高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿
高中数学说课稿-两平面垂直的性质
两平面垂直的性质定理首先,我对本节教材进行一些分析:一、教材分析：1. 教材所处的地位和作用：本节课为《人民教育出版社》普通高中课程标准实验教科书必修二立体几何初步1.2.3的内容，是高中数学重要内容之一。
它不仅有着广泛的实际应用，也起到承前启后的作用。
在此之前学生已学习了两平面垂直的判定定理，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
以及为其他学科和今后的学习打下基础。
2. 教育教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标： (1) 掌握面面垂直的性质定理；(2) 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
（2）能力目标：以学生的经验为基础，通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，，培养学生分析问题、解决问题的能力；在与位置有关的推理、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。
在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。
逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力。
通过变式练习培养学生的发散思维，培养学生的创新能力。
（3）情感目标：进一步丰富数学学习的成功经验，激发学生对空间图形的研究及学习兴趣。
3. 重点，难点：根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点，难点重点：两平面垂直的性质定理难点：利用两平面垂直的性质解决实际问题下面，为了讲清重难上点，使学生能达到本节课设定的目标，再从教法和学法上谈谈：二、教法：1．充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形，强调学生的动手操作实验和主动参与。
通过实验－猜想－论证－运用，培养学生分析问题解决问题的能力；通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究。
2．教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
优秀教案18-平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质教材分析《平面与平面垂直的性质》是数学必修二（人教A版）第三节第4课时，是线面垂直与面面垂直内容的延续.平面与平面垂直问题是平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而解决问题。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面与平面垂直的性质定理及应用.教学目标重点：平面与平面垂直的性质定理.难点：灵活应用面面垂直的性质定理证明线线垂直和面面垂直，达到三者的相互转化.知识点：（1）平面与平面垂直的性质定理及证明；（2）了解性质定理的作用并能运用性质定理解决一些简单问题.能力点：通过“直观感知，操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.教育点：进一步激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识.自主探究点：让学生归纳整理本节所学知识.考试点：正确运用平面与平面垂直的性质定理.教具准备多媒体课件.课堂模式学案导学，多媒体引导启发.教学过程一、复习回顾1、面面垂直的定义；2、面面垂直的判定.二、引入新课思考1.(情境导入)教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思考2.(事例导入)如图1，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′AD D′与平面ABCD垂直，直线A′A垂直于其交线AD.平面A′AD D′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图1【设计意图】通过问题导入，让学生思考、探索，在轻松、融洽的教学氛围中，为引出平面与平面垂直的性质定理做铺垫，引起学习兴趣，提高课堂效率.三、探究新知如图2，设βα⊥，CD =βα ，α⊂AB ，CD AB ⊥，且B CD AB = .求证：β⊥AB .图2引导：这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪种方法最适合.证明：在β内引直线CD BE ⊥，垂足为B ，则∠ABE 是二面角βα-CD -的平面角.由βα⊥知，BE AB ⊥.又CD AB ⊥，BE 与CD 是β内的两条相交直线，所以β⊥AB .此命题就是面面垂直的性质定理.由学生归纳得出结论：两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 两平面垂直的性质定理应注意：定理的条件有：平面垂直，线在面内，线垂直交线.【设计意图】使学生进一步体会性质定理的条件，进一步掌握符号语言的运用. 下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本72页思考. 设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，求证：直线a ⊂平面α.引导：过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合.证明：如图3，设c =βα ，过点P 在平面α内作直线c b ⊥，根据平面与平面垂直的性质定理有β⊥b .因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a 与直线b 重合，因此直线a⊂平面α.这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用语言叙述就是：βABED Cα如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内. 【设计意图】通过语言叙述的形式增强学生对新知识的理解，提升教学效果.四、理解新知1.平面与平面垂直的性质定理用文字语言表示为：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 2.平面和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：符号语言：βα⊥，CD =βα ，α⊂AB ，CD AB ⊥，且B CD AB = ⇒ β⊥AB .【设计意图】强化对定理的理解应用.五、运用新知例1. 如图4，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.图4解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ， 因为a β⊥，所以b β⊥. 因为a β⊥，所以a ∥b . 又因为a α⊄，所以a ∥α. 即直线a 与平面α平行.【设计意图】通过例子，巩固所学知识，加深学生对定理的理解. 课堂练习：（课本73页练习） 1.下列命题中错误．．的是（ A ） (A) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线垂直于平面β. (B) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (C) 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β. (D) 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ= ，那么l γ⊥. 2.已知两个平面垂直，下列命题：① 一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ C ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0六、课堂小结教师提问：（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）面面垂直的性质定理的内容及作用是什么？【设计意图】回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力.七、布置作业（1）复习本节课内容；双成新学案P38例2和即学即练2.【设计意图】让学生进一步巩固所学知识.八、教后反思1.优点：（1）从实际的教学效果来看，本课设计较好，安排了回顾旧知，导入新课，能从生活中的实际问题出发，设计探究与思考，激起了学生的思维，使学生思维活跃，调动了学生的积极性，教师又能用适当的启发和疑问引领学习活动沿着一定的主线进行，培养了学生的分析归纳能力.整节课堂气氛活跃，师生互动、生生互动都很好，较好地实现了生生之间和师生之间的对话和交流，体现了学生主体性，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所.（2）本节课主要运用了探究性教学，对于性质定理的教学，不是生硬地直接告诉学生面面垂直的性质定理，而是通过设置一个个问题，层层不断地分析处理，最后让学生归纳出面面垂直的性质定理，这样不但让学生对定理准确的把握，而且对他们也进行了学习方法和思维方法的指导，即尝试用从特殊到一般、转化等思想解决问题，使他们掌握了处理问题的方法.2.不足：（1）学生做题不够规范，符号语言表示不太准确，应加强学生做题规范性的训练.（2）学生在解题时易忽视“线在面内”这个条件，所以，在做练习时教师应多给学生加以强调.（3）因为太注重课程的完整性，所以在有些归纳总结时留给学生思考的时间稍短，基础差的学生理解不够深刻.九、板书设计。
《平面与平面垂直的判定》说课稿
《平面与平面垂直的判定》说课稿一、教材分析：1．教材地位和作用本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。
由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。
乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。
2．教学目标课程目标：（1）通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理。
（2）能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
根据上面对教材的分析及课程标准，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义。
并能正确理解定义。
（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
（3）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
3、本节课的教学重点：（1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。
难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法；（2）面面垂直的判定定理的运用。
二、学情与学法分析：目前高一学生已学过空间线面、面面的平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，且（2）班学生思维较活跃，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识和能力。
针对目前学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，采用诱导、启发式教学方法。
用由浅入深的问题引导学生自己去发现问题、产生概念、形成定理。
在定理的运用过程中培养学生的思维能力、论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。
高中数学_平面与平面垂直的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
平面与平面垂直的性质教课方案一、教材学情剖析1教材剖析《平面与平面垂直的性质》是人教 A 版必修 2 第二章《点、直线、平面之间的地点关系》的第 2.3.4 节.平面与平面垂直的性质是线面垂直与面面垂直内容的持续，不单能够加深利用线面垂直证线线垂直，也能够实现面面垂直的证明。
所以，我们能够说线面垂直关系是线线垂直关系的纽带。
教材从两个思虑下手，直观感知平面与平面垂直的性质，并抽象出数学模型进行证明，在掌握定理的基础上设置了两个操作研究和一个例题，其目的是更好地培育学生的空间想象能力和逻辑思想能力，感悟数学的转变思想。
2学情剖析在学习本课以前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的观点，判定定理，及线面垂直的性质定理。
已经具备了对空间几何图形的必定水平层次的想象能力，已具备必定的逻辑推理能力和剖析问题的能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思想为主要发展趋向，他们的思想正从经验性的逻辑思想向抽象的逻辑思想发展，仍需依靠必定的详细形象的经验资料来理解抽象的逻辑关系。
本课借助生活中丰富的典型实例，让学生经过实验、剖析、猜想、归纳、论证等活动过程中，认识和体验线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑思想能力、空间想象能力和剖析问题、解决问题的能力。
二、教课目的依照课程标准，同时鉴于上述剖析，我确立本节课的教课目的以下：（ 1）知识与技术：1.理解并掌握面面垂直的性质定理和推导。
2.运用面面垂直的性质定理解决实质问题。
.（ 2）过程与方法：1.经过对定理的研究和证明，培育学生察看、比较、想象、归纳等逻辑推理能力及转变的思想。
2.能经过实验提出猜想并能进行论证，灵巧运用知识剖析问题、解决问题。
（ 3）感情、态度、价值观：1.发展学生的合情推理能力和空间想象力，培育学生的怀疑思辩、创新精神。
2.让学生亲自经历数学研究的过程，体验研究的乐趣，加强学习数学的兴趣。
三、教课重难点重点：直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的性质定理；难点：平面与平面垂直的性质定理的证明及应用。
高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿
高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿恭敬的各位考官大家好，我是今日的X号考生，今日我说课的题目是《平面与平面垂直的性质》。
虽然我个人的教学阅历并不丰盛，但是为了能过够成为一名合格的人民老师，我对于本节课也有了一些自己的思量，接下来我就从几方面简洁的谈一谈我对本节课的理解。
一、说教材我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟识，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。
《平面与平面垂直的性质》在人教A 版高中数学必修二其次章第三节第四小节，本节课的内容是平面与平面垂直的性质定理及其推导和应用。
到本小节，同学已经学了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，教学中可以引导同学思量这些定理之间互相联系的同时也对于本节课的学问点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的须要基础。
二、说学情教材是我们教学的工具，是载体。
但我们的教学是要面对同学的，高中同学本身身心已经趋于成熟，管理与教学复杂度较大，那么为了能够成为一个合格的高中老师，深化了解所面向的同学可以说是必修课。
本阶段的同学思维能力已经十分成熟，能够有自己自立的思量，所以应当主动发挥这种优势，让同学自立思量探究。
三、说教学目标按照以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的学问内容以及课标要求，我指定了如下的三维教学目标：(一)学问与技能控制平面与平面垂直的性质，会按照面面垂直证实线面垂直。
(二)过程与办法在探究证实平面与平面垂直的性质时，提升规律推理能力以及空间观念。
(三)情感看法价值观在自主探究中感触到胜利的喜悦，激发学习数学的爱好。
四、说教学重难点并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点确实立与我本节课的内容绝对是密不行分的。
那么按照授课内容可以确定本节课的教学重点是：控制平面与平面垂直的性质。
而本节课作为本章的最后一节，那么就要求同学不光控制面面垂直，还要能够理解与之前学问的联系，所以本节课的教学难点是：会按照面面垂直证实线面垂直。
平面与平面垂直说课稿
平面与平面垂直（说课稿）一、教材分析1、教材的地位和作用本节课的主要内容有（1）、面面垂直的定义，（2）面面垂直的判定定理，（3）面面垂直的性质定理，本节也是线线垂直、线面垂直及面面垂直相互转化的重要组成部分。
本节的学习有着极其重要的地位同时，这节课也是进一步埋头学生的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。
2、教学重难点（1）重点：平面与平面垂直的判定的推导（2）难点：面面垂直的判定定理的运用二、教学目标分析知识与技能：能够借助二面角的定义及生活中实际例子结合数学问题来推导面面垂直的判定定理及进行简单的应用。
过程与方法：（1）通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。
（2）通过面面垂直判定定理的推导过程，使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用情感、态度、价值观：培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，发展学生的合情推理能力和空间想象力，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.三、教学设计过程分析（1）设置问题，创设情景1、天花板与墙面的位置关系如何？2、如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中,②二面角A-BD- B'= 度。
设计意图：把教材内容通过实际例子表达出来，在探究过程中让学生感悟到：原来知识来源于生活，生活处处存在数学知识。
激发学习兴趣，增强学习信心。
并且直接由练习的特殊结果引出概念，不仅加快教学进度，而且使新知识的引入自然、贴切。
（2）平面与平面垂直判定定理的探究问题：1、教室的门打开的时候，门的哪部分位置不变，门轴与地面的关系如何？无论门转到什么位置，门与地面是否保持互相垂直？2、若直线a垂直于平面α，且a在平面β内，那么平面α垂直于平面β吗？设计意图：用日常生活中的例子，结合数学问题，引导学生，使问题更具形象化，通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。
平面与平面垂直的判定 说课稿 教案 教学设计
平面与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念．(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用．(3)使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用．2．过程与方法(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．(2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于现实生活周围，从而激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．●重点难点重点：平面和平面垂直的判定．难点：二面角的理解及度量．重难点突破：用FLASH课件播放人造卫星轨道和大坝面的例子，引出课题，然后通过实例说明“二面角的概念”，并通过学生的观察、思考、合作交流得出“二面角的度量方式”，难点之一得以化解，紧接着，从直二面角入手，结合实例(如教室墙面与墙面的位置关系)及多媒体教学，让学生在直观感知中得出面面垂直的判定定理，重难点顺利突破．【课前自主导学】课标解读1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(重点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点、难点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(难点)二面角【问题导思】观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．1．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角？【提示】二面角．2．平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？【提示】二面角的平面角．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．(3)画法：直立式平卧式图2－3－12(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q.(5)二面角的平面角：图2－3－13若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.平面与平面垂直【问题导思】建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？【提示】垂直．1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：图2－3－14记作：α⊥β.2．判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥βl⊂α⇒α⊥β【课堂互动探究】面面垂直判定定理及应用如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.【思路探究】由C是圆周上异于直径AB的点―→AC⊥BC―→由P A垂直于⊙O所在的平面―→P A⊥BC―→BC⊥平面P AC―→平面P AC⊥平面PBC.【自主解答】连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥面PBC.应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤如果直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】因为m⊂α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为l⊂γ，m⊥γ，所以l⊥m，所以A正确．记α∩γ＝n，因为l∥α，l⊂γ，所以l∥n.根据以上分析可画出草图，其中平面β可绕直线l转动，所以m∥β，α∥β都是不成立的．所以B，C，D都是错误的．【答案】 A面面垂直定义的应用如图，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC ＝3，BC＝2，求证：平面BCD⊥平面BCA.【思路探究】作出二面角D—BC—A的平面角，证明此平面角为直角即可．【自主解答】取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角A—BC—D的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝3，又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2，在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.∴平面BCD⊥平面BCA.1．利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证明此平面角是直角．(2)证明线线垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD 折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝22，所以BC＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1.【答案】 1求二面角如图，已知四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD.(1)求二面角B－P A－D平面角的度数；(2)求二面角B－P A－C平面角的度数．【思路探究】先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后指出二面角的平面角的大小．【自主解答】(1)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C平面角的度数为45°.1．求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样，步骤如下：2．作二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．在题设条件不变的情况下，若P A＝AD，求平面P AB与平面PCD所成的二面角的大小．【解】∵CD∥平面P AB，过P作CD的平行线l，如图所示，由P A⊥CD，CD⊥AD，P A∩AD＝A知CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又CD∥l，∴l⊥PD.∴∠DP A为平面P AB和平面PCD所成二面角的平面角，为45°.【思想方法技巧】转化思想在线面、面面垂直中的应用(12分)(2013·杭州高二检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．【思路点拨】解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°.【规范解答】(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2. 则PD⊥DC. 2分同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 6分又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD. 8分(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角. 10分在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角. 12分【思维启迪】1．本题(1)(2)问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”．2．突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想．【课堂小结】1．面面垂直的判定方法(1)定义法．(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．2．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．3．线面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何求解的转化思想.。
高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第2课时)平面与平面垂直的性质 教学设计新
【新教材】8.6.3 平面与平面垂直教学设计（人教A版）第2课时平面与平面垂直的性质在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.课程目标1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面垂直的性质定理.难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入已知面面平行则一个平面内的任意直线都平行与另一个平面，那么面面垂直，则一个平面内的任一直线与另一个平面是否垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本159-161页，思考并完成以下问题1、如果两个平面垂直,那么满足什么条件时，一个平面内的直线与另一个平面垂直?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、平面与平面垂直的性质定理探究: (1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?答案:平行.答案: (1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用-中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.例1 在三棱锥P ABC【答案】证明见解析⊥于点D.【解析】证明：如图所示，在平面AB内作AD PB=，∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB⋂平面PBC PB∴AD⊥平面PBC.⊥.又BC⊂平面PBC，∴AD BC∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，⊥.∴PA BC⋂=，∴BC⊥平面P AB.∵PA AD A解题技巧（性质定理应用的注意事项）利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.题型二线面、面面垂直的的综合应用例2 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.【答案】（1）见解析（2）见解析. (3) 【解析】(1)证明:因为长方形ABCD 中,BC ∥AD,又BC ⊄平面PDA,AD ⊂平面PDA,所以BC ∥平面PDA.(2)证明:取CD 的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH ⊥CD.又因为平面PDC ⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH ⊥平面ABCD.又因为BC ⊂平面ABCD,所以PH ⊥BC.又因为长方形ABCD 中,BC ⊥CD,PH∩CD=H,所以BC ⊥平面PDC.又因为PD ⊂平面PDC,所以BC ⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH 为三棱锥P-ADC 的高.因为△ADC =12·AD·CD=12×3×6=9,所以P ADC V -=13·S △ADC ·PH=13×由(2)知BC ⊥PD,又因为AD ∥BC,所以AD ⊥PD,所以S △PDA =12·PD·AD=12×4×3=6.设点C 到平面PDA 的距离为h.因为C PDA V -=P ADC V -,所以13·S △PDA ·所以3PDA S ∆⋅63⨯=. 解题技巧 (空间垂直关系的注意事项)直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别为线段AB,CD 的中点, EP ⊥平面ABCD.(1)求证:AQ ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ ⊥平面DEP.【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD 中,因为AP=PB,DQ=QC,所以AP CQ.所以AQCP 为平行四边形.所以CP ∥AQ.因为CP ⊂平面CEP,AQ ⊄平面CEP,所以AQ ∥平面CEP.(2)因为EP ⊥平面ABCD,AQ ⊂平面ABCD,所以AQ ⊥EP.因为AB=2BC,P 为AB 的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP 为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP. 因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本161页练习，162页习题8.6的剩余题.直线与直线垂直，直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理、性质定理,揭示了线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系捋顺.。
最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的性质》教案1
《平面与平面垂直的性质》教案教学目标：1．掌握平面与平面垂直的性质定理及证明；了解平面与平面垂直的性质定理的作用并能运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单问题；2．通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力；通过实验提出自己的猜想并能进行论证，提高灵活运用知识分析问题、解决问题的能力；3．进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识．教学重点难点：1．重点：理解并掌握面面垂直的性质定理和内容和推导．2．难点：运用平面与平面垂直的性质定理解决实际问题．教法与学法：1．教法选择：采用“启发－探究”的教学方法．2．学法指导：通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、设置情境，激发探索平面与平面垂直的性质定理的探究1．将上述情景抽象成数学问题： ,,,AB l AB l αββαβ⊥⊂⋂=⊥则AB 与α的位置关系怎样？(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线．引导学生归纳为文字语言.面面垂直的性质定理．二、变式演练，提高能力例 1 如图，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系．图分析：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直．解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β．∵a⊥β,∴a∥b．∵a⊄α,∴a∥α．例2将两块三角板（有一块30o角和一块45o角）拼成如图形状提炼出的数学知识，需要经过严格的证明才能成为规律，通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力．三、归纳小结，课堂延展巩固作业:课本对应习题提升练习：如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值．延展作业:谈谈你对本节的学习的心得体会？体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外．教学设计说明1．教材地位分析：空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理，也是高考考查的重点，其中所涉及的观点、思想和能力方法是学生今后学习和工作中必备的数学素养．2．学生现实状况分析：在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力．这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的材料来理解抽象的逻辑关系．3．以学生的经验为基础，通过教学初步培养学生分析问题的能力和解决实际问题的能力；在与位置有关的推理、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义．在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念．逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力．。
平面与平面垂直的性质 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握线面垂直及面面垂直的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”、“面面”垂直的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，通过学生观察长方体侧棱及侧面同底面的关系，提出直线和平面垂直的性质定理及平面和平面垂直的性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成、相互统一的，故教学时，采用“启发—探究”的教学方法．通过一系列的问题及层层递进的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究．帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现．由于线面垂直的性质实现了垂直同平行的互化，在教学时，可适当补充例题，通过练习突出线面及线线关系的互化意识，培养学生的空间转换能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：线面垂直与面面垂直有哪些性质？⇒引导学生借助长方体，通过观察、想象、思考得出线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的垂直的性质定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面垂直的性质定理.课标解读1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 2.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决一些简单问题．(重点、难点)3.掌握平行与垂直之间的转化．(易错点)直线与平面垂直的性质【问题导思】在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，那么这些电线杆之间存在什么位置关系呢？【提示】平行．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b图形语言平面与平面垂直的性质定理如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.平面A1ADD1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？【提示】 垂直．平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β 图形语言直线与平面垂直的性质定理的应用图2－3－26如图2－3－26，正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.【思路探究】 紧扣线面垂直的性质定理，在图中作出辅助平面，证明EF ，BD 1都与此平面垂直．【自主解答】 如图所示，连接AB 1、B 1D 1、B 1C 、BD ，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据．2．证明线线平行的方法有：定义法、公理4、线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理．图2－3－27已知，如图2－3－27，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.【证明】过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′.又a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①因为a ⊥α，c ⊂α，所以a ⊥c . 又a ′∥a ，所以a ′⊥c ② 由①②可得c ⊥γ.又AB ⊥γ， 所以AB ∥c .平面与平面垂直的性质定理的应用图2－3－28(2013·洛阳高一检测)如图2－3－28，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .【思路探究】 平面P AC ⊥平面PBC――→引辅助线作AE ⊥PC ――→面面垂直的性质BC ⊥平面P AC――→线面垂直的定义BC ⊥AC【自主解答】 过A 作AE ⊥PC 于E ，由平面P AC ⊥平面PBC ，且平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，可知AE ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，故AE ⊥BC .又P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故P A ⊥BC . ∵P A ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . 又AC ⊂平面P AC ，故BC ⊥AC .在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．图2－3－29如图2－3－29，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.【证明】∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，∵VA⊂面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用图2－3－30如图2－3－30所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.【思路探究】(1)由题中平面P AD⊥平面ABCD，只需要证明BG垂直于两平面的交线即可．(2)转化为证AD⊥平面PBG即可．【自主解答】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)连接PG，如图，∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．图2－3－31如图2－3－31，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.P A与BD是否相互垂直？请证明你的结论．【解】P A与BD相互垂直．证明过程如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面P AO，∴BD⊥P A，即P A与BD相互垂直．折叠问题的求解策略(12分)(2013·梅州高二检测)如图2－3－32，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．图2－3－32(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.【思路点拨】(1)分别取DE、BC的中点M，N，借助面面垂直的性质证明AN⊥BC，进而说明△ABC为等腰三角形．(2)类比(1)逆向求解便可．【规范解答】(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，2分∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.4分又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.6分又∵N是BC中点，∴AB＝AC.7分(2)取BC的中点N，连接AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC.8分取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.10分又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.11分∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.12分1．抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．2．在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度、角度的变化情况．小结1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：。
《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）
《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）第一篇：《平面与平面垂直的性质》教学设计《平面与平面垂直的性质》教学设计一、教材分析：直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
二、学情分析：1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。
帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。
2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。
三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标：①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。
③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。
五、教学设计思路：1、复习导入：（1）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。
平面与平面垂直的判定说课稿
平面与平面垂直的判定说课稿说课稿教学内容：平面与平面垂直的判定教学目标：1. 理解平面与平面垂直的定义。
2. 学会利用两个平面的法向量判断它们是否垂直。
3. 掌握平面方程的求解方法。
教学重点：1. 平面与平面垂直的判定。
2. 平面方程的求解方法。
教学难点：1. 利用两个平面的法向量判断它们是否垂直。
2. 平面方程的求解方法的运用。
教学准备：1. 教材《高中数学一》。
2. 准备好黑板、粉笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 观察周围环境并引导学生思考：你们身边有哪些事物是平面？有哪些是直线？2. 引入教学内容：我们今天要学习平面与平面之间的关系，特别是平面与平面垂直的判定。
二、讲解（10分钟）1. 温习法向量的定义：什么是向量？什么是法向量？向量有什么特点？2. 讲解平面与平面垂直的定义：两个平面垂直，意味着它们的法向量互相垂直。
3. 讲解如何判断两个平面是否垂直：比较两个平面的法向量的内积是否为零。
若内积为零，则两个平面垂直。
三、示例演练（20分钟）1. 给出两个平面的方程，让学生计算两个平面的法向量。
2. 计算两个平面的法向量的内积，判断是否为零。
3. 引导学生讨论并总结判断平面与平面垂直的方法。
四、拓展应用（10分钟）1. 提供更多的例题让学生进行计算和判断。
2. 让学生自己构造两个平面的方程，进行判断。
五、归纳总结（5分钟）1. 让学生总结平面与平面垂直的判定方法。
2. 强调法向量的重要性，以及平面方程的求解方法。
六、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课的学习内容和要点。
2. 解答学生的疑问。
教学反思：本节课通过引入实际问题，使学生能够从生活中的经验出发，理解平面与平面垂直的概念。
通过示例演练和拓展应用，学生能够掌握平面与平面垂直的判定方法以及平面方程的求解方法。
通过归纳总结和课堂小结，加深学生对知识点的理解和应用。
高二数学最新教案-平面和平面垂直的性质 精品
课题：§2.3.4平面与平面垂直的性质一．教学任务分析:（1）让学生在观察长方体模型的基础上，进行操作确认，通过问题探究，确认平面与平面垂直的性质，合情推理证明性质定理。
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二．教学重点与难点：教学重点：平面与平面垂直的性质教学难点：平面与平面垂直的性质定理的证明↓↓↓四.教学情境设计:四、教学设计1．创设情景，揭示课题问题：（1）在两个平面互相垂直的条件下，你会得出哪些结论？（2）如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。
2．探究并证明平面和平面垂直的性质定理教师引导学生观察正方体模型，进一步解决问题：在正方体''''D C B A ABCD -中，平面ABCD ADD A 平面⊥''，直线AD A A ⊥‘，那么直线A A ‘和平面ABCD 垂直吗？然后师生互动共同解决：设平面α⊥平面β，CD =βα ，B CD AB CD AB AB =⊥⊂ 且,,α，那么直线AB 和平面β是什么关系？共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
3．平面和平面垂直的性质定理的应用例1：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，那么直线a 和平面α具有怎样的位置关系？例2：设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且a =βα ，证明：γ⊥a例3：在空间四边形P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC 。
教师引导学生探讨解决问题的方法，过程。
4．练习：课本P81练习5．作业：《随堂导练》P39-40。
《平面与平面垂直的判定》说课稿
平面与平面垂直的剖断》说课稿说课人：高长福我说的课是高中新课标《数学》必修2第二章第2节内容《平面与平面垂直的剖断》.一、教材剖析：1．教材地位和感化本节课的重要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念,（2）平面与平面们垂直的剖断.因为平面与平面垂直的概念是树立在二面角的基本之上,且二面角的平面角不单定量地描写了两订交平面的相对地位,同时也是空间中线线.线面.面面垂直关系的一个汇集点,所以搞好二面角的进修,对学生控制线面垂直.面面垂直的常识.甚至空间思维才能的造就都具有十分重要的意义. 2．教授教养目标课程目标：（1）经由过程直不雅感知.操纵确认,归纳出平面与平面垂直的剖断定理.（2）能应用平面与平面垂直的剖断定理证实一些空间地位关系的简略命题.依据上面临教材的剖析及课程尺度,并联合学生的认知水温和思维特色,肯定本节课的教授教养目标：（1）借助对图片.实例的不雅察.类比.抽象.归纳综合二面角的概念,面面垂直的界说.并能准确懂得界说.（2）经由过程直不雅感知.操纵确认,归纳出二面角平面角的界说,平面与平面垂直的剖断定理,并能应用剖断定理证实一些空间地位关系的简略命题,进一步造就学生的空间不雅念.（3）让学生亲自阅历数学研讨的全进程,体验摸索的乐趣,加强进修数学的兴致. 3.本节课的教授教养重点：（1）二面角及平面角概念的形成进程; （2）面面垂直的剖断定理的应用. 难点：（1）二面角的平面角的形成进程及查找办法;（2）面面垂直的剖断定理的应用.二.学情与学法剖析：今朝高一学生已学过空间线面.面面的平行和线面的垂直关系,对空间线线.线面.面面三者之间的转化关系比较懂得,且（2）班学生思维较活泼,介入意识.自立探讨才能有所进步,具备进修本节课所需的常识和才能.针对今朝学生的年纪特色和心理特点以及他们的常识程度,采取引诱.启示式教授教养办法.用由浅入深的问题引诱学生本身去发明问题.产生概念.形成定理.在定理的应用进程中造就学生的思维才能.论证才能,并经由过程引诱学生对定理及例题图形的熟悉,加深学生对定理的懂得,达到造就学生空间想象才能的目标.本节课联合多媒体教授教养,尽可能调动学生思维的积极性,激发学生的进修兴致,让学生始终处于自动进修的状况,表现学生的主体地位和教师的主导感化.本节课中,教师引诱学生从具编制子入手总结出定理,领会数学中由“特别”到“一般”的研讨纪律;经由过程剖断定理,将“面面垂直”的问题转化为“线面垂直”的问题行止理,领会转化思惟在数学的应用.三.教室构造设计：二面角的概念建构→创设情境——感知概念类比归纳——形成概念操纵确认——深化概念↓二面角的平面角界说建构→发问思虑——猜测界说操纵探讨——形成界说巩固演习——深化界说↓面面垂直的剖断定理的探讨→剖析实例——猜测定理类比归纳——确认定理抽象演译——深化定理↓面面的垂直剖断定理的应用→测验测验演习——巩固定理↓总结.反思.进步熟悉四.教授教养进程设计：1．二面角的概念的建构（1）创设情境——感知概念问题1：菜刀.斧头的刀面构成的是什么空间图形的形象？问题2.生涯中是否有二面角的例子？设计意图：经由过程实例让学生直不雅感知二面角空间构造,对二面角进行感性熟悉.（2）类比归纳——形成概念设计意图：经由过程温习平面角的有关常识,让学生类比后本身归纳出二面角的界说.构成及暗示法,经由过程新旧常识之间的比较,加深对新常识的懂得与控制,同时造就学生联想.归纳的才能.（2）着手操纵——深化概念.小组运动：应用纸张制造二面角的模子,找出它的棱和半平面并赐与定名.设计意图：经由过程着手操纵让学生亲自体验二面角的形成进程.定名办法,使学生形成二面角的轮廓,并进行抽象归纳综合,懂得二面角的本质属性.2．二平角的平面角界说的构建：（1）发问思虑——猜测界说：问题：二面角有及有大小问题？大小器量？（2）操纵探讨——形成界说设计意图：经由过程解决二面角器量问题,激发学生的求知愿望,激发学生积极思虑,查找解决问题的门路与计划.这不但锤炼了学生的剖析问题.解决问题的才能,并让学生领会：界说.概念的形成并不是凭空诬捏,而是具有必定的科学性和合理性.（3）巩固演习——深化界说探讨：（1）二面角越大,它的平面角∠AOB 越（2）当二面角的两个半平面地位确准时,∠AOB 的大小设计意图：经由过程演习,让学生懂得二面角与二面角的平面角的关系,摸索构成二面角的平面角的三个前提,体验查找二面角的平面角的进程,从而控制求二面角的求法.使得到的常识能学乃至用,品尝成功的喜悦,激发持续进修的愿望.3．面面垂直的剖断定理的探讨（1）引入界说练一练：如图,正方体ABCD-A'B'C'D'中,②二面角A-BD-B'= 度.设计意图： 直接由演习的特别成果引出概念,不但加速教授教养进度,并且使新常识的引入天然.贴切.（2）剖析实例——猜测剖断——归纳定理问题1：生涯右,平面与平面垂直的例子有哪些？2：建筑工人如何测量所不砌的墙是否与程度面垂直？A B C D D ’ C ’ A ’ B ’3：教室的门打开的时刻,门的哪部分地位不变,门轴与地面的关系若何？无论门转到什么地位,门与地面是否保持互相垂直？设计意图：经由过程生涯实例探讨,让学生经由过程直不雅感知.操纵确认得出定理,用符号说话“翻译”定理的内容,使他们深入懂得定理,思辨定理的构造,并防患于未然.同时,在探讨进程中让学生感悟到：本来常识起源于生涯,并能办事于工作当中,从而激发进修兴致,加强进修信念.4．面的垂直剖断定理的应用→测验测验演习→巩固定理例3：如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O地点的平面,C 是圆周上不合于A.B的随意率性一点,求证：平面PAC⊥平面PBC设计意图：经由过程例题让学生测验测验应用定理,引诱学生剖析问题思绪,探讨解决问题的计谋与门路,归纳解题办法,从而巩固所学常识,晋升学生剖析.解决问题的才能.同时经由过程典范书写,规范学生答题格局,进步学生解题的准确率.5．总结反思,进步熟悉：（1）经由过程本节的进修,你知道什么是二面角？二面角的大小怎么器量？（2）你学会了哪些断定平面与平面垂直的办法？（3）线线垂直.线面垂直.面面垂直如何互相转化？这表现了一种什么数学思惟？设计意图：让学生自立反思归纳,构建常识收集,加深常识的懂得,数学思维再次升华.6．功课安插：P77.3,4 P82. 12013年4月18日。
高中数学(2.3.4平面与平面垂直的性质)示范教案新人教A版必修2
平面与平面垂直的性质整体设计教课剖析空间中平面与平面之间的地点关系中，垂直是一种特别重要的地点关系，它不单应用较多，并且是空间问题平面化的模范. 空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特色：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2) 它常常又是一个复杂问题的初步，即先由面面垂直转变成线面垂直，不然没法解决问题 . 所以，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理 .三维目标1.研究平面与平面垂直的性质定理，进一步培育学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培育学生的推理能力.3.经过平面与平面垂直的性质定理的学习, 培育学生转变的思想 .要点难点教课要点 : 平面与平面垂直的性质定理.教课难点 : 平面与平面性质定理的应用.课时安排1 课时教课过程复习（1）面面垂直的定义.假如两个订交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面相互垂直.（2）面面垂直的判断定理.两个平面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.两个平面垂直的判断定理符号表述为：ABα⊥β . AB两个平面垂直的判断定理图形表述为：图 1导入新课思路 1. ( 情境导入 )黑板所在平面与地面所在平面垂直，你可否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路 2. ( 案例导入 )如图 2，长方体 ABCD— A′B′ C′ D′中，平面 A′ ADD′与平面 ABCD垂直 , 直线 A′ A 垂直于其交线 AD.平面 A′ ADD′内的直线 A′ A与平面 ABCD垂直吗？图 2推动新课新知研究提出问题①如图 3, 若α⊥β , α∩β =CD,ABα ,AB⊥ CD,AB∩ CD=B.请同学们议论直线AB与平面β的地点关系.图 3②用三种语言描绘平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β , 点 P∈α ,P ∈ a,a ⊥β , 请同学们议论直线 a 与平面α的关系 .④剖析平面与平面垂直的性质定理的特色，议论应用定理的难点.⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动 : 问题①指引学生作图或借助模型研究得出直线AB 与平面β的关系 .问题②指引学生进行语言变换 .问题③指引学生作图或借助模型研究得出直线 a 与平面α的关系 .问题④指引学生回想立体几何的中心，以及平面与平面垂直的性质定理的特色.问题⑤指引学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.议论结果：①经过学生作图或借助模型研究得出直线AB与平面β垂直 , 如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描绘为：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描绘为：如图 4.图 4AB两个平面垂直的性质定理用符号语言描绘为：CD AB⊥β .AB CDAB CD B两个平面垂直的性质定理证明过程以下：图 5如图 5，已知α⊥β , α∩β =a,ABα，AB⊥ a于 B.求证： AB⊥β .证明：在平面β内作 BE⊥ CD垂足为 B, 则∠ ABE就是二面角α CDβ的平面角 .由α⊥β, 可知AB⊥BE. 又AB⊥CD，BE与CD是β内两条订交直线, ∴AB⊥β . ③问题③也是论述面面垂直的性质，变成文字表达为：求证：假如两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 . 下边给出证明 .如图 6, 已知α⊥β， P∈α， P∈ a， a⊥β . 求证： aα .图 6证明：设α∩β =c ，过点 P 在平面α内作直线b⊥ c，∵α⊥β , ∴ b⊥β . 而 a⊥β， P∈ a,∵经过一点只好有一条直线与平面β垂直, ∴直线 a 应与直线 b 重合 . 那么 aα.利用“同一法” 证明问题，主假如在按一般门路不易达成问题的情况下所采纳的一种数学方法，这里要求做到两点. 一是作出切合题意的直线b，不易想到，二是证明直线 b 和直线 a 重合，相对简单些 . 点 P 的地点由投影所给的图及证明过程可知，能够在交线上，也能够不在交线上 .④我以为立体几何的中心是：直线与平面垂直，由于立体几何的几乎全部问题都是环绕它睁开的，比如它不单是线线垂直与面面垂直相互转变的桥梁，并且由它还能够转变成线线平行，即便作线面角和二面角的平面角也离不开它. 两个平面垂直的性质定理的特色就是帮我们找平面的垂线，所以它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立刻在一个平面内作交线的垂线” .应用示例思路 1例 1如图7，已知α⊥β，a⊥β ,aα,试判断直线 a 与平面α的地点关系.图 7解: 在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β ,∴b⊥β .∵a⊥β ,∴a∥ b.∵aα ,∴a∥α .变式训练如图 8, 已知平面α交平面β于直线 a. α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线 b. 求证：(1)a ⊥γ； (2)b ⊥γ .图8图9证明：如图 9,(1)设α∩γ =AB，β∩γ =AC.在γ内任取一点 P并在γ内作直线 PM⊥ AB， PN⊥ AC.∵γ⊥α，∴ PM⊥α . 而 aα，∴ PM⊥ a.同理 ,PN⊥ a. 又 PMγ，PNγ，∴ a⊥γ .(2) 在 a 上任取点Q，过 b 与 Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. ∵ b∥α，∴ b∥ a1 .同理 ,b ∥ a2.∵a1、 a2同过 Q且平行于 b，∴ a1、 a2重合 .又 aα， a2β，∴ a 、 a 都是α、β的交线，即都重合于 a.112∵b∥ a1，∴ b∥ a. 而 a⊥γ，∴ b⊥γ .评论：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转变成线面垂直，见到面面垂直第一考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立刻在一个平面内作交线的垂线”.例 2如图 10，四棱锥 P— ABCD的底面是 AB=2， BC= 2的矩形，侧面 PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面 ABCD.图10图11（1）证明侧面 PAB⊥侧面 PBC；（2）求侧棱 PC与底面 ABCD所成的角；（3）求直线 AB与平面 PCD的距离 .（1）证明：在矩形 ABCD中， BC⊥ AB,又∵面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴ BC⊥侧面 PAB.又∵ BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图 11, 取 AB中点 E，连结 PE、 CE,又∵△ PAB是等边三角形, ∴ PE⊥ AB.又∵侧面PAB⊥底面 ABCD，∴ PE⊥面 ABCD.∴∠ PCE为侧棱 PC与底面 ABCD所成角 .PE=3BA=3,CE=BE2BC2=3, 2在 Rt △ PEC中，∠ PCE=45°为所求 .（3）解：在矩形 ABCD中， AB∥CD,∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴ AB∥侧面PCD.取 CD中点 F，连结 EF、 PF，则 EF⊥ AB.又∵ PE⊥ AB,∴ AB⊥平面 PEF.又∵ AB∥CD,∴CD ⊥平面 PEF. ∴平面 PCD ⊥平面 PEF. 作 EG ⊥ PF ，垂足为 G ，则 EG ⊥平面 PCD.在 Rt △ PEF 中， EG=PEEC30为所求.PF5变式训练如图 12，斜三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的棱长都是 a ，侧棱与底面成 60°角，侧面 BCC 1B 1⊥面 ABC.求平面 AB 1C 1 与底面 ABC 所成二面角的大小 .图 12活动 : 请同学考虑面 BB 1C 1C ⊥面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同达成表述过程，并作出相应协助线 .解： ∵面 ABC ∥面 A 1B 1C 1，则面 BB 1C 1C ∩面 ABC=BC, 面 BB 1C 1C ∩面 A 1B 1C 1=B 1C 1, ∴ BC ∥ B 1C 1，则 B 1C 1∥面 ABC. 设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为 AE,则 B 1C 1∥ AE ，即 BC ∥ AE.过 C 1 作 C 1D ⊥ BC 于 D ，∵面 BB 1C 1C ⊥面 ABC,∴C 1D ⊥面 ABC ， C 1D ⊥ BC.又∠ C 1CD=60°,CC 1=a, 故 CD=a, 即 D 为 BC 的中点 .2又△ ABC 是等边三角形 , ∴ BC ⊥AD. 那么有 BC ⊥面 DAC 1, 即 AE ⊥面 DAC 1. 故 AE ⊥ AD ， AE ⊥ AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角 . ∵C 1D=3 a ， AD=3 a ， C 1D ⊥ AD,故∠ C 1AD=45° .22评论 : 利用平面与平面垂直的性质定理 , 找出平面的垂线是解决问题的要点.思路 2例 1如图 13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边 AB 旋转至△ ABD 的地点，使 CD=AC,图 13（ 1）求证：平面 ABD ⊥平面 ABC ； （ 2）求二面角 CBDA 的余弦值 .（ 1）证明： ( 证法一 ): 由题设 , 知 AD=CD=BD,作 DO ⊥平面 ABC ， O 为垂足，则 OA=OB=OC.∴O ∈ AB ，即 O ∈平面 ABD.∴OD 平面 ABD.∴平面 ABD ⊥平面 ABC. ( 证法二 ): 取 AB 中点 O ，连结 OD 、 OC,则有 OD ⊥ AB ， OC ⊥ AB ，即∠ COD 是二面角 CABD 的平面角 .设 AC=a ，则 OC=OD= 2a ,2又 CD=AD=AC,∴ CD=a.∴△ COD 是直角三角形，即∠ COD=90° . ∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面 ABC.（2）解 : 取 BD 的中点 E ，连结 CE 、 OE 、 OC,∵△ BCD 为正三角形，∴ C E ⊥ BD. 又△ BOD 为等腰直角三角形 , ∴ OE ⊥ BD.∴∠ OEC 为二面角 CBDA 的平面角 . 同（ 1）可证 OC ⊥平面 ABD,∴OC ⊥ OE.∴△ COE 为直角三角形 .设 BC=a ，则 CE=3a ，OE=1a, ∴ cos ∠ OEC=OE3即为所求.22CE3变式训练如图 14，在矩形 ABCD 中， AB=33,BC=3，沿对角线 BD 把△ BCD 折起，使 C 移到 C ′，且C ′在面 ABC 内的射影 O 恰巧落在 AB 上.图 14（ 1）求证： AC ′⊥ BC ′；（ 2）求 AB 与平面 BC ′ D 所成的角的正弦值； （ 3）求二面角 C ′ BDA 的正切值 .（ 1）证明： 由题意 , 知 C ′ O ⊥面 ABD,∵ C ′ O ABC ′, ∴面 ABC ′⊥面 ABD.又∵ AD ⊥ AB,面 ABC ′∩面 ABD=AB,∴ AD ⊥面 ABC ′ . ∴ AD ⊥BC ′ . ∵BC ′⊥ C ′ D, ∴ BC ′⊥面 AC ′ D. ∴ BC ′⊥ AC ′ .(2) 解 : ∵ BC ′⊥面 AC ′D,BC ′ 面 BC ′ D,∴面 AC ′ D ⊥面 BC ′D.作 AH ⊥ C ′D 于 H, 则 AH ⊥面 BC ′ D, 连结 BH,则 BH 为 AB 在面 BC ′ D 上的射影 , ∴∠ ABH 为 AB 与面 BC ′ D 所成的角 .又在 Rt △ AC ′ D 中 ,C ′ D=33,AD=3, ∴ AC ′ =3 2 . ∴ AH= 6 .∴sin ∠ ABH=AH2, 即 AB 与平面 BC ′ D 所成角的正弦值为2 . AB33(3) 解 : 过 O 作 OG ⊥ BD 于 G,连结 C ′ G,则 C ′ G ⊥ BD,则∠ C ′ GO 为二面角 C ′ BDA 的平面角 .AC' BC'6 ,在 Rt △ AC ′ B 中 ,C ′O=AB在 Rt △ BC ′ D 中 ,C ′G=BC ' C ' D 3 3.∴OG= C G2 C 2=3. ∴ tan ∠ C′ GO=C 'O2 2 , 2OG即二面角 C′ BDA的正切值为2 2 .评论 : 直线与平面垂直是立体几何的中心, 它是证明垂直问题和求二面角的基础, 所以利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线, 就显得特别重要了 .例 2 如图 15, 三棱柱 ABC— A1B1C1中，∠ BAC=90°， AB=BB1=1，直线 B1C 与平面 ABC成 30°角，求二面角 BB1CA的正弦值 .图 15活动 : 能够知道，平面 ABC与平面 BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来找寻从一个半平面到另一个半平面的垂线 .解：由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1，过 A 作 AN⊥平面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）, 在平面BCB1内过N 作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连结QA，则∠ NQA即为二面角的平面角 .∵AB1在平面 ABC内的射影为AB， CA⊥ AB，∴CA⊥ B1A.AB=BB1=1，得 AB1=2 .∵直线 B1C 与平面 ABC成 30°角，∴∠ B1CB=30°， B1C=2.在 Rt △ B1AC中，由勾股定理 , 得 AC= 2 . ∴ AQ=1.在 Rt △ BAC中， AB=1， AC= 2，得 AN= 6 . 3AN6sin ∠ AQN==,即二面角6BBCA的正弦值为.13变式训练如图 16，边长为 2 的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=22 ，M 为 BC的中点 .(1)证明： AM⊥ PM；(2)求二面角 PAMD的大小 .图16图17(1) 证明： 如图 17, 取 CD 的中点 E ，连结 PE 、 EM 、 EA,∵△ PCD 为正三角形 ,∴PE ⊥ CD ，PE=PDsin ∠ PDE=2sin60° = 3 .∵平面 PCD ⊥平面 ABCD,∴ PE ⊥平面 ABCD. ∵四边形 ABCD 是矩形 ,∴△ ADE 、△ ECM 、△ ABM 均为直角三角形 .由勾股定理可求得EM= 3 ， AM= 6 ， AE=3,222∴EM+AM=AE. ∴AM ⊥ EM.又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影 , ∴∠ AME=90°. ∴ AM ⊥ PM. (2) 解 : 由 (1) 可知 EM ⊥AM ， PM ⊥AM,∴∠ PME 是二面角 PAMD 的平面角 . ∴tan ∠ PME=PE3=1. ∴∠ PME=45° .EM3∴二面角 PAMD 为 45° .知能训练课本本节练习 . 拓展提高(2007 全国高考 , 理 18) 如图 18, 在三棱锥 S — ABC 中 , 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形 ,∠ B AC=90°,O 为 BC 中点 . (1) 证明 SO ⊥平面 ABC;(2) 求二面角 ASCB 的余弦值 .图18 图19(1) 证明： 如图 19, 由题设 , 知 AB=AC=SB=SC=SA 连.接 OA,△ ABC 为等腰直角三角形 , 所以2 SA, 且 AO ⊥ BC.又△ SBC 为等腰三角形2OA=OB=OC= , 故 SO ⊥ BC,且 SO=SA.22222进而 OA+SO=SA. 所以△ SOA 为直角三角形 ,SO ⊥ AO. 又 AO ∩ BC=O,所以 SO ⊥平面 ABC.(2) 解 : 如图 19, 取 SC 中点 M,连结 AM 、 OM,由(1), 知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥ SC,AM⊥SC.所以∠ OMA为二面角 ASCB的平面角 .由 AO⊥ BC,AO⊥ SO,SO∩ BC=O,得 AO⊥平面 SBC.3SA,故所以 AO⊥ OM.又 AM=2sin ∠ AMO=AO2 6 .AM33所以二面角 ASCB的余弦值为 3 .3讲堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，而后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等 .思想方法总结：转变思想，即把面面关系转变成线面关系，把空间问题转变成平面问题.作业课本习题 2.3 B组 3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，特别是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题可否解决常常取决于可否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰巧能解决这个问题，所以它是高考考察的要点，本节不单采纳了大批经典好题，还采纳了大批的 2007 高考模拟试题以及最新 2007 全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的要点难点问题 .。
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高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿
尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《平面与平面垂直的性质》。
虽然我个人的教学经验并不丰富，但是为了能过够成为一名合格的人民教师，我对于本节课也有了一些自己的思考，接下来我就从几方面简单的谈一谈我对本节课的理解。
一、说教材
我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。
《平面与平面垂直的性质》在人教A版高中数学必修二第二章第三节第四小节，本节课的内容是平面与平面垂直的性质定理及其推导和应用。
到本小节，学生已经学了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，教学中可以引导学生思考这些定理之间相互联系的同时也对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的必要基础。
二、说学情
教材是我们教学的工具，是载体。
但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。
三、说教学目标
根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我指定了如下的三维教学目标：
(一)知识与技能
掌握平面与平面垂直的性质，会根据面面垂直证明线面垂直。
(二)过程与方法
在探索证明平面与平面垂直的性质时，提升逻辑推理能力以及空间观念。
(三)情感态度价值观
在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
四、说教学重难点
并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：掌握平面与平面垂直的性质。
而本节课作为本章的最后一节，那么就要求学生不光掌握面面垂直，还要能够理解与之前知识的联系，所以本节课的教学难点是：会根据面面垂直证明线面垂直。
五、说教法和学法
那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。
根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。
六、说教学过程
而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。
(一)新课导入
教学过程的第一步是新课导入环节，那么我先抛出提出问题：
这样的问题首先回归了课本，并且通过学生熟悉的图形能很好地将新旧知识联系起来，并且由旧知开始，能很好地帮助学生克服畏难情绪。
从而引出本节课的课题《平面与平面垂直的性质》
(二)新知探索
接下来是教学中最重要的新知探索环节，
就刚才导入中提出的问题，引导学生感知在相邻两个相互垂直的平面中，有哪些特殊的直线、平面的关系。
这样铺垫好学生思维之后我设置让学生自主探索，抽取出问题模型，并尝试自主验证。
我在巡视后总结学生证明并板书：
一般地，我们得到平面与平面垂直的性质定理。
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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这个过程采用的思路仍然是“直观感知、操作确认、推理证明”，这是符合学生学习立体几何知识，培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力的基本规律。
至此本节课的主要教学内容已经完成，做到了突出重点，突破难点。
(三)课堂练习
当然光得出结论还是不够的，作为一节数学课要及时对知识进行应用，我设计了如下课堂练习：
例1：把黑板看成一个平面，它和地面所在的平面是垂直的。
那么能不能在黑板上画一条和地面垂直的直线?是什么样的?
这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容，让学生自己动手操作感受线面垂直和面面垂直的相互性，而且问题的两个平面并不是实际相交的，利于学生的思维发展。
(四)小结作业
在课程的最后我会提问：今天有什么收获?
引导学生回顾：平面与平面垂直的性质定理。
本节课的课后作业我设计为：
将教室转化为一个长方体，用今天课上的知识证明一组线面垂直。
这样的作业设置能够有效激发学生思考，不限制学生的思维，真正做到以学生为主体。
七、说板书设计
我的板书设计遵循简洁明了突出重点部分，以下是我的板书设计：。