最新18.1-18.2平行四边形的性质与判定练习题

合集下载

平行四边形性质和判定习题(答案详细)

平行四边形性质和判定习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_________组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

(完整版)平行四边形的性质及判定测试题

平行四边形的性质及判定测试题班级 _____学号 _____ 姓名 ______ 成绩 ____一、填空：（每空4分，共32分）1、在平行四边形 ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（ x-4 ）和16，则这个四边形的周长是 _____________ 。

2、如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 〃AD,GH 〃AB,EF 、GH 相交于点0,则图中共有________ 个平行四边形. _3、平行四边形 ABCD 中，/ A = 45°, BC = 2 ，则AB 与CD 之间的距离是 ______________ ;若 AB = 3，四边形ABCD 的面积是 ________ , △ ABD 的面积是 _____ .4、在平行四边形 ABCD 中，AB 1, BC 3, ABC 与 BCD 的平分线分别交 AD 于E 、F ，则EF 的长为5、平行四边形的两个邻角的平分线相交所成的角是 _____________ °6、 ________________________________________________________________ 若口ABCD 与口ABEF 有公共边 AB ,那么四边形 DCEF 是 _________________________________________________7、 _________________________________________________________________________________________________ 在厶ABC 中，AB=6cm , AC=8cm , BC=10cm , D 、E 、F 分别是各边中点，则厶DEF 的周长= ______________ △ DEF 的面积是 ______ .& A,B,C,D 在同一个平面内，从① AB//CD ②AB=CD ③BC// AD ④BC=A ［这四个条件中任意选两个, 能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有 ___________________ 种、解答题：（共56 分）1、已知如图，O 为平行四边形 ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ,且与AB 交于E ,与CD 交于F 。

人教版八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)

人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ，又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ，又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ，中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。

(完整版)平行四边形的性质判定练习题

第一部分平行四边形的性质练习题例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。

变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。

例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。

变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。

例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。

变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。

1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。

平行四边形的性质及判定-典型例题-2

平行四边形的性质及判定（典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O是口ABCD对角线的交点.A OBC的周长为59, BD=38, AC=24，贝1J AD=若A OBC与4OAB的周长之差为15，贝【J AB=UABCD的周长=.例2判断题（1）两条对边平行的四边形叫做平行四边形.（）（2）平行四边形的两角相等.（）（3）平行四边形的两条对角线相等.（）（4）平行四边形的两条对角线互相平分.（）（5）两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.（）⑹平行四边形的邻角互补.（例3 .如图1,在nABCD中，E F是AC上的两点且AE=CF 求证：ED〃BF.例4如图已知在4ABC中DE〃BC〃FG,若BD=AF、求证; DE+FG=BC.例5 如图口ABCD 中，N ABC=3N A,点E 在CD 上,CE=1, EF±CD交CB延长线于F,若AD=1,求BF的长.例6如图1, 口 ABCD 中,对角线AC 长为10cm Z CAB=30? F 分别在口ABCD 的边CD 、BC 上，且EF 〃求证：S A ACE=S A ABF例8如图，在UABCD 中，BE 平分N B 交CD 于点E , DF 平分N D 交AB 于点F ,求证BF=DE . BDAB 长为6cm ,求口ABCD 的面积.例7如图，E 、例9如图，CD的Rt A ABC斜边AB上的高，AE平分N BAC交CD 于E, EF#AB,^ BC 于点F,求证CE=BF.例10如图，已知QABCD的周长为32cm, AB : BC=5 : 3, AE±BC 于E，AF±DC 于F,N EAF=2N C,求AE 和AF 的长.2.平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是—(2)如图2, D、E分别在A ABC的边AB、AC上，DE=EF, AE=EC, DE〃BC则四边形ADCF是—，理由是__,四边形BCFD 是__,理由是—(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例 2 如图，四边形ABCD 中，AB=CD.Z ADB= Z CBD=90°. 求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表:rd)两组对边分别平行] (2)两组对边分别相等 [⑺一组对边平行且相等的四边形是 -C 4 )两组对角分别相等平行四边形(III)从对角线看一C 5 )对角线互相平分例3如图，QABCD 中，E 、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE=CF , BG=DH ,求证：EF 与GH 互相平分.例 4 如图，口ABCD 中，AE X BD 于 E , CF X BD 于 F .求证：四边形AECF 是平行四边形.例5如图，QABCD 中，E 、F 分别在AD 、BC 上且AE=CF , AF 、BE 相交于G , CE 、DF 相交于H 求证：EF 与GH 互相平分例6如图，已知口ABCD 中，EF 在BD 上，且8£=口5,点G 、(I)从边看CII)从角看H在AD、CB上，且有AG=CH, GH与BD交于点O,求证EG工HF例7 如图，UABCD 中，AE X BD 于E, CF X BD 于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1)已知两邻边(AB、BC)和夹角(N B).(2)已知一边(BC)和两条对角线(AC, BD).⑶已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角(如N DBC N ACB)(4)已知一边(CD)和一个内角(/八86以及过这个角的顶点的一条对角线6口，且BD〉CD）求作平行四边形（如图）完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。

平行四边形的性质与判定经典例题练习

平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

2. 性质1：平行四边形的对边相等。

性质1：平行四边形的对边相等。

3. 性质2：平行四边形的对角线相等。

性质2：平行四边形的对角线相等。

4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。

(完整版)平行四边形的性质习题(有答案)

平行四边形的性质测试题一、选择题（每题 3 分共 30 分）1．下边的性质中，平行四边形不必定具备的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．内角和为 360°2．在中，∠ A：∠ B：∠ C：∠ D 的值能够是（）A ．1：2：3：4B ．1：2：1：2C ．1：1：2：2 D．1： 2：2：13．平行四边形的对角线和它的边能够构成全等三角形（）A．3对B．4 对 C ．5对D． 6 对A D 4．以下图，在中，对角线 AC、BD交于点 O，?以下式子中一O 定建立的是（）B CA．AC⊥ BD B ． OA=OC C． AC=BD D ．AO=OD5．以下图，在中， AD=5，AB=3，AE均分∠ BAD交BC A D边于点 E，则线段 BE、 EC的长度分别为（）BE C A ．2和3 B．3和2 C ．4和1 D ．1和46．的两条对角线订交于点 O，已知 AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是 18cm，那么△ AOD的周长是（）A ．14cmB ．15cmC ．16cmD ．17cm7．平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（）A ．8cm和 16cmB ．10cm和 16cmC ． 12cm和 16cmD ． 20cm和 22cm 8．如图，在中，以下各式不必定正确的选项是（）A．∠ 1+∠ 2=180° B ．∠ 2+∠ 3=180C．∠ 3+∠ 4=180°D．∠ 2+∠4=180°9．如图，在中，∠ ACD=70°，AE⊥ BD于点E，则∠ ABE等于（）A、20°B、25° C 、 30° D 、35°10．如图，在△ MBN中， BM=6，点 A、C、D 分别在 MB、NB、MN上，四边形 ABCD为平行四边形，∠NDC=∠ MDA，那么的周长是（）二、填空题（每题 3 分共 18 分）11．在中，∠ A：∠ B=4：5，则∠ C=______．12．在中， AB：BC=1：2，周长为 18cm，则 AB=______cm，AD=_______cm．13．在中，∠A=30°，则∠ B=______，∠C=______，∠D=________．14．如图，已知：点 O是的对角线的交点， ?AC=?48mm，?BD=18mm，AD=16mm，那么△ OBC的周长等于 _______mm．15．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ ADF≌△ CBE，还需增添一个条件是 ________．16．如图，在中，EF∥ AD，MN∥ AB，那么图中共有_______?个平行四边形．三、解答题17．已知：如图，在中，E、F是对角线AC?上的两点，AE=CF．BE与DF的大小有什么关系，并说明原因。

平行四边形性质与判定练习题

平行四边形性质与判定练习题1. 平行四边形的定义平行四边形是指有四条边对两对相邻边均平行的四边形。

2. 平行四边形的性质根据平行四边形的定义，我们可以得出以下性质：- 对边相等：平行四边形的对边相等，即两对相邻边的长度相等。

- 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分，即把平行四边形分成四个相等的三角形。

- 对角线长的一半为高：平行四边形的两条对角线交点到任意边的距离等于对角线的一半，即为平行四边形的高。

3. 判定平行四边形的条件可以利用以下条件来判定一个四边形是否为平行四边形：- 边对边平行：四边形的对边必须互相平行。

- 对角线相等：四边形的对角线必须相等。

4. 练题请回答以下平行四边形的判定练题：1. 判断四边形ABCD是否为平行四边形：- A(2, 3), B(4, 7), C(8, 5), D(6, 1)- AB = 5, BC = 3, CD = 5, DA = 3- AC ≠ BD2. 判断四边形EFGH是否为平行四边形：- E(-1, -3), F(3, -3), G(5, 1), H(1, 1)- EF = 4, FG = 5, GH = 5, HE = 4- EG = FH, EF ≠ GH3. 判断四边形IJKL是否为平行四边形：- I(-2, 1), J(-2, 4), K(2, 4), L(2, 1)- IJ = KL = 3, JK = LI = 5- IJ ≠ KL, JK = LI根据以上判定条件，我们可以得出：- 题目1的四边形ABCD不是平行四边形；- 题目2的四边形EFGH不是平行四边形；- 题目3的四边形IJKL是平行四边形。

以上是关于平行四边形性质与判定的练习题。

希望能帮助你更好地理解平行四边形和判定条件。

平行四边形的性质与判定(练习)

E DCBA 平行四边形的性质与判定（练习）【知识点】：1. 平行四边形的定义：2．平行四边形性质：⑴边：；⑵角：； ⑶对角线：；(3)对称性：___________________________. 3．平行四边形判定：边：①___________________ ___②_____________ ___________③ ；角：；对角线：；【基础训练】一．填空题 (3分×10 = 30分)1．在□ABCD 中，如果∠A +∠C =120°，那么∠B = °．2．已知平行四边形的周长为56㎝，两邻边之比为3:1，则四边形较长的边长为． 3．已知□ABCD 中，AB = 6，BC 、AB 边上的高分别为6、4，则BC 边长为． 4．已知□ABCD 中，∠A =60°，AB = 4㎝，AD = 6㎝，则□ABCD 的面积为． 5．已知□ABCD 中，若∠B 的2倍与∠A 的补角的和为90°，则∠B = 度．6．已知□ABCD 的周长为20cm ，对角线相交于点O ，且△BOC 的周长比△AOB 的周长多2cm ，则AB = cm ．7．如图1，已知□ABCD 中，AE ＝CF ，则图中有对全等三角形．8．如图2，已知□ABCD 中，BC =12，AB =10，AE ⊥BC 于点E ，且AE =8，则AB 与CD 两边之间的距离为．9．如图3，已知□ABCD 中，AB =6，AD =8，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，则EC = ．图1 图2 图310．在四边形ABCD 中，AB =CD ，要使这个四边形成为平行四边形，则可添加的一个条件可以是．二．选择题 (3分×6 = 18分)E DCB A1．平行四边形是 ( )（A ）轴对称图形（B ）既是轴对称图形，又是中心对称图形（C ）中心对称图形（D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．用两个全等的三角形（三边互不相等）拼成不同的四边形，其中不同的平行四边形的个数是 ( ) （A ）1个（B ）2个（C ）3 个（D ）4个 3．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的条件是（）（A ）一组对边平行（B ）四条边相等（C ）一组对边平行，另一组对边相等（D ）两条对角线相等4．已知□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 长为（）（A ）5cm （B ）15cm （C ）6cm （D ）16cm 5．如图4，已知四边形ABCD 和CEFG 都是平行四边形，则下列等式中正确的是（）（A ）∠1+∠8=1800（B ）∠1+∠5=180° （C ）∠4+∠6=180° （D ）∠2+∠8=180°6．已知P 为□ABCD 的边AB 上的任一点，则△PCD 与图4□ABCD 的面积的比S △PCD :S □ABCD 为（）（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1:4 （D ）不能确定三、几何证明1.已知：如图，D 、F 分别是ΔABC 的边BC 、AC 的中点，点E 在线段DF 的延长线上，FE ＝DF 。

平行四边形的性质与判定专题练习题含答案

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判断专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0) ，A(1，1) ，B(3，0) 为极点，结构平行四边形，以下各点中不可以作为平行四边形极点坐标的是()A． ( － 3， 1) B．(4，1)C．(－2，1)D．(2，－1)2．如图，在 Rt △ABC中，∠ B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC上，以 AC为对角线的全部 ?ADCE中， DE最小的值是 ()A． 2 B．3C．4D．53．如图， E 是?ABCD内随意一点，若平行四边形的面积是6，则暗影部分的面积为 ____．4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠ BAD＝60°，∠F＝110°，则∠ DAE的度数为 _______．5．如图，在平行四边形ABCD中， E 为 BC边上一点，且 AB＝AE.(1)求证：△ ABC≌△ EAD；(2)若 AE均分∠ DAB，∠ EAC＝25°，求∠ AED的度数．6．如图，在 ?ABCD中， E 是 BC的中点， AE＝9，BD＝12，AD＝10.(1)求证： AE⊥BD；(2)求?ABCD的面积．7 如图，四边形 ABCD为平行四边形，∠ BAD的角均分线 AE交 CD于点 F，交 BC的延伸线于点 E.(1)求证： BE＝CD；(2)连结 BF，若 BF⊥AE，∠ BEA＝60°， AB＝4，求 ?ABCD的面积8.如图，已知 AB∥CD， BE⊥AD，垂足为点 E， CF⊥AD，垂足为点 F，而且 AE＝DF.求证：四边形 BECF是平行四边形．9.如图，将一张直角三角形纸片 ABC沿中位线 DE剪开后，在平面大将△ BDE绕着 CB的中点D 逆时针旋转 180°，点E 到了点 E′的地点，则四边形 ACE′E的形状是 _____________．10.如图，已知点 E，C在线段 BF上， BE＝ CE＝CF，AB∥DE，∠ ACB＝∠ F.(1)求证：△ ABC≌△ DEF；(2)试判断四边形 AECD的形状，并证明你的结论．11.如图 1，在?ABCD中，点 O是对角线 AC的中点， EF过点 O与 AD，BC分别订交于点 E，F，GH过点 O与 AB，CD分别订交于点 G，H，连结 EG， FG，FH，EH.(1)求证：四边形 EGFH是平行四边形；(2)如图 2，若 EF∥ AB，GH∥ BC，在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图 2 中与四边形AGHD面积相等的全部的平行四边形． ( 四边形 AGHD除外 )12．如图，△ ABC是等边三角形，点D， F 分别在线段 BC，AB上，∠ EFB＝60°， DC＝EF.(1)求证：四边形 EFCD是平行四边形；(2)若 BF＝EF，求证： AE＝AD.答案：1. A2. B3. 34.25°5.解： (1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD，BC∥AD，∴∠ EAD＝∠ AEB，∵AB＝AE，∴∠ B＝∠ AEB，∴∠ B＝∠ EAD，∴△ ABC≌△ EAD(SAS)(2) ∵AE均分∠ DAB，∴∠ DAE＝∠BAE，又∵∠ DAE＝∠ AEB，AB＝ AE，∴∠ BAE＝∠ AEB＝∠ B，∴△ ABE为等边三角形，∴∠ BAE＝60°，∵∠ EAC＝25°，∴∠ BAC＝85°，∵△ ABC≌△ EAD，∴∠ AED＝∠ BAC＝85°6.解： (1) 过点 D 作 DF∥AE 交 BC的延伸线于点 F，∵ AD∥BC，∴四边形 AEFD为平行122四边形，∴ EF＝ AD＝10，DF＝ AE＝9，∵E 是 BC的中点，∴ BF＝2AD＋ AD＝15，∴ BD＋DF＝122＋ 92＝225＝BF2，∴∠ BDF＝90°，即 BD⊥DF，∵ AE∥DF，∴ AE⊥BD(2) 过点 D 作 DM⊥BF9×1236于点 M，∵ BD·DF＝BF·DM，∴ DM＝15＝5，∴S?ABCD＝BC·DM＝727.剖析： (1) 证 AB＝ BE，AB＝CD，即可获得结论； (2) 将?ABCD的面积转变为△ ABE的面积求解即可．解：(1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD∥BE，∴∠ DAE＝∠ E，∵∠ BAE＝∠ DAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD ( 2) ∵AB＝BE，BF⊥AE，∴AF＝FE，又∵∠DAF＝∠CEF，∠AFD＝∠ EFC，∴△ AFD≌△ EFC(ASA) ，∴S?ABCD＝S△ABE，∵ AB＝BE，∠ BEA＝60°，∴△ ABE是1等边三角形，由勾股定理得BF＝2 3，∴S△ABE＝2AE·BF＝ 4 3，∴S?ABCD＝438.剖析：可经过证 BE綊 CF来获得结论．解：∵ BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠ AEB＝∠ DFC＝90°，∴ BE∥ CF，∵ AB∥ CD，∴∠ A＝∠ D，又∵ AE＝DF，∴△ AEB≌△ DFC(ASA) ，∴ BE＝ CF，∴四边形 BECF是平行四边形9.平行四边形10.解： (1) ∵AB∥DE，∴∠ B＝∠ DEF，∵ BE＝EC＝CF，∴ BC＝EF，又∵∠ ACB＝∠ F，∴△ABC≌△ DEF(ASA) (2) 四边形 AECD是平行四边形．证明：∵△ ABC≌△ DEF，∴AC＝DF，∵∠ACB＝∠ F，∴ AC∥DF，∴四边形 ACFD是平行四边形，∴ AD∥CF，AD＝CF，∵ EC＝CF，∴ AD ∥EC， AD＝CE，∴四边形 AECD是平行四边形11.解：(1) ∵四边形 ABCD为平行四边形，∴AD∥ BC，∴∠ EAO＝∠ FCO，又∵ OA＝ OC，∠AOE ＝∠ COF，∴△ OAE≌△ OCF(ASA) ，∴ OE＝OF，同理 OG＝OH，∴四边形 EGFH是平行四边形(2)?GBCH，?ABFE， ?EFCD， ?EGFH12.解： (1) ∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ABC＝60°，又∵∠ EFB＝60°，∴∠ ABC＝∠ EFB，∴EF∥ BC，又∵ DC＝EF，∴四边形 EFCD是平行四边形 (2) 连结 BE，∵∠ EFB＝60°， BF＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴ BE＝BF＝ EF，∠ABE＝60°，∵ CD＝EF，∴BE＝CD，又∵△ ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD(SAS) ，∴ AE＝ AD。

人教版数学八年级下册第18章 18.1---18.2期末同步练含答案

18.1平行四边形一．选择题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF2．已知，一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，则它的周长是（）A．6B．7C．8D．103．▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．130°D．140°4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO．添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AD＝BC5．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD＝1，则AB 等于（）A．2B．4C．2D．6．如图，平行四边形ABCD的周长是56cm，△ACD的周长是36cm，则AC的长为（）A．6cm B．12cm C．4cm D．8cm7．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，E、F分别是线段OD、OA的中点，则EF的长为（）A．3B．4C．5D．88．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB向右平移个单位长度得到△A'B'C'．若AB＝13，AC＝12，B'C'＝5，则平行四边形ACC'A'的面积为（）A．10B．14C．15D．309．如图，点D和点E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE为（）A．1B．2C．4D．810．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AE＝3，ED＝1，则ABCD的周长为（）A．10B．12C．14D．16二．填空题11．在▱ABCD中，∠C：∠D＝5：4，则∠B的度数为．12．如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝cm．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，▱ABCD的周长是50，△AOB与△BOC的周长的差是5，则BC＝．14．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，则BD的长为．15．如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M．（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连结BM，求证：BM平分∠ABC．17．如图，等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接DE，CD，EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）若等边△ABC的边长为6，求EF的长．18．如图，E是▱ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．19．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD＝AG．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，A、∵∠B＝∠BCF，∴CF∥AB，即CF∥AD，∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A．2．【解答】解：∵一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，∴它的周长＝2×（2+3）＝10，故选：D．3．【解答】解：∵▱ABCD中，∠B＝50°，∴AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：C．4．【解答】解：添加∠ABD＝∠BDC，能判定四边形ABCD是平行四边形，理由如下：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OD，又∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：A．5．【解答】解：∵△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝OD＝1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC，OD＝BD，∴AC＝BD＝2，∴四边形ABCD是矩形，在Rt△ABD中，AB＝＝＝，故选：D．6．【解答】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm，∵△ACD的周长是36cm，∴AC＝36﹣28＝8cm，故选：D．7．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，故AD＝，∵E、F分别是线段OD、OA的中点，∴EF是△ADO的中位线，∴EF∥AD，EF＝AD，则EF的长为：4．故选：B．8．【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，由平移可得，B'C'＝BC＝5，∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∴AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，∵△ABC沿直线AB向右平移个单位长度得到△A'B'C'，∴AA'＝，∴平行四边形ACC'A'的面积＝AA'×CD＝×＝15，故选：C．9．【解答】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝×4＝2，故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，∵DE＝1，∴AD＝BC＝4，∴平行四边形ABCD的周长是2（3+4）＝14．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠C+∠D＝180°，∵∠C：∠D＝5：4，∴∠C＝100°，∠D＝80°，∴∠B＝80°．故答案为80°．12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长是28cm，∴AD+AB＝14cm，∴AD＝8cm；故答案为：8．13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB与△BOC的周长的差是5，∴AB+OB+OA﹣（BC+OB+OC）＝AB﹣BC＝5①，∵▱ABCD的周长是50，∴AB+BC＝25②，∴由①②得：AB＝15，BC＝10，故答案为：10．14．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，OA＝OC，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，AB＝3，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2．故答案为：2．15．【解答】解：设点C坐标为（a，b），∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，∴点B，点D的纵坐标分别为0，﹣3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，∴b＝﹣7，∴点C在直线y＝﹣7上运动，∴当AC⊥直线y＝﹣7时，AC的长度有最小值，∴对角线AC的最小值＝4﹣（﹣7）＝11，故答案为：11．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCM＝∠DMC，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM，∴∠DMC＝∠DCM，∴DM＝DC＝2；（2）如图，延长BA，CM，交于点E，则∠AME＝∠DMC，∵BE∥CD，∴∠D＝∠EAM，∠E＝∠DCM，∵M是AD的中点，∴DM＝AM，∴△CDM≌△EAM（ASA），∴EM＝CM，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM，∴∠E＝∠BCM，∴BE＝BC，∴BM平分∠ABC．解法二：由（1）可得，CD＝MD，∵M是AD的中点，∴DM＝AM，又∵AB＝CD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠CBM，∴BM平分∠ABC．17．【解答】（1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝DC．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，BD＝AB＝×6＝3，在Rt△BCD中，BC＝6，∴CD＝＝＝3，∴EF＝DC＝3．18．【解答】解：∵E是▱ABCD的边AB的中点，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB＝8，AD∥CB，∴∠F＝∠BCE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝CB＝8，∴DF＝AD+AF＝16．19．【解答】解：（1）过A点作AM⊥BE于点M，∵AB＝AE＝6，∴BM＝ME＝，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴，∴，∵BC：CE＝5：2，∴CE＝，∴；（2）∵AF＝AH，∴∠AFH＝∠AHF，∴∠AFB＝∠AHD，∵BF＝DH，∴△ABF≌△ADH（SAS），∴AB＝AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，将△ABG绕点A逆时针旋转120°，得△ADG′，则∠DAG′＝∠BAG，∠ADG′＝∠ABG，BG＝DG′，AG＝AG′，∵∠ABG+∠ADG＝180°，∴∠ADG′+∠ADG＝180°，∴G、D、G′三点共线，∴GG′＝GD+DG′＝DG+BG，∵∠GAD+∠DAG′＝∠GAD+∠BAG，∴∠GAG′＝∠BAD＝120°，∴∠AGG′＝∠AG′G＝30°，∵AM⊥GG′，∴GM＝G′M，AM＝，∴GM＝，∴，∴BG+GD＝AG．18．2特殊的平行四边形1．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是．2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH 的面积是．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝cm.4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF＝12ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF8．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°9．下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形10．能判断四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直11．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD12．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF 的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 3 B．3 3C．4 D．4 313．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．16．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．参考答案1．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH 的面积是24．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝5cm.4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF8．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°9．下列说法正确的是(D )A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形 10．能判断四边形是矩形的条件是(C ) A ．两条对角线互相平分 B ．两条对角线相等C ．两条对角线互相平分且相等D ．两条对角线互相垂直11．以下条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是(D ) A ．AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝90° B ．OA ＝OB ＝OC ＝ODC ．AB ＝CD ，AB ∥CD ，AC ＝BD D ．AB ＝CD ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD12．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 313．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF.求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD . 在△BEF 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .14．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF. (1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形． ∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．解：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.又∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴四边形ADBE 是矩形．16．如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB ＝BE ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)若∠BOD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC. 在△ABD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．。

平行四边形的性质及判定专题练习

BE
A
M
C
D
【补充】已知平行四边形 ABCD ，BC 2AB ，M 为 AD 的中点，CE AB ．求证：EMD 3AEM ．
A
M
D
E
B
C
【例34】已知：如图，平行四边形 ABCD 中， AE、BE、CF、DF 分别平分 BAD 、 ABC 、 BCD 、
CDA ，BE、DF 的延长线分别交 AD、BC 于点 M、N ．连接 EF ，若 AD 7 ，AB 4 ．求 EF
A
E
D
G HO
B
F
C
【例27】如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．当 AB AC 时，证明四边形 ADFE 为平行四边形．
F E
D
A
B
C
【例28】以 ABCD 的对边 AB 、CD 为边分别在外作等边 ABE 、等边 CDF ．求证：四边形 AECF 是平行四边形．
A
D
E
B
C
【例10】如图， E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点， BE∥DF ，求证： AF CE ．
A
D
E
F
B
C
【例11】如图，平行四边形 ABCD 中， AE BD 于 E ， CF BD 于 F .求证： AE CF .
A
D
F
E
B
C
【例12】如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点 F ，连接 AE 、CF ．求证： SABE SEFC ．
的长．
A
M
D
E
F
B
N

18平行四边形预习题

学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时1.知道什么是平行四边形以及平行四边形的对边、对角、对角线等.2.掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等的性质以及简单的运用. 一、平行四边形边的性质1.▱ABCD 的周长是28 cm,△ABC 的周长是22 cm,则AC 的长为( )(A)4 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)12 cm2. 如图,在平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD交DC 于点E,AD=5 cm,AB=8 cm,求EC 的长.3. 如图所示,小明用一根36 m 长的绳子围成了一个平行四边形场地,其中一条边AB 长为8 m,其他三边各长多少?二、平行四边形角的性质4.在▱ABCD 中,若∠A ∶∠B=5∶4,则∠C 的度数为( B ) (A)80° (B)100°(C)110° (D)120°5.已知▱ABCD 中,∠A=140°,你能求出其他各角的度数吗?6. 如图,在▱ABCD 中,已知B+D=100°,求∠A,∠B,∠C,∠D 的度数.1.下面的性质中,平行四边形不一定具备的是( )(A)对角互补 (B)邻角互补 (C)对角相等 (D)内角和为360° 2.在平行四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( ) (A)1∶2∶3∶4 (B)1∶2∶1∶2 (C)1∶1∶2∶2 (D)1∶2∶2∶13.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=5,AB=3,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E,则线段BE 、EC 的长度分别为( ) (A)2和3 (B)3和2 (C)4和1 (D)1和44. 如图,在△MBN 中,BM=6,点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上,四边形ABCD 为平行四边形,∠NDC=∠MDA,那么▱ABCD 的周长是( ) (A)24 (B)18 (C)16 (D)125.如图:在▱ABCD 中,AE=CF:①写出图中全等三角形; ②选择①中的任意一对进行证明.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线第2课时掌握平行四边形对角线互相平分的性质以及运用.1.已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,AC=12 cm,BD=18 cm,AD=13 cm,求△BOC的周长.2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AB=10,AD=8,AC ⊥BC,求BC、CD 、AC 、OA 的长以及▱ABCD 的面积.3. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O,且AC+BD=36,AB=5,求△OCD 的周长.1.平行四边形对角线将其分成对全等三角形( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52.▱ABCD 的对角线交于O,AC=12 cm,BD=5 cm,△OAB 的周长为15.5 cm,则CD 的长度等于( )(A)7 cm (B)8 cm (C)9 cm (D)9.5 cm3.若平行四边形的一边长为5,则它的两条对角线长可以是( )(A)12和2 (B)3和4 (C)4和6(D)4和84. 如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O,交AD 于E,交BC 于F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD 的周长是( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)165.▱ABCD 的周长为60 cm,对角线交于O,△AOB 的周长比△BOC 的周长大8 cm,则AB 、BC 的长分别是.6. 如图,▱ABCD 中,∠ABC=3∠A,F 是CB 的延长线上一点,EF ⊥DC 于E,CF=CD,若EF=3 cm,求DE 长.18.1.2 平行四边形的判定第1课时1.掌握平行四边形的判定方法.2.会用平行四边形的判定方法解决简单的实际问题.一、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1. 如图,已知AB=CD=EF,AD=BC,DE=CF,则(1)AB ∥CD;(2)CD ∥EF;(3)AD ∥BC;(4)DE ∥CF;(5)AD ∥CF;(6)AB ∥EF; 以上说法中,正确的有( )(A)3个 (B)4个(C)5个 (D)6个2. 如图,▱ABCD 中,E,F 分别是AD,CB 上的两点,且AE=CF.求证:四边形EBFD 是平行四边形.二、对角线互相平分的四边形是平行四边形3. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F 是对角线AC 上的两点,当E,F 满足下列哪个条件时,四边形DEBF 不一定是平行四边形( ) (A)AE=CF(B)DE=BF(C)∠ADE=∠CBF (D)∠AED=∠CFB学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________密封线4. 已知:如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,M 、N 分别是OA 、OC 的中点,求证:BM ∥DN,且BM=DN.1.下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( ) (A)一组对边相等 (B)对角线相等 (C)一组对角相等(D)对角线互相平分2.四边形ABCD 中,AD ∥BC,当满足下列哪个条件时,可以得出四边形ABCD 是平行四边形( )(A)∠A+∠C=180°(B)∠B+∠D=180° (C)∠A+∠B=180° (D)∠A+∠D=180°3.如图,在四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O,(1)若AD=8 cm,AB=7 cm,那么当BC= cm,CD= cm 时,四边形ABCD 为平行四边形.(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO= cm,DO= cm 时,四边形ABCD 为平行四边形.4.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,可拼成不同的平行四边形的个数为 .5.在四边形ABCD 中,∠A 和∠B 互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD 是平行四边形吗?试说明理由.6. 如图,已知在▱ABCD 中,AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的角平分线. 求证:四边形AFCE 是平行四边形.第2课时1.探索并掌握:“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.2.理解三角形中位线的含义并能应用三角形中位线定理.3.理解两条平行线间的距离. 【重点难点】“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法一、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1. 已知:如图,▱ABCD 中,E 、F 分别是AD、BC 的中点,求证:BE=DF.2. 已知:如图DE ⊥AC,BF ⊥AC,DE=BF,且∠ADB=∠DBC.求证:四边形ABCD 是平行四边形.二、三角形中位线定理3.在▱ABCD 中,点O 是对角线AC 、BD 的交点,点E 是边CD 的中点,且BC=10,则OE= .第3题第4题4.如图,D 是△ABC 内一点,BD ⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是 .学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线1.在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )(A)AB ∥CD,AD=BC (B)∠A=∠B,∠C=∠D (C)AB=CD,AD=BC (D)AB=AD,CB=CD 2.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( )(A)一组对边相等,另一组对边平行 (B)一组对边平行,一组对角互补 (C)一组对角相等,一组邻角互补 (D)一组对角互补,另一组对角相等3.已知△ABC 的周长为16,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,那么△ADE 的周长等于( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)84.如图所示,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 的中点,延长DE 到F,使EF=DE,若AB=10,BC=8,则四边形BCFD 的周长= .第4题第5题5. 已知:如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 上的两点,且AE=CF,求证:BD,EF 互相平分.6. 已知:如图,▱ABCD 中,E 、F 分别是AC 上两点,且BE ⊥AC 于E,DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 是平行四边形.18.2.1 矩形第1课时1.掌握矩形的性质,能熟练运用矩形的性质解决问题.2.在解决问题的过程中,进一步发展推理论证能力与主动探究习惯.3.通过探究括动,激发学生的学习兴趣,渗透转化思想,学会类比的研究方法.体会矩形的内在美和应用美.一、矩形的性质1. 如图,在矩形ABCD 中,对角线交于点O,DE 平分∠ADC,∠AOB=60°,则 ∠COE= .2.如图,矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13 cm,那么矩形的周长是多少?二、直角三角形斜边中线的性质3.直角三角形斜边为10 cm,斜边上的中线长为 .4.斜边上中线分直角三角形成两个三角形,这两个三角形面积之间的关系是 .1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )(A)对边相互平行 (B)对角线相等 (C)对角线相互平分 (D)对角相等2.如果矩形的两条对角线所夹的钝角是120°,那么对角线与矩形短边的长度之比为( )(A)3∶2 (B)2∶1 (C)1.5∶1 (D)1∶1学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线3. 如图,E 为矩形ABCD 的边BC 的中点,且∠BAE=30°,AE=2,则AC 等于( ) (A)3 (B)2(C)(D)第3题第4题4. 如图,矩形ABCD 中,E 为AD 上一点,EF ⊥CE 交AB 于F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,则AE= .5. 如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE=AD,DF ⊥AE,垂足为F.线段DF 与图中的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明.即DF=.(写出一条线段即可)6. 如图,矩形ABCD 中,AE ⊥BD,∠DAE ∶∠BAE=3∶1,求∠BAE 、∠EAO 的度数.第2课时1.会证明矩形的两个判定定理.2.会根据矩形的定义和判定定理判定一个四边形是矩形,并能进行有关的论证或计算.3.经历探究矩形判定条件的过程,通过观察——总结——猜想——证明,发展学生的合情推理能力,培养主动探究的习惯.一、对角线相等的平行四边形是矩形1. 已知如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,且∠OBC=∠OCB. 求证:四边形ABCD 是矩形.2. 如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH 是矩形.二、有三个角是直角的四边形是矩形3.已知四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°,则该四边形的形状是 .4. 已知:如图,▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH 是矩形.1.要使▱ABCD 成为矩形,需添加的条件是( )(A)AB=BC (B)AC ⊥BD (C)∠ABC=90° (D)∠BAD=∠BCD 2.下列给出的条件中,不能判断一个四边形是矩形的是( ) (A)一组对边平行且相等,有一个内角是直角 (B)有三个角是直角 (C)两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形 (D)一组对边平行且相等,且两条对角线相等3.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,请问工人师傅根据的几何道理是 .4. 已知,如图,平行四边形ABCD 中,M 为AD 的中点,且BM=CM.试说明:四边形ABCD 是矩形.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线5. 如图,在四边形ABCD 中,点E 、F 是对角线BD 上的两点,且BE=DF. (1)若四边形AECF 是平行四边形,求证四边形ABCD 也是平行四边形;(2)若四边形AECF 是矩形,试判断四边形ABCD 是否也是矩形.不必写理由.18.2.2 菱形第1课时1.知道菱形的定义及性质,知道菱形与平行四边形的关系.2.会用菱形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想. 【重点难点】菱形的定义及性质、菱形的面积.一、菱形的四条边都相等1.已知菱形的周长为12 cm,则它的边长为 .2.已知菱形ABCD 中,∠ABC=60°,则∠BAC= .二、菱形的对角线3.如图,四边形ABCD 是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD,∠ABC 的度数; (2)边AB 及对角线AC 的长.4. 如图,在菱形ABCD 中,∠ABC 与∠BAD 的度数比为1∶2,周长是48.求: (1)两条对角线的长度; (2)菱形的面积.1.菱形的周长为8.4 cm,相邻两角之比为5∶1,那么菱形一组对边之间的距离为( ) (A)1.05 cm (B)0.525 cm (C)4.2 cm (D)2.1 cm2.在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交AC 于F,交AB 于E,则∠CDF 等于( )(A)80° (B)70° (C)65° (D)60°3.菱形周长为40,一条对角线长为16,则另一条对角线长为 ,菱形的高为.4. 菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=40°,求∠CEF 的度数.5. 已知,如图,菱形ABCD中,∠ADC=120°,AC=12,(1)求BD 的长;(2)求菱形ABCD 的面积; (3)写出A 、B 、C 、D 的坐标.第2课时1.掌握菱形的三种判定方法.2.理解菱形判定定理的证明过程.3.会应用菱形的判定定理解决问题. 【重点难点】1.掌握菱形的三种判定方法.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线2.理解菱形判定定理的证明过程.3.会应用菱形的判定定理解决问题.一、四条边相等的四边形是菱形1.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理是.2. 如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD,AC 平分∠BAD,CE ∥AD 交AB 于点E.求证:四边形AECD 是菱形.二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O,AB=,AO=1,OB=2,则AC 、BD 的位置关系是 ,四边形ABCD 是菱形的道理是 .4. 如图,在平行四边形ABCD 中,BE 平分∠ABC 交AD 于点E,DF 平分∠ADC 交BC 于点F. 求证:(1)△ABE ≌△CDF;(2)若BD ⊥EF,则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形,请证明你的结论.1.下列命题中正确的是( )(A)对角线相等的四边形是菱形 (B)对角线互相垂直的四边形是菱形 (C)对角线相等的平行四边形是菱形 (D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,下列条件中,不能判定▱ABCD 是菱形的是( ) (A)AB=AD (B)AC ⊥BD (C)∠A=∠D (D)CA 平分∠BCD3. 如图所示,过四边形ABCD 的各顶点作对角线BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若四边形EFGH 是菱形,则原四边形ABCD 一定是( )(A)菱形 (B)平行四边形 (C)矩形 (D)对角线相等的四边形第3题第4题4. 如图,在菱形ABCD 中,∠ADC=72°,AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPD= 度.5.已知:如图▱ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F. 求证:四边形AFCE 是菱形.18.2.3 正方形1.知道正方形的定义及性质,知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.2.会用正方形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算正方形的面积.3.会用正方形的判定方法判定四边形是正方形. 【重点难点】1.知道正方形的定义及性质,知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.2.会用正方形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算正方形的面积. 一、正方形的性质学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线1. 已知:如图,正方形ABCD 中,对角线的交点为O,E 是OB 上的一点,DG ⊥AE 于G,DG 交OA 于F.求证:OE=OF.2. 已知:如图,点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且DE=BF. 求证:EA ⊥AF.二、正方形的判定方法3.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) (A)正方形 (B)菱形 (C)矩形 (D)等腰梯形4. 如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 是BD 延长线上的点,且△ACE 是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若∠AED=2∠EAD,1.下列命题是假命题的是( )(A)邻边相等且有三个角是直角的四边形是正方形 (B)对角线互相垂直平分的四边形是菱形(C)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 (D)对角线相等的平行四边形是矩形 2.顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是( ) (A)平行四边形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形3.四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( ) (A)OA=OB=OC=OD,AC ⊥BD (B)AB ∥CD,AC=BD(C)AD ∥BC,∠BAD=∠BCD (D)OA=OC,OB=OD,AB=BC4.在正方形ABCD 中,AB=12,对角线AC 、BD 相交于O,则△ABO 的周长是( ) (A)12+12 (B)12+6 (C)12+(D)24+65.正方形ABCD 的边长为a,点E 、F 分别是对角线BD 上的两点,过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线,如图所示,则图中阴影部分的面积之和等于.6. 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,AE,BF 交于点O,∠AOF=90°.求证:BE=CF.。

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形的性质及判定测试题

AB CDE平行四边形的性质及判定测试题一、选择（10×3‘）1、在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）A.60°B.80°C.100°D.1202、下列说法正确的是（）．A 平行四边形的对角互补，邻角相等B 平行四边形的对角线相等C 两组对边分别平行的图形是平行四边形D 平行四边形的对边平行且相等3、在□ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D可以是（）A 1:2:2:1B 2:1:1:2C 2:2:1:1D 2:1:2:14、具有下列条件的四边形中，不一定是平行四边形的是（）A 两组对边分别平行B 对角线互相平分C 一组对边平行且相等D 一组对边平行，另一组对边相等5、如图，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）A 6c mB 12cmC 4cmD 8cm第5题第6题6、如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝，AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（） A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm7、如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点，A，B，D的坐标分别是（0，0）（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）Ａ（3,7）Ｂ(5,3) Ｃ(7,3) Ｄ(8,2)A8.如图：在□ABCD 中，ＡD ＝３，D Ｃ＝５，BD 的垂直平分线交B Ｄ于点Ｅ，则△BCE 的周长是（）Ａ６ B ８Ｃ９Ｄ１０９．如图：在□ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC=6,BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A 3B 6C 12D 24第8题第9题10. 在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=6，BD=8，则边AB 的取值范围（）A 1<AB<7B 2<AB<4C 6<AB<8D 3<AB<4二、填空（6×3‘）1、中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．2.如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3、 □ABCD 中，如果∠B=100°，那么∠A 、∠D 的值分别是。

18.1~18.2平行四边形的性质与判定练习题

E D C OF B A 18.1~18.2平行四边形的性质与判定一、选择题1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A 、对角线互相垂直B 、对角线互相平分C 、一组对角相等D 、一组对边相等2、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。

其中能判定平行四边形的命题的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、下列说法中错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取（）A 、6、6、6B 、6、4、3C 、6、4、6D 、3、4、55、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（）A 、1∶2∶2∶1B 、2∶1∶1∶1C 、1∶2∶3∶4D 、2∶1∶2∶17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（）A 、∠A ＋∠C ＝180°B 、∠B ＋∠D ＝180°C 、∠A ＋∠B ＝180°D 、∠A ＋∠D ＝180°8、根据下列条件，得不到平行四边形的是（）A 、AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（）A 、14B 、11C 、10D 、179题图 10题图 11题图 12题图10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，则下列说法中正确的是（）A ．若l 1∥l 2，则a=bB ．若l 1∥l 2，则a=cC ．若a∥b，则a=bD ．若l 1∥l 2，且a∥b，则a=b11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE∥BA，DF∥CA，那么四边形AFDE 的周长是（）A .30B ． 25C ． 20D ． 1512、如图，AB=CD ，BF=ED ，AE=CF ，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（）A ．1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组13、若□ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（）A 、13cmB 、3cmC 、7cmD 、11.5cm14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下列各组数据可能是x 与y 的值的是（）A 、8与14B 、10与14C 、18与20D 、10与3615、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，则∠A 和∠B 的度数分别为（）A ．80° ，100°B ．130°，50°C ．160°，20°D ．60°，120°16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( )A.2B.4C.6D.817、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，则( )A.AM=MEB.AM=DFC.AM=NCD.AM ⊥MD18、在□ABCD 中若∠A ＞∠B ，则∠A 的补角与∠B 的余角之和( )A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定19、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形( )A B E C F DO A B D C A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.两腰长的和20、已知平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，则它的面积是( )A.123cm 2B.73cm 2C.63cm 2D.43cm 221、下列说法正确的有（）①平行四边形的对角线相等；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角线互相垂直；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个22、平行四边形的一条对角线与一边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角之比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶523、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在一条直线上，则下列关系中一定正确的是( )A.DE ＞BFB.DE=BFC.DE ＜BFD.DE=EF=BF23题图 24题图 25题图24、如图，□ABCD 中，∠ABC=60°，AE∥BD，EF⊥BC 交BC 的延长线于点F ，DF=2，则EF 的长为（） A ．2 B ． 2 C ． 4 D ． 425、如图，∠BAC=120°，AD⊥AC，BD=CD ，则下列结论正确的是（）A ． A D=ACB ． A B=AC C ． A B=2ACD ． A B=AC二、填空题1、□ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝________.2、□ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝________cm ，AD ＝________cm.3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是________.4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为________.5、如右上图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝________，□ABCD 的周长为________.6、若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，则两短边间的距离为________．7、□ABCD 中，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=__________,CD=__________, ∠D=__________,∠A=__________,∠C=__________.8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 . 9、如右图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,则AB=________，BC=________. 10、□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有________对.(1)由平行四边形的一个顶点在形内向两边引垂线，二垂线夹角为65°，则这个平行四边形各内角的度数分别为________.(2)在□ABCD 中，∠A 的补角与∠B 的和等于210°，则∠A=________,∠B=________.(3)在□ABCD 中，AB ∶BC=1∶2，∠D=30°，AE ⊥BC 于E ，AE=3cm,则AB=________cm.这个平行四边形的周长是________cm.(4)平行四边形周长是40cm ，二邻边的比为3∶2，则两邻边长分别是________.(5)在□ABCD 中，两邻边AB 、AD 的比是1∶2，M 是大边AD 的中点，则∠BMC 的度数是________.(6)平行四边形的周长为50厘米，那么它两邻边之和是______cm ，每条对角线的长不能超过______cm.(7)□ABCD 中，周长为50厘米，AB=15cm ，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______cm 2.(8)□ABCD 的周长为50厘米，对角线交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5厘米，则AB 、BC 的长分别是______、______.(9)有五条平行的直线，每相邻两条的距离相等，有一条直线和这组平行线相交成30°角，它介于相邻两条A BF CD EA BE CFDA BFOC DE平行线之间的线段长是10厘米，则这一组平行线最外面两条之间的距离是______厘米.(10)已知平行四边形周长为68厘米，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长的和等于82厘米，两条对角线的长度比为2∶1，则两条对角线的长分别为______厘米，______厘米.11、等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为．12、如图（在下页），已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF= ．第12题第13题第14题13、如图，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有个平行四边形．14、如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是．15、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，则BC﹣AD= ．第15题第16题第17题16、如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，且AB=4，BC=5，CD=6，DE=7，那么，六边形ABCDEF的周长是．17、如图，△ABC中，如果AB=30，BC=24，AC=27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为．18、如右图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处（紧靠木板边缘），如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中道理是 .三、解答题与证明题1、在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。

(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题

平行四边形的性质及判定（典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊（1）从边看（II ）从角看（4）两组对角分别相等的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分）又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。