2x＋cosx＋1.令f′(x)＝0，得 .
故极值点为 ，可排除D，故选C.
10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()．
【答案】
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。
【解析】如图，
设球O的半径为R，
则AH＝ ，
OH＝ .
又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.
∵在Rt△OEH中，R2＝ ，∴R2＝ .
∴S球＝4πR2＝ .
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝______.
A．[－3,4]B．[－5,2]
C．[－4,3]D．[－2,5]
【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。
【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．
当1≤t≤3时，s＝4t－t2.
∵该函数的对称轴为t＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。
【解析】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝ .
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1]D．[－2,0]
【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。
【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示．
当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；
当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。
【解析】由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝ .∵A∈ ，∴cosA＝ .
∵cosA＝ ，∴b＝5或 (舍)．
故选D.
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
【解析】
(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB， 所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 .
由观测结果可得
＝ (0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)
若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，
由 得x2－(a＋2)x＝0.
∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.
∴a∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)· .
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。
【解析】画出可行域如图所示．
画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.
15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．
【答案】
【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。
【解析】∵f(x)＝sinx－2cosx＝ sin(x－φ)，
其中sinφ＝ ，cosφ＝ .
当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋ (k∈Z)，θ＝2kπ＋ ＋φ(k∈Z)．
∴cosθ＝ ＝－sinφ＝ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝ ，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。
所以OC＝OA1＝ .
又A1C＝ ，则A1C2＝OC2＋ ，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝ ，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.
20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。
【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知 ＝ ，
从而数列 的前n项和为
＝ .
18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()．
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。
【解析】 ＝3－2an，故选D.
7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，
则输出的s属于()．
【解析】 ＝ .
3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()．
A． B百度文库 C． D．
【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 .
∴smax＝4，smin＝3.
∴s∈[3,4]．
综上知s∈[－3,4]．故选A.
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝ 的焦点，P为C上一点，若|PF|＝ ，则△POF的面积为()．
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，
∴A∩B＝{1,4}．
2．(2013课标全国Ⅰ，文2) ＝()．
A. B． C． D．
【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。
A．16＋8πB．8＋8π
C．16＋16πD．8＋16π
【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。
【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V半圆柱＝ π×22×4＝8π，
V长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝ 若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．
＝2.3，
＝ (0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)
＝1.6.
由以上计算结果可得 ＞ ，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．