医用物理学第08章_课后习题解答

波长:

2 。 a 2 t ，已知 T
8-11 有一沿 X 轴正方向传播的简谐波，在原点处质点的振动方程为 y A cos
A=0.02m，T=3s，波速 u=2m·s -1 。求:①波动方程;②在 X 轴正方向离原点 5m 处质点的振 动方程;③当 t=2.5s 时，原点处质点的位移;④当 t=2.5s 时，在 X 轴正方向离原点 5m 处质点 的位移。 解: ①已知 A=0.02m，T=3s，则ω=2πT=2π3，根据题意，可得原点的振动方程为
x 6 cos( t ) 6 cos t
（c ）
再将（c）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式
v
dx 6 sin t （cm·s -1 ） dt
2
a
d 2x 6 dt 2
cos t （cm·s -2 ）
8-4 两个物体作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是 0.1m 和 2s，当 t=0 时，一 物体的位移为 0.1m，另一物体的位移为-0.1m，问两者的相位差是多少?当 t=1s 时，它们的 位移各是多少? 解: ①已知 A=0.1m，T=2s，则ω=2πT=πrad·s -1 ，设它们的振动方程分别为
当相位差 φ 2 -φ 1 =


2
时，合振动的振幅为
A 12 3 2 2 1 3 cos( ) cm= 10 cm≈3.2cm 2
当相位差 φ 2 -φ 1 =π时，两个分振动相位相反，合振动的振幅为 A=|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm 8-6 有三个同方向的简谐振动，它们的频率分别为 100Hz、200Hz、300Hz，问:①三者合成 后是否仍为简谐振动?②合振动的周期是多少? 解: ①由于分振动的频率不同， 所以它们合成后将不是简谐振动。 ②合振动的频率为 100Hz， 周期 T=
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos(1 2 )
当相位差 φ 2 -φ 1 =0 时，两个分振动同相位，合振动的振幅为 A=A 1 +A 2 =（1.0+3.0）cm=4.0cm 当相位差 2 1

3
时，合振动的振幅为
A 12 3 2 2 1 3 cos( ) cm= 13 cm≈3.6cm 3
8-12 在空气中 P 点声波的强度为 2.0×10 5 W·m -2 ，振动幅度为 2mm，空气的密度为 1.29kg·m -3 ，波速为 344m·s -1 。求:①声波的波长;②P 点的平均能量密度。 解: ①求波长:已知 I=2.0×10 5 W·m -2 ，A=2mm=2×10 -3 m，ρ=1.29kg·m -3 ，由声波强 度公式 I
x A cos( t )
（a）
①第一种情况:位于平衡点右侧 6cm 处，这时位移 x=6cm，将 t=0，A=6cm，x=6cm 代 入（a）式得
6 6 cos 6
解之得， =0。已知 T=2 秒，则 的位移表达式为 （b） 再将（b）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式

1 s=0.01s。 100
8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能 量怎样改变?
答: 弹簧振子作简谐振动时，其能量为 E 率降为原来的一半，结果能量没有改变。
1 m 2 A 2 ，若其振幅 A 增为原来的两倍，而频 2
8-8 什么叫阻尼振动、受迫振动、共振?在受迫振动中振子受到哪三个力的作用?受迫振动达 到稳定时有什么特点? 答: ①在振动中，由于各种因素的影响，能量会减少，振幅也随之减小，这种振幅随时 间而减小的振动，称为阻尼振动。 ②振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动，叫做受迫振动。在受迫振动中，振子同 时受到三个力的作用:弹性力、阻尼力、周期性外力。受迫振动达到稳定状态时，振幅保持 一定，如果外力是按简谐运动规律变化，则稳定后的受迫振动也是简谐振动，且振动频率等 于外力变化的频率。 ③在受迫振动中，当周期性外力的频率接近系统的固有频率时，振动的振幅急剧增大，这种 现象叫做共振。 8-9 要产生机械波必须具备哪两个条件?当波动在通过不同介质时，它的波长、频率、速度 中哪些会发生变化?哪些不会改变? 答: ①要产生机械波必须具备两个条件:第一，要有作机械振动的物体，即波源;第二，要有 能够传播这种机械振动的弹性介质。 ②当波动通过不同的介质时，波长和波速会发生变化，而频率不会改变。 8-10 已知波动方程式 y=Msin（bt-ax） ，试求该波的振幅、波速、频率和波长。 解: 先将题目给的波动方程进行变换:
8-13 一物体作周期为 0.005s 的谐振动， 振幅为 0.2cm， 该振动在空气中形成以 332m· s -1 速 度传播的平面波（设波在传播中无衰减） ，空气的密度为 1.29kg·m -3 。求①该平面波的波 动方程;②该波的强度。 解:①波动方程:已知
y M sin(bt ax ) M sin b(t
而波动方程的通用形式为
ax ax ) M cos[b(t ) ] b b 2
（a）
x y A cos (t ) c
将（a）式和（b）式比较可得 振幅: A=M 频率: f 波速: u
（b）
b a
b 2
1 2
2 2 3.14 rad·s -1 T 0.02
=100πrad·s -1 ≈314rad·s -1 ②已知分振动的振幅 A 1 =1.0cm，A 2 =3.0cm，合振动的振幅 A 与两个分振动的振幅 A 1 、 A 2 及相位差 φ 1 -φ 2 有以下关系:
2 ，将 A、ω、值代入（a）式可得第一种情况 2
x 6 cos t （cm）
v
dx 6 sin t （cm·s -1 ） dt
2
a
d 2x 6 dt 2
cos t （cm·s -2 ）
②第二种情况:位于平衡点左侧 6cm 处， 这时位移 x=-6cm， 将 t=0， A=6cm， x=-6cm 代入 （a） 式得 -6=6cosφ 解之得， =π。已知=π，ω=π，A=6cm，代入（a）式可得第二种情况的位移表达式
y A cos
2 2 t 0 . 02 cos t T 3
已知波速 c=2m·s -1 ，由上式可进一步得到波动方程为
2 x y 0.02 cos (t ) 3 2
②已知 x=5m，可得在 X 轴正方向离原点 5m 处质点的振动方程为
（1）
y 0 . 02 cos
2 (t 3 2 0 . 02 cos( t 3
1 u 2 A 2 ，可得角频率ω 2

2I 2 2.0 105 rad·s -1 2 3 2 uA 1.29 344 ( 2 10 )
=1.5×10 4 rad·s-1 由ω=2πf，可得 f=ω/2π=1.5×10 4 /6.28=2.39×10 3 Hz。由 u=fλ，可得声波的波长为
x=-A，
v=0，
a=Aω2
8-3 一个作简谐振动的质点，在 t=0 时，离开平衡位置 6cm 处，速度为零，振动周期为 2s， 求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。 解:根据题意，t=0 时，质点速度为零，离开平衡位置 6cm，这说明该振动的振幅为 A=6cm， 这时质点可能位于平衡点右侧 6cm 处，或位于平衡点左侧 6cm 处。下面分这两种情况进行 讨论，设该振动方程为:
x 1 A cos( t 1 ) x 2 A cos( t 2 )
（a） （b）
已知 t=0 时，x 1 =0.1m，x 2 =-0.1m，则由（a）式和（b）式可得 x 1 =0.1cosφ 1 =0.1 x 2 =0.1cosφ 2 =-0.1 分别解上面两式得 φ 1 =0，φ 2 =π，因此两者的相位差 φ 2 -φ 1 =π。两振动的方程分别为 x 1 =0.1cos（πt） （c） x 2 =0.1cos（πt+π） （d） ②当 t=1s，由上面的（c）式和（d）式可得到它们的位移分别为 x 1 =0.1cos（π+0）m=-0.1m x 2 =0.1cos（π+π）m=0.1m 8-5 两个同频率、同方向的简谐振动，周期为 20ms，振幅分别为 1.0cm 和 3.0cm，求:①两 者合振动的圆频率;②当两者的相位差分别为 0、π3、π2、π时，合振动的振幅各是多少? 解: ①由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为

5 2 5 ) 0 . 02 cos( t ) 2 3 3 3 )
③已知在（1）式中，t=2.5s，x=0，则有
5 y 0.02 cos 0.02 cos(2 ) m =0.01m 3 3
④已知在（1）式中，t=2.5s，x=5m，有
2 5 y 0.02 cos ( 2.5 ) m =0.02m 3 2
第八章 振动和波 通过复习后，应该: 1.掌握简谐振动方程、波的产生和传播、波动方程、波的能量和强度、波的干涉; 2.理解简谐振动的能量、简谐振动的合成、惠更斯原理、波的衰减; 3.了解衰减振动、受迫振动、共振、复杂振动的分解、驻波。 8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波 阵面、波的强度。 答: ①简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与 离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。②振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为 振幅。 ③频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。 ④基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最 低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。 ⑤频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱 线，这种图称为频谱图。 ⑥波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。其中简谐振动 在介质中传播所形成的波叫简谐波。 ⑦横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫 做横波。 ⑧纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。 ⑨波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。 ⑩波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。 8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:① 平衡位置，向正方向运动;②平衡位置，向负方向运动;③正方向的端点;④负方向的端点。 解: 设该质点的振动方程为: x A cos( t ) 将它对时间 t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度 v 和加速度 a 的表达式: