沪教版六年级-长方体的再认识讲义

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新版沪教版六年级下册数学第八章-长方体的再认识(新教材)

第八章长方体的再认识第二课时一、概念1、长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱2、长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系）①长方体的每个面都是长方形；②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。

③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。

3、正方体是特殊的长方体。

4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。

记作：平面ABCD 或平面α。

5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。

6、斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。

长方体ABCD-EFGH 、平面ABCD 、棱AB 、顶点A 。

7、空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面① 如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交； ② 如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行； ③ 如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。

8、直线垂直于平面记作：直线PQ ⊥平面ABCD ；直线平行于平面记作：直线PQ ∥平面ABCD 。

9、计算公式之一：（三条棱长分别是a 、b 、c 的长方体）① 棱长和 = 4()a b c ++ ； ② 体积 = abc ；③ 表面积 = 2()ab bc ac ++ ； ④ 无盖表面积 = S ab -、S bc -、S bc - 10、计算公式之二：（边长是a 正方体）① 棱长和= 12a ；②体积= 3a ；③表面积= 26a ；④无盖表面积 =25a 。

11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。

12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。

13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

六年级数学下册第八章《长方体的再认识》复习教案沪教版五四制(最新整理)

长方体的再认识复习教学目标1、认识长方体的顶点、棱、面等元素。

2、会画长方体的直观图。

3、熟练掌握长方体中的棱与棱的位置关系,棱与面的位置关系,面与面的位置关系。

4、知道一些简单的检验方法。

5、会求长方体的表面积和体积。

教学重点长方体的概念、画法,长方体中棱、面之间的位置关系。

教学难点对于本章知识点形成一个知识结构，能够从问题中进行归纳总结。

教学过程一、长方体的元素1、长方体有____个面,____个顶点，__________条棱。

2、棱、面的三个特点：(1）长方体的每个面都是__________(2)长方体的十二条棱可以分为_____组，每组中的四条棱长度_______（3）长方体的六个面可以分为___组，每组中的两个面的__________相同。

3、长方体的表面积公式（长为a，宽为b，高为c）：4、长方体的体积公式：［问题］（1）长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm,3cm，这个长方体的棱长总和、表面积、体积分别是多少？（2）把长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的两个长方体拼成一个大长方体，表面积减少了多少？二、长方体直观图的画法——斜二侧法练习1:补画下面的图形，使之成为长方体的直观图.三、长方体中棱与棱的位置关系1、平行、相交、异面2、在长方体ABCD-EFGH中，有哪些棱与棱EF相交？平行?异面？3、［归纳]：长方体中任意一条棱有____条棱与它平行，_____条棱与它相交，_____条棱与它异面。

四、长方体中棱与面的位置关系1、垂直、平行2、在长方体ABCD-EFGH中,（1)指出与面ABCD垂直的棱。

（2）指出与面ABCD平行的棱。

(3）指出与棱FG垂直的面。

a bc (4）指出与棱FG 平行的面。

3、 [归纳］：长方体中任意一个面有____条棱与它垂直，_____条棱与它平行。

长方体中任意一条棱有_____个面与它垂直，_____个面与它平行。

4、检验方法五、长方体中面与面的位置关系1、垂直、平行2、在长方体ABCD-EFGH 中，(1)指出与面ABCD 垂直的面。

沪教版(五四制)六年级下册数学第八章长方体的再认识同步讲义

-------------长方体的再认识（★★★）1.了解构成长方体的元素；2.会用斜二测画法画长方体的直观图；3.掌握长方体中棱与棱、棱与面、面与面的位置关系；4.掌握棱与面、面与面的垂直及平行的验证方法；知识结构棱、面的三个特点：（1）长方体的每个面都是长方形构成长方体的三要素：点、棱、面（2）长方体的十二条棱可分为三组，每组中的四条棱相等（3）长方体的六个面可分为三组，每组中两个面的形状大小相同面与面的位置关系（1）平行.检验方法:棱与棱的位置关系：棱与平面的位置关系：长方形纸片（1）相交 (1）平行（2）垂直检验方法：（2）垂直.检验方法：（3）异面⑴铅垂线法⑵长方形纸片法（1）铅垂线（2）三角板法（3）合页型折纸（2）垂直检验方法：⑴铅垂线法⑵三角板法⑶合页型折纸1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1一个长方体中，有公共点的三条棱的长度的比为2：3：4，最小的一个面的面积为2162cm ，（1）求这个长方体的所有棱长的总和；“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：（2）求这个长方体的表面积；（3）求这个长方体的体积。

（★★）答案：（1）216cm ；（2）18722cm ；（3）51843cm两条较短的棱为长和宽的长方形的面积，是最小的面积，又知三棱长之比，故可求得三棱长，进而可得其他所求。

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学设计

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学设计一. 教材分析沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学内容主要包括长方体的特征、表面积和体积的计算方法以及长方体在实际生活中的应用。

本章内容是对长方体知识的系统复习和巩固，旨在帮助学生深化对长方体的认识，提高空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析六年级的学生已经学习过长方体的相关知识，对长方体的特征、表面积和体积的计算方法有一定的了解。

但在实际应用中，部分学生可能会遇到困难和问题。

因此，在复习教学中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：通过对长方体的再认识，使学生掌握长方体的特征、表面积和体积的计算方法，提高空间想象能力和解决问题的能力。

2.过程与方法：通过复习教学，培养学生自主学习、合作学习的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和团队协作精神，使学生在数学学习中获得成就感。

四. 教学重难点1.教学重点：长方体的特征、表面积和体积的计算方法。

2.教学难点：长方体在实际生活中的应用，空间想象能力的培养。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考，发现长方体的特征和计算方法。

2.案例分析法：教师提供实际生活中的案例，引导学生运用长方体的知识解决问题。

3.小组合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作长方体的特征、表面积和体积的计算方法的教学课件。

2.教学案例：收集实际生活中的长方体应用案例。

3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生进行自主学习和合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾长方体的特征、表面积和体积的计算方法，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示长方体的特征和计算方法，让学生直观地感受长方体的结构。

沪教版六年级数学长方体的再认识讲义家教

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容积的计算公式为：容积=长×宽× 高。
容积的单位是立方米，常用于描述物体的体积大小。
长方体容积的计算公式
定义：长方体容积是指长方体内部所占的空间大小计算公式：容积 = 长 × 宽 × 高单位：容积的单位是立方单位，如立方米、立方厘米等
应用：长方体容积的计算是日常生活中常见的需求，如计算容器能容纳多少液体等
解题思路：根据长方体体积的计算公式，体积=长×宽×高，代入题目中给出的数值进行计算。
计算过程：体积=8 厘米×6厘米×4厘米=192立方厘米。
答案：这个长方体的体积是192即长、宽、高的乘积。
长方体容积的定义
需要注意的是，长方体的容积是指其内部所能容纳的空间，不包括其外部的表面积。
计算长方体容积的实例
题目：一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米，求这个水槽的容积是多少升？题目：一个长方体纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，这个纸盒的容积是多少立方厘米？题目：一个长方体鱼缸，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，这个鱼缸最多能装多少升水？题目：一个长方体冰箱，长5分米，宽4分米，高3分米，这个冰箱的容积是多少升？
长方体应用题的实例解析
体积计算：求长方体的体积，可以通过长、宽、高的乘积得出。表面积计算：求长方体的表面积，可以通过计算六个面的面积之和得出。截面形状：通过截取长方体的不同位置，可以得到不同的截面形状。实际应用：长方体在现实生活中有着广泛的应用，如包装箱、建筑材料等。
汇报人：XX
长方体应用题的类型
计算长方体的表面积计算长方体的体积长方体在生活中的应用长方体的组合与切割问题
长方体应用题的解题思路

数学六年级(下)沪教版(长方体的再认识Ⅰ第一部分)教师版

数学学科教师辅导讲义第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的一半，45BAD ∠=︒（图①）；
、BC、FG.
【答案】④
厘米.
【例6】如图①所示，已知线段a、b、c，画一个长为a，宽为b，高为c的长方体直观图．
【解析】用斜二侧画长方体时要注意三点：(1)长方体直观图中宽是等于已知宽的二分之一；(2)长方体中三个面都是
【例6】如图所示，补画下面的图形，使它们成为长方体的直观图．
【分析】补画长方体时要想清楚补画的面是画长方形还是平行四边形，们先把一个面画完整，再画上其他面．
【解】补画的图形如图所示．
把下列长方体补画完整：
【答案】略. 【随堂练习】
．如图，画一个立方体，使它的棱长为a．
的立方体如图所示：
）平行；（4）异面
AB BC EF EG;（
2）,,,。

上海市松江区六年级数学下册8长方体的再认识复习ppt课件沪教版五四制

问题4：检验线与面平行的工具有 __铅__垂__线__、_长__方__形__纸__片_______________________。
H E
D A
G
F
小结：在长方体中,
与1条棱垂直或平行的平面各有_2__个,
C
与1个面垂直或平行的棱各有_4__条。
B
长方体中的位置关三、面与系面的位置关系：垂直、平行
33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名
37、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。——奥斯特洛夫斯基 38、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头，缓步的骆驼继续向前。——萨迪 39、天行健，君子以自强不息。——文天祥 40、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它——歌德 41、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。——雨果 42、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。——贝多芬 43、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。——约翰逊 44、告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。——巴斯德 45、即使遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。——佚名
问题2：“斜二侧”画法的关键是
（1）长与宽的夹角应画成__4_5__°
H E
D

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计一. 教材分析《长方体的再认识》是沪教版数学六年级下册第八章的内容，本节内容是在学生已经掌握了长方体的特征的基础上进行教学的。

教材通过丰富的图片和实际例子，帮助学生进一步理解和掌握长方体的特征，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，他们对长方体已经有了一定的了解。

但是在具体操作和解决问题时，部分学生可能会存在一些困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够进一步理解和掌握长方体的特征，提高空间想象能力和抽象思维能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，学生能够深化对长方体的认识，培养解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够进一步理解和掌握长方体的特征。

2.教学难点：学生能够在实际问题中灵活运用长方体的特征，解决问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实际例子，激发学生的学习兴趣，提高学生的空间想象能力。

2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现长方体的特征，培养学生的抽象思维能力。

3.合作交流法：学生通过小组合作、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：长方体模型、图片、实物等。

2.学具准备：学生每人准备一个长方体模型。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示长方体的图片和生活实例，引导学生回顾长方体的特征，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过长方体模型和实物，引导学生观察和操作，让学生直观地感受长方体的特征。

同时，教师引导学生思考：长方体有哪些特征？这些特征是如何体现在实际物体中的？3.操练（10分钟）教师提出一些有关长方体的问题，让学生分组讨论和操作，共同解决问题。

沪教版六年级数学长方体的再认识讲义+家教

学科教师辅导讲义课题长方体的再认识教学目的1、认识长方体的面、棱、顶点以及长宽高（棱长）的含义。

2、掌握长方体直观图的画法。

3、掌握长方体中棱、面的位置关系，以及空间性质。

教学内容一、作业检查二．长方体知识梳理1.长方体的元素：8个顶点、12条棱，6个面长方体的表面积（6个面的面积之和）、体积（长×宽×高）长方体的每个面都是长方形.长方体的十二条棱可以分成三组:每组中的四条棱的长度相等长方体的六个面可以分成三组,每组中的两个面的形状和大小都相同.2.长方体直观图的画法：斜二侧画法.注意：①12条棱分三组，注意每组4条是互相平行、相等的；其中看不见的三条棱画成虚线，②把水平放置的两个面画成含45°角的平行四边形，③画长方体直观图时，宽要减半画。

3.长方体中棱与棱的位置关系：(1)如图所示的长方体AG中，棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．(2)棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．(3)棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．定义：空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．(1)一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线AB与直线CD相交．(2)如果直线AB与直线CD在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行．(3)如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB与直线CD异面．4、长方体中棱与面的位置关系：（1）如图所示的长方体AG中，棱(直线)EA垂直于面ABCD。

读作：棱(直线)EA垂直于平面ABCD(2) 如图所示的长方体AG中，棱(直线)EF平行于面ABCD。

读作：棱（直线）EF平行于平面ABCD5、长方体中面与面的位置关系：（1）如图所示的长方体AG中，平面EFBA垂直于面ABCD。

数学六年级下沪教版长方体的再认识Ⅱ教师版

数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版数学学科教师辅导讲义年级：预初科目：数学课时数：3课题长方体的再认识Ⅱ1.通过熟练掌握长方体的棱与面、面与面之间的位置关系，认识各种图形中的直线与平面、平面与平面之间的垂直与平行关系.教学目的2.结合长方体的总面积、体积和棱长等相关知识进行计算，学会按一定的要求进行补画长方体的局部图形.教学内容【知识梳理】1．通过掌握长方体中棱与面之间的关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的直线与平面的垂直〔如图1所示：直线PQ 面ABCD〕与平行〔如图2所示：直线PQ∥面ABCD〕关系：图1 图22．通过掌握长方体中面与面之间的关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的平面与平面的垂直〔如图3所示：平面平面〕与平行〔如图4所示：平面∥平面〕关系：图3图4【典型例题讲解】题型一：直线与平面、平面与平面的位置关系【例l】如下图，在长方体ABCD EFGH中，点M,M,P,Q分别是棱AB，CD，GH，EF的中点．(1)哪些棱与面MNPQ平行？1/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版哪些棱与面MNPQ垂直？【分析】(1)可以使用长方形纸片、直角三角尺两次；(2)熟练掌握定义之后，也可以直接进行判读.【解析】(1)AD、DH、HE、AE、BC、CG、GF、BF与面MNPQ平行；AB、CD、GH、EF与面MNPQ垂直．【例2】如下图，一个物体是由三个长方体叠在一起组成的，与面A2B2C2D2平行的面有哪几个？与面A1B1C1D1垂直的面有哪几个?【分析】几个长方体叠合在一起后，判断面与面平行、面与面垂直的方法并没有发生改变，要注意不要重复表示或遗漏某一个平面．【解析】与面A2B2C2D2平行的面有面B1EFA1和面ABCD;与面A1B1C1D1垂直的面有面B2A2AB、面B2E1EC1CB、面E1F1FE、面A2F1FD1DA、面CC2D2D．【方法总结】解这种题时，一定要按平行或垂直的定义或检验平行或垂直的方法来判断，不可盲目判断，注意也不要漏写多写.【借题发挥】如图，在长方体ABCDEFGH中(1)与平面ABCD平行的棱有哪些？(2)与棱BC平行的平面有哪些？(3)与平面ADGF平行的棱有哪些？【答案】〔1〕棱EF、棱HG、棱HE、棱GF；2〕面ADHE、面EFGH、面ADGF；3〕棱HE、棱BC.2.如右图所示，在长方体ABCD EFGH中，分别与ACF的AC、CF、AF中一边平行的面各有哪些？【答案】分别与AC、CF、AF平行的面各有一个，它们分别是平面EFGH、平面AEHD、平面CDHG.题型二：按要求画图题【例3】如下图，补画长方体中与面ABCD平行的棱.2/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版【分析】基于对长方体的认识，可以得出与面ABCD平行的棱有EF、FG、GH、HE，即为与面ABCD平行的面EFGH的4条边，所以在图中只要画出面EFGH即可.【答案】EFHG【借题发挥】平面ABCD线段DH垂直于平面ABCD〔如下列图〕画一个平面HGFE，经过H点，且和ABCD平面平行．【答案】EFG【注意】要把遮挡的局部用虚线表示出来.题型三：综合应用【例4】如果把图中的骰子看作是一个立方体，点数1的对面是6．点数2的对面是5．点数4的对面是点数3．那么与点数2垂直的面的点数和是多少？【分析】与点数2垂直的面分别是点数l、点数3、点数4扣点数6．然后求出点数和.【解析】l 3 4 6=14所以，与点数2垂直的面的和是l4.【例5】(1)如下图，写出互相平行的面，并说明检验的方法．(2)在平面BCGF和平面ADHE之间有两个长方形ABCD和EFGH，所以平面BCGF∥平面ADHE,你认为这句话对吗？为什么？3/7【分析】把面ADHE(长方形)和面ABFE(梯形AB∥EF)看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且AB、AD与面ABCD紧贴，EF、EH与面EFGH说明面ABCD∥面EFGH．同样用长方形ABCD和平行四边形BCGF 紧贴，从而可以检验平面ABFE∥平面DCGH．虽然在平面BCGF和平面ADHE之间有两个长方形ABCD和EFGH．但它们不是交叉放置,所以不能检验平面BCGF与平面ADHE平行．【解析】平面ABCD∥平面EFGH．平面ABFE∥平面DCGH；不对，没有交叉放置．【方法总结】要严格按照检验两个面平行的方法去检验，注意方法中的“交叉〞二字．【例6】从一个棱长10厘米的长方体中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下的外表积是多少？【解析】(1)如果沿一条棱挖，外表积损失了两侧的两个小正方形 2 2 2 8〔平方厘米〕．就是600 8592(平方厘米)(2)如果沿着某一侧上平行于边挖，外表积增加了210 210 248〔平方厘米〕．总外表积为60032632〔平方厘米〕．(3)如果在某一侧面上斜着挖，外表增加了4个面，其面积为22210248(平方厘米)．总面积是60048=648(平方厘米)．(4)挖通两个对面，外表增加了421022272〔平方厘米〕．总面积为60072672〔平方厘米〕．所以综上所述，剩下的面积有四种情况，分别是592平方厘米、632平方厘米、648平方厘米、672平方厘米．【借题发挥】1.如图，在一个正方体的三个面上分别写上1、2、3．在与这三个面分别平行的面上依次写上4、5、6〔1的对面写4，依次类推〕．与写数字2的面垂直的面上的数字和是多少？1.【答案】与写数字2的面垂直的面上的数字和是14.一个长方体的长是20厘米、宽是10厘米、高是8厘米，从这块木头上切下一个最大的正方体后，剩下局部的外表积是多少平方厘米？【答案】752cm2〔最大的正方体的棱长为8厘米〕【随堂练习】看到图时，小明说，因为平面FGEH和平面ABCD之间有两个长方形：ADEH和BCGF，所以平面FGEH与平面ABCD 是平行的，你认为他说的对吗？为什么？4/72．图中点M、N、Q、P分别是长方体的四条高的中点，与平面MNQP平行的平面有哪些？为什么？3．如何检验文件柜的隔板与隔板相互平行？说出你所用的方法．【答案】1.不对，没有交叉放置．2．平面ABCD、平面EFGH.3．可以用“长方形纸片〞检验文件柜的隔板与隔板是否相互平行.把一长方形硬纸片放在两层隔板之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块隔板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块隔板紧贴，那么这两块隔板平行.【课堂总结】【课后作业】1．如图，在长方体ABCD EFGH中，(1)哪些平面与棱CG平行？(2)哪些平面与平面BDHF垂直？(3)哪些棱与平面DBFH平行？5/7(4)哪些棱与平面DBFH垂直？(5)四边形DBFH是什么四边形？2．(1)如图，把一张长方形纸片ABCD对折，EF为折痕，AB与平面CDEF平行吗？用现成的长方形纸片试试，验证一下你的结论．除了“长方形纸片〞，还有什么形状的“纸片〞也能用来检验直线和平面是否平行？为什么？读一读，想一想：这里介绍一种在平面上表达立体图形的又一个常用方法——“三视图〞法，即从三个方向〔前面、上面和左面〕看一个物体，然后描绘三张所看见的图形来表达这个立体的形状的方法．例如，长方体〔图8 20〕无论从前面、上面和左面，看到的都是长方形，所以它的三视图是图8 21．有一个规那么的立体图形，它的三视图如下列图822所示．想一想，这个立体是什么形状呢？【答案】1.〔1〕平面ABFE、平面ADHE、平面DBFH；〔2〕平面ABCD、平面EFGH；〔3〕棱AE、棱CG；〔4〕没有；〔5〕长方形.2.〔1〕平行；现成的长方形纸片是长方形ABFE；〔2〕梯形、平行四边形，因为它们都是至少有一组对边是平行的.3.圆柱.6/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版7/7。

专题07 长方体的再认识(考点串讲)(沪教版)(解析版)

专题07 长方体的再认识【考点剖析】1.长方体的元素.α⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩元素：长方体有面，棱，顶点；长方体的每个面都是；特征：长方体的十二条棱可分成，每组四条棱；长方体的六个面可分成三组，每六个十二条八个长方形三组长度相等形状、大小平行四边形平面ABC 组中两个面的都相等.概念：平面是平的，无边无沿平面表示：用表示；记作,D 平或面①②③ 2.长方体的直观图,AD DAB=45A ABCD E BF CG DH ⎧⎪∠⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪︒⎪⎪⎪⎩⎩Y 方法：画使AB 等于长方体的，等于长方体，；画四条高、、、；步骤：顺次联结将被遮住的部分改成(或隐藏线)斜二侧画法长宽.的一半虚线①②④EFGH ③; DHG F EC B A3.长方体中棱与棱的关系AB AB AB C 2G 4⎧⎪⎨⎪⎩相交：如棱与棱BC 相交；平行：如：棱棱HG;异面:既不也不；如：棱与棱异面.长方体中一共有对异面直线.平行相交∥ 4.长方体中棱与平面的关系AE ABCD EF ABCD ⎧⎧⎪⎪⊥⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；直线与平面垂直：如：棱平面；检验方法；；直铅垂线法三角尺法合页型折纸铅垂线法长方形纸片线与平面平行：如：棱平面；检验方法.①②③.①∥②5.长方体中平面与平面的位置关系ADHE ABCD EFGH ABCD ⎧⎧⎪⎪⊥⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩；垂直：如：平面平面；检铅垂线法合页型折验；.平行：如：平面平面；检验方法：.纸三角尺长方形纸片①②③∥ 【典例分析】例题1 （杨浦）在一个正方体中，异面的棱的对数为（）（A ）4对；（B ）12对；（C ）24对；（D ）48对．【答案】C ；【解析】在正方体中，一共有12条棱，对于其中任何一条棱均有4条棱与之异面，故一共有48对，考虑重复一次计数，故48÷2=24.例题2 （金山2018期末4）下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（）．（A ）铅垂线；（B ）三角尺；（C ）长方形纸片；（D ）合页型折纸【答案】C ；【解析】可以用来检验直线与平面垂直的方法有：铅垂线、三角尺、合页型折纸等；长方形纸片不能，故选C.例题3 （普陀）将两个边长为 2cm 的正方体拼成一个长方体，表面积减少了________2cm .【答案】8；【解析】表面积减少的面积是重合的两个面的面积，故减少了2222=8 cm ⨯.例题 4 （普陀）如图1所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A 垂直的面用图中字母表示出来是.【答案】B 、C 、E 、F ；【解析】在正方体中与之相对的平面互相平行，与之相邻的面互相垂直；故此正方体中，与A 平行的平面是D ，与A 垂直的平面是B 、C 、E 、F.例题5 （杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，与AE平行的棱是．【答案】棱DH 、棱CG 、棱BF ；【解析】在长方体ABCD －EFGH 中，与AE 平行的棱是棱DH 、棱CG 、棱BF.例题6 （杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，可以把平面ABFE 与平面BCGF 组成的图形看作直立于面ABCD 上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面ABCD ．【答案】BF ；【解析】把平面ABFE 与平面BCGF 组成的图形看作直立于面ABCD 上的合页形折纸，从而说明棱BF ⊥平面ABCD.例题7 （普陀2018期末16）如果长方体的顶点数记作V ，棱数记作E ，面数记作F ，那么V E F -+的值等于 .【答案】2；【解析】长方体的顶点数为V=8，棱数E=12，面数F=6，故81262V E F -+=-+=.例题8 （虹口2017期末25）（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1的直观图，并标出顶点的字母；（2）联结AC 、A 1 C 1，在长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1中，与平面A A 1 C 1 C 平行的棱为__________．A 1B 1C 1DC B A【答案与解析】（1）补全图形如下；（2）D D B B 11和；AB C DA 1D 1B 1C 1A C A C 1【真题训练】一、选择题 1．（浦东2018期末5）下列说法中，正确的是（）（A ）长方体中任何一个面都与两个面平行；（B ）长方体中任何一个面都与两个面垂直；（C ）长方体中与一条棱平行的面只有一个；（D ）长方体中与一条棱垂直的平面有两个．【答案】D ；【解析】长方体中任何一个面都与一个面平行，故A 错误；长方体中任何一个面都与四个面垂直，故B 错误；长方体中与一条棱平行的面有两个，故C 错误；长方体中与一条棱垂直的面有两个，故D 正确；因此选D.2．（奉贤2018期末6）下列说法中，正确的是（）A ．联结两点的线段叫做两点之间的距离；B ．用度量法和叠合法都可以比较两个角的大小；C ．六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体；D ．空间两条直线间的位置关系只有相交和平行两种．【答案】B ；【解析】联结两点的线段的长度叫两点之间的距离，故A 错误；用度量法和叠合法可以比较两个角的大小，故B 正确；六个面、十二条棱和八个顶点不一定组成长方体，故C 错误；空间两条直线的位置关系有相交、平行和异面三种，故D 错误；因此答案选B.3. （普陀2018期末4）如图1，在长方体-ABCD EFGH 中，与棱EF 异面的棱是（）A B CE G HF D 图1（A ）棱HD ；（B ）棱BF ；（C ）棱HG ；（D ）棱AB ．【答案】A ；【解析】根据“异面直线定义：既不相交又不平行的两条直线”可知：棱HD 、棱AD 、棱CG 、棱BC 均与棱EF 是异面直线，故选A.4．（黄浦2018期末5）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，既与棱CG 异面又与棱BC 平行的棱是（）（A ）棱AB ；（B ）棱EA ；（C ）棱EF ；（D ）棱EH ．【答案】D ；【解析】与棱CG 异面的棱有棱AB 、棱EF 、棱AD 、棱EH ；与棱BC 平行的棱有：棱FG 、棱EH 、棱AD ，故满足既与棱CG 异面又与棱BC 平行的棱是棱AD 、棱EH.故选D.5．（浦东2017期末6）如图1，在长方体ABCD -EFGH 中，与棱AD 所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）（A ）1条；（B ）2条；（C ）3条；（D ）4条．【答案】D ；【解析】在长方体ABCD -EFGH 中，与棱AD 所在的直线既不相交也不平行的棱有：棱BF 、棱EF 、棱HG 、棱CG 共四条；故选答案D.二、填空题6．（浦东2018期末16）在长方体ABCD －EFGH 中，与棱AB 和棱AD 都异面的棱是．（图1） AB C G HEF DH GFED CBA【答案】棱GC；【解析】与棱AB异面的棱是棱CG、棱FG、棱DH、棱EH，和棱AD异面的棱EF、棱BF、棱CG、棱HG；所以与棱AB和棱AD都异面的棱是棱CG.7. （黄浦2017期末12）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，请写出所有与棱AD异面的棱，它们是．A1D1B1C1D CBA【答案】棱A1B1、BB1、C1D1、C1C【解析】根据异面直线的定义：既不平行又不相交的两条直线是异面直线. 那么在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AD异面的棱有棱A1B1、BB1、C1D1、C1C.8．（普陀2017期末17）如图3，在长方体ABCD–EFGH中，与棱CG异面的棱共有______________条．【答案】4；【解析】在长方体ABCD–EFGH中，与棱CG异面的棱分别是：棱EF、棱EH、棱AB、棱AD，一共四条；故答案是：4条.9.（金山2018期末15）如图在长方体ABCD-EFGH中，与棱EF在同一平面内且垂直的棱是.（写出符合题意的所有棱）H GEFD CAB【答案】棱EH、棱EA、棱FG、棱FB ；【解析】与棱EF在同一平面内且垂直的棱是：棱EH、棱EA、棱FG、棱FB ；10.（浦东四署2019期末17）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与平面EBCH垂直的平面是.【答案】平面ABFE、平面CDHG；【解析】与平面EBCH垂直的平面是平面ABFE、平面CDHG；11.（崇明2017期末12）如图，在长方体ABCD EFGH-中，与棱CD垂直的平面有．H GFED CAB【答案】平面ADHE、平面BCGF；【解析】在长方体ABCD EFGH-中，与棱CD垂直的平面有平面ADHE、平面BCGF两个.12．（黄浦2018期末16）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ABCD平行的面是．H GEFD CAB【答案】平面EFGH；【解析】与平面ABCD平行的面是平面EFGH.13．（黄浦2018期末17）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱AE平行的面是．（写出所有满足条件的平面）H GEFD CAB【答案】平面BCGF、平面CDHG；【解析】与棱AE平行的面有两个：平面BCGF、平面CDHG.14．（徐汇2017期末11）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE平行的棱共有__________条．H GEFD CAB【答案】4；【解析】在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE平行的棱有：棱BC、棱CG、棱FG、棱BF共4条.故答案为：4条.15.（宝山2018期末13）已知一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，那么这个长方体的棱长和为厘米.【答案】60；⨯++=厘米.【解析】长方体的棱长之和为4(753)6016. （奉贤2018期末15）棱长分别为3厘米、5厘米、7厘米的两个长方体拼成一个长方体，它们的表面积最多减少_____________平方厘米．【答案】70；⨯⨯=平方厘米.【解析】两个长方体拼成一个长方体，面积最大的面重合时，减少最多，因此减少5727017．小杰打算用铁丝制作一个长方体框架模型，如果这个长方体三条棱的长度分别为3厘米、5厘米和6厘米，那么需要铁丝的长度至少为厘米．【答案】56；【解析】依题，长方体框架模型需要的铁丝长度即为12条棱长度之和，故为4(356)41456⨯++=⨯=.三、解答题18．（徐汇2017期末20）补画长方体ABCD －EFGH ．（注：保留痕迹，不必写画法）A BFC【答案与解析】如图所示. HG F E DCB A19．（奉贤2018期末21）如图, 在长方体ABCD –EFGH 中，（1）写出所有与棱AB 异面的棱：______________________________;（2）写出与棱AB 平行的平面： ____________________;（3）写出与平面ABCD 垂直的平面： ____________________．HG F EDC B A【答案与解析】（1）棱EH,FG,HD,CG ；(2)平面EFGH,平面DCGH ；（3）平面ADHE,平面ABFE,平面BCGF,平面DCGH20. （松江2018期末25）如图,在长方体EFGH ABCD -中，（1）与棱BC 平行的棱有______________________________；（2）与棱AB 垂直的平面有 _____________________________；（3）与平面ABFE 平行的平面有__________________________.HG F ED C B A【答案与解析】（1）与棱BC 平行的棱为AD,EH,FG ；（2）与棱AB 垂直的平面为：平面ADHE 和平面BCGF ；（3）与平面ABFE 的平面为：平面DCGH ；21. （黄浦2017期末30）把11块相同的砖拼成了一个大长方体，已知大长方体的棱长总和是188厘米，求每一块砖的体积．（6分）【答案】288平方厘米；【解析】解：大长方体的长、宽、高之和为188÷4=47厘米，设：砖头的长、宽、高分别为x 厘米，y 厘米，z 厘米.由题意可得：4322447y z x y x z y z =⎧⎪=⎨⎪+++=⎩，解得：8123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩砖头体积V=xyz =288平方厘米. 答：砖头体积为288平方厘米．22．（浦东2018期末27）小明，小华和小红准备用透明胶和硬纸板制作一些长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小华经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a 、宽b 和高c ；（3）设计后，小红对制作费用进行了估算，小华的设计方案所需要的硬纸板的价格是每块5元，另外还有一种只有大小不同的硬纸板，价格是每块3元，小红根据小华的设计尺寸也进行了设计（如图3），发现另一种硬纸板也可以用来制作尺寸相同的长方体纸盒．同时，经过计算发现，如果用相同的制作费且把材料用足，那么选用小红的设计比选用小华的设计恰好可以多制作一个纸盒．请问，小红的设计可以制作出几个纸盒？【答案与解析】解：（1）图略．（2）由题得，24a c +=，2c b =，3c a =．即2423a c c b c a +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得6918a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. （3）设小红做x 个完整的长方体纸盒，则小华做(1)x -个完整的长方体纸盒．根据题意，小红用3块纸板可制作2个长方体，相当于每个长方体制作费4.5元，小华每个长方体制作费5元，故得方程4.55(1)x x =-，解这个方程，得10x =．答：小红做了10个完整的长方体纸盒．。

数学六年级(下)沪教版(长方体的再认识Ⅰ)教师版

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数学六年级（下）沪教版（长方体的再认识Ⅰ）教师版
【解】设长方体的宽为 x 厘米，那么长就是( x 3 )厘米，高是 1 x 厘米．由题意，得 2
4

x

x

3

1 2
x

52
．
解方程，得 x 4 ．所以 x 3 4 3 7 ， 1 x 1 4 2 ．
题型三：图形的拼凑
【例 5】(1)把五个边长为 1 厘米的小正方体拼成一个长方体，则此长方体的棱长的和为多少？表面积为多少？ (2)把六个边长为 1 厘米的小正方体拼成一个长方体，则此长方体的棱长的和为多少？表面积是多少？
【解析】(1)五个小长方体只有一种拼法，拼成的长方体三条棱长分别是 5 厘米、1厘米、 l 厘米．所以棱长的和为
【典型例题讲解】题型一：有关长方体的面积、体积和棱长总和的综合计算. 【例 l】有一个长方体的架子，它的棱长和是 52 厘米，其中长比宽多 3 厘米，高是宽的 1 ，求这个长方体的体积．
2 【解析】本题的关键是求出长方体的长、宽、高各是多少厘米，可以设长方体的宽为 x 厘米，那么长就是( x 3 )厘米，高是 1 x 厘米，由棱长和是 52 厘米可列出方程，最后求得长方体的体积．
的棱有
4
条，宽度为

8

3 4

厘米的棱有
4
条，高度为

8

3 4

1 2

厘米的棱有
4
条．
【解】设棱长的总和为 L ，则
L

8
4

8

3 4

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计

教材通过大量的图片和生活实例，让学生进一步理解长方体的特征，提高学生的空间想象能力，并能运用长方体的特征解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于长方体的特征已经有了一定的了解。

但是，学生在应用长方体的特征解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，进一步理解和掌握长方体的特征。

三. 教学目标1.让学生通过观察和操作，进一步理解长方体的特征。

2.培养学生空间想象能力和运用长方体的特征解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习的能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.长方体的特征。

2.如何运用长方体的特征解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和图片，引发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

2.操作教学法：通过学生的动手操作，培养学生的空间想象能力。

3.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和交流，进一步理解和掌握长方体的特征。

4.合作学习法：通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教具：长方体模型、正方体模型、多媒体教学设备。

2.学具：每个学生准备一个长方体模型。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的长方体物体，如牙膏盒、鞋盒等，引导学生回顾长方体的特征。

同时，教师提出问题：“你们认为长方体有哪些特征呢？”让学生进行思考和交流。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示长方体的三维图像，让学生直观地感受长方体的特征。

同时，教师引导学生观察长方体的六个面、十二条棱和八个顶点，并讲解长方体的名称和定义。

操练（10分钟）教师分发长方体模型给每个学生，让学生亲自操作长方体模型，观察和体验长方体的特征。

新版沪教版六年级下册数学第八章-长方体的再认识(2020新教材)

③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。

3、正方体是特殊的长方体。

4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。

记作：平面ABCD 或平面α。

5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。

6、斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。

长方体ABCD-EFGH 、平面ABCD 、棱AB 、顶点A 。

8、直线垂直于平面记作：直线PQ ⊥平面ABCD ；直线平行于平面记作：直线PQ ∥平面ABCD 。

11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。

12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。

13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

上海市六年级(下)数学同步讲义第19讲长方体的再认识(解析版)

长方体的再认识内容分析长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．知识结构模块一：长方体的元素知识精讲1、长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2、长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3、正方体是特殊的长方体例题解析【例1】填空：（1）长方体有______个顶点；（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组有______条棱．【答案】见解析．【解析】（1）8；（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四．【总结】考查长方体的相关元素的概念．【例2】判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）（3）长方体共有6个面；（）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）（5）平面就是水平面；（）（6）水平面是平面．（）【答案】见解析．【解析】（1）正确；（2）错误：桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的；（3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同；（5）错误：平面不一定是水平面（6）正确：水平面就是一个平面．【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析．【例3】在长方体ABCD– EFGH中，与棱EF相等的棱是（）A．棱AB、棱CD、棱GH B．棱AB、棱AE、棱BF2/ 36C．棱GH、棱EH、棱FG D．棱BC、棱CG、棱GF【答案】A【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH．【总结】考查长方体的棱的概念．【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【答案】够，还剩28cm材料剩余．【解析】由题意，若按照棱长分别为5cm、6cm、7cm来做的话，可以做一个长方体架子，用掉（5+6+7）×4=72cm材料，还有28cm材料剩余．【总结】考查长方体的总棱长的和的概念．【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．【答案】24平方厘米；8立方厘米．【解析】由题意可知正方体的棱长为：24÷12=2cm，故表面积为：2×2×6=24平方厘米，体积为：2×2×2=8立方厘米．【总结】考查正方体的表面积与体积的计算．【例6】长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了_____．【答案】50平方厘米．【解析】设长为2x，宽为x，高为x，则有：（2x+x+x）×4=80，解得：x=5，所以长方体的长为：5×2=10cm；宽为5×1=5cm；高为5×1=5cm，当长方体被截成两个正方体时，即增加了两个面，则增加的面积为：5×5×2=50平方厘米．【总结】考查正方体的表面积问题，注意切割后表面积的变化．4/ 366 / 36【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？【答案】最少107平方厘米，最多127平方厘米．【解析】要使得需要的纸最少：即使得无盖的那一面面积最大，此时需要：（3×5+3×7）×2+5×7=107平方厘米；要使得需要的纸最大：即使得无盖的那一面面积最小，此时需要：（3×7+5×7）×2+3×5=127平方厘米．【总结】考查长方体的表面积的运算，注意对无盖的理解．【例8】一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．【答案】12立方分米或立方分米15或24立方分米．【解析】由题意可得，长宽高的和为36÷4=9，由题意有以下三种情况：①长、宽、高分别为：1、2、6，此时体积为：12立方分米 ②长、宽、高分别为：1、3、5，此时体积为：15立方分米 ③长、宽、高分别为：2、3、4，此时体积为：24立方分米【总结】考查长方体的体积，注意分类讨论．1、长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，45DAB ∠=︒．（如图1所示）模块二：长方体直观图的画法知识精讲第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）8 / 36第三步：顺次联结E 、F 、G 、H ．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCD -EFGH ．它的六个面通常表示为：平面ABCD 、平面ABFE 、平面BCGF 等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB 、棱AE 、棱EF 等．【例9】图中长方体正确表示为（）A ．长方体ABCDB ．长方体EFGHC ．长方体ABD ．长方体ABCD -EFGH 【答案】D【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点，并且按照一定的顺序来表示．【总结】考查长方体的表示方法．【例10】要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是____________．【答案】3；长、宽、高．【解析】知道长、宽、高，便能画出长方体的直观图．例题解析ABCDABCDEFG HAB CD E FGHABCD E FGH图1 图2 图3图4 ABCDEFGH【总结】考查长方体的画法．10 / 36【例11】画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体．【答案】见解析．【解析】①画平行四边形ABCD ，使AB 等于4，AD 等于长方体宽的二分之一，即1.5，作45DAB ∠=︒（如图1所示）；②过AB 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高（如图2）；③顺次联结E 、F 、G 、H ，（如图3所示）；④将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4）图4即为所求的长方体ABCD -EFGH ．【总结】考查长方体的斜二测画法，注意对画图语言的准确表示．【例12】画一个棱长总和为36厘米的正方体．【答案】见解析．【解析】由题可确定正方体棱长为36÷12=3cm ，根据斜二测画法要求即可．【总结】考查长方体的画法．ABCD ABCD EFGH ABCD E FGHABC DEFG H图1图2 图3图412 / 36【例13】补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）．【答案】见解析．【解析】如下图所示：原图中给的三条线一定分别是长宽高，按照图示补全即可．（1）（2）（3）（4）【总结】考查长方体的画法，注意对所给的棱的准确分析．1、长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：棱EH 与棱EF 所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF 与棱AB 所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH 与棱AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．模块三：长方体中棱与棱位置关系的认识知识精讲ABCD EFGH14 / 36【例14】在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD 平行？哪些棱与AD 相交？哪些棱与AD异面？【答案】见解析．【解析】与棱AD 平行的棱有：棱BC 、棱FG 、棱EH ；与棱AD 相交的棱有：棱AB 、棱AE 、棱DH 、棱DC ；与棱AD 异面的棱有：棱EF 、棱HG 、棱BF 、棱CG ．【总结】考查棱与棱的位置关系．【例15】在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对．【答案】3；4；4；18；48；24．【解析】①每一条棱与3条棱平行；②每条棱与4条棱相交；③每条棱与4条棱异面； ④每组互相平行的4条棱中，同一平面内互相平行的共有4对，异面平行的有2对；因此共有：（4+2）×3=18对棱平行；⑤与每一条棱异面的有4对，那么共有：12×4=48 对棱互相异面；⑥因为每条棱与4条棱相交，剔除重复的部分，所以相交的棱共有： 4×12÷2=24对．【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系，这些都是不变的，可以要求学生记住．【例16】如图，在长方体ABCD —EFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．（1）棱AD 与AG ：_________________；（2）棱DH 与EG ：_________________；（3）EG 与BD ：_________________；（4）棱DC 与DB ：_________________．【答案】见解析．【解析】（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交．例题解析A BCDEFGH ABCD EFGH【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系．16 / 36【例17】垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________．【答案】平行或异面或垂直．【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；若没有强调同一平面，则垂直于同一直线的两直线可能异面，也可能垂直．【总结】考查直线的位置关系．【例18】如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是__________．【答案】见解析．【解析】平行或异面，由于是投影，那么原两条直线未必在同一平面内，可能异面，只要满足投影平行即可，可以让学生自己拿着笔，打开手电筒演示一下．【总结】考查两直线的位置关系．1、长方体中棱与平面的位置关系如图1，直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线PQ 平面ABCD ，读作：直线PQ 垂直于平面ABCD ．模块四：长方体中棱与平面位置关系的认识知识精讲AB CD PQABCDPQ 图1图2如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ 平行于平面ABCD．18 / 36如图4所示的长方体ABCD -EFGH 中：棱EF 与面BCGF ，棱FG 与面ABFE ，棱BF 与面ABCD 都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF 与面ABCD ，棱BF 与面ADHE ，都给我们以直线与平面平行的形象． 2、检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法． 3、检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法．【例19】教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______．【答案】见解析．【解析】（1）平行；（2）垂直．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例20】如图，在长方体ABCD -EFGH 中：（1）与棱DH 垂直的平面是___________________；（2）与棱BC 平行的平面是___________________；（3）与平面ADHE 垂直的棱是________________；（4）与平面EFGH 平行的棱是________________；【答案】见解析．【解析】（1）平面ABCD 、平面EFGH ；（2）平面EFGH 、平面AEHD ；（3）棱AB 、棱EF 、棱HG 、棱DC ；（4）棱AB 、棱BC 、棱CD 、棱AD ．【总结】考查直线与平面的位置关系，注意进行辨析．例题解析ABCD EFGH【例21】铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直．【答案】见解析．【解析】地、铅垂线、铅垂线．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例22】如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直．【答案】三角尺法．【解析】三角尺法．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例23】在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行．【答案】见解析．【解析】2、4、2、4．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例24】在长方体ABCD-EFGH中，AB = 3厘米，BF = 5厘米，与棱AB垂直的平面的面积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积．【答案】81.2平方厘米．【解析】由题意，与棱AB垂直的平面即为左右两个侧面，面积和为32，则每个侧面面积为16，因为BF=5cm，可得：BC=3.2cm，所以长方体的表面积为：2×（3×3.2+3×5+3.2×5）=81.2平方厘米．【总结】考查直线与平面的位置关系，综合性较强，注意认真分析．20/ 361、长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面α垂直于平面β，记作平面α⊥平面β，读作平面α垂直于平面β．如上右图，平面α平行于平面β，记作平面α//平面β，读作平面α平行于平面β．如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：面EFGH ，面ABFE 与面BCGF 三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD 与面EFGH ，面BCGF 与面ADHE ，面ABFE 与面DCGH ，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法． 3、检验平面与平面是否平行的方法“长方形纸片”法．【例25】如图，与平面ABFE 垂直的平面有____________，与平面BCGF 平行的平面有_____________．【答案】见解析．知识精讲例题解析模块五：长方体中平面与平面位置关系的认识ABCDEFGHABCD EFGH【解析】面BCGF、面ADHE、面ABCD、面EFGH；面ADHE．【总结】考查平面与平面的位置关系．22/ 36C A BDE F【例26】下列结论正确的是（）A ．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个B ．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个C ．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等D ．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行【答案】D【解析】A 错误，有四个；B 错误，有1个；C 错误，还有一条高不能确定；D 正确【总结】考查平面与平面的位置关系．【例27】如图，与面ADHE 垂直的面有__________________________．【答案】见解析【解析】面ABFE 、面ABCD 、面EFGH 、面DCGH ．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例28】可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直．可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行．【答案】见解析．【解析】铅垂线法或合页型折纸法、长方形纸片法．【总结】考查直线与平面的位置关系的检测方法．【例29】如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C 垂直的平面是________．（用图中的字母表示）【答案】见解析．【解析】与已知面垂直的平面是与之相邻的四个平面：B 、D 、E 、F ．【总结】考查平面与平面的位置关系．A BC DEFGH24 / 36【例30】如图，在长方体ABCD -EFGH 中，找出与平面BCHE 垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示．【答案】见解析．【解析】由题意可知，与平面BCHE 垂直的平面分别是：平面ABFE 、平面DCGH ．【总结】考查平面与平面的位置关系，注意认真分析，综合性较强．【习题1】正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍．【答案】8．【解析】正方体的体积等于长×宽×高，所以棱长扩大两倍后，体积就扩大2×2×2=8倍．【总结】考查正方体的棱长与体积的关系．【习题2】在图中的长方体中：（1）从正面看，看不见的棱有___________；（2）与棱EH 相等的棱有_______________；（3）与平面ADHE 相对的平面有________；（4）位于水平位置的平面有_____________．【答案】见解析．【解析】（1）棱：AD 、DC 、BC 、EH 、GF 、HG 、HD 、GC ；（2）棱：AD 、GF 、BC ；（3）面BCGF ；（4）面ABCD 、面EFGH ．【总结】考查长方体的棱与面的位置关系．随堂检测ABCD EFGH A BCDEFGH26 / 36ABCD EFG H 【习题3】在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________．【答案】平行异面．【解析】两条棱没有公共点，则说明这两条棱要么平行，要么异面．【总结】考查长方体中棱与棱的位置关系．【习题4】下列说法正确的是（）A ．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B ．长方体中棱与平面不是垂直就是平行C ．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D ．长方体中任何一条棱都与两个平面平行【答案】D【解析】A 、光滑的镜面不一定是水平面，与所放的位置有关；B 、棱可能正好在这个平面内；C 、这两条直线可能相交，只要它们都在平行于该平面的某个平面内；D 正确．【总结】考查对长方体的基本位置关系的认识．【习题5】如图所示的六面体中，AEFB 和DHGC 是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有______条棱与平面ADHE 垂直；（2）其中有______条棱与平面AEFB 垂直；（3）其中有______条棱与平面ABCD 垂直；（4）其中有______条棱与平面BFGC 垂直．【答案】（1）4；（2）4；（3）2；（4）0．【解析】（1）AB 、DC 、HG 、EF ，共4条；（2）AD 、EH 、BC 、FG ，共4条；（3）AE 、DH ，共2条；（4）0条．【总结】考查立体图形中棱与棱的关系，注意进行辨析．28 / 3614 5 32 1 5? 3 【习题6】一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】D ．【解析】第三个图5和3相邻，第二个图1和3相邻，因此4对面是3，1对面是6，5对面是2，6和3、5相邻，所以问号处是6，故选D ．【总结】考查对长方体的面的认识．【习题7】长方体的总棱长是72厘米，它的长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 2 : 3，这个长方体的体积是______．【答案】3192cm ．【解析】因为长方体的总棱长为72厘米，故长+宽+高=72418÷=厘米，由题意知长：宽：高=4:2:3，设长宽高分别为423x x x 、、，则423182x x x x ++==，解得：，所以长、宽、高分别为8、4、6，所以体积是3846192cm ⨯⨯=．【总结】考查长方体的体积的计算．【习题8】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，它的表面积增加了300平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________．【答案】3330004500cm cm 、．【解析】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，长分别为20厘米和30厘米．因为切割后表面积增加了300平方厘米，故原厂方体的长×宽为：23002150cm ÷=，故分成的两块长方体木块的体积分别为：3201503000cm ⨯=、3301504500cm ⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查长方体的体积计算，另一方面要对增加的表面积进行准确理解．30 / 36【习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积．【答案】见解析．【解析】当有盖时，表面积为：()22353858158cm ⨯⨯+⨯+⨯=，①当高是3厘米时，木盒的表面积为：215858118cm -⨯=； ②当高是5厘米时，木盒的表面积为：215838134cm -⨯=； ③当高是8厘米时，木盒的表面积为：215835143cm -⨯=．【总结】考查长方体的表面积计算，注意要分类讨论．【习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积．【答案】340cm ．【解析】设正方形边长为x 厘米，则由题意可得： 22245882x x x +⨯⨯==，解得：，故这个长方体的体积为：3222540cm ⨯⨯⨯=．【总结】本题综合性较强，主要考查长方体的表面积与体积的计算，注意认真分析题意．【作业1】长方体中经过同一顶点的面的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】C【总结】考查长方体的基本认识．课后作业32 / 36ABCDEF【作业2】如图，在一张长方形纸片ABCD 对折后翻开所成的图形中：（1）与直线DF 平行的直线是_____________；（2）与直线EF 平行的直线是_____________；与直线EF 相交的直线是______________；（3）与直线AE 异面的直线是_____________；与直线BC 异面的直线是______________．【答案】见解析．【解析】（1）与直线DF 平行的直线是AE ；（2）与直线EF 平行的直线是AD 、BC ，与直线EF 相交的直线是AE 、BE 、DF 、CF ；（3）与直线AE 异面的直线是BC 、FC ，与直线BC 异面的直线是AE 、DF ．【总结】考查立体图形中直线间的位置关系．【作业3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（）A ．不一定存在B ．有且只有一条C ．可能有一条，也可能有两条D ．不止两条【答案】B【解析】画图观察即可．【总结】考查长方体的棱与棱之间的位置关系．【作业4】补画长方体：【答案】见解析．【解析】如图所示：【总结】考查长方体的画法．34 / 36ABCDEF GH【作业5】下列图形中，不能围成长方体的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】B 选项两个面重复了，围不成长方体．【总结】考查长方体的展开图，注意进行分析．【作业6】如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面垂直的平面有哪几个？（2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？【答案】见解析．【解析】（1）平面ABHG 、平面ABFE 、平面ABDC ；（2）不一定，当90HBF ∠=时，两面垂直．【总结】考查平面之间的位置关系．【作业7】将一个长、宽、高分别为2厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大的正方体，则切割剩余部分的体积是______．【答案】37cm ．【解析】要切割成体积最大的正方体，则所切得的正方体的边长为2厘米，故切割剩余部分的体积是：332 2.5327cm ⨯⨯-=．【总结】考查长方体的切割问题，注意认真分析．【作业8】将两个长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是_________________．ABCDOEFPNMGH【答案】222164158148cm cm cm 或或．【解析】表面积分别为：()()2554553432164cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2445443532158cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2335334542148cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦．【总结】考查长方体的表面积计算，注意进行分类讨论．【作业9】 12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．【答案】222504038cm cm cm 或或．【解析】当以121⨯叠放时，表面积为：[]212112111250cm ⨯+⨯+⨯⨯=；当以62⨯叠放时，表面积为：()2626121240cm ⨯+⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦；当以43⨯叠放时，表面积为：()2434131238cm ⨯+⨯+⨯⨯=．【总结】考查长方体叠放及表面积的计算问题，注意进行分类讨论．【作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE 分成3 : 1的两段，分点为M ，过点M 按平行于面ABCD 的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？【答案】331080036400cm cm 和．【解析】因为把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，所以原长方体的宽×高为：8002=400÷平方厘米．故大长方体的体积为：3108400324004⨯⨯=立方厘米，小长方体的体积为：1108400108004⨯⨯=立方厘米．【总结】考查长方体的分割及体积计算问题，注意进行认真分析．36/ 36。

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