2010-2011第一学期《概率论与数理统计(B)》期中试题答案

北 京 交 通 大 学2010-2011学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期终考试试卷（A ）学院_____________ 专业___________________ 班级____________学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知()P A =14，()P B A 13=，()P A B 13=，求()P A B ⋃。

解： 由概率加法公式()P ()()()A B P A P B P AB ⋃=+-由概率乘法公式()P ()()112AB P A P B A ==----2分 ()()P ()P AB B P A B 14==()P ()()()A B P A P B P AB 1115441212⋃=+-=+-= ----4分二. （满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=--------4分同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜 +++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ．--------4分三. （满分12分）(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数.(2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解 (1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX当0<x 时,分布函数,212121)()(|xx x xx xX X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(0x x xx x xX X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX ———5分(2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P分布律为Y -1 1k p 21 21 ——4分 分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y ———3分四(满分10分) 投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P解 (1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯= (因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ====== .0)2/1(0=⨯=k(因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k}{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ======,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:XY 1 2 3 4 … }{j Y P =0 0 221 321 421 ... 21 1 21 0 0 0 (21)}{i X P = 21 221 321 421… 1 ———6分(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P ———4分五(满分10分) 一等边三角形ROT (如下图)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度. (2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解 (1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),1(30,30,3/4),(其他x y x y y x f ——3分（2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的边缘分布函数,现在 ,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y ——4分 Y 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y ——3分六（满分8分）设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解 (1)当0>x 时, ,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==0)1(0)1(0)1(111)( .)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y ——4分(2)条件概率密度: 当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f x y x X Y⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x ——4分七．（满分8分）设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知 ,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程2()0xU V x U V ++++=至少有一个实根的概率.解 (1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P.6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P}1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P.3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P.3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V PV U ,的联合分布密度为UV -1 1-1 1/6 2/6 ——4分 1 2/6 1/6(2) 方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为 .2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P ——2分(3) 方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P P ——2分八．（满分6分）某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律. 解 读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤==.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ九．（满分8分）将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P ----4分以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P ===按定义B A ,相互独立. ----4分十(满分10分) 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X 测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u ⎰-=>εεε202/221}{解 (1)Y 的概率密度为 其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)( 故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()( ——2分 仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时上述积分的 xx=z+εO yx=z+ε图4被积函数不等于零,参考图4,即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(2212210εεεεεεεεz dx xe z dx xe z f z z x z x Z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221)()()(εεεεεεεεz e e z e z z z ——4分(2)⎰∞=>εεdz z f Z P Z )(}{=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z zε21记成[Ⅰ+Ⅱ]其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0)(,221221du e uz e u dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(2121du e u z dz e u z 令 于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε202121du e u——4分 1ˆx x θ=-十一.（满分6分） 解：----4分----2分}0{}0,2{}02{≥≥≤=≥≤X P X X P X X P 2,0,1357,,,,{20}.248X P X X a a a a-≤≥已知离散型随机变量的可能取值为相应的概率依次为试求概率=352224.35729248a a a a a +==++十二（满分8分）解：-----2分-----4分 -----2分CAB CB AB = ,,,.:.A B C C AB C AB AC C B AB ⊃⊃= 设随机事件满足证明,C AB ⊃由于,C A B ⊂ 故()CB A B B ⊂ 从而,AB =,CB =,ACB C AB AB == ()AC AC B B = 故ACB ACB= .CB AB =。