高中数学数列知识点总结精华版

一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.
3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.
4.数列的前n 项和与通项的公式
①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n
n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.
②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.
③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.
⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.
1、已知*2()156
n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1
+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）；
3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；
4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)
(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
二、 等差数列
1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

② 中项法： a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：b an a n +=（为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（为常数）⇔{}a n 为等差数列。

如设{}n a 是等差数列，求证：以
n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中, a 1－d.
如1、等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；
2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（答：833
d <≤） （3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2
n n n S na d -=+。

公式变形为：Bn n A s n +=2，其中2d ，2
1d a -.注意：已知, a 1,a n , s n 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

如 数列 {}n a 中，*11(2,)2
n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，
求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.
（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式与前n 和公式中，涉与到5个元素：1a 、d 、n 、n a 与n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
3.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 等差数列{a n }中，
n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y 2d + (a 1－2
d )上 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
如1、等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝（答：27）；
2、在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*
2N m k a a a m k m k k ∈++成等差.若
{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S --（公差为d n 2）．，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是
等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
如 等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（答：225）
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n
n s s 1+=奇偶. 项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶 ；n n s s 1-=奇
偶。

如1、在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d 为等差数列{}a n 的公差，则
d>0⇔{}a n 是递增数列；d<0⇔{}a n 是递减数列；0⇔{}a n 是常数数列
(7)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n
A f n
B =，则2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若
3413-+=n n T S n n ，那么=n
n b a （答：6287n n --） （8）设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比n m m l --=λ（λ≠－1），则m λ
λ++1n l a a ． （9）在等差数列{ a n }中，n a ，m b (n ＞m)，则n
m +m n m n -+(a －b)． 8、已知{}a n 成等差数列，求s n 的最值问题：
① 若01>a <0且满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+0,
01a a n n ,则s n 最大；
②若01<a >0且满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+0
,01a a n n ,则s n 最小. “首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*
n N ∈。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；
2、若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>， 200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.
三、等比数列
1、等比数列的有关概念：如果数列{}
a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n （或)(*1
N a a n q n n ∈=+
2、等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。

如1、一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（答：56
）； 2、数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

3、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如 设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，12
q =或2） 4、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q
-=-11n a a q q -=-。

如 等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）
提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

5、等比中项：如果a 、G 、b 三个数成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，即ab ±.
提醒
：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为（答：A ＞B ）
提醒：（1）等比数列的通项公式与前n 项和公式中，涉与到5个元素：1a 、q 、n 、n a 与n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q
a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
6、等比数列的性质：
（1）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地，当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =.
如 1、在 等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-， 公比q 是整数，则10a （答：512）；
2、各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a ++
+= （答：10）。

(2) 若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| n }、{a 2
n }、{n }、{n
a 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q
1}。

若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n a b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 若{}a n 是等比数列，且各项均为正数，则{}
a n a log 成等差数列。

若项数为3n 的等比数列(q ≠－1)前n 项和与前n 项积分别为S 1与T 1，次n 项和与次n 项积分别为S 2与T 2，最后n 项和与n 项积分别为S 3与T 3，则S 1，S 2，S 3成等比数列，T 1，T 2，T 3亦成等比数列
如1、已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且
12100100x x x +++=，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）
； 2、在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为（答：40）
(3) 单调性：若10,1a q >>，或10,01a q <<<则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>,或10,01a q ><< 则{}n a 为递减数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时，b aq q
a q q a S n n n +=-+--=1111，这里0a
b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，
若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为（答：－2）
(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.
(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、
2，则{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。

这些命题中，真命题的序号
是 （答：②③）
⑧等差数列中，；等比数列中，；
四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a
n }与a
n
是不同的，前者表示数列a
1
，
a 2，…，a
n
，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a
1
，a
2
，…，a
n
，…，与集
合{ a
1，a
2
，…，a
n
，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一
个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，2-，1-， a，，2，…；
⑵对连续偶数个项同号
．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，
3-，1-，，3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，
要注意a
n ≠0，因为当
n
0时，虽有2
n
a
1
-
n
· a
1
+
n
成立，但{a
n
}不是等比数列，即“2
a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a
n
}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．。