平行四边形判定,题型归纳

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）

平行四边形一边长为10, —条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为（）

A. 4

平行四边形的判定：

1:定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4:对角线相互平分的四边形是平行四边形

14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

例题1:如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC.

过点A作AEL BC于点E;过点C作CF// AE交AD于点F;

求证：四边形AECF为平行四边形

练习：

1、已知：如图，△ ABC是等边三角形，D E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE连接ED并延长到F,使得EF=EC,连接AF、CF、BE.

（1）求证：四边形BCFD是平行四边形;

证明：（1 △ ABC为等边三角形，且AE=AD,

•••由题可知 / AED=Z ADE=Z EAD=60°

••• EF/ BC,

又••• EC=EF,

•△ ECF为等边三角形,即/ EFC=Z EDB=60°,

•CF// BD

•••四边形BCFD为平行四边形.

2、如图：平行四边形ABCD中, M N分别是AB CD的中点，AN与DM相交于点

P, BN与CM相交于点Q试说明PQ与MN互相平分。

3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG BE、FD分别是/ A、/ C、/ B、/ D的角平分线，且BE// FD, AH// CG证明四边形ABCD为平行四边形.

15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例题1:如图，在ABCD中，延长CD到E,使DB CC,连接BE交AD于点F,交

AC于点G

求证：AF= DF

【答案】解：（1）证明：如图1,连接BD AE,

•••四边形ABCD是平行四边形，

••• AB// CD AB= CD

•/ DE= CD • AB// DE AB= DE=

•四边形ABDE是平行四边形。• AF= DF。

练习：

1、如图，已知平行四边形ABCD过A作AMLBC于M,交BD于E，过C作CNLAD于N,交

BD于F，连结AF、CE

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

【答案】（1）证明•••四边形ABCD是平行四边形（已知），

•BC// AD （平行四边形的对边相互平行）。

又•••AMI BC（已知），• AML AD

•••CN丄AD（已知），• AM/ CN • AE// CF。

又由平行得/ ADE/ CBD又AD=BC（平行四边形的对边相等）。

在厶ADE和厶CBF 中， / DAE/ BCF=90，AD=CB / ADE/ FBC

•△ ADE^ACBF（ ASA，• AE=CF（全等三角形的对应边相等）。•四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）

2、如图：在「ABCDK E,G,F,H分别是四条边上的点，且AE CF ,BG DH ,

试说EF与GH相互平分.

例题2:如图，△ ABC^P^ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点

F,且BF=DC连接EF、EB.（1）求证：△ ABE^A ACD （2）求证：四边形EFCD是平行四边形

练习：

1、如图1,在厶OAB中，/ OAB=90 , / AOB=30 ,0B=8.以OB为一边，在厶OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

⑴求点B的坐标.

⑵ 求证：四边形ABCE是平行四边形.

⑶ 如图2,将图1中的四边形ABCOff叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

【解析】⑴I/ AOB=30 ,OB=8,

••• AB=4,OA=4，二B« ,4）.

⑵OBC是等边三角形，•••OC=OB=8.

•••D点为OB的中点，•••OD=4.

又••• AD是Rt△ OAB斜边的中线，

••• AD=OB=OD,

•••/ ODA=180 -2 X 30° =120° ,•••/ EDO=60 .

又/ EOD=60，二△ OED为等边三角形,

••• OE=4「E(0,4),

••• CE=4,CE=AB又tCE// AB,

•••四边形ABCE是平行四边形.

(3) V GA=GC；.G A=G C.

即O G+O A F QC-OGI O G+S. . )2=(8-OG)2, •••OG=1.

16.平行四边形的判定(三)：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

例题1:如图，点A是直线l外一点，在I上取两点B C,分别以A C为圆心，BC AB长

为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AB AD CD,则四边形ABCD一定是【】

A平行四边形B.矩形 C.菱形 D.梯形

练习：

1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形.

例题2:如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形.

练习：

1、在Y ABCC中,分别以AD,BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF连接BE,DF. 求证：四边形BEDF是平行四边形.

A.平行四边形 B •两组对角分别相等的四边形

C•对角线互相垂直的四边形D •对角线相等的四边形

3、等边厶ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE以AD为边作等边厶ADF，如图•求证：四边形CDFE是平行四边形.

4、如图所示，以厶ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形

2四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是()