三角形五心
三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .A BCPP MN'A B C QK P O O O ....S123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =2222221ac b -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B D据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2∥=∥=.OA A A A 1234H H12H H HMA B BA ABC CC F12111222D E=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A =r 2+bcac b 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .A B C D O O O 234O1AααMBC KN ER OQ Fr P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p . 而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知K r r r r O O O 213AOECBabcOD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cosB A B A +.∴2'2''B tgA tg EO OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tg∠∠=22B tgA tg=qr .六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明A ...'B'C'O O 'EDE rdos..I P ABCD E FQSOE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①AB CDE FOKG O A BC DEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 123112233∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.[编辑本段]1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
平面几何竞赛之三角形的“五心”
平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心。
内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明： 性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是:ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上。
证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心,BC=a ，AC=b,AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导:(2)r=cb a S ABC++∆2;M（3）abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6:设I 为⊿ABC 内心，BC=a,AC=b ，AB=c,∠A 的平分线交BC 于K,交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b 。
〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I,∠B=600，∠A 〈∠C ，∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1）IO=AE ，（2)2R<IO+IA+IC<（1+3)R 。
(1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK 。
五心数学定义
五心数学定义
五心数学定义主要涉及到三角形的五种特殊点，即重心、外心、内心、垂心和旁心。
以下是关于这些点的详细定义：
1. 重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。
此外，重心有一个重要的性质，即重心将中线分为2:1的两部分，也就是说，从顶点到重心的距离是从重心到对边中点的距离的两倍。
2. 外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点称为三角形的外心。
外心到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说，外心是三角形外接圆的圆心。
3. 内心：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心到三角形的三边的距离相等，也就是说，内心是三角形内切圆的圆心。
4. 垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
5. 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
旁心是一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
这五个点各自具有独特的性质，并在几何学中发挥着重要的作用。
对于理解和解决与三角形相关的问题，这些定义和性质都是非常有价值的工具。
三角形五心定律
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形的五心
三角形的五心一、定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽．二、定理的证明1．首先证明重心定理证法1 如图1，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G、连EF，则EF得GB＝2GE，GC=2GF．设AD、BE交于G′，同理可证G′B=2G′E，G′A=2G′D，即G、G′都是BE 上从B到E的三分之二处的点，故G′、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G(图2)，BG、CG中点为H、I．连HI、HF、所以 EFHI为平行四边形．即 AG=2GD．定理证毕．后半部分同证法1(略)．2．证明外心定理证明如图3，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC 的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．3．证明垂心定理在塞瓦定理一章，我们曾给出过它的一个证明，但垂心定理还有下面一个巧妙的证明．证明如图4，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对C′A，从而AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．4．证明内心定理关于内心定理，我们也曾在塞瓦定理一章给出过一个证明，下面是它的另一个证明．证明如图5设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，如图6，我们不再另行论证．三、引伸与推广1．重要性质及其相互间的联系三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的外心到三顶点的距离相等；(3)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广．2．重心定理的推广证明如图7，直线CKF截ΔABD，由梅涅劳斯定理，有虽然当n=2时，有S△GHK=0，G、H、K重合于重心.如果我们称n(≥3)边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，(当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心)那么重心定理可推广如下：定理2 n边形的各条中线(若有重合，只算一条)相交于一点，各中线被该点分为：(n-1)∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．证明当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，(k≥4)时，命题成立，则当n=k时，在k边形A1A2…Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2…Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的中线．设Ok-1和O′k-1分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的重心，则根据假设有连接AkOk-1、Ak-1O′k-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1O′k-1，则有Ok-1O′k-1∥Ak-1Ak，所以ΔOOk-1O′k-1∽ΔOAk-1Ak．因此，k边形A1A2…Ak的相邻两条中线Ak-1O′k-1，AkOk-1交于O点，且被O点内分为(k-1)∶1．同理可证k边形A1A2…Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为(k-1)∶1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为(k-1)∶1．综上所述，定理得证．3．外心定理的推广定理3 过ΔABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为α的斜线且顺序一致，三斜线相交得ΔGHK，则SΔGHK=cos2α·SΔABC．证明如图9，首先我们证ΔKGH∽ΔABC，因为∠KFA=α=∠KEA，因为 A、K、F、E四点共圆，所以∠GKH=∠BAC．同理可证∠G=∠B，∠H=∠C，故ΔKGH∽ΔABC．又由正弦定理，有同理，B、G、D、F共圆，有①+②得显然，当α=90°，即S△KGH=0时正是外心定理．对外心定理，还有下面的推广证明略．4．垂心定理的推广定理5 从ΔABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为α，且顺序一致，三斜线相交成ΔGHK．则SΔGHK=4cos2α·SΔABC．证明如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ΔA′B′C′，则A、B、C分别为ΔA′B′C′三边的中点，由定理3有SΔGHK=cos2α·SΔA′B′C′=4cos2α·SΔABC．显然，α=90°时为垂心定理．垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有定理6 在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边．证明如图11，设在五边形ABCDE中，AF⊥CD、BG⊥DE、CH⊥AE，DI⊥AB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆．所以 OA·OF=OH·OC，OA·OF=OI·OD．OI·OD=OB·OG，∠1=∠2．所以 OH·OC=OB·OG，故C、B、H、G内接于圆．所以∠2=∠3，则∠1=∠3．所以四边形BEGK内接于圆．而BG⊥DE，故EK ⊥BC，命题得证．此结论可推广到2n+1边形．四、定理的应用例1 设G为△ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN 和△GAB的面积相等．证明如图12，连GC，则例2 三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．证明如图13，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．又 DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．例3 AD是ΔABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点．证明如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则ΔKAH≌ΔBCA，ΔKAF ≌ΔCBA，连KC、KB，则可得ΔKAC≌ΔBCG，ΔKAB≌ΔCBE．于是∠ACK=∠CGB，∠KBA=∠BEC，且它们分别为∠KCG及∠KBE的余角．所以 BG⊥KC，CE⊥KB，从而AD、BG、CE为ΔKBC的三条高线，故它们相交于一点．例4 在ΔABC中，AB=AC，圆O内切ΔABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ΔABC的内心．证明如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分∠PDQ及∠A，因为 PQ∥BC，所以∠APQ=∠ABC ①又 AB切⊙O于P，则∠APQ=∠PDQ=2∠PDM ②再连BD、BM，由于∠PBD=∠PMD=90°，故P、B、D、M四点共圆．所以∠PBM=∠PDM．③由①、②、③可得：∠PBM=∠MBC．即BM是∠ABC的平分线，而AM是∠A的平分线，所以交点M是ΔABC的内心．这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当AB≠AC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究．练习与思考1．证明本章“引伸与推广部分命题(1)—(8)．2．G为ΔABC的重心，∠A=90°，求证：GB2+GC2=5GA2．3．ΔABC的外心和垂心分别为O、H，∠A=60°，求证：AO=AH．4．ΔABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长．。
【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]
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三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外．钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题类例题例1 证明重心定理。
三角形的“五心”
三角形的“五心”
一米阳光
三角形有“五心”，在初中数学人教版中明确重心（八年级）、内心和外心（九年级），其实还有垂心和旁心。
下面简单介绍它们的定义和性质：
1、内心
定义：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
性质：三角形的内心在三角形的内部，到三角形三边的距离相等。
2、外心
定义：三角形三边垂直平分线（中垂线）的交点，即三角形外接圆的圆心。
性质：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在直角三角形斜边上（是斜边中点）；钝角三角形的外心在三角形外部。
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
3、重心
定义：三角形三条中线的交点。
性质：三角形的重心在三角形的内部，三角形的重心到三角形顶点距离等于它到对边中点距离的2倍。
4、垂心
定义：三角形三条高（高线）所在直线的交点。
性质：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外部。
三角形的垂心是垂足三角形的内心。
5、旁心
定义：三角形任意两个外角平分线和第三个内角平分线的交点。
性质：三角形的旁心在三角形的外部，三角形的旁心到三角形三边的距离相等。
三角形的五心定理
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
编辑本段一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
编辑本段二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等编辑本段三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形五心相关结论与应用汇总
三角形五心相关结论与应用汇总三角形的五心分别是外心、内心、重心、旁心和垂心。
这五个点在三角形中各具特点，具有丰富的性质与应用。
1.外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。
外心是三条中垂线的交点，同时也是三角形上各个边的垂直平分线的交点。
利用外心可以得到三角形的外接圆，进而可以确定三角形的形状。
2.内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形三条边的距离相等。
内心是三条角平分线的交点，同时也是三角形上各个边的角平分线的交点。
利用内心可以得到三角形的内切圆，进而可以确定三角形的形状。
3.重心是三角形三条中线（连接一个顶点和中点）的交点，重心离三角形三个顶点的距离都相等。
重心被认为是一个三角形的质心，可以将三角形视为一个平面上均匀分布的质点系统，重心就是该系统的质心。
在构造平衡结构等问题中，重心具有重要的作用。
4.旁心是指三角形的三个旁切圆的圆心，旁心到三角形对边的距离相等。
旁心到三角形两直角边的距离也相等。
旁心所在的直线与对边垂直，旁心是三角形上各个边的外角平分线的交点。
旁心在三角形的定位中有重要的用途，可以确定一些特殊的旁切圆。
5.垂心是指三角形三个顶点至对边的垂足所在的交点。
垂心到三角形各顶点的线段长度分别相等。
垂心所在的直线与对边垂直。
垂心具有一些特殊的性质，如垂心与外心、内心和重心共线等。
应用方面：1.构造外接圆和内切圆：利用外心和内心，可以分别构造三角形的外接圆和内切圆，确定三角形的形状。
2.求解三角形的位置：通过五心中的旁心，可以确定一些特殊的旁切圆和重心，用于求解三角形的位置。
3.确定三角形的特殊性质：通过五心可以确定一些特殊的线段和角度，进而推导出三角形的一些特殊性质。
4.建立平衡结构：利用重心作为质心，可以构建平衡结构，在建筑、工程等领域具有重要的应用。
5.解决几何问题：五心的性质可以应用于解决各种三角形相关的几何问题，如求解距离、角度、线段的长度等。
总之，三角形的五心具有丰富的性质和应用，可以用于解决三角形相关的几何问题，同时也可以应用于建筑、工程等领域。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、心里、重心、垂心、旁心(五心定理 )序名定义号称三图形性质A三角形的三条边角的垂直均分线交O 1，三角形的外心到三角形的三个极点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；形1于一点 , 这点称为的三角形的外心( 外外接圆圆心 )心三三角形的三条内角角均分线交于一形2点 , 这点称为三角的形的心里 ( 内切圆内圆心 )心三角三角形的三条中形线交于一点 , 这点3的称为三角形的重重心心三B C2，锐角三角形的外心在三角形内；3，直角三角形的外心在斜边中点；4，钝角三角形的外心在三角形外A, 都等1，三角形的心里到三边的距离相等FM于三角形内切圆半径；EKI2，直角三角形的心里到边的距离等于两BD HC直角边的和减去斜边的差的二分之一A1，三角形的重心到边的中点与到相应顶F E点的距离之比为1∶2；BGC2，重心和三角形 3 个极点构成的 3 个三角D形面积相等；3，重心到三角形 3 个极点距离的平方和最小1，三角形任一极点到垂心的距离，等于外C角E心到对边的距离的 2 倍；锐角三角形的垂心三角形的三条高O D形到三极点的距离之和等于其内切圆与外接4交于一点 , 这点称A F B的圆半径之和的 2 倍；为三角形的垂心垂2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三心角形的垂心在直角极点上；钝角三角形的垂心在三角形外；三 三角形的一条内 A角角均分线与另两BD1， 每个三角形都有三个旁心；形C个外角均分线交5F2， 旁心到三边的距离相等的 于一点 , 称为三角 E旁 形的旁心 ( 旁切圆 I a心圆心 )附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，心里，外心，垂心，四心合一。
三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1． 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)A BCPP MN'A BCK P O O O ....S 123三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.AA 'F F 'G EE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 12三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.H H H MA B B A A B C CC F12111222D E三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p.式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. 分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p-c )=(p-a )(p-b ).∵p (p-c )=21(a+b+c )·21(a+b-c ) =41[(a+b )2-c 2] =21ab ； (p-a )(p-b )=21(-a+b+c )·21(a-b+c )=41[c 2-(a-b )2]=21ab .∴p (p-c )=(p-a )(p-b ).① 观察图形，可得r a =AF -AC =p-b ，r b =BG -BC =p-a ，r c =CK =p .而r =21(a+b-c )=p-c . ∴r +r a +r b +r c =(p-c )+(p-b )+(p-a )+p =4p -(a+b+c )=2p .由①及图形易证.AααMBCKNE R OQF r P例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +.∴2'2''B tg A tg E O OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tgA tg ∠∠=22B tg A tg =qr.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF .(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用Erdos 不等式有： BI+DI+FI ≥2·(IP+IQ+IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI+DI+FI ≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI )≥(IA+IE+IC )+(BI+DI+FI ) =AD+BE+CF .I 就是一点两心.A ...'B 'C 'O O 'EDI PABCDEFQ S例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF=2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心.连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC )DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， ∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE . 由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .ABCDE FOKG O ABCDEF IK30°。
三角形的五心【强烈推荐】
三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HEFABCMABC D EFG又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12BC，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
三角形的五心
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
外心：垂直平分线交点，到各顶点距离相等，所以是外接圆圆心，简称外心；内心：角平分线交点，到各边距离相等，所以是内切圆圆心，简称内心；
垂心：各边高（垂线）交点，所以叫垂心：
重心：各边中线的交点，
.三角形共有六心内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
三角形五心及其性质
三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12.等底同高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形五心：重心 垂心 内心 外心 旁心
三角形只有五种心一、重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3 ^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+ y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
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内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三ห้องสมุดไป่ตู้均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，
三角形五心定律
目录
三角形五心定理
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。