数学分析反常积分 113瑕积分的收敛判别法.
《数学分析》课件 10-3瑕积分的性质与收敛判别
(x a)p
a
推 设f 定义于(a,b]a为瑕点，且在任何区间[u,b] a,b上
论 可积,若
lim (x a) p f (x) .
xa
则 (i) 当0＜p＜1,0 时, b f (x)dx收敛; a
(ii) 当p 1,0 时, b f (x) dx发散. a
例1 例2
例3 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x
e x x s1dx 对 s 0 均收敛. 0
o
s
－函数的几个重要性质：
１．递推公式(s 1) s(s) (s 0). ２．当 s 0 时，(s) . 3．余元公式 (s)(1 s) (0 s 1).
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x1s ,
而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
(2)lim x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
(s)
根据极限审敛法1, I2 也收敛.
由 (1), (2) 知
若 b g(x)dx收敛 则 b f (x)dx收敛;
a
a
若 b f (x) dx发散 则 b g(x)dx发散.
a
a
推论 又若 g(x) 0,且
lim f (x) c，则有
xa g(x)
(i) 当0 c 时 b f (x)dx与 b g(x)dx同敛态;
a
a
(ii) 当c 0时 若 b g(x)dx收敛 则 b f (x)dx收敛;
数学分析11.3瑕积分的性质与收敛判别
第十一章 反常积分 3 瑕积分的性质与收敛判别定理11.5：瑕积分⎰ba f(x )dx(瑕点为a)收敛的充要条件是： 任给ε>0，存在δ≥0，只要u 1,u 2∈(a,a+δ)，总有 |⎰b u 1f(x)dx-⎰bu 2f(x)dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：设函数f 1与f 2的瑕点同为x=a ，k 1,k 2为任意常数，则 当瑕积分⎰b a 1(x )f dx 与⎰ba 2(x )f dx 都收敛时， 瑕积分⎰+ba 2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛，且⎰+ba2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰b a1(x )f dx+k 2⎰ba2(x )f dx.性质2：设f 的瑕点为x=a, c ∈(a,b)为任一常数，则瑕积分⎰ba f(x )dx 与⎰caf(x )dx 同敛态，且有⎰b af(x )dx dx=⎰c af(x )dx+⎰bcf(x )dx .性质3：设函数f 的瑕点为x=a ，f 在(a,b]内任一[u,b]上可积，则当⎰ba|f(x )|dx 收敛时，⎰b af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.证：∵⎰ba |f(x )|dx 收敛，∴任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 有|⎰21u u f(x)dx |=|⎰21u u |f(x)|dx | <ε，∴⎰ba f(x )dx 收敛，且|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.注：当⎰b a |f(x )|dx 收敛时，称⎰ba f(x )dx 为绝对收敛. 又称收敛而不绝对收敛的瑕积分为条件收敛.定理11.6：(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f 和g ，瑕点同为x=a ，在任何[u,b]⊂(a,b]上都可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，则当⎰bag(x )dx 收敛时,⎰b a|f(x )|dx 必收敛(或当⎰b a|f(x )|dx 发散时,⎰bag(x )dx 必发散).证：若⎰ba g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰ba |f(x )|dx 收敛.若⎰ba |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰ba g(x )dx 发散.推论1：若g(x)>0，且)x (g |)x (f |lima x +→=c ，则有：(1)当0<c<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态； (2)当c=0时，由⎰ba g(x )dx 收敛可推知⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰ba g(x )dx 发散可推知⎰ba |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim a x +→=c ，∴任给ε>0，存在δ>0，当x ∈(a,a+δ)时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε，即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰b a |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰ba g(x )dx 收敛，则⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，∴任给M>0，存在σ>0，当x ∈(a,a+σ)时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰b a g(x )dx 发散，⎰b a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在任何[u,b]⊂(a,b]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤pa)-(x 1, 且0<p<1时，⎰b a |f(x )|dx 收敛； (2)当|f(x)|≥pa)-(x 1, 且p ≥1时，⎰b a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在[u,b]⊂(a,b]上可积，且+→ax lim (x-a)p|f(x)|=λ.则有：(1)当0<p<1, 0≤λ<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≥1, 0<λ≤+∞时，⎰ba |f(x )|dx 发散.例1：判别下列瑕积分的收敛性： (1)⎰1xlnx dx ；(2)⎰21xln xdx. 解：(1)∵xlnx≤x 1, x ∈(0,1]，0<p=21<1，∴⎰10x lnx dx 绝对收敛.(2)当p=1时, λ=xln x1)-(x lim 1x ⋅+→=1，∴⎰21x ln x dx 发散.例2：讨论反常积分φ(a)=⎰+-+∞01a x1x dx 的收敛性. 解：记φ(a)=⎰+-+∞1a x 1x dx=⎰+-101a x 1x dx+⎰+-+∞11a x1x dx=I(a)+J(a). 当a ≥1时，I(a)是定积分；当a<1时，I(a)是瑕点为x=0的瑕积分.又当0<a<1时，|x 1x 1a +-|≤a -1x1, 0<p=1-a<1，∴I(a)收敛.当a ≤0时，p=1-a ≥1，λ=x1x xlim 1a a10x +⋅--→+=1，∴I(a)发散. 对J(a)有，λ=x1x x lim 1a a2x +⋅--+∞→=1； 当p=2-a>1，即a<1时，J(a)收敛；当a ≥1时，J(a)发散. 综上，由下表可知：反常积分φ(a)只有当0<a<1时才收敛.习题1、讨论下列瑕积分的收敛性： (1)⎰22)1-x (dx ；(2)⎰π023x sinx dx ；(3)⎰10xln x dx；(4)⎰-10x 1lnx dx ； (5)⎰103x -1arctanx dx ；(6)⎰2π0m x cosx -1dx ；(7)⎰10a x 1sin x1dx ；(8)⎰-∞+0x x ln e dx. 解：(1)令p=2>1, ∵λ=221x )1-x (dx1)-(x lim ⋅→=1， ∴⎰202)1-x (dx 发散.(2)令0<p=21<1, ∵λ=23x sinx x lim 210x ⋅+→=1， ∴⎰π023xsinx dx 收敛.(3)令⎰1xln x dx =⎰axln x dx +⎰1axln x dx =I+J, a ∈(0,1)对I ，令0<p=21<1，则λ=xln x dx x lim 210x ⋅+→=0，∴⎰a 0x ln x dx 收敛.对J ，令p=1, 则λ=xln x dx 1)-(x lim 1x ⋅-→=1，∴⎰1axln x dx 发散.∴⎰1xln x dx 发散.(4)令0<p=21<1，则λ=x 1lnx x )-(1lim 211x -⋅-→=0，∴⎰-10x1lnx dx 收敛.(5)令p=1，则λ=31x x-1arctanx x)-(1lim ⋅-→=12π，∴⎰103x -1arctanx dx 发散. (6)令p=m-2，则λ=m1-m 0x x cosx-1x lim ⋅+→=1， ∴当m ≤0时，原积分是定积分；当0<m<3时收敛；当m ≥3时发散.(7)⎰10a x 1sin x1dx =⎰+∞12-a sint t dt.当0≤a<1时，∵|t a-2sint|≤t a-2；又⎰+∞12-a t dt 收敛，∴原积分绝对收敛. 当1≤a<2时，t a-2单调减即+∞→t lim t a-2=0，又|⎰u1sint dt |≤2，∴积分收敛.且当t ∈[1,+∞)时，|t a-2sint|≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t，其中⎰+∞12t1dt 发散，⎰+∞12t cos2t dt 收敛，∴原积分条件收敛.当a ≥2时，令p=1，∵λ=sint t t lim 2-a t ⋅+∞→=+∞，∴积分发散. (8)⎰-∞+0xx ln e dx=⎰-10xx ln e dx+⎰-∞+1x x ln e dx=I+J.对I ，令0<p=21<1，则λ=x ln e x lim x 210x -→⋅+=0，∴⎰-10x x ln e dx 收敛.对J ，令p=2>1，λ=x ln e x lim x20x -→⋅+=0，∴⎰-∞+1x x ln e dx 收敛.∴原积分收敛.2、计算下列瑕积分的值(其中n 为正整数)： (1)⎰10n)x (ln dx ；(2)⎰1n x-1x dx.解：(1)记I n =⎰10n )x (ln dx=x(lnx)n |10-⎰10x d(lnx)n =-n ⎰101-n )x (ln dx=-nI n-1. ∴I n =(-1)n-1n!I 1=(-1)nn!⎰10dx =(-1)n n!. (2)⎰10n x-1x dx=2⎰10n2)t -(1dt=2⎰+2π012n θcosdt=!)!1n 2(!!n)2(2+=!)!1n 2(!n 21n ++.3、证明瑕积分J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛，且J=-2πln2. (提示：利用⎰2π0)x ln(sin dx=⎰2π0)x ln(cos dx ，并将它们相加).证：∵lnxlnsinxlim 0x +→=1, 又⎰2π0x ln dx 收敛，∴J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛.又J=⎰2π0)x ln(sin dx=-⎰2π0x )]-2πln[sin(d x)-2π(=⎰2π0x)ln(cos dx. ∴2J=⎰2π0)x ln(sin dx+⎰2π0x)ln(cos dx=⎰⎪⎭⎫⎝⎛2π2x 2sin ln dx =⎰2π0)x 2ln(sin dx-⎰2π02ln dx=⎰π0)x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π0π2π)x ln(sin )x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π02π0dx )x ln(cos dx )x ln(sin 21-2πln2 =J-2πln2. ∴J=-2πln2.4、利用上题结果，证明： (1)⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2； (2)⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2. 证：(1)令θ=π-φ，则J=⎰π0)θln(sin θd θ=⎰π0)]φ-πln[sin()φ-(πd(π-φ) =⎰π0)φln(sin )φ-(πd φ=π⎰π)φln(sin d φ-J.∴2J=π⎰π)φln(sin d φ=-π2ln2. ∴J=⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2. (2)∵⎰2π0)θln(sin d θ=θln(sin θ)|2π0-⎰2π0θd(ln(sin θ))=-⎰2π0sin θθcosθd θ=-⎰2π0sin θθcosθd θ =-⎰2π02θsin θsin2θ21d θ=-⎰2π0cos2θ-1sin2θ 2θ41d2θ=-⎰π0cos θ-1sin θ θ41d θ=-2πln2. ∴⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2.。
11-3瑕积分的性质与收敛判别
u1
u2
u1
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证 设 F (u) b f ( x)dx, u (a,b), 则
b
f ( x)dx
u
a
收敛的充要条件是 lim F (u) 存在.由函数收敛的 ua
柯西准则，此等价于 0, 0,
u1,u2 (a,a )，F (u1) F (u2 ) ,
0<a<1 收敛 收敛 收敛
a1 定积分
发散 发散
所以, (a) 只有当 0 a 1 时才是收敛的.
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复习思考题
1.试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.
2. 设 f ( x) 为[a, b) 上的连续函数,b 为瑕点.试问当
b f ( x) dx 收敛时, b f 2( x)dx 是否收敛? 反之是
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I(a)
x 1 a1 dx
0 1 x
(i) 先讨论 I(a). 当 a 1 0, 即 a 1 时它是定积分;
当 a 1 时它是瑕积分,瑕点为 x 0.由于
lim x1a xa1 1,
x0
1 x
因此由定理11.6 的推论 3,当 0 p 1 a 1, 即
a
的柯西收敛准则可推出瑕积分的柯西收敛准则.
定理11.5 （瑕积分收敛的柯西准则）
瑕积分 b f ( x)dx (瑕点为a) 收敛的充要条件是 a
任给 0,存在 0,当 u1,u2 (a,a ) 时，
b
b
f ( x)dx f ( x)dx
u2 f ( x)dx .
xa
则有：（ⅰ）当0＜p＜1，0
11.3 瑕积分的性质与收敛判别
b
b
任意常数 k1 , k2 , 有
a [k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x )] dx
k1 f1 ( x ) dx k2 f 2 ( x ) dx .
a a b b
b
性质2：设函数 f ( x ) 的瑕点为x a, 则对任意
对c (a , b) , 瑕积分 f ( x )dx 与 f ( x )dx
推论2: 设非负函数 f ( x ) 与 g( x ) 的瑕点同为 x a ,
f ( x) 在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且 lim c. x a g( x )
(i ) 若0 c , 则 f ( x )dx 与 g( x )dx 同敛散；
a a b b
u1 , u2 (a, a ) 时 ,
b
u
b
1
f ( x )dx f ( x )dx
u2
b
u
u2
1
f ( x )dx .
性质1： 设函数 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 的瑕点同为a , 若瑕
积分 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛 , 则对
(1)
1
sin 1 x x
r
0
dx (0 r 2).
( 2)
1 x 0
ln x dx ( R).
例3、讨论反常积分 ( )
0
x 1 dx 的收敛性. 1 x
在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且
x a
lim ( x a ) p f ( x ) , 则
b a
(i )当 0 p 1 , 0 时, f ( x )dx 收敛； (ii)当 p 1 , 0 时, f ( x )dx 发散 .
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
反常积分收敛的比较判别法
反常积分收敛的比较判别法在数学中，反常积分的收敛问题是一个重要的话题。
比较判别法是一种常用的方法，用于判断反常积分的收敛性。
本文将介绍比较判别法在无穷区间积分、无穷级数求和、瑕点处理、非负函数积分、广义积分收敛性、变限函数积分、绝对收敛与条件收敛以及与微分方程的联系等方面的应用。
1.无穷区间积分无穷区间积分是指积分区间为无穷大的积分。
在这种情况下，比较判别法通常用于判断积分的收敛性。
例如，对于函数f(x)在[0,∞)上积分收敛的充要条件是存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M。
2.无穷级数求和无穷级数求和是指对无穷多个数进行求和。
比较判别法也适用于判断无穷级数的收敛性。
例如，对于级数∑an，如果存在常数M，使得对于任意n，有|an|≤M，则级数收敛。
3.瑕点处理瑕点是指反常积分中使被积函数无定义的点。
在处理瑕点时，比较判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。
例如，对于瑕积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→a+时，f(x)→M，则瑕积分收敛。
4.非负函数积分对于非负函数f(x)的积分，比较判别法也适用。
例如，如果f(x)在[0,∞)上可积，且存在常数M，使得当x→∞时，f(x)≤M，则f(x)的积分收敛。
5.广义积分收敛性广义积分是指积分区间为无穷大的反常积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断广义积分的收敛性。
例如，对于广义积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M，则广义积分收敛。
6.变限函数积分变限函数积分是指积分上限或下限为变量的积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断变限函数积分的收敛性。
例如，对于变限函数积分∫(上限为φ(t),下限为a)f(x,t)dxdt，如果存在常数M，使得当t→∞时，∫(上限为φ(t),下限为a)|f(x,t)|dxdt≤M，则变限函数积分收敛。
7.绝对收敛与条件收敛反常积分可以分成绝对收敛和条件收敛两种情况。
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断
摘要：
1.反常积分的定义及作用
2.反常积分收敛的判断方法
3.反常积分的应用举例
正文：
一、反常积分的定义及作用
反常积分，又称为不定积分，是指在一个定义域上，对一个函数进行积分，积分结果与定义域无关的积分。
反常积分通常用来计算函数在一段区间上的积分值，它可以用来求解微分方程的解以及研究函数的性质等。
二、反常积分收敛的判断方法
判断反常积分是否收敛，主要有以下几种方法：
1.柯西积分准则：如果一个函数在定义域上满足柯西积分准则，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
2.积分区间长度：如果一个函数在定义域上的长度是有限的，并且函数在这个区间上是连续的，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
3.分部积分法：可以将函数分解成部分，然后分别求解每个部分的反常积分，如果这些部分的积分都是收敛的，那么原函数的反常积分也是收敛的。
三、反常积分的应用举例
举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 1/x在区间[1, 2] 上的积分值，我们可以使用反常积分的方法。
首先，将函数分解成部分，即f(x) = 1/x =
H(x) - H(2)，其中H(x) 是函数x 的反函数。
然后，我们可以分别求解H(x) 和H(2) 在区间[1, 2] 上的积分值，再将它们相减，即可得到f(x) 在区间[1, 2] 上的积分值。
综上所述，反常积分是一种重要的数学工具，它可以帮助我们求解许多实际问题。
瑕积分的性质与收敛判别
f ( x)dx为绝对收敛.
性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛．
我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
二. 无穷积分收敛的判别法
瑕积分
１.柯西准则 b
a
f ( x)dx a为瑕点收敛的充要条件是 :
0, 0, 只要u1､ u2 a, a , 便有
11.3瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
一. 瑕积分的性质 性质１
当瑕积分
b
b
若f1与f 2的瑕点同为x a，k1 , k2为任意常数则
b a
[k f ( x) k 性质２
a 1 1
瑕积分 [k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x)]dx也收敛, 且
根据比较判别法,
1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
函数
定义 ( s ) e x x s 1dx ( s 0)
0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
u2
u1
f ( x)dx .
２，比较原则
设定义在(a, b]上的两个函数f 和g , 瑕点同为x a都在 任何区间 u,b (a, b]上可积且满足 f ( x) g ( x), x (a, b]
若 f ( x) dx发散则 g ( x)dx发散. a a f ( x) 推论 又若g ( x) 0, 且 lim c，则有 x a g ( x) b b (i) 当0 c 时 f ( x) dx与 g ( x)dx同敛态;
反常积分收敛发散怎么判断
反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。
第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。
第四，题目声明的反常点。
第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。
第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。
那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。
(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。
(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。
第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。
第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。
数学分析反常积分113瑕积分的收敛判别法
如果函数在瑕点附近单调，则瑕积分收敛。
3
有界性
如果函数在瑕点附近有界，则瑕积分收敛。
瑕积分的收敛性质与积分区间的关系
01
积分区间长度
积分区间长度有限时，瑕积分收 敛。
02
积分区间端点
03
积分区间形状
积分区间端点处的函数值不影响 瑕积分收敛性。
积分区间形状不影响瑕积分收敛 性。
瑕积分的收敛性质与积分变量的关系
积分变量范围
积分变量范围有限时，瑕积分收敛。
积分变量变化趋势
积分变量变化趋势不影响瑕积分收敛性。
积分变量与瑕点的关系
积分变量与瑕点位置关系不影响瑕积分收敛性。
05
瑕积分的收敛判别法的应用
在解决数学问题中的应用
判断反常积分的收敛性
01
通过使用瑕积分的收敛判别法，可以判断反常积分是否收敛，
从而确定积分的值或其不存在性。
解决物理中的反常现象
有些物理现象可以归结为反常积分的问题，通过应用瑕积分的收敛判别法，可以深入理 解这些现象的内在机制。
建立物理模型的边界条件
在建立物理模型时，边界条件的确定非常重要，而瑕积分的收敛判别法可以为确定边界 条件提供重要的依据。
在解决工程问题中的应用
分析工程的稳定性
在工程设计中，系统的稳定性是非常重要的，而瑕积分的收敛 判别法可以用来分析系统的稳定性，如振动分析、流体动力学
分类
反常积分可以分为两种类型，即无穷 积分和瑕积分。
瑕积分的定义
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的某点$c$处不连续，且$f(x)$在$[a, c]$和$[c, b]$上的积分都存在，则称这个 定积分为瑕积分。
反常积分法的收敛判别法
例 8.2.3
讨论 ∫ 0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
+∞
+∞
解 因为对任意常数 a ∈ R ，有
x→+∞
由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫ 0 x a e − x dx 收敛。
一般函数反常积分的收敛判别法 我们先证明一个重要结果。 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x ) 在 [a, b] 上可积， g( x ) 在 [a, b] 上单调，则存在 ξ ∈[a, b] ，使得
+∞ +∞
例 8.2.1 解
讨论 ∫1
+∞
cos 2 x sin x x +a
3 2
dx 的敛散性（ a 是常数）。
因为当 x ≥ 1 时有
cos 2 x sin x x +a
3 2
≤
1 x x
，
+∞
在例 8.1.2 中， 已知 ∫1 对收敛，所以 ∫1
+∞ 3
+∞
1 x x
2
dx 收敛， 由比较判别法，∫
+∞
+∞
∫
A
a
f ( x)dx 存在，因此对
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式：
§2 反常积分的收敛判别法
反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ∫a f ( x)dx 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ∫a f ( x)dx 收敛即为极限 A→+∞ lim
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法在数学分析中，反常积分是指函数在一些区间上的积分无法用常规的积分定义进行计算的情况。
常见的反常积分问题包括无界函数的积分、奇点处的积分和振荡函数的积分。
对于反常积分的收敛性，常用的判别方法有以下两种：1.比较判别法：比较判别法是通过比较被积函数与一些已知的函数的大小关系来判断反常积分的收敛性。
常见的比较函数包括幂函数、指数函数和对数函数等。
（1）正比较法：若在一些区间上，存在常数c>0和N>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≤c*g(x)，其中g(x)为已知收敛或发散的反常积分，则称反常积分∫f(x)dx收敛；若存在常数d>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≥d*g(x)，则反常积分∫f(x)dx发散。
（2）极限判别法：若存在常数L，满足Limx→∞f(x)/g(x)=L（L为有限数或∞），且∫g(x)dx收敛，则反常积分∫f(x)dx也收敛；若Limx→∞f(x)/g(x)=∞或Limx→∞f(x)/g(x)=0，且∫g(x)dx发散，则反常积分∫f(x)dx也发散。
比较判别法的核心思想是通过比较被积函数与一些已知函数的大小关系来推断其积分的收敛性。
这种方法灵活性较大，可以根据需要选取适当的比较函数，但需要有一些常用函数的性质作为基础。
2.极限判别法：极限判别法是利用极限的性质来判断反常积分的收敛性。
具体方法是将反常积分转化为一个极限的形式，并通过求解该极限来判断积分的收敛性。
常见的极限包括无穷极限和有界变量趋于奇点的极限。
（1）无穷极限：若极限Limx→∞f(x)=A（A为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若极限Limx→∞f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。
（2）奇点极限：若在奇点c附近，存在极限Limx→c，x-c，f(x)=L（L为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若在奇点c附近，极限Limx→c，x-c，f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。
11_3瑕积分的性质与收敛判别
为 任 意 常 数 , 若 f ( x ) d xf 和 ( x ) d x 都 收 敛 , 则 1 2
( k f ( x ) k fx ( ) ) d x 也 收 敛 , 且 k f( x ) k f( x ) ) d x ( k ( ) d xk fx ( ) d x . fx
fx ( ) d x , l i m( fx ) d x 0
a
a u a
b
u
f (x)d x 证明: 由 柯 西 收 敛 准 则 , a
b
0 , 0 ,, A A ( a , a ) ,
有 : f (x )d x .
A A
u
: f (xd ) x 上 式 中 , 令 A a ,有 a
A
即 l i m f( xd ) x 0 .
u a a
//
推 论 3 : 设 a 为 瑕 点 , 则
b b a a
( ) d x ( ) d x fx fx 证明:由 柯 西 收 敛 准 则 , f (x) dx 0 , 0 , A , A ( a , a ) , 有 : f ( x ) d x x d x xd x , f() f() x / / 再 由 柯 西 收 敛 准 则 知 , f (x)d
即 x . f (x)d
a
b
x a b
x a x
//
由定理11.8，对于非负函数的瑕积分有以下 比较收敛原理． 定理11.9 (比较法则)
设 定 义 在 ( a , b ] 上 的 两 个 非 负 函 数 f 与 g , 瑕 点 同
关于瑕积分收敛的判断
关于瑕积分收敛的判断课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。
由这一推论可以看出：推论是根据 +→a x （视具体情况亦可是 -→b x ）时无穷大量 ()x f 相对于无穷大量ax -1 的阶来判断。
因为：()()d x f a x a x =-+→λlim 等价于()()d a x x f ax =-+→λ1lim ，当 +∞<<d 0 时，无穷大量 ()x f 与无穷大量 ()λa x -1是同阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量a x -1，无穷大量 ()x f 的阶是 λ ），由于例3 （课本下册p.280），相对于无穷大量 ax -1，无穷大量 ()x f 的阶 1<λ 时瑕积分()⎰b ax d x f 收敛，阶1≥λ 时瑕积分()⎰bax d x f 发散。
当然，由于存在不可比较的无穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。
习题例解：例1． 判别瑕积分⎰-2sin 1πθθd 的敛散性（课本下册p.289：2（6））解：由于∞+=--→θπθsin 11lim 2，点 2πθ= 是其瑕点。
又由于（注1）22sin 22cos 1sin 1θπθπθ-=⎪⎭⎫⎝⎛--=- ，122sin 22lim 2=---→θπθππθ ，当 -→2πθ 时，相对于无穷大量θπ-21，无穷大量22sin 1θπ-的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。
（注2）（ 若直接用推论，判定发散的理由是 2sin 12lim 2=---→θθππx 。
）例2． 判别瑕积分⎰10ln xx xd 的敛散性（课本下册p.289：2（5）） 解：由于 01ln = ，1=x 显然是瑕点。
当 +→0x 时，由洛必达法则有()02lim 211lim 211lim 1ln lim ln lim 0000=-=-=-==+++++→→→→→x x x xx x x xx x x x x x x x ， 因而 0=x 亦是瑕点。
反常积分收敛的判断方法
反常积分收敛的判断方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊反常积分收敛的判断方法，这可真是个有意思的事儿呢！你想想看，积分就像是一场奇妙的旅程，而反常积分呢，就像是这场旅程中那些不太寻常的道路。
那怎么知道我们能不能顺利走通这些特别的路呢？这就需要一些巧妙的判断啦！比如说，比较判别法，这就好像我们在找路的时候，有个参照系一样。
拿已知的好走的路来和我们要走的这条不太寻常的路作比较，如果那条已知的路能走通，那咱这条说不定也没问题呀！这不就给了我们一个判断的依据嘛。
还有极限判别法，就好像我们在远处眺望一条路，看看它的尽头是不是靠谱。
通过计算一些极限值，来大致了解这条路能不能走得下去。
然后呢，还有绝对收敛判别法。
这就好比我们先把路上那些容易让人摔跤的小石子都清理掉，看看清理后的路走起来是不是顺畅。
如果清理掉之后没问题，那原来的路也大概率能走啦！哎呀呀，这些方法就像是我们手里的法宝，帮助我们在面对那些让人头疼的反常积分时，能找到方向，判断出它们到底能不能收敛。
举个例子吧，就像有一条弯弯曲曲的路，我们先用比较判别法看看和旁边一条直直的路比起来怎么样，再用极限判别法从远处观察观察，最后用绝对收敛判别法把路上的一些障碍清理清理。
这么一套操作下来，我们不就对这条路心里有数啦！你说这是不是很神奇？数学的世界就是这么充满了奇妙和惊喜！我们就像是探险家，在这个充满积分的世界里寻找着答案，探索着未知。
所以啊，当你再遇到反常积分的时候，别慌张，想想这些判断方法，就像拿起了武器，勇敢地去挑战吧！相信自己，一定能判断出它们到底能不能收敛，能不能带我们走向正确的方向！咱可不能被这些小小的反常积分给难住了呀，加油！。
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定理11.9 ' (Dirichlet判别法)
设f和g满足下面两个条件:
1
M
0,
使得对0
b
a有|
b
a
f (]上单调,且 lim g( x) 0, xa 则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
定理11.10' (Abel判别法)
设f和g满足下面两个条件:
ln x 1 x2
dx
1 2 0
ln x 1 x2
dx
1 1 2
ln x 1 x2
dx
ln x
lim x1 1 x2
1 2
lim
x1
ln
1
x
x
1 2
, 可见x=1为可去连续点。
1
而对于 2
ln x dx， ln x
2 ln x
0 1 x2
1 x2
1
1
1
2 ln xdx lim 2 ln xdx lim x ln x x 2 存在
a
a
3 l＝ , b g( x)dx 发散 b f ( x)dx发散.
a
a
定理11.5'
b f ( x)dx收敛 a
对 0, 0,
a '
只要0 ,0 ' ,总有 a f ( x)dx .
定理11.6'
b f ( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
|
(2k1) t p2 sin tdt | (2k ) p2
sin tdt
2 k
0
2(2k ) p2 2,
由Cauchy收敛原理, 当p 2时, 积分发散.
1 b f ( x)dx收敛, a
2 g( x)在(a,b]中单调有界,
则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
瑕点为积分上限或者中间值时,有类似的结果.
比较审敛法及其极限形式的例子略去
例1 研究 1 x p1(1 x)q1 dx 的敛散性. 0
解 当p 1时, x 0是瑕点; 当q 1时, x 1是瑕点.
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
收敛
(2)
lim
x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
s 0 收敛
收敛
例3：1 ln x dx 0 1 x2
收敛
解：1 0
{cos 1 } 有界 x
收敛
收敛
例5： 0
sin2 xm
xdx
1<m<3,收敛
解： 0
sin2 xm
xdx
1 0
sin2 xm
xdx
sin2 x 1 xm dx
lim
x0
x
m2
sin2 xm
x
1,
m
2
1,
m
3
收敛
由于
sin2 x xm
1 xm
，m
1
收敛
sin2 x 1 cos 2x m 1, xm xm
当 p 1时收敛； 当 P 1时发散．
定理11.3' (比较审敛法的极限形式)
设f , g 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
1 0 l , b f ( x)dx与 b g( x)dx同敛散；
a
a
2 l＝0，b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛；
ln
sin
1
x
lim x0
1 1
x 4 cos x sin x
0
11
x4
x2 4
收敛
例8
设p
0,
讨论积分
1 0
sin xp
1
xdx的敛散性.
解 易见 x 0 是瑕点, 作变换 1 t, 得 x
1 0
sin xp
1
xdx
1
sti2n ptdt
1o. 当p 2时, 积分发散
若取A' 2k , A'' (2k 1) , 那么当k 时,
0
0
0
例4：1 0
lnxln(1+ x) x(1+ x) dx
lnxln(1+ x)
解：lim x0
x(1+ x)
1
ln x
1
1
1
x4
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
11 0
x4
xx 4
sinxcos1
例11： 0
x x dx
解： 0
sinx x dx
收敛
因此原积分在p 0,q 0时收敛.
故积分定义了一个二元函数B( p,q)－－Beta函数
例2 函数
(s)
(s) ex x s1dx (s 0) 0
o
s
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右邻域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
故取a (0,1), 把积分拆成两部分:
1 x p1 (1 x)q1 dx a x p1 (1 x)q1 dx
0
0
1 x p1 (1 x)q1 dx a
当x 0时, x p1(1 x)q1 ~ x p1 ,
故当p 0时, 第一个积分收敛;
当x 1时, x p1(1 x)q1 ~ (1 x)q1 , 故当q 0时, 第二个积分收敛;
定理11.2' (比较审敛法) 设0 f ( x) g( x), ( x a且充分靠近a), 那么
1o 若 b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
2o 若 b f ( x)dx 发散 b g( x)dx 发散
a
a
常用的比较对象：
b dx
a (x a)p
(a 0)
§11.3 瑕积分的收敛判别法
设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a的右邻域
内无界, 但对 (0,b a), f ( x)在(a ,b]上可积,
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
如 lim b f ( x)dx存在, 称瑕积分 b f ( x)dx收敛.
0 a
a
当极限不存在时, 称瑕积分发散.
如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f的瑕点, 作代换x a 1 , 那么 y
lim
0
b a
f ( x)dx lim 0
1
ba 1
f
(a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f , g R[a ,b]
发散
1
例6：2
ln x
0 1 x2
dx x
ln x
解：lim x0
1
x2
1
11
x2 4
x
1
ln x
1
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
1 0
x4
x4
收敛
例7： 2
ln
sin
xdx
0
x
解：lim x0
ln sin x
x 1
1
lim x 4 x0
ln sin x
lim
x0