沪教版六年级-长方体的再认识讲义

长方体的再认识

知识精要

一、长方体的再认识

1、长方体的特征。

（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。 （2）长方体的每个面都是长方形。

（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。 （4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。 2、长方体的直观图画法

长方体的直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧画法： 水平放置的长方体直观图通常的画法的基本步骤：

(4)

(3)

(2)

(1)

G

H

F

C

G

H

F

C

G

H

F

C

C

D

D

D

E

E

E

3、长方体棱与棱的位置关系

二、长方体中棱与平面的位置关系

1、直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面⊥,读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

2、检验直线与平面垂直的方法：

（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直； （2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直； （3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；

3、直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面//,读作：直线PQ 平行于平面ABCD 。

4、检验直线与平面平行的方法：

（1） 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。 （2） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。 三、长方体中平面与平面的位置关系

1、平面α垂直于平面β，记作：βα平面平面⊥,读作：平面α垂直于平面β。

2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3） 合页型折纸法。

3、平面α平行于平面β，记作：βα平面平面//,读作：平面α平行于平面β。

4、检验平面与平面平行的方法：

长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。 四、长方体中的棱与棱，棱与平面，面与面的位置关系：

1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；

2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；

3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；

4、长方体中与某条棱平行的面有2个；

5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；

6、长方体中与某个面平行的棱有4条；

7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；

8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；

9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。

热身练习

一．选择题

1、在长方体中，与一条棱垂直的平面有（ B ）．

(A) 1个； (B )2个 ； (C) 3个； (D) 4个． 2、在长方体中，与一个平面垂直的棱有（ D ）． （A ）1个； (B)2个; (C)3个； (D)4个. 3．以下说法中正确的个数是 （ C ）． （1）水平面是平面，但平面不一定是水平面； （2）凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面； （3）直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面； （4）如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行．

(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个． 5．下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具（ B ）．

(A)铅垂线； (B)长方形纸片； (C)三角尺； (D)合页型折纸． 6．长方体中，相邻的两个平面 （ A ）．

(A)有垂直关系； (B)有平行关系； (C)可能垂直也可能平行； (D)无法确定． 7 . 铅垂线可以用来检验（ D ）

（A ）直线与平面垂直； （B ）直线与平面平行； （C ）平面与水平面垂直； （D ）平面与平面垂直． 二、填空

1、如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用什么方法检验：___铅垂线法_____。

第1题 第2-5题 第6题

2、如图，长方体中，与面CDD 1C 1垂直的棱有__11D A __11C B AD BC _____.

3、如图，长方体中，与面BCC 1B 1垂直的面有___AB__ 11B A 11D C

4、如图，在长方体中，与面CDD 1C 1平行的棱有___AB__ 11B A 1AA 1BB __.

5、如图，沿长方形ABCD 的对角线BD 与长方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1将长方体截成相等的两部分，截面BDD 1B 1，是一个__长方____形，与它平行的棱有____1AA ___1CC ___.

6、如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上，那么折痕MN 与平面ABCD 的关系是 垂直关系 ．

7、三个边长为4厘米的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了 64 平方厘米 8、如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上， 那么折痕MN 与平面ABCD 的关系是 垂直

9、如图，它是一个正方体六个面的展开图， 那么原正方体中与平面B 互相平行的平面 是______D______．（用图中字母表示）

三、简答题

1、一个长方体的六个面都是长方形，其中三个长方形的面积之比是5:7:2，最大的面积比最小的面积大2

cm 60，求这个长方体的表面积。 解：这个长方体的表面积是3362

cm 。

2、经过长方体某个顶点的两条棱长分别是3厘米、4厘米，与长为3厘米的棱垂直的面的面积是20平方厘米。求这个长方体的体积。 解：1203

cm

3、补画长方体（虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形基础上画出长方体，不必写画法）。

A

B

C D

E F

精解名题

例1、如图，将一个横截面是正方形（面BCGF ）的长方体木料，沿平面AEGC 分割成大小相同的两块，表面积增加了30平方厘米.已知EG 长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？ 解：这块长方体的木料的表面积是662

cm

例2、写出下列等式的含义：

3 +

4 + 4 = 11：长方体中与一条棱 平行、相交、异面棱的个数总和 ； 2 + 2 = 4 ：长方体中与一条棱 垂直的面、平行的面的个数总和 ；

4 + 4 + 4 = 12 ：长方体中与一个面 垂直的棱、垂直的平面、平行的棱的个数总和 ；

G

F

E

A

H D B

C

例3、把两个完全一样的长方体木块拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积之和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 解：5523

cm

例4、六个棱长为10cm 的正方体叠在一起，称为一个长方体，求这个长方体的表面积。 解：这个长方体的表面积是26002

cm ，或22002

cm 。

备选例题

例1、如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为 95 个。

巩固练习

1、长方体中，一个面与____D_____个面垂直。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2、长方体中相邻的两个面（ A ）

(A) 有垂直关系 (B) 有平行关系 (C) 可能垂直也可能平行 (D) 无法确定 3、铅垂线可以用来检验（ D ）

(A) 任意两个平面是否垂直 (B)两个平面是否平行 (C) 平面是否与水平面平行 (Ｄ)平面是否与水平面垂直 4、长方体中互相垂直的面共有（ C ）

(A) 4对 (B) 8对 (C) 12对 (D) 24对 5、长方体中互相平行的面有（ A ）

(A) 3对 (B) 6对 (C) 9对 (D) 12对

6、4个边长为1cm 的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了__32

cm 或42

cm __。 7、如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有____7_____个顶点，____12___条棱，_____7___个面.

第7题 第8题 第9题

8、如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有 14 个顶点, 14 条棱, 7 个

面.

9、如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B垂直的面有_A _E__C__F_。

10、把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是 14

11、如图长方体ABCD-EFGH中，从点A出发的三条棱AB、AD、AE、的长度之比为3:4:2，该长方体的棱长总和为72厘米。

求：（1）与平面HDCG平行的面的面积；

（2）与平面HDCG垂直的棱的总长。

cm（2）32cm

解：（1）242

12、将骰子看作一个正方体，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面是3。（1）与点数2的面垂直的面的点数分别是多少？

（2）与点数是1垂直的面的点数之和是多少？

解：（1)1、6、3、4

（2）14

13、把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？

cm

解：682

14、在一个长、宽、高分别是7厘米、5厘米、4厘米的长方体中，挖去一个底面是边长为2厘米的正方形的长方体（如图所示），现要在这个物体的表面涂上颜色，求涂色部分的面积。

cm

解：402

自我检测

1、判断题

①水平面是平面，但平面不一定是水平面；（√）

②在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；（ⅹ）

③如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行。（ⅹ）

④检验细棒与墙面是否垂直，只要把三角尺的一条直角边紧贴墙面，如果另一条直角边也紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面；（ⅹ）

⑤可以用三角尺或合页型折纸检验山坡上的小树是否垂直于水平面。（ⅹ）

2、长方体中与一个面垂直的面有（ D ）

（A）1个（B）2个（C）3个（D)4个

3、对于以下四个关于长方体的描述

（1）长方体中相邻两个面互相垂直。

（2）长方体中相对两个面平行。

(3）长方体中每个面都和两个面垂直。

（4）长方体中的每个面都与四条棱平行。其中正确的有（ C ）

（A）1个（B）2个（C）3个（D)4个

4、下列说法中正确的是（ B ）

（1）长方体中的每个一面都能与四条棱垂直

（2）长方体中的每一个面都能与四个面垂直

（3）长方体中棱与棱不是相交就是平行

（4）长方体中的每一个面都能与四条棱平行

（A）（1）、（2）、（3）（B）（1）、（2）、（4）

（C）（1）、（3）、（3） (D) （2）、（3）、（4）

5、如图所示的长方体中。

（1）垂直于平面ABFE的棱是 AD BC EH FG 。

（2）平行于平面BCGF的棱是 AE HD AD EH 。

（3）垂直于平面ADHE的平面是 EF AB HG CD 。

（4）平行于平面DCGH的平面是 AB EF AE BF 。

（5）垂直于平面ABGH的平面是没有。

（6）平行于平面ABGH 的平面是 没有 。 （7）平行于平面ABGH 的棱是 EF CD 。 （8）平行于棱GC 的平面是 ABFE AEHD 。 （9）垂直与棱HD 的平面是 EFGH ABCD 。

6、（1）如图所示，写出互相平行的面，并说明检验的方法。（2）在平面BCGF 和平面ADHE 之间有两个长方形ABCD 和EFGH,所以平面BCGF//平面ADHE ，你认为这句话对吗？为什么？ 答：不对

7、有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 解：14cm

8、把4块棱长5厘米的正方体的拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解：4502

cm 或4002

cm

9、小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：

（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；

（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a 、宽b 和高c ；

（3）制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？

平放

竖放

a b

c

（图1） （图2）

解：2）b=6，c=12，a=4 3）s=216.

24厘米

b

c

b

a