北京大学高等代数(II)2017 习题课 1

2) 反向叠代 69 = 483 – 3138 = 483 – 3(2070 – 4483) = – 32070 + 13483 = – 32070 + 13 ( 6693 – 32070 ) = 13 6693 – 42 2070 = 13 6693 – 42 ( 8763 – 6693 ) = – 42 8763 + 55 6693
若还有 c R , 使得 a c = c a = 1 , 则 c= c(ab)=(ca)b =b
设 R 是一个环, a R . 若 R 中有元素 b 0 , 使得 a b = 0, 则称 a 为 R 的一个 左零因子. 用类似的方式定义右零因子.
设 R 是幺环, a R . 若 R 中有元素 b , 使得 a b = 1, 则称 b 为 a 的一个右逆. 用类似的方式定义左逆. 若 a 既有左逆, 又有右逆, 则 a 的左逆 = 右逆且唯一, 称为 a 的逆.
2. 1) 求 ( 6693, 8763 ) ; 2) 求不定方程 97 x + 127 y = 1 的所有整数解; 3) 求整数 a Z , 0 a < 127, 使得 97 a 5 mod 127.
1) 利用性质 ( a , b ) = ( a – q b , b ) , q Z ( 6693, 8763 ) = ( 6693, 8763 – 6693 ) = ( 6693, 2070 ) = ( 6693 – 32070, 2070 ) = ( 483, 2070 ) = ( 483, 2070 – 4483) = ( 483, 138 ) = ( 483 – 3138, 138 ) = ( 69, 138 ) = ( 69, 138 – 2 69 ) = ( 69, 0 ) = 69
高等代数 II
2017 习题课
主讲教师： 高 峡 助 教：王宇鹏 孙致远 员晓帆
先回顾一下环的定义: 若非空集合 R 上有两种运算
加法: a + b 与 乘法: a b ( a , b R ) 满足以下 6 条公理, 则称 R 是一个环.
前四条公理保证 R 在加法下构成交换群: 1) 交换律 对 a, b R , 有 a + b = b + a 2) 结合律 对 a, b, c R , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2) 乘法满足交换律的环称为交换环.
3) 满足消去律的交换幺环称为整环. (消去律成立等价于无非平凡零因子)
可逆元
4ຫໍສະໝຸດ Baidu 设 R 是幺环, a R . 若存在 b R , 使得 ab=ba=1,
则称 a 是 R 的可逆元, 称 b 为 a 的逆, 记作 a-1
a 的逆 b 一旦存在, 必唯一 :
则 ab|c ; 3) 若 ( a , b ) = 1 且 ( a , c ) = 1 ,
则 (a,bc)=1.
3. 证: 1) 由 ( a , b ) = 1 知存在 u , v Z , 使得
ua+vb=1 两边乘以 c , 得 u a c + v b c = c . 由题设 a | b c , 又 a | u a c , 故 a | c ; 2) 3) …
1: 设 R 是幺环, a , b R . 证明: 若 1 – a b 可逆, 则 1 – b a 也可逆.
证: ( 1 – b a ) ( 1 + b ( 1 – a b ) -1 a )
= 1 – b a + ( 1 – b a ) b ( 1 – a b ) -1 a = 1 – b a + b ( 1 – a b ) ( 1 – a b ) -1 a =1
6) 左, 右分配律 对 a, b, c R , 有 a(b+c)= ab+ac (b+c)a= ba+ca
若环 R 中有一个元素 e 具有性质 ae = ea = a, aR,
则称 e 是 R 的幺元 (或单位元).
幺元若存在, 必唯一, 通常记作 1R 或 1.
整环的定义
1) 有幺元 1 且 1 0 的环称为幺环.
4. 证明: 若素数 p 整除 a b , 则 p 必整除 a, b 之一 .
证: 若 p 不整除 a , 则有 ( p , a ) = 1 . 于是存在 u , v Z , 使得 u p + v a = 1 . 两边乘 b , 得 u b p + v a b = b . 由题设 p | a b , 故 p | b .
设 v = – 42 + 97 k , k Z . 则 u = 55 – 127 k . 故不定方程 97 x + 127 y = 1 的一般解 具有形式 ( x , y ) = ( 55 – 127 k , – 42 + 97 k ) , k Z . 容易验证, 这些都是解…
3. 设 a , b , c Z , 证明: 1) 若 a | b c 且 ( a , b ) = 1 , 则 a | c ; 2) 若 a | c , b | c 且 ( a , b ) = 1 ,
5. 已知整数 a1 , a2 , … , an 的最大公因数为 1 . 试构造一个 n 级整系数矩阵 A , 使得 A 的第一行元素为 a1 , … , an 且 | A | = 1 .
两边除以 69 , 得 – 42 127 + 55 97 = 1
故不定方程 97 x + 127 y = 1 的一组 整数解为 ( x , y ) = ( 55 , – 42 ) ; 若 ( u , v ) 也满足 97 u + 127 v = 1 , 则有
97 ( 55 – u ) = 127 ( v + 42 ) 由 ( 97 , 127 ) = 1 知 97 | ( v + 42 ) (见下题)
3) 存在元素 0 , 使得对 a R , 有 0+a=a+0=a
这样的元素 0 唯一, 称为 R 的零元素 4) 任何元素都有负元素
对每个 a R , 存在 b R , 使得 a+b=b+a=0
b 由 a 唯一确定, 称为 a 的负元素
5) 乘法结合律 对 a, b, c R , 有 a(bc)=(ab)c