TSP问题的解决方案

《算法设计与分析》实验报告一
学号：姓名：
日期：20161230 得分：
一、实验内容：
TSP问题
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：
1、蛮力法
1）基本思想
借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。

首先构造距离矩阵，任意节点到自身节点的距离为无穷大。

在第一行找到最小项a[1][j]，从而跳转到第j行，再找到最小值a[j][k]，再到第k行进行查找。

然后构造各行允许数组row[n]={1,1…1}，各列允许数组colable[n]={0,1,1….1}，其中1表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经被访问。

如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。

程序再发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。

2）复杂度分析
基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n个点，则计算的次
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数为n^2-n。

T(n)=n*(n-1)=O(n^2)。

2、动态规划法
1）基本思想
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3->城市0(0
为起点城市)。

此时d(i, V’)=Cis(就是城市i 到城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。

你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，
并求出最优解。

d(i, V’)=min{Cik +d(k, V’-{k})}
注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：
2）复杂度分析
和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。

3、回溯法
1）基本思想
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确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。

这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点即成为新的活结点，并为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。

采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递参数，将数组mp设置为全局变量，设数组x[n]表示哈密顿回路经过的顶点。

2）复杂度分析
在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj(1<=I,j<=n,i!=j),则可能解应该是（1,2,…,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。

当找到可行的最优解时，算法停止。

根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为O（n！）。

4、分支限界法
1）基本思想
分支界限法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优势的方式搜索问题的解空间树。

问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。

在搜索问题的解空间树时，分支界限法与回溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方
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式不同。

在分支界限法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

活结点一旦成为扩
展结点，就一次性产生其所有儿子结点。

在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优
解得儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

算法开始时创建一个最小堆，用
于表示活结点优先队列。

堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。

接
着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。

如果所给的有向图中某个顶
点没有出边，则该图不可能有回路，算法即告结束。

如果每个顶点都有出边，则根据计算
出的minout作算法初始化。

2）复杂度分析
目标函数（限界函数），lb分为三部分，第一部分是经过路径的长度相加的2倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加（不在已知路径上的），加上第三部分除了路径
上节点，矩阵中两个最短的距离相加，最后这三部分和相加，得到的结果除以2便是每个
节点的限界值。

由于限界函数的不同，下界为O（n），上界为O（2^n）,智力特定指出。

三、源程序及注释：
1、蛮力法
int main()
{
int i,j,s=0;
int **a;
printf("输入节点个数：\n");
scanf("%d",&n);
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printf("输入%d维对称矩阵：\n",n);
colable=(int*)malloc((sizeof(int))*n);
colable[0]=0;
//对各列允许矩阵进行赋值
for(i=1;i<n;i++)
{
colable[i]=1;
}
row=(int *)malloc((sizeof(int))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
row[i]=1;
}
a=(int **)malloc((sizeof(int*))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
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a[i]=(int *)malloc((sizeof(int*))*n);
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j])'
}
}
i=0;
while(row[i]==1)
{
j=min(a[i]);
row[i]=0;
colable[j]=0;
printf("访问路径：\n");
printf("\t%d-->%d\n",i,j);
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s=s+a[i][j];
i=j;
}
printf("最短总距离为：%d\n",s);
}
int min(int *a)
{
int j=0,m=a[0],k=0;
while(colable[j]==0||row[j]==0)
{
j++;
m=a[j];
}//求最短距离
for(;j<n;j++)
{
if(colable[j]==1&&row[j]==1)//节点没有被访问
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{
if(m>=a[j])
{
m=a[j];//m始终保持最短距离
k=j;
}
}
}
return k;
}
2、动态规划法
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四、运行输出结果：
（1）蛮力法
（2）动态规划法
（3）回朔法
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（4）分支限界
五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：
TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和发展的，也可以称之为TSP 问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。

我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解
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决此类延伸问题时容易调试和修改。

学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。

有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决
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