数学分析反常积分 113瑕积分的收敛判别法.

0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
收敛
(2)
lim
x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
s 0 收敛
收敛
例3：1 ln x dx 0 1 x2
收敛
解：1 0
发散
1
例6：2
ln x
0 1 x2
dx x
ln x
解：lim x0
1
x2
1
11
x2 4
x
1
ln x
1
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
1 0
x4
x4
收敛
例7： 2
ln
sin
xdx
0
x
解：lim x0
ln sin x
x 1
1
lim x 4 x0
ln sin x
lim
x0
|
(2k1) t p2 sin tdt | (2k ) p2
sin tdt
2 k
0
2(2k ) p2 2,
由Cauchy收敛原理, 当p 2时, 积分发散.
a
a
3 l＝ , b g( x)dx 发散 b f ( x)dx发散.
a
a
定理11.5'
b f ( x)dx收敛 a
对 0, 0,
a '
只要0 ,0 ' ,总有 a f ( x)dx .
定理11.6'
b f ( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
1 b f ( x)dx收敛, a
2 g( x)在(a,b]中单调有界,
则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
瑕点为积分上限或者中间值时,有类似的结果.
比较审敛法及其极限形式的例子略去
例1 研究 1 x p1(1 x)q1 dx 的敛散性. 0
解 当p 1时, x 0是瑕点; 当q 1时, x 1是瑕点.
ln
sin
1
x
lim x0
1 1
x 4 cos x sin x
0
11
x4
x2 4
收敛
例8
设p
0,
讨论积分
1 0
sin xp
1
xdx的敛散性.
解 易见 x 0 是瑕点, 作变换 1 t, 得 x
1 0
sin xp
1
xdx
1
sti2n ptdt
1o. 当p 2时, 积分发散
若取A' 2k , A'' (2k 1) , 那么当k 时,
{cos 1 } 有界 x
收敛
收敛
例5： 0
sin2 xm
xdx
1<m<3,收敛
解： 0
sin2 xm
xdx
1 0
sin2 xm
xdx
sin2 x 1 xm dx
lim
x0
x
m2
sin2 xm
x
1,
m
2
1,
m
3
收敛
由于
sin2 x xm
1 xm
，m
1
收敛
sin2 x 1 cos 2x m 1, xm xm
定理11.9 ' (Dirichlet判别法)
设f和g满足下面两个条件:
1
M
0,
使得对0
b
a有|
b
a
f ( x)dx | M;
2 g 在(a,b]上单调,且 lim g( x) 0, xa 则 b f ( x)g( x)dx收敛. a
定理11.10' (Abel判别法)
设f和g满足下面两个条件:
故取a (0,1), 把积分拆成两部分:
1 x p1 (1 x)q1 dx a x p1 (1 x)q1 dx
0
0
1 x p1 (1 x)q1 dx a
当x 0时, x p1(1 x)q1 ~ x p1 ,
故当p 0时, 第一个积分收敛;
当x 1时, x p1(1 x)q1 ~ (1 x)q1 , 故当q 0时, 第二个积分收敛;
当 p 1时收敛； 当 P 1时发散．
定理11.3' (比较审敛法的极限形式)
设f , g 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
1 0 l , b f ( x)dx与 b g( x)dx同敛散；
a
a
2 l＝0，b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛；
§11.3 瑕积分的收敛判别法
设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a的右邻域
内无界, 但对 (0,b a), f ( x)在(a ,b]上可积,
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
如 lim b f ( x)dx存在, 称瑕积分 b f ( x)dx收敛.
ln x 1 x2
dx
1 2 0
ln x 1 x2
dx
1 1 2
ln x 1 x2
dx
ln x
lim x1 1 x2
1 2
lim
x1
ln
1
x
x
1 2
, 可见x=1为可去连续点。
1
而对于 2
ln x dx， ln x
2 ln x
0 1 x2
1 x2
1
1
1
2 ln xdx lim 2 ln xdx lim x ln x x 2 存在
0
0
0
例4：1 0
lnxln(1+ x) x(1+ x) dx
lnxln(1+ x)
解：lim x0
x(1+ x)
1ห้องสมุดไป่ตู้
ln x
1
1
1
x4
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
11 0
x4
xx 4
sinxcos1
例11： 0
x x dx
解： 0
sinx x dx
收敛
因此原积分在p 0,q 0时收敛.
故积分定义了一个二元函数B( p,q)－－Beta函数
例2 函数
(s)
(s) ex x s1dx (s 0) 0
o
s
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右邻域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
定理11.2' (比较审敛法) 设0 f ( x) g( x), ( x a且充分靠近a), 那么
1o 若 b g( x)dx收敛 b f ( x)dx收敛
a
a
2o 若 b f ( x)dx 发散 b g( x)dx 发散
a
a
常用的比较对象：
b dx
a (x a)p
(a 0)
0 a
a
当极限不存在时, 称瑕积分发散.
如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f的瑕点, 作代换x a 1 , 那么 y
lim
0
b a
f ( x)dx lim 0
1
ba 1
f
(a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f , g R[a ,b]