2013年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）【2013年北京，理1，5分】已知集合{}101A =-，

，，{}|11B x x =-<≤，则A B =（ ） （A ）{0} （B ）{}10-，

（C ）{}01， （D ）{}101-，， 【答案】B

【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ．

（2）【2013年北京，理2，5分】在复平面内，复数()2

2i -对应的点位于（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D

【解析】2()2i 34i --＝，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D ．

（3）【2013年北京，理3，5分】“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵ϕπ=，∴sin 2sin2()y x x π=+=-，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵(sin 2)y x ϕ=+过原

点，∴sin 0ϕ=，∴k ϕπ=，k ∈Z ．故必要性不成立，故选A ．

（4）【2013年北京，理4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

（A ）1 （B ）23 （C ）1321

（D ）610

987

【答案】C

【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；13

21

S =，i 2=，故选C ．

（5）【2013年北京，理5，5分】函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴

对称，则()f x =（ ）

（A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+ （D ）1e x -- 【答案】D

【解析】依题意，()f x 向右平移1个单位之后得到的函数应为x y e -=，于是()f x 相当于x y e -=向左平移1个单

位的结果，∴()1x f x e --=，故选D ．

（6）【2013年北京，理6，5分】若双曲线22

221x y a b

-= ）

（A ）2y x =± （B ）y = （C ）1

2

y x =± （D ）y =

【答案】B

c =，∴b ．∴渐近线方程为b

y x a

=±=，故选B ．

（7）【2013年北京，理7，5分】直线l 过抛物线2

:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积

等于（ ）

（A ）43 （B ）2 （C ）8

3

（D 【答案】C

【解析】由题意可知，l 的方程为1y =．如图，B 点坐标为()2,1，

∴所求面积2

32

2

8

42424123

x x S dx ⎛⎫=-=-=

⎪⎝⎭

⎰

，故选C ． （8）【2013年北京，理8，5分】设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪

+<⎨⎪->⎩

，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，

满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）

（A ）43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， （B ）13⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭， （C ）23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， （D ）53⎛

⎫-∞- ⎪⎝⎭，

【答案】C

【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含1

12

y x =-上的点，只需要可行域的边界点

()m m -，在112y x =-下方，也就是1

12

m m <--，即23m <-，故选C ．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．

（9）【2013年北京，理9，5分】在极坐标系中，点π26⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．

【答案】1

【解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫

⎪⎝⎭

对应直角坐标系中坐标为)

，直线2sin ρθ=对应直角坐标系中的方程为

2y =，所以点到直线的距离为1．

（10）【2013年北京，理10，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项

和n S = ． 【答案】2；122n +-

【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212

n n n S +(-)==--．

（11）【2013年北京，理11，5分】如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，

:9:16PD DB =，则PD =________；AB =______． 【答案】9

5

，4

【解析】设9PD k =，则0()16DB k k =>．由切割线定理可得，2·PA PD PB =，即23925k k =⋅，

可得15k =．∴9

5

PD =，5PB =．在Rt APB ∆中，AB

=4AB =．

（12）【2013年北京，理12，5分】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，

如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 【答案】96

【解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有13

4

3496C A ⨯= (种)． （13）【2013年北京，理13，5分】向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若

()c a b λμλμ=+∈R ，，则λ

μ=_______．

【答案】4 【解析】可设=-+a i j ，i ，j 为单位向量且⊥i j ，

则62=+b i j ，3=--c i j ．由()()62λμμλλμ=+=-++c a b i j ， ∴6123μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得2

12

λμ=-⎧⎪

⎨=-⎪⎩，∴4λμ=．