考研数学思维导图概率论与数理统计

二维离散型随机变量
定义
如果随机变量xy可能取值为有限个或无穷个xy，则称为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量的概率分布 二维离散型随机变量的边缘分布。 二维离散型随机变量的条件分布
随机变量落入区间cd的
机 变
量 及 其 概
均匀分布
0, x < a
x − a
F (x) =
, a ≤ x < b
b − a
ห้องสมุดไป่ตู้
1, b ≤ x
记作X~U(a,b)
概率等于该区间长度与 ab长度之比。
率 分
λe , − λx x > 0
f (x) =
布
0, x ≤ 0
指数分布
记作X~E(λ)
1 − e , −λx x > 0
F (x) =
0, x ≤ 0
正态分布
f (x) =
2
1
(x − μ ) −
e
2
2σ
, F (x) =
2π σ
2
1
(t − μ )
−
e dt x
2
2σ
2π σ −∞
x−μ
F (x) = Φ(
)
σ
正态分布性质
b −σ
a−μ
P(a < X ≤ b) = Φ(
事件的独立性：AB两事件满足，称为AB两事件相互独立
概率的性质
P(∅) = 0
P(A1 A2 An) = P(A1)+ P(A2)++ P(An)
P(A) = 1− P(A)
A ⊂ B, P(A) ≤ P(B) 0 ≤ P(A) ≤ 1
加法公式：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
=
ΩA几何度量 Ω几何度量
n重伯努利试 验：把随机试验重复若干次，事件之间相互独立，同一事件
C P 概率相同，实验结果只有两个，事件A 的概率为P(A)
=
k，
k n
k(1- P)n-k
1/8
随机变量：样本空间上的实值函数X=X(ω)
分布函数：对于任意实数x，记F(x)=p{X<=x}，
-∞ < x < +∞
P(Bj)P( A | Bj)
n
，j=1，2，3
1
P(Bi)P( A | Bi)
1
古典概率模型：当试验结果有有限N个样本点，且每个样本点发生
的概率相等，如果事件A由n个样本点组成：P(A)
=
n N
=
A包含样本点 样本点总数
三种概率模型
几何概型：样本空间为某区域（可以是一维二维三维），试验出
现在区域的可能性相等，则事件A发生的可能性P(A)
一维随机变量及其分布函数
分布函数的性质

0 ≤ F(x) ≤ 1, lim F(x) = 0, lim F(x) = 1
x→−∞
x→+∞
F(x)是单调不减函数

F(x)是右连续函数
x < x , P(x < X ≤ x ) = F (x ) − F (x )
1
2
1
2
2
1
P( X = x) = F ( x) − F ( x − 0)
连续性随机变量及其概率分布
对于随机变量X的分布函数F(x),都有一个非负可积函数f(x)使得 连续型随机变量的F(x)一定连续，f(x)不一定连续
x
F (x) = f (t)dt
−∞
f (x) ≥ 0
概率密度f(x)性质
+∞ f (x)dx = 1
−∞
对于任意实数
在f(x)的连续点处
x
x < x , P(x < X ≤ x ) = 2 f (t)dt
F (x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x, y < +∞) = F (x, +∞) x
F (y) = P(Y ≤ y) = P(X < +∞, Y ≤ y) = F (+∞, y) y
P(X ≤ x, Y = y)
F (x | y) = P(X ≤ x | Y = y) =
x| y
P(Y = y)
超几何分布
C Ck n − k
P(X = k) = M N −M , k = l , l , l , l
Cn
1234
N
泊松分布
如果随机变量x的分布率为。
λk P(X = k) = e−λ , k = 0.1.2
记作X~P(λ)
第 二
k!
1 ，a ≤ x ≤ b
章
f (x) = b − a
随
常用分布
0, 其他
分配律： A（BC）=（AB）（AC）
对偶律： AB= AB AB=AB
第
一
对于任意事件A P(A)≥ 0
章
对于必然事件 P(Ω)= 1
概 率
概率定义：A包含于样本空间 对于两两互斥的无穷事件 P(A1 +An)= P(A1)+P(An)
与 事 件
条件概率P(A)> 0，称为事件A发生的条件下B发生的概率P(A|B)= P(AB) P( A)
概率的五大公式
减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)
乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(A|B)
n
n
全 概 率 公 式 ： Bi =Ω， Bi Bj =∅ ， P( A) = P(Bi )P( A | Bi )
1
1
n
贝叶斯公式：
Bi =Ω，BiBj = ∅，P( A) > 0，P(Bj | A) =
考研数学思维导图 概率论与数理统计
随机试验：1.条件相同可重复；2.结果具有多样性；3.实验前无法预测
基本概练
样本空间：随机试验的每一种结果称为样本点，样本点的全集是样本空间 事件：样本空间的子集称为随机事件
事件之间的关系
事件的差：记作A-B：事件A发生而事件B不发生 事件的交：记作AB：事件AB同时发生 事件的并：记作A+B或AUB：事件A或B至少有一个发生
) − Φ(
), a < b
σ
σ
Φ(− x) = 1 − Φ(x), Φ(0) = 0.5
概率密度fx关于x等于μ对称。
2/8
二维随机变量及其分布
二维随机变量（X,Y）的分布
F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y), x, y ∈ (−∞, +∞)
二维随机变量的边缘分布 二维随机变量的条件分布
事件的非：记作A事件A不发生 事件的包含：事件A发生必然导致事件B发生，称为事件B包含A
事件相等：两事件同时发生，且彼此包含，记作A=B 互斥事件：事件A与B的关系式相交为空，是指AB不能同时发生
A⊂B
交换律： A B = BA A B = BA
结合律： A （BC）=（A B）C
事件的基本运算规律
1
2
1
2
x
1
F '( x) = f ( x)
（0—1）分布
随机变量x有分布律则称x等于01分布。
X 01 P 1− p p
二项分布 几何分布
P(X = k) = C p q k k n−k , k = 0.1.2.3… n
记作X~B（n，p）
如果随机变量x的分布率为 P(X = k) = pq k−1